Požadavky k SZZ – specializace Diferenciální rovnice a jejich aplikace

Státní závěrečná zkouška sestává z obhajoby diplomové práce a z ústní zkoušky.

Charakteristika závěrečné práce a její obhajoba

Zpracováním diplomové práce student prokazuje orientaci v  problematice dané tématem práce a schopnost odborné práce pod vedením vedoucího. U obhajoby diplomové práce se hodnotí porozumění tématu a  úroveň prezentace.

Charakteristika ústní zkoušky

Účelem zkoušky je prověřit, že absolvent je schopen vést debatu na  odborné úrovni. Cílem ústní zkoušky není opakovat zkoušky z jednotlivých předmětů a zkoušet detailní znalost teorie a důkazů. Smyslem je prokázat všeobecný přehled o základních pojmech a výsledcích z  jednotlivých oborů a širších souvislostech mezi nimi a o jejich možných aplikacích.

Technická realizace

U ústní zkoušky student obdrží tři otázky, jednu z okruhu A  společných oblastí znalostí programu Aplikovaná matematika a dvě ze  znalostí své specializace, které jsou uvedeny v okruhu B.

Vymezení rozsahu otázek k ústní zkoušce

A. Společný okruh – základy matematiky

1. Základy časových řad
   vlastnosti a  charakteristiky náhodných posloupností a časových řad, odhady charakteristik stacionárních časových řad a modelování deterministických složek (regrese, vyhlazování a dekompozice)
2. ARMA modely
   vlastnosti ARMA modelů, korelační struktura ARMA procesů, predikce a odhad parametrů v ARMA modelech, rozšíření pro sezonní řady a nestacionární řady s jednotkovými kořeny (SARIMA modely)
3. Stochastická analýza
   Wienerův proces a jeho vlastnosti, stochastický integrál, Itôovo lemma, řešení stochastických diferenciálních rovnic, martingaly, Girsanovova věta
4. Stochastické modely
   modelování pomocí stochastických diferenciálních rovnic, Wienerův proces s  driftem, geometrický Brownův pohyb, Ornsteinův-Uhlenbeckův proces, difuze
5. Maticové numerické metody
   blokové operace s  maticemi, rozklady matic a jejich použití, výpočet vlastních hodnot a  vlastních vektorů; metoda nejmenších čtverců – klasický přístup a  přístup pomocí pseudoinverze
6. Optimalizační numerické metody
   Newtonova-Raphsonova metoda, Nelderova-Meadova metoda, metoda bisekce, metoda zlatého řezu; metoda nejmenších čtverců – obyčejná, pomocí pseudoinverze, nelineární

B. Okruh specializace Diferenciální rovnice a jejich aplikace

1. Diferenční rovnice prvního řádu
   Diskrétní kalkulus (Stolzova-Cesarova věta a další diskrétní analogie tvrzení z diferenciálního a integrálního počtu a jejich využití), rovnice prvního řádu, množina řešení homogenních a nehomogenních rovnic, metoda variace konstant.
2. Dynamika a diferenční rovnice vyšších řádů
   Dynamika diferenčních rovnic prvního řádu (Sharkovského věta a bifurkace), lineární diferenční rovnice vyšších řádů a metoda neurčitých koeficientů, Sturmova-Liouvilleova rovnice druhého řádu a problém vlastních hodnot.
3. Variační počet
   Funkcionály, prostory funkcí, první a druhá variace, slabý a silný extrém a jejich vzájemný vztah, nutné a postačující podmínky pro extrém, Eulerova rovnice, pevné a proměnné okrajové podmínky, aplikace.
4. Obecná teorie ODR
   Carathéodoryho třída funkcí, existence a jednoznačnost řešení rovnic s nespojitou pravou stranou, Carathéodoryho věta pro rovnice vyšších řádů, prodloužitelnost řešení, globální řešení, dolní a horní řešení, Wintnerova věta, Kneserova věta, Fukuharovy věty.
5. Autonomní rovnice
   Typy singulárních bodů dvojrozměrných systémů, klasifikace singulárních bodů lineárních a perturbovaných lineárních systémů, struktura limitní množiny v R^2, Dulacovo kritérium, Poincarého-Bendixsonova věta, charakteristické směry.
6. Spojité matematické modely
   Pojetí dynamického systému, klasifikace modelů, konstrukce matematického modelu, dimenzionální a matematická analýza matematických modelů, příklady matematických modelů v přírodních vědách.
7. Diskrétní matematické modely
   Projekční matice, stacionární struktura, její existence a stabilita, Perronova-Frobeniova věta, identifikace parametrů modelu z pozorovaných dat, příklady matematických modelů v přírodních vědách.
8. Numerické metody řešení ODR
   Řešení počátečních úloh (jednokrokové a vícekrokové metody), řešení okrajových úloh (metoda střelby, diferenční metody, variační metody), stabilita a konvergence metod.
9. Numerické metody řešení PDR
   Diferenční metody, variační metody, časově závislé rovnice, stabilita a konvergence metod.
10. Lineární PDR 2. řádu
    Klasifikace rovnic, principy řešení významných rovnic (Laplaceovy a Poissonovy rovnice, rovnice vedení tepla, vlnové rovnice), harmonické funkce, Greenova teorie, principy maxima, srovnání PDR a ODR, variační metody.
11. Konvexní analýza
    Konvexní množiny, konvexní obaly, teorie oddělitelnosti, konvexní funkce, kritéria konvexnosti pro diferencovatelné funkce, subgradient a subdiferenciál, Fenchelova transformace, řešení systémů lineárních a konvexních nerovností.
12. Matematické programování
    Metody nepodmíněné minimalizace (Fibonacciho metoda, metoda zlatého řezu, Newtonova metoda atd.), Langrangeův princip, podmínky optimality, Kuhnovy-Tuckerovy podmínky, konvexní programování, slabá a silná dualita, sedlové body, stínová cena.