Zpět

Požadavky k SZZ – specializace Finanční a pojistná matematika

Státní závěrečná zkouška sestává z obhajoby bakalářské práce a z ústní zkoušky.

Charakteristika závěrečné práce a její obhajoba

Zpracováním bakalářské práce student prokazuje orientaci v  problematice dané tématem práce a schopnost odborné práce pod vedením vedoucího. U obhajoby bakalářské práce se hodnotí porozumění tématu a  úroveň prezentace.

Charakteristika ústní zkoušky

Účelem zkoušky je prověřit, že absolvent je schopen vést debatu na  odborné úrovni. Jejím smyslem je prokázat všeobecný přehled o základních pojmech a výsledcích z  jednotlivých specializací a širších souvislostech mezi nimi. Absolvent programu Matematika v rámci specializace Finanční a pojistná matematika bude schopen

• reprodukovat hlavníı výsledky základních matematických a ekonomických disciplín,
• aplikovat obecné matematické postupy v konkrétních praktických problémech, řešených zejména ve finančních institucích jako jsou banky, pojišt’ovny nebo nebankovní úvěrové společnosti,
• řešit složité praktické problémy v systémech jako je SAS, Matlab nebo Maple, interpretovat znalosti ze specializované odborné literatury nabyté samostudiem, vytvořit souvislý odborný text,
• formulovat ideje formálním matematickým jazykem.

Technická realizace

U ústní zkoušky student obdrží tři otázky, dvě z okruhu A  společných oblastí znalostí programu Matematika a jednu ze  znalostí své specializace, které jsou uvedeny v okruhu B.

Vymezení rozsahu otázek k ústní zkoušce

A. Společný okruh – základy matematiky

1. Základní algebraické struktury.
   Grupa, okruh, obor integrity, těleso. Homomorfismy a jejich jádra, podstruktury. Dělitelnost v komutativním okruhu, ireducibilita, okruh s jednoznačným rozkladem. Základy elementární teorie čísel. Okruhy polynomů.
2. Lineární algebra a analytická geometrie.
   Matice a operace s maticemi, soustavy lineárních rovnic. Vektorové prostory, podprostory, báze, lineární zobrazení, lineární a kvadratické formy. Prostory se skalárním součinem. Afinní a euklidovská geometrie.
3. Spektrální teorie v prostorech konečné dimenze.
   Vlastní čísla a vlastní vektory. Podobnost matic, Jordanův kanonický tvar. Samoadjungované a unitární operátory. Singulární rozklad matice, pseudoinverzní matice. Aplikace na řešení soustav lineárních rovnic.
4. