4.4 Konstrukce dolního a horního integrálního součtu
V kapitole 1 jsme v definici 1.2 definovali horní a dolní integrální součet. Nyní se pokusíme využít našich znalostí ke konstrukci dolních a horních integrálních součtů v programu Maple. V Maplu existují příkazy pro aproximaci Riemannova integrálu. Ty jsou obsaženy ve speciální knihovně student. Příkazy pro aproximaci Riemannova integrálu jsou tyto:
příkaz leftbox(), kde je integrand, , je počet podintervalů, na které má být interval rozdělen. Tento příkaz vykreslí obdélníky, které aproximují zadaný integrál. Šířkou obdélníků je délka příslušných podintervalů, výškou je funkční hodnota integrované funkce v levém krajním bodě těchto podintervalů.
u příkazu rightbox() jsou vstupní parametry stejné jako pro příkaz leftbox. Výstupem jsou také obdélníky, které aproximují zadaný integrál, tentokrát je výškou obdélníků funkční hodnota integrandu v pravém krajním bodě podintervalů, na kterých jsou jednotlivé obdélníky vykresleny.
příkazy leftsum() a příkaz rightsum() provedou výpočty součtu obsahů aproximačních obdélníků, vstupní parametry jsou stejné jako u příkazů leftbox a rightbox.

Ukažme si nyní použití těchto dostupných příkazů na příkladu.
Příklad:
Je dána funkce . Pomocí příkazů leftbox, rightbox, leftsum a rightsum z knihovny student aproximujte .
Řešení:
Nejprve načteme knihovnu student a definujeme funkci .
> restart:
> with(student):
> f:=x->x^2+x/5+1;
Nyní aproximujeme integrál pomocí zadaných příkazů:
> leftbox(f,x=5..8,10,font=[TIMES,ROMAN,10]);
> rightbox(f,x=5..8,10,font=[TIMES,ROMAN,10]);
> L:=leftsum(f(x),x=5..8,10);
> R:=rightsum(f(x),x=5..8,10);
Příkazem evalf provedeme vyhodnocení příslušných součtů.
> evalf(L);
> evalf(R);
Stáhnout .mws soubor
Zkusíme udělat to samé pro jinou funkci, která nebude na zadaném intervalu monotonní.
Příklad:
Pomocí příkazů z knihovny student aproximujte .
Řešení:
Budeme postupovat stejně jako v příkladu . Funkci definujeme a aproximujeme pomocí příkazů leftbox a rightbox.
> g:=-2+x/2+3*sin(x);
> leftbox(g,x=0..3,10,font=[TIMES,ROMAN,10]);
> rightbox(g,x=0..3,10,font=[TIMES,ROMAN,10]);
Stáhnout .mws soubor
Nyní můžeme porovnat výsledky. Z příkladu je zřejmé, že pro funkce, které jsou na intervalu, kde aproximujeme, rostoucí, kladné a monotonní, jsou příkazy leftsum a rightsum totožné s termíny dolní a horní integrální součet (viz. definice 1.2). Jinak je tomu u funkcí, které nemají na zadaném intervalu výše zmíněné vlastnosti. Je to zřejmé z příkladu . Při řešení podobných úloh v Maplu tedy není vhodné používání příkazů leftsum, rightsum, leftbox a rightbox. Pro naše účely je vhodnější naprogramovat v Maplu proceduru, která by výpočet dolních a horních integrálních součtů a jejich grafické zobrazení naší terminologii přiblížila. Na internetu je v současné době k dispozici několik takových procedur. Velice vydařená je Bakalářská práce Radka Pavlů, kde nalezneme grafické prezentace mnoha zajímavých partií matematiky, mimo jiné také grafickou prezentaci horního a dolního integrálního součtu. Slouží k tomu procedury s názvem intsouc1 a intsouc2. Ovšem i zde je potřeba upozornit na to (a sám autor na to ve své práci samozřejmě také upozorňuje), že tyto procedury nepracují vždy správně. Při využití těchto procedur je potřeba se omezit jen na intervaly, na kterých je integrovaná funkce neklesající nebo nerostoucí a kladná. Potom je výstupem ve společném grafu průběh zadané funkce, horní součet a dolní součet.

Mnou vytvořené procedury na grafickou prezentaci horních a dolních integrálních součtů mají také jisté omezení. V bodech, kde má zadaná funkce extrém, nepracují zcela korektně podle definice 1.2. Procedury jsou naprogramované pomocí funkcí minima a maxima, což v bodech extrému nefunguje. Proto je potřeba definovat funkce na intervalech, kde jsou tyto funkce monotonní. Procedury, jež jsem vytvořila, jsem uložila do textových souborů s názvy dolcty.txt a horcty.txt. První soubor obsahuje proceduru dolcty vytvořenou pro grafickou prezentaci dolních integrálních součtů a druhý soubor proceduru horcty vytvořenou pro grafickou prezentaci horních integrálních součtů. K dispozici je také soubor s názvem animace.txt s procedurami animatehorcty a animatedolcty na animaci grafických prezentací příslušných integrálních součtů. Vstupními parametry všech těchto procedur je integrand, počáteční bod intervalu, koncový bod intervalu a počet aproximačních obdélníčků. Ke správnému fungování je nezbytné načtení balíku plots. Ukažme si tyto procedury na aproximaci stejného integrálu jako v příkladu .

Nejprve procedury dolcty, horcty načteme a definujeme funkci :
> restart:with(plots):
> read("dolcty.txt");
> read("horcty.txt");
> f:=x->-2+x/2+3*sin(x);
Nyní aproximujeme integrál z funkce na intervalu :
> dolcty(f,0,3,20);
> horcty(f,0,3,20);
Vytvoříme animaci horních součtů (vytvoření animace pro dolní součty se provede analogicky).
> read("animace.txt");
> animatehorcty(f,0,3,20);
Stáhnout .mws soubor


Následující kapitola