3.2 Nevlastní integrál z neomezené funkce
V této části se budeme zabývat funkcemi, jež nejsou na celém integračním oboru omezené.
Definice 3.2. 
Nechť , nechť je funkce definovaná na . Bod se nazývá singulární bod funkce , jestliže není omezená na a pro každé je na integrovatelná.
Definujme funkci pro všechna . Existuje-li vlastní limita , nevlastní integrál se singulárním bodem konverguje a platí
V opačném případě nevlastní integrál diverguje.
Poznámka. Podobně se pro každou funkci definuje nevlastní integrál se singulárním bodem , jeho konvergence i divergence. Tedy .
Příklad:
Vyšetřete nevlastní integrál
Řešení:
Integrand je funkce spojitá na intervalu a v bodě není definovaná. Nejdříve spočteme limitu
Jedná se tedy opravdu o nevlastní integrál z neomezené funkce. Dále vypočteme určitý integrál na intervalu .  
Nakonec vypočteme limitu pro :
Zadaný integrál je (podle definice 3.2) konvergentní.
Příklad:
Vypočtěte integrál .
Řešení:
Funkce je spojitá na intervalu s výjimkou bodu (viz. Obrázek 29). V tomto bodě není funkce definovaná.
Platí:
Bod je tedy singulárním bodem a proto interval v tomto bodě rozdělíme. Dostaneme tak dva nevlastní integrály z neomezené funkce:
Spočteme nejprve první integrál na intervalu .
Nyní vypočteme limitu pro :
Takže integrál diverguje. Ze symetrie je zřejmé, že i druhý integrál má stejný výsledek. Zadaný integrál tedy na intervalu diverguje.
Poznámka. Při řešení podobných integrálů jako v příkladu  studenti někdy nedbají na to, že jde o nevlastní integrál a postupují stejným způsobem jako při řešení určitých integrálů. Potom použijí Newton-Leibnizovu formuli (viz. věta 1.28) a výpočet vypadá následovně:
Což je samozřejmě špatně nejen vzhledem k důsledku 1.19.


Následující kapitola