Riemannův určitý integrál
1.1 Geometrická motivace
K pojmu určitého integrálu vede celá řada geometrických a fyzikálních úloh. Budeme se věnovat jedné z nejstarších, která bývá někdy nazývána základní úlohou integrálního počtu. Nechť je dána spojitá a nezáporná funkce pro . Graf této funkce společně s přímkami a osou ohraničuje rovinný obrazec (viz. Obrázek 1).
Naším úkolem nyní bude najít obsah tohoto obrazce. Otázkou je, co o obsahu rovinných obrazců dosud víme? Zřejmě jde o nezáporné číslo. Ale jak budeme při hledání tohoto čísla postupovat? Rozdělíme obrazec rovnoběžkami s osou . Tím vytvoříme v obrazci jisté pásky (viz. Obrázek 2), které jsou ze tří stran ohraničené úsečkami a ze čtvrté strany jsou ohraničené grafem funkce .
Tyto obsahy spočteme přibližně tak, že si v každém pásu zvolíme bod na ose , vypočteme jeho funkční hodnotu a v této výšce pak každý pás zarovnáme rovnoběžkou s osou na obdélník. Tím dostáváme obdélníky, pomocí nichž již můžeme obsah podgrafu vypočítat. I když s jistou chybou. Někde obdélník pásek přesahuje (viz. Obrázek 3), jinde ho zcela nepokrývá (viz. Obrázek 4).


              
Můžeme předpokládat, že čím více pásků uděláme a čím budou užší, tím menší chyby se dopustíme. Provedeme-li limitní přechod, tj. budeme-li neomezeně zvětšovat počet pásků a zároveň je zužovat, měla by se přibližná hodnota daná součtem ploch všech obdélníků čím dál více přibližovat k obsahu daného obrazce (viz. Obrázek 5 a Obrázek 6).


Následující kapitola