1.3 Konstrukce dolního a horního integrálu
Definice 1.7. 
Dolním integrálem z omezené funkce přes interval nazýváme hodnotu
Horním integrálem z omezené funkce přes interval nazýváme hodnotu
Lemma 1.8. 
Nechť je funkce omezená na . Nechť . Potom platí
Definice 1.9. 
Jestliže platí
řekneme, že omezená funkce je na intervalu integrovatelná, tj. že má určitý integrál. Společnou hodnotu nazveme Riemannovým integrálem z funkce přes interval a označíme
Funkce se nazývá riemannovsky integrovatelná. Číslo nazýváme dolní mez, číslo horní mez, interval integrační obor a funkci integrand. Horní a dolní mez nazýváme souhrnně integrační meze.
Příklad:
Je dána konstantní funkce . Určete .
Řešení:
Zřejmě platí pro pro každé dělení . Potom je podle lemma 1.8
z čehož plyne
Příklad:
Je dána Dirichletova funkce
Zjistěte, zda je Dirichletova funkce integrovatelná na intervalu .
Řešení:
Buď libovolné dělení intervalu , potom pro každé . A tedy a . Odtud , jelikož . A tedy není integrovatelná na žádném intervalu .
Lemma 1.10 (O přiblížení dolních resp. horních součtů k dolnímu resp. hornímu integrálu). 
Je-li omezená funkce, pak pro každé existuje takové, že pro každé dělení intervalu platí implikace:
Závěr lemma lze zapsat stručně takto:
1.3.1 Výběr reprezentantů dělicích intervalů
Definice 1.11. 
Nechť je libovolné dělení intervalu . Pro všechna vybereme na každém intervalu zcela libovolně jisté číslo , tedy . Toto číslo nazveme reprezentantem dělicího intervalu . Soustavu čísel nazveme výběrem reprezentantů dělicích intervalů dělení a tuto -prvkovou množinu označíme . Číslo značíme a nazýváme integrální součet funkce při dělení a výběru reprezentantů .
Lemma 1.12. 
Pro omezenou funkci na intervalu a pro každé dělení intervalu a každý výběr reprezentantů při dělení platí .
Věta 1.13 (O přiblížení integrálních součtů k integrálu z integrovatelné funkce). 

Je-li integrovatelná funkce, pak pro takové, že pro každé dělení intervalu a pro libovolný výběr reprezentantů platí implikace:
Stručně můžeme zapsat:


Následující kapitola