2.3 Objem rotačních těles
Věta 2.10. 
Nechť je dána spojitá nezáporná funkce na intervalu a nechť je těleso v , které vznikne rotací podgrafu funkce kolem osy . Potom objem tělesa je dán vzorcem
Poznámka. Obdobné vzorce platí, je-li osou rotace osa nebo osa .
Objem tělesa vzniklého rotací křivky zadané parametrickými rovnicemi
Věta 2.11. 
Je-li graf funkce určen parametrickými rovnicemi , platí pro objem tělesa, které vznikne rotací obrazce omezeného osou , přímkami a grafem spojité nezáporné funkce kolem osy , vztah
přitom .
2.3.1 Řešené příklady
Příklad:
Vypočtěte objem rotačního tělesa, jež vznikne rotací obrazce omezeného křivkami a kolem osy .
Řešení:
Nejprve nakreslíme grafy obou funkcí
a určíme průsečíky grafů funkcí. Jejich -ové souřadnice získáme jako řešení rovnice , tj:  
Rovnice má dvě řešení: a . Z Obrázku 20 je vidět, že na intervalu platí . Objem rotačního tělesa proto vyjádříme jako . Dosadíme a upravíme:
Příklad:
Vypočtěte objem rotačního tělesa vytvořeného rotací obrazce ohraničeného křivkami a kolem osy .
Řešení:
Vypočteme průsečíky grafů dvou funkcí: .
Nyní nakreslíme grafy obou funkcí.
Z Obrázku 21 vidíme, že na intervalu je . Určíme objem stejně jako v příkladu , tedy .  
Příklad:
Odvoďte vzorec pro objem komolého rotačního kužele s poloměry podstav a výškou .
Řešení:
Komolý kužel dostaneme rotací lichoběžníku kolem osy . Tento lichoběžník je omezen křivkami , kde je přímka procházející body . Směrnice přímky je . Pro platí . Rovnice přímky je potom . Pro objem potom dostaneme:
Příklad:
Vypočtěte objem rotačního tělesa vytvořeného rotací obrazce ohraničeného křivkou kolem osy .
Řešení:
Nejprve je potřebné udělat si o křivce představu. K tomu nám pomůže její obrázek 22 (vykreslený pro konkrétní hodnoty ).
Z obrázku vidíme, že je křivka souměrná podle osy a protíná osu v bodech , tedy obecně v bodech . V prvním kvadrantu má křivka rovnici . Můžeme tedy objem tělesa vypočítat jako dvojnásobek objemu tělesa vzniklého rotací obrazce ohraničeného osou a grafem funkce kolem osy .  
Příklad:
Vypočítejte objem tělesa, které vznikne rotací množiny ohraničené křivkami kolem osy .
Řešení:
Nakreslíme grafy funkcí a .
Z Obrázku 23 vidíme, že se grafy funkcí protínají na intervalu v jediném bodě. Spočteme tento průsečík.  
Na intervalu je tedy jediným průsečíkem grafů funkcí bod . Výpočet objemu vzniklého tělesa můžeme provést několika způsoby. Vybereme ten nejjednodušší. Nejprve spočteme objem tělesa vzniklého rotací podgrafu funkce kolem osy na intervalu a poté k němu přičteme objem tělesa vzniklého rotací podgrafu funkce kolem osy na intervalu .
Příklad:
Vypočítejte objem tělesa, které vznikne rotací množiny ohraničené křivkami kolem osy .
Řešení:
Na Obrázku 24 vidíme, jak křivky vypadají.
Ze zkušeností z příkladu  můžeme odhadnout, jak objem vzniklého tělesa vypočítat. Můžeme například spočítat objem tělesa, jež vznikne rotací grafu funkce kolem osy na intervalu a od tohoto objemu poté odečíst objem tělesa vzniklého rotací obrazce ohraničeného grafy funkcí a kolem osy na intervalu .  
Nebo můžeme objem spočítat jiným způsobem. Nejprve spočteme objem tělesa, jež vznikne rotací přímky o rovnici kolem osy na intervalu . Poté spočítáme objem tělesa vzniklého rotací obrazce omezeného křivkami na intervalu a hledaný objem dostaneme odečtením druhého objemu od prvního.
Příklad:
Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného křivkami kolem osy .
Řešení:
Zadaná křivka je zřejmě parabola (viz. Obrázek 25).
Nejprve najdeme průsečíky paraboly s osou , tzn. že v rovnici položíme :  
Z obrázku vidíme, že parabola je souměrná podle osy , takže objem tělesa vzniklého její rotací kolem osy na intervalu můžeme spočítat jako dvojnásobek objemu tělesa vzniklého její rotací kolem osy na intervalu .
Příklad:
Vypočtěte objem tělesa vytvořeného otáčením obrazce ohraničeného křivkou okolo osy .
Řešení:
Podíváme se, jak vypadá graf funkce pro pevné hodnoty (viz. Obrázek 26).
Křivka je souměrná podle osy , vzniklé těleso je souměrné podle roviny . Můžeme proto spočítat objem poloviny tělesa dosazením do vzorce (20) takto: Křivka je souměrná podle osy , vzniklé těleso je souměrné podle roviny . Můžeme proto spočítat objem poloviny tělesa dosazením do vzorce (20) takto:
Na vyřešení takového integrálu použijeme speciální substituci.


Následující kapitola