Zpět

Požadavky platné pro studenty

Státní závěrečná zkouška sestává z obhajoby bakalářské práce a z ústní zkoušky.

Charakteristika závěrečné práce a její obhajoba

Zpracováním bakalářské práce student prokazuje orientaci v  problematice dané tématem práce a schopnost odborné práce pod vedením vedoucího. U obhajoby bakalářské práce se hodnotí porozumění tématu a  úroveň prezentace.

Charakteristika ústní zkoušky

Účelem zkoušky je prověřit, že absolvent je schopen vést debatu na  jisté odborné úrovni. Cílem ústní zkoušky není opakovat zkoušky z  jednotlivých předmětů a zkoušet detailní znalost teorie a důkazů. Smyslem je prokázat všeobecný přehled o základních pojmech a výsledcích z  jednotlivých oborů a širších souvislostech mezi nimi.

Technická realizace

U ústní zkoušky student obdrží dvě otázky z níže uvedených tématických okruhů.

Vymezení rozsahu otázek k ústní zkoušce

1. Vektorové prostory a lineární zobrazení
   • Vektorový prostor, vektorový podprostor, lineární obal množiny vektorů, lineární nezávislost, báze, dimenze, souřadnice, matice přechodu od jedné báze k druhé. Průnik a součet podprostorů. Lineární zobrazení (homomorfismus), jeho jádro a obraz. Lineární izomorfismus. Matice lineárního zobrazení v daných bazích.
2. Soustavy lineárních rovnic, matice a determinanty
   • Gaussova eliminace, operace s maticemi, hodnost matice, věty o  struktuře řešení soustav lineárních rovnic, Frobeniova věta. Permutace, definice a vlastnosti determinantu. Laplaceův rozvoj. Výpočet inverzní matice, Cramerovo pravidlo. Symetrické, ortogonální a unitární matice.
3. Prostory se skalárním součinem a lineární operátory na nich
   • Skalární součin, ortonormální báze, ortogonální doplněk, kolmá projekce. Ortogonální a unitární operátory, jejich vlastní čísla a  vektory. Samoadjungované operátory a jejich vlastní čísla a vektory. Souvislost se symetrickými bilineárními formami. Příklady těchto operátorů.
4. Vlastní čísla a vektory, Jordanův kanonický tvar
   • Definice, charakteristický polynom, algebraická a geometrická násobnost vlastního čísla, vlastní podprostor. Podobnost matic. Jordanova buňka. Věta o Jordanově charakteristickém tvaru.
5. Bilineární a kvadratické formy
   • Definice, matice bilineární formy. Diagonalizace symetrické bilineární formy. Silvestrova věta o setrvačnosti pro reálné kvadratické formy. Signatura. Pozitivně definitní, negativně definitní a  indefinitní kvadratické formy. Souvislost s hledáním extrémů funkcí více proměnných.
6. Derivace, parciální derivace a diferenciál
   • Definice, geometrický význam, význam pro vyšetřování průběhu funkce a  hledání extrémů. Věta o střední hodnotě, l'Hospitalovo pravidlo pro výpočet limit. Aproximace funkce Taylorovým polynomem, numerické metody řešení nelineárních rovnic. Věta o implicitní funkci.
7. Extrémy reálných funkcí jedné a více proměnných
   • Postačující a nutné podmínky pro existenci extrémů funkcí jedné i více proměnných na otevřené množině. Vázané extrémy.
8. Metrické prostory
   • Metrika, příklady různých metrik. Otevřené, uzavřené množiny, uzávěr množiny, vnitřek množiny. Limita posloupnosti bodů, limita funkce mezi metrickými prostory. Spojitost funkce v bodě. Spojitost funkce na celém prostoru. Omezený, kompaktní a souvislý metrický prostor. Úplný metrický prostor. Banachova věta o kontrakci.
9. Neurčitý integrál a Riemannův integrál v R
   
   • Primitivní funkce, integrace metodou per partes, integrace podle věty o substituci. Definice Riemannova integrálu, výpočet Riemannova integrálu.
10. Obyčejné diferenciální rovnice
    • Obecné a partikulární řešení počáteční úlohy. Metody řešení rovnic 1. řádu: separované proměnné, homogenní, lineární. Lineární rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, variace konstant, speciální pravé strany.
11. Číselné řady a řady funkcí
    • Kriteria konvergence řad s nezápornými členy, absolutně a neabsolutně konvergentní číselné řady, komutativní zákon pro číselné řady. Mocninné řady, poloměr konvergence, Taylorův polynom a Taylorova řada, derivování a integrování mocninných řad, Fourierovy řady.
12. Integrální počet v Rn
    • Fubiniho věta, věta o transformaci integrálu, geometrické aplikace integrálu, křivkový a plošný integrál I. a II. druhu, Greenova věta, Gauss-Ostrogradského věta.
13. Základy pravděpodobnosti
    • Kolmogorova axiomatická definice pravděpodobnosti; podmíněná pravděpodobnost: vzorec pro úplnou pravděpodobnost, Bayesův vzorec; nezávislost.
14. Náhodné veličiny a vektory
    • Definice náhodných veličin a vektorů, diskrétní a absolutně spojité náhodné veličiny, distribuční funkce, pravděpodobnostní funkce, hustota, příklady diskrétních a spojitých rozdělení; číselné charakteristiky náhodných veličin a vektorů: střední hodnota, rozptyl, kvantily, kovariance, korelace; asymptotické vlastnosti náhodných veličin: zákon velkých čísel, centrální limitní věta.
15. Základy statistiky
    
    • Náhodný výběr a statistiky jako odhady parametrických funkcí, jejich vlastnosti: nestrannost a konzistence; konstrukce bodových odhadů: metoda maximální věrohodnosti; intervalové odhady; testy o parametrech normálního rozdělení.
16. Lineární regrese
    • Klasický lineární regresní model, model lineární regrese plné hodnosti, metoda nejmenších čtverců, odhady neznámých parametrů a jejich testování, příklady regresních modelů.
17. Stochastické modely
    • Homogenní markovské řetězce s diskrétním časem, matice přechodu, přechodový diagram. Chapmanovy-Kolmogorovovy rovnice, zákon evoluce, stacionární a limitní rozložení.
18. Testování hypotéz
    
    • Testování hypotéz o parametrech normálního rozložení, t-test, párový t-test, dvouvýběrový t-test, F-test. Analýza rozptylu jednoduchého třídění, princip testování hypotézy o shodě středních hodnot, ověřování předpokladů.
19. Neparametrické metody
    • Pořadové testy o mediánech, Wilcoxonův test, Kruskalův-Wallisův test. Testování nezávislosti v kontingenčních tabulkách.
20. Numerické metody
    • Numerické metody řešení nelineárních rovnic. Metoda prosté iterace, Newtonova metoda, metoda sečen. Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic. Jacobiova metoda, Gaussova--Seidelova metoda.