1.5 Vlastnosti integrovatelných funkcí
Věta 1.18. 
Nechť je funkce integrovatelná na intervalu pro každé . Potom platí
Důsledek 1.19. 
Nechť je funkce integrovatelná na intervalu . Je-li pro každé , potom
Věta 1.20 (O porovnání dvou funkcí a jejich integrálů). 

Jsou-li funkce a na intervalu integrovatelné a nerovnost platí pro každé (s případnou výjimkou konečného počtu bodů či množiny bodů , jež má míru – viz. Lebesgueova věta 1.17), pak .
Důsledek 1.21. 
Jsou-li funkce a na intervalu integrovatelné a přitom rovnost neplatí pouze pro konečný počet hodnot (pouze pro  tvořící množinu míry nula), pak .
Poznámka. Hodnota určitého integrálu se nezmění, změníme-li hodnoty funkce pouze v konečně mnoha bodech.
Věta 1.22 (O střední hodnotě integrálního počtu). 

Nechť je funkce integrovatelná na intervalu a nechť pro všechna platí , kde jsou konstanty. Potom existuje číslo takové, že a platí
Je-li funkce dokonce spojitá, lze za zvolit vhodnou funkční hodnotu, tj. existuje takové, že
Číslo se nazývá střední hodnota funkce na intervalu .
Věta 1.23 (O integrovatelnosti absolutních hodnot funkce). 

Je-li funkce na intervalu integrovatelná, pak je také integrovatelná funkce , a platí .
Věta 1.24 (O integrálu přes sjednocení intervalů). 

Je-li a funkce je integrovatelná na každém z intervalů a , pak je funkce integrovatelná na  a platí
Věta 1.25 (O zúžení intervalu integrace). 

Je-li funkce integrovatelná na intervalu , pak je integrovatelná na každém intervalu , kde .
Věta 1.26 (O aritmetických operacích s integrovatelnými funkcemi). 

Jsou-li funkce a na intervalu integrovatelné, pak jsou integrovatelné i funkce a . Za předpokladu, že existuje takové , že pro každé , je rovněž funkce integrovatelná. Přitom platí
a
Poznámka. Pro určitý integrál ze součinu a podílu dvou funkcí neexistuje žádný jednoduchý vztah, jak tyto integrály obecně vyjádřit. Existují ale jisté metody (per partes a substituce), kterými lze výpočet integrálů zjednodušit (viz. paragrafy 1.5.2 a 1.5.3).
Věta 1.27. 
Nechť je funkce riemannovsky integrovatelná na intervalu . Je-li funkce sudá, potom
Je-li funkce lichá, potom
Poznámka. Integrál jsme v definici 1.9 konstruovali pro případ, že ( je dolní mez, je horní mez). Pro utvoříme integrální součty takto: , kde . V tomto případě je a tento nový integrální součet má opačné znaménko než definovaný integrální součet pro interval . Definujeme proto
Položme ještě
1.5.1 Souvislost mezi určitým a neurčitým integrálem
Věta 1.28 (Newton-Leibnizův vzorec). 

Nechť funkce je na intervalu integrovatelná. Nechť funkce je na intervalu spojitá a na intervalu je primitivní k funkci , tj. pro . Potom platí vzorec
Poznámka. Místo používáme často symbol .
1.5.2 Integrační metoda per partes pro určité integrály
Věta 1.29. 
Nechť jsou funkce spojité na intervalu , nechť mají derivace v každém bodě a tyto funkce jsou na  integrovatelné. Potom
Poznámka. Při výpočtu volíme funkce tak, aby integrál na pravé straně byl pro výpočet jednodušší než původní integrál.
Příklad:
Metodou per partes vypočtěte hodnotu určitého integrálu .
Řešení:
V tomto případě položíme a počítáme podle vzorce (8).
Příklad:
Metodou per partes vypočtěte hodnotu určitého integrálu .
Řešení:
Položíme a dále počítáme podle vzorce (8).  
V některých případech se může stát, že řešení určitého integrálu metodou per partes vede na rovnici (viz. příklad na rovnici). Ukážeme si, jak řešení takového příkladu vypadá.
Příklad:
Metodou per partes vypočtěte určitý integrál .
Řešení:
 
1.5.3 Substituční metoda pro určité integrály
Věta 1.30. 
Nechť je funkce na intervalu , spojitá. Nechť má funkce derivaci v každém bodě intervalu . Nechť je funkce na intervalu integrovatelná. Nechť platí pro . Potom platí
Poznámka. Postup při integraci substitucí je stejný jako u neurčitého integrálu. Nesmíme pouze zapomenout provést substituci v mezích. Substituci je možno opět aplikovat dvojím způsobem (viz. substituce).
Příklad:
Substituční metodou vypočtěte hodnotu určitého integrálu .
Řešení:
Protože , použijeme substituci . Nové meze (dolní) a (horní) dostaneme dosazením původních mezí do rovnice .  
Příklad:
Substituční metodou vypočtěte hodnotu určitého integrálu .
Řešení:
Nejprve integrand upravíme, abychom mohli použít vzorec pro integraci primitivní funkce . Protože , vynásobíme integrand :
Nyní vypočteme primitivní funkci užitím substituce:
A vrátíme se zpět:
Poznámka. V příkladu  jsme přepočítali meze hned při použití substituce. V příkladu  jsme nejprve s použitím substituce našli primitivní funkci (pojem primitivní funkce) a vrátili se ze substituce zpět. Při řešení konkrétních příkladů volíme tu možnost, která je početně výhodnější.
V následujícím příkladu si dokážeme platnost tvrzení pro sudou funkci a platnost tvrzení pro lichou funkci z věty 1.27. Budeme k tomu potřebovat znalosti substituční metody (viz. paragraf 1.5.3) a dále využijeme platnost tvrzení (5). Zároveň využijeme toho, že hodnota integrálu nezávisí na integrační proměnné. Použijeme-li tedy v tomtéž vzorci jinou proměnnou, integrál zůstane stejný.
Příklad:
Dokažte platnost tvrzení z věty 1.27.
Řešení:
Podle věty 1.24 platí
V integrálu položme , potom . Meze přepočteme dosazením původních mezí za do rovnice , takže dostáváme nové integrační meze . Tedy
Je-li funkce sudá, tak . Potom
Je-li funkce lichá, platí . Potom tedy


Následující kapitola