Výzkum na Ústavu matematiky a statistiky (dále jen UMS) zahrnuje několik hlavních odvětví teoretické a aplikované matematiky,  zejména algebru, topologii a teorii čísel, geometrickou analýzu, matematickou analýzu,  statistiku a  matematické modelování.

Náš ústav dále zajišťuje výuku teoretické matematiky, finanční matematiky a matematiky pro učitele středních škol. UMS také nabízí matematické předměty pro ostatní vědní obory Přírodovědecké fakulty jako jsou fyzika, chemie, biologie, geografie. Učitelé našeho ústavu také vedou výuku všech hlavních matematických předmětů na Fakultě informatiky a některých předmětů na Ekonomicko-správní fakultě.

UMS má akreditaci doktorského studijního programu v následujících směrech

• algebra, teorie čísel a matematická logika,
• geometrie, topologie a globální analýza,
• matematická analýza,
• obecné otázky matematiky (historie matematiky a matematické vzdělávání),
• pravděpodobnost, statistika a matematické modelování.

Ve spolupráci s Masarykovou univerzitou UMS vydává odborný časopis Archivum Mathematicum (http://emis.muni.cz/journals/AM/). Na našem ústavu také sídlí redakce odborného časopisu Differential Geometry and its Applications (http://dga.math.muni.cz/), který je publikován vydavatelstvím Elsevier. Oba časopisy jsou indexovány v mezinárodních databázích Mathematical Reviews, Zentralblatt für Mathematik a Scopus.

V současnosti na UMS pracují následující výzkumné týmy. Kontaktní informace na všechny zaměstnance jsou zde, včetně odkazu na publikace, grantové projekty a výuku.

ALGEBRA, TOPOLOGIE A TEORIE ČÍSEL

Kategorie a uspořádané množiny (Jiří  Rosický, Lukáš Vokřínek, Michael Lieberman). Výzkum je orientován zejména na akcesibilní kategorie a jejich aplikace v algebře, algebraické topologii a teorii modelů. Do výzkumu jsou zahrnuta témata jako např. abstraktní elementární třídy, Quillenovy modelové kategorie a slabé faktorizační systémy. Tým se zabývá také aplikacemi abstraktní teorie homotopií na výpočetní topologii.

Teorie čísel (Radan Kučera, Michal Bulant). Výzkum je zaměřen na algebraickou teorii čísel, zejména na abelovská tělesa. Hlavním cílem je výzkum algebraických struktur, které souvisí s grupou tříd ideálů okruhů celých čísel těchto těles (jako jsou grupa kruhových jednotek nebo Stickelbergerův ideál).

Uspořádané množiny (Jan Paseka, David Kruml). Výzkum se zabývá souvislostmi mezi algebrou a logikou, zejména kvantovou, tense a fuzzy. Základním nástrojem jsou reziduované uspořádané množiny, ale důraz je také kladen na kvantály v souvislosti s C*-algebrami a nekomutativní geometrií.

Teorie pologrup (Ondřej Klíma, Michal Kunc). Výzkum je zaměřen na ekvacionální charakterizace pseudovariet konečných pologrup a na svazy pseudovariet. Tým se také zabývá aplikacemi pologrup na formální jazyky, například na efektivní charakterizace tříd regulárních jazyků.

GEOMETRICKÁ ANALÝZA

Geometrická komplexní analýza (Martin Kolář,  Ilya Kossovskiy).  Výzkum se zaměřuje na normální formy a  invarianty definičních oborů a jejich hranic v komplexních prostorech a  to zejména při výskytu singularit. Dále se tým zabývá souvislostmi s  teorií dynamických systémů.

Lieovské teorie, geometrická teorie parciálních diferenciálních rovnic a  geometrické struktury (Jan Slovák, Josef Šilhan, Katharina Neusser). Jde o efektivní využívání algebraické teorie reprezentací Lieových grup a algeber v geometrické analýze pro velkou třídu zdánlivě nesouvisejících geometrií (např. projektivní, konformní, CR, kvaternionové), vlastnosti invariantních diferenciálních operátorů pro takové geometrie, souvislosti se  subriemannovskou geometrií a přímé aplikace v geometrické teorii řízení, nekomutativní diferenciální geometrii, počítačovém vidění, geometrii hlubokého učení a informační geometrii.

Nelineární parciální diferenciální rovnice (Phuoc Tai Nguyen) Výzkum se zaměřuje na existenci, neexistenci, jedinečnost, multiplicitu, kvalitativní vlastnosti a klasifikaci řešení nelineárních parciálních diferenciálních rovnic se singulárními koeficienty a daty. Náš výzkum také zahrnuje studium různých aspektů rovnic v dynamice tekutin, například Navier-Stokesovy rovnice a Eulerovy rovnice.

