Nevlastní integrály
V kapitole 1 v definici 1.9 jsme Riemannův určitý integrál definovali za dvou důležitých předpokladů:
1.
interval je omezený,
2.
integrovaná funkce je definovaná a omezená na celém integračním oboru.
Nyní tuto definici integrálu rozšíříme na obecnější případy. Nejprve se zaměříme na případy, kdy není splněn první předpoklad (v podkapitole 3.1), tedy koncové body intervalu mohou být nekonečné (neexistuje dělení intervalu na konečné délky). Následně se budeme věnovat nesplnění druhého předpokladu (v podkapitole 3.2). Takto zobecněné integrály se nazývají nevlastní.
3.1 Nevlastní integrál přes neomezený interval
Definice 3.1. 
Nechť je funkce integrovatelná na každém intervalu , kde . Potom definujme funkci pro všechna .
Existuje-li vlastní limita , říkáme, že nevlastní integrál konverguje a píšeme
Jestliže je limita nevlastní nebo neexistuje, říkáme, že nevlastní integrál diverguje. Píšeme
Poznámka. Nevlastní integrál na intervalu definujeme zcela analogicky. Funkce musí být integrovatelná na každém intervalu , kde . Existuje-li vlastní limita , nevlastní integrál konverguje a platí . V opačném případě nevlastní integrál diverguje.
Poznámka. Jestliže je funkce definovaná na a integrovatelná na každém uzavřeném intervalu, potom nevlastní integrál konverguje, jestliže pro nějaké konvergují nevlastní integrály a a píšeme .
Příklad:
Rozhodněte o konvergenci nevlastních integrálů
a)
, (viz. Obrázek 27),
b)
, (viz. Obrázek 28).


               
Řešení:
Při řešení budeme postupovat podle definice 3.1. Nejdříve si najdeme funkci pro každé a pak spočteme její limitu pro .
a)
Protože
integrál konverguje a je roven .
b)
potom
Integrál tedy diverguje.


Následující kapitola