Požadavky k SZZ – specializace Finanční a pojistná matematika

Státní závěrečná zkouška sestává z obhajoby diplomové práce a z ústní zkoušky.

Charakteristika závěrečné práce a její obhajoba

Zpracováním diplomové práce student prokazuje orientaci v problematice dané tématem práce a schopnost odborné práce pod vedením vedoucího. U obhajoby diplomové práce se hodnotí porozumění tématu a úroveň prezentace.

Charakteristika ústní zkoušky

Účelem zkoušky je prověřit, že absolvent je schopen vést debatu na odborné úrovni. Cílem ústní zkoušky není opakovat zkoušky z jednotlivých předmětů a zkoušet detailní znalost teorie a důkazů. Smyslem je prokázat všeobecný přehled o základních pojmech a výsledcích z jednotlivých oborů a širších souvislostech mezi nimi a o jejich možných aplikacích.

Technická realizace

U ústní zkoušky student obdrží tři otázky, jednu z okruhu A společných oblastí znalostí programu Aplikovaná matematika a dvě ze znalostí své specializace, které jsou uvedeny v okruhu B.

Vymezení rozsahu otázek k ústní zkoušce

A. Společný okruh – základy matematiky

1. Základy časových řad
   vlastnosti a charakteristiky náhodných posloupností a časových řad, odhady charakteristik stacionárních časových řad a modelování deterministických složek (regrese, vyhlazování a dekompozice)
2. ARMA modely
   vlastnosti ARMA modelů, korelační struktura ARMA procesů, predikce a odhad parametrů v ARMA modelech, rozšíření pro sezonní řady a nestacionární řady s jednotkovými kořeny (SARIMA modely)
3. Stochastická analýza
   Wienerův proces a jeho vlastnosti, stochastický integrál, Itôovo lemma, řešení stochastických diferenciálních rovnic, martingaly, Girsanovova věta
4. Stochastické modely
   modelování pomocí stochastických diferenciálních rovnic, Wienerův proces s driftem, geometrický Brownův pohyb, Ornsteinův-Uhlenbeckův proces, difuze
5. Maticové numerické metody
   blokové operace s maticemi, rozklady matic a jejich použití, výpočet vlastních hodnot a vlastních vektorů; metoda nejmenších čtverců – klasický přístup a přístup pomocí pseudoinverze
6. Optimalizační numerické metody
   Newtonova-Raphsonova metoda, Nelderova-Meadova metoda, metoda bisekce, metoda zlatého řezu; metoda nejmenších čtverců – obyčejná, pomocí pseudoinverze, nelineární

B. Okruh specializace Finanční a pojistná matematika

1. Teorie pravděpodobnosti
   náhodné veličiny a jejich charakteristiky, nezávislost, podmíněné očekávání, generující a charakteristické funkce a jejich aplikace, rozdělení třídy (a,b,1), složená čítací rozdělení
2. Diskrétní stochastické procesy
   náhodná procházka, základní vlastnosti a techniky, věta o volbách, rozdělení maximálních hodnot, Pólyova věta, zákon arcsinu, diskrétní martingaly a filtrace
3. Diskrétní modely ve financích
   portfolio a arbitráž, jednokrokové a vícekrokové diskrétní modely, risk-neutrální míra, oceňování opcí, binomický model, základní věta arbitrážní teorie, úplnost trhu a jeho charakterizace
4. Spojité modely ve financích
   odvození Black-Scholesovy parciální diferenciální rovnice a její řešení, odvození Black-Scholesova vzorce pomocí základní věty arbitrážní teorie, jištění, delta hedging, analýza citlivosti Black-Scholesova vzorce
5. Finanční deriváty
   základní vlastnosti a použití opcí, pákový efekt, put-call parita, typy opčních strategií a jejich použití, implikovaná volatilita a volatility smile, oceňování exotických derivátů, forwardy a futures
6. Úrokové míry
   okamžitá a forwardová úroková míra, modely struktury úrokových měr, deriváty úrokových měr a modely pro jejich oceňování, Vašíčkův model, CIR model
7. Stochastické procesy v neživotním pojištění
   Poissonův proces, čítací procesy, procesy s nezávislými přírůstky, operační čas, čítací Markovské procesy s nákazou, smíšené Poissonovy procesy
8. Modely celkové ztráty
   složený Poissonův proces, metody pro výpočet celkového nároku, Panjerova rekurze, teorie ruinování, adjustační koeficient a Lundbergova nerovnost
9. Životní pojištění
   charakteristiky přežívání, aktuárská notace; modely rozdělení pravděpodobnosti ze třídy zobecněného gama a související rozdělení; funkce věrohodnosti, bodové a intervalové odhady parametrů; střední hodnota a rozptyl současné hodnoty životního pojištění
10. Statistické metody v životním pojištění
    odhady funkcí přežití, Kaplanův-Maierův odhad, Nelsonův-Aalenův odhad, Coxův model proporčních rizik, odhady pomocí jádrové funkce, metody graduace
11. Teorie kredibility
    bayesovské metody, konjugovaná apriorní rozdělení, prediktivní hustota, bayesovské pojistné, kredibilitní pojistné, Buhlmannův model, bonus-malus systémy
12. Statistické metody v neživotním pojištění
    metoda maximální věrohodnosti, metoda momentů, metody pro posouzení vhodnosti modelu, modelování extrémních a řídkých událostí, modelování závislostí pomocí kopul