Geometrické aplikace určitého integrálu
Integrální počet má velmi široké využití nejen v geometrii, ale rovněž ve fyzice a fyzikální chemii. My si ukážeme bohaté geometrické využití. Pomocí určitého integrálu lze např. spočítat obsahy rovinných útvarů, objemy a povrchy rotačních těles a délky rovinných křivek.
2.1 Obsah rovinných obrazců
Definice 2.1. 
Nechť . Je-li nezáporná funkce definovaná na intervalu , pak množina se nazývá podgrafem (subgrafem) funkce (viz. Obrázek 7).
Věta 2.2. 
Je-li funkce na intervalu nezáporná a integrovatelná, pak obsah rovinného obrazce, který je podgrafem funkce , je dán vzorcem
Důsledek 2.3. 
Jsou-li a funkce integrovatelné na intervalu a splňující nerovnost pro , pak je zkoumaný rovinný obrazec množinovým rozdílem podgrafu funkce a podgrafu funkce a pro jeho obsah platí
Při řešení úloh se můžeme dostat do situací, kdy integrovaná funkce není na intervalu nezáporná - může nabývat nekladných hodnot (viz. Obrázek 9). Pro příslušný integrál potom platí . V takových případech počítáme obsah daného útvaru jako absolutní hodnotu příslušného určitého integrálu. Obsah tedy vypočteme podle vzorce
Samozřejmě existují také funkce, které nabývají na intervalu jak kladných, tak záporných hodnot (viz. Obrázek 10). V tomto případě si rozdělíme interval na jednotlivé intervaly, ve kterých funkce nabývá nezáporných, resp. nekladných hodnot, a příslušné integrály spočteme již podle známých vzorců (10), (11) a (12).


                    
Poznámka. Pokud pro některá platí , zapíšeme: , kde zvolíme tak, aby pro . Posunutím obrazce se daný obsah nezměnil:

Obsah rovinného obrazce vymezeného křivkou zadanou parametrickými rovnicemi
Věta 2.4. 
Je-li graf funkce určen parametrickými rovnicemi , kde funkce je spojitá a nezáporná na intervalu , funkce má na intervalu derivaci různou od nuly, a je integrovatelná na intervalu , platí pro obsah obrazce ohraničeného grafem funkce na intervalu vzorec
Obsah rovinného obrazce vymezeného křivkou zadanou rovnicí v polárních souřadnicích
Věta 2.5. 
Je-li obrazec ohraničen obloukem křivky, jejíž vyjádření je dáno v polárních souřadnicích rovnicí , kde je spojitá funkce na intervalu , a dvěma polopřímkami , platí pro jeho obsah vzorec
2.1.1 Řešené příklady
Příklad:
Vypočtěte obsah podgrafu funkce na intervalu .
Řešení:
Pro  je (viz. Obrázek 11).
Pro obsah daného útvaru platí
Příklad:
Odvoďte vzorec pro obsah kruhu o poloměru .
Řešení:
Kruh je souměrný podle osy i podle osy , můžeme tedy spočítat obsah části kruhu omezené osou , osou a grafem funkce (viz. Obrázek 12), kde je poloměr kruhu. Výsledný obsah celého kruhu potom dostaneme jako jeho čtyřnásobek.  

Poznámka. Výpočet obsahu složitějších obrazců provádíme tak, že daný obrazec nejprve rozdělíme na několik částí, jejichž obsahy už lze počítat podle předchozích pravidel.
Příklad:
Vypočtěte obsah rovinného obrazce, který je omezen křivkami .
Řešení:
Podíváme se, jaký obrazec nám křivky na intervalu vytvoří.
Z Obrázku 13 je vidět, že se křivky protínají na ose v bodě . Ověříme výpočtem:
Křivky se protínají ve dvou bodech, nás zajímá bod (bod leží mimo interval ), spočteme jeho funkční hodnotu například dosazením do vzorce . Potom . Ověřili jsme si, že se křivky v tomto bodě protínají a obsah vypočteme jako součet obsahu podgrafu funkce na intervalu a podgrafu funkce na intervalu .  
Příklad:
Vypočtěte plošný obsah obrazce ohraničeného parabolou a jejími tečnami s body dotyku .
Řešení:
Nejprve najdeme rovnice tečen jako rovnice přímek určených bodem dotyku a směrnicí. Směrnice tečny dané paraboly v bodě je
Směrnice tečny dané paraboly v bodě dotyku je a směrnice tečny paraboly v bodě dotyku je . Rovnice tečny ke grafu funkce v bodě dotyku je . K zadané parabole dostáváme rovnice tečen:
K vyřešení úlohy nám pomůže nakreslení paraboly a jejich tečen (viz. Obrázek 14).
Z obrázku vidíme, že výpočet obsahu bude složitější. Zřejmě budeme muset najít průsečík tečen a potom spočítat obsahy jednotlivých částí obrazce, jež nám vymezí tečny a parabola.
Průsečík tečen je tedy bod . Obsah spočteme jako součet obsahů , kde je obsah obrazce, který je vymezen parabolou a tečnou na intervalu , a je obsah obrazce vymezeného parabolou a tečnou na intervalu :  
Výsledný obsah je:
Příklad:
Vypočtěte obsah cykloidy, jež je zadána parametrickými rovnicemi pro .
Řešení:
Uděláme si o křivce představu (viz. Obrázek 15).
Abychom mohli spočítat obsah, musíme nejprve určit derivaci . Nyní dosadíme do vzorce (13) a obsah spočítáme:  
Příklad:
Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkou .
Řešení:
Podíváme se na graf křivky (viz. Obrázek 16).
Vidíme, že je křivka souměrná podle osy , spočítáme tedy její obsah jako dvojnásobek obsahu pro . Nejprve musíme spočítat derivaci :
Nyní již můžeme dosadit do vzorce (13):  
Zvlášť vyřešíme poslední integrál, použijeme k tomu substituci :
Budeme pokračovat ve výpočtu obsahu:
Příklad:
Vypočtěte obsah rovinného obrazce omezeného Bernoulliho lemniskatou.
Řešení:
V polárních souřadnicích má lemniskata rovnici . To, jak křivka vypadá pro , můžeme vidět na Obrázku 17.
Stačí nám proto obsah spočítat pro z intervalu a výsledek vynásobíme .  


Následující kapitola