4.5 Výpočet Riemannova integrálu metodou per partes
Pro integraci metodou per partes používáme příkaz intparts(IntDM..HM),. značí funkci, kterou budeme integrovat. Interval, na kterém počítáme určitý integrál, omezujeme volbou DM..HM. označuje funkci ve vzorci (8), kterou budeme derivovat. Předpokládá se tedy již jistá dovednost při určování primitivních funkcí.

Vzorec (8) pro integraci metodou per partes lze pomocí programu Maple zapsat takto:
> with(student):
> Int(Diff(u(x), x)*v(x),x=a..b)= intparts(Int(Diff(u(x), x)*v(x),x=a..b),v(x));
Poznámka. V této části, kde se budeme věnovat integrování metodou per partes, je nezbytné na začátku každého příkladu načíst knihovnu student. My ji načteme pouze zde příkazem:
> restart:with(student):
a v dalším její načtení neuvádíme.
Příklad:
Metodou per partes vypočtěte , kde .
Řešení:
Při výpočtech bývá vhodné si pro usnadnění zadaný integrál nejprve uložit do nějaké proměnné. Nemusíme potom v každém kroku zadaný integrál neustále vypisovat celý, ale můžeme používat název jemu přiřazené proměnné.
> i1:=Int(exp(a*x)*cos(b*x),x=0..Pi/(2*b));
Nyní použijeme příkaz intparts(Int pro výpočet integrálu metodou per partes. Musíme tedy zvolit funkci, kterou budeme derivovat. V našem případě je výhodné zvolit .
> intparts(i1,cos(b*x));
Musíme opět použít metodu per partes, tentokrát volíme .
> intparts(%,sin(b*x));
Tento příklad patří mezi příklady, jejichž řešení metodou per partes vede na rovnici. S takovými příklady jsme se seznámili v mé bakalářské práci. Postup je tedy následující:
> i1=simplify(%);
> isolate(%,i1);
Stáhnout .mws soubor
Příklad:
Metodou per partes vypočtěte .
Řešení:
Při řešení tohoto příkladu budeme postupovat obdobně jako u příkladu . Použijeme dvakrát metodu per partes a nakonec integrál vyhodnotíme.
> i2:=Int(((ln(x))^2)/sqrt(x),x=1..exp(1));
> intparts(i2,ln(x));
> simplify(%);
> intparts(%,ln(x)-2);
> value(%);
> simplify(%);
Zkontrolujeme výsledek přímým výpočtem zadaného integrálu:
> value(i2);
Stáhnout .mws soubor
Příklad:
Metodou per partes vypočtěte .
Řešení:
Opět použijeme při řešení dvakrát metodu per partes a nakonec provedeme vyhodnocení integrálu.
> i3:=Int(x^2*exp(3*x),x=0..1);
> intparts(i3,x^2);
> intparts(%,x);
> i3=value(%);
Stáhnout .mws soubor
Příklad:
Využitím metody per partes vypočtěte .
Řešení:
Řešení tohoto příkladu je podobné jako u příkladu .
> i4:=Int(x^2*sin(x),x=0..Pi);
> i4a:=intparts(i4,x^2);
> i4b:=intparts(i4a,x);
> value(i4b);
Stáhnout .mws soubor


Následující kapitola