Přirozené operátory a obecné geometrické struktury (Josef Janyška, Jan Slovák). Hlavním objektem zájmu této skupiny jsou obecné fibrované prostory (bandly jetů, Weilovy bandly a přirozené bandly) invariantní (tj. geometrické) operace na nich, včetně těch závisejících na speciálních geometrických strukturách, a aplikace geometrických metod v teoretické fyzice, zejména v kovariantní klasické a  kvantové teorii na zakřiveném časoprostoru.

Geometrické aspekty algebraické topologie (Martin Čadek) Výzkum se zabývá  jednak algoritmickým přístupem k řešení klasických úloh algebraické topologie (popis homotopických tříd zobrazení, rozhodnout, kdy jsou dvě zobrazení homotopická, kdy jsou dva simpliciální komplexy homotopicky ekvivalentní), jednak topologickými podmínkami pro existenci různých geometrických struktur na varietách nízké dimenze.

MATEMATICKÁ ANALÝZA

Nelineární diferenciální a diferenční rovnice (Miroslav Bartušek, Zuzana Došlá, Petr Hasil, Jiřina Šišoláková, Michal Veselý).  Výzkum je orientován na asymptotickou teorii diferenciálních rovnic, včetně diferenciálních rovnic neceločíselných řádů a rovnic se  zpožděním. Tyto rovnice mají široké aplikace v přírodních a technických vědách, lékařství a ekonomii. Jde zejména o problematiku asymptotiky, oscilace a stability řešení, a o otázky spojené s okrajovými úlohami na  neohraničených intervalech a numerickými diskretizacemi těchto rovnic. Důležitou součástí výzkumu je oscilační teorie pololineárních diferenciálních a diferenčních rovnic Eulerova typu.

Limitně periodické a skoroperiodické systémy (Petr Hasil, Michal Veselý). Jádrem tohoto výzkumu je analýza chování řešení lineárních systémů s neperiodickými koeficienty. Periodické (tj. s  periodickými vstupními daty na pozici koeficientů) diferenciální a  diferenční lineární rovnice a systémy patří k nejčastěji používaným spojitým a diskrétním modelům různých (nejen přírodních) dějů. Pokud je nahrazen předpoklad ryzí periodičnosti obecnějším případem limitní periodičnosti či skoroperiodičnosti studovaných veličin, lze jako řešení uvažovaných rovnic a systémů obdržet specifické funkce a posloupnosti, které nemohou být řešeními ve striktně periodickém případě. To je ve  shodě s pozorováním v mnoha situacích, kdy periodické modely neumožňují
dostatečně přesný popis jevů. V rámci výzkumu je kladen důraz právě na  studium těch řešení, která se významně liší od řešení periodických systémů, tj. na popis množin neskoroperiodických a neasymptoticky skoroperiodických řešení.

Oscilační a spektrální teorie (Peter Šepitka, Roman Šimon Hilscher, Petr Zemánek). Hlavním objektem studia je oscilační teorie pro lineární diferenciální a diferenční systémy (zejména hamiltonovské a symplektické systémy), či obecněji pro systémy definované na libovolných hybridních časových doménách - tzv. časových škálách. Studované systémy jsou úzce spjaty s optimálními procesy v přírodě, vědě a technice. Výzkum je dále zaměřen na spektrální vlastnosti systémů a přidružených operátorů nebo
lineárních relací, např. na Weylovu-Titchmarshovu teorii. Ve výzkumu se  také zaměřujeme na aplikace v jiných oblastech matematiky, např. ve  variačním počtu a optimálním řízení, v lineární algebře (teorie matic a  jejich analytické vlastnosti), nebo v diferenciální geometrii (Maslovův index).

Variační počet a optimální řízení (Peter Šepitka, Roman Šimon Hilscher, Petr Zemánek, Tri Truong Van). Jde o matematickou teorii podmínek optimality prvního a druhého řádu pro optimalizační úlohy variačního počtu a optimálního řízení. Výzkum se  týká např. těchto témat: nutné podmínky optimality, postačující podmínky optimality, slabý Pontrjaginův princip, izoperimetrické úlohy či  obecněji úlohy s omezeními, Hamiltonova-Jacobiho teorie (dynamické  programování), problém lineární-kvadratické regulace (LQR problém),  struktura a řešitelnost Riccatiho rovnic. Ve výzkumu uvažujeme spojité  i  diskrétní optimalizační úlohy i jejich sjednocenou teorii na časových škálách.

MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ A STATISTIKA

Matematické modelování (Lenka Přibylová, Veronika Eclerová, Deeptajyoti Sen, Jakub Záthurecký, Zdeněk Pospíšil, Jan Ševčík). Výzkumné aktivity jsou zaměřeny na tvorbu deterministických a stochastických matematických modelů reálných procesů, jejich analýzu, numerickou simulaci a počítačovou implementaci (matematická prostředí Matlab, R, Python, Julia, Matcont, Maple). Jedná se zejména o modely z oborů biomedicíny, neurofyziologie, epidemiologie, ekologie a ekonomie. Matematické modely uvedených procesů přitom využívají zejména diferenciálních a diferenčních rovnic, teorie nelineární dynamiky, metod numerické matematiky a statistiky. Výzkumné aktivity jsou zaměřeny i na rozvoj matematické teorie v této oblasti (https://science.math.muni.cz/ndteam/). Členové týmu spolupracují např.  s University of Twente, University of Innsbruck, LF UK Praha, VUT, Univerzitou obrany, FN Brno, ÚZIS, Centrem pro modelování biologických a  společenských procesů BISOP, Ústavem teorie informace a automatizace AV ČR, Biologickým centrem AV ČR, Ústavem religionistiky FF MU, Ústavem přístrojové techniky AV ČR a Bicont Laboratory, s.r.o.

Statistika a analýza dat (Stanislav Katina, Jan Koláček, David Kraus, Andrea Kraus, Radim Navrátil, Iveta Selingerová, Jiří Zelinka, Marie Budíková, Ivana Horová, Ondřej Pokora). Výzkum v týmu zahrnuje: parametrické, neparametrické a  robustní statistické metody, jádrové vyhlazování, analýzu funkcionálních dat, analýzu přežití, časové, prostorové a časo-prostorové splajnové vyhlazovaní, analýzu tvaru a obrazu, statistickou grafiku, diskriminační analýzu, zobecněné lineární modely, statistické modely pro elipticky vrstevnicová rozdělení, ROC křivky, odhadování a testování procedur v  nevyvážených heteroscedastických modelech a v modelech odhadů parametrů kalibrační funkce, statistickou inferenci pro stochastické procesy,  statistické inverzní problémy, stochastické modely založené na Brownově pohybu, Itôových a difúzních procesech, statistické posuzování spolehlivosti, analýzu časových řad, zpracování signálu, epidemické procesy a modely, větvící procesy, bodové procesy, analýzu neúplných a  chybějících dat, epidemiological surveillance, design klinických studií (onkolo gie, Alzheimerova nemoc a jiné), statistické programovaní, implementace do jazyků R a MATLAB, a, v neposlední řadě,  aplikace na  reálná data.  Členové týmu spolupracují s mnoha domácími i zahraničními pracovišti, mimo jiné s Ústavem antropologie Masarykovy univerzity, Fakultní nemocnicí u sv. Anny, Masarykovým onkologickým ústavem, FN Brno, Veterinární a farmaceutickou univerzitou Brno, Univerzitou obrany v  Brně, Ústavem teorie informace a automatizace AV ČR Praha; s Ústavem informatiky AV ČR Praha, Ortopedickou klinikou Jesseniovy lékařské fakulty Univerzity Komenského v Martině, Neuroimunologickým ústavem Slovenské akademie věd v Bratislavě, East Slovak Institute for Cardiovascular Diseases and Medical Faculty of Pavol Jozef Šafárik University, Košice, Slovakia, The University of Glasgow (School of Mathematics and Statistics, Scotland, UK), s Royal College of Surgeons in Ireland (Dublin, Ireland), Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne, Universität Bern, Universitätsspital Bern, Universitätsspital Zürich.

Digital City Lab (Stanislav Sobolevsky). Tato nově vznikající laboratoř se zaměřuje na analýzu dat s aplikacemi v městském rozvoji. Metody zahrnují umělou inteligenci a hluboké učení na hierarchických grafových strukturách. Výzkumná skupina iniciuje a vstupuje do  multidisciplinárních projektů a zaměřuje se na stabilizaci mezinárodního konsorcia akademických i komerčních partnerů.

DALŠÍ AKTIVITY

V oblasti matematického vzdělávání (Jaromír Šimša, Roman Plch)  se zaměřujeme na problémy středoškolské matematiky a přípravu učitelů matematiky v bakalářském, magisterském a doktorském studiu. Speciální pozornost je věnována strategiím řešení různých matematických úloh pro nadané středoškolské studenty a využití počítačů a e-learningu ve výuce matematiky.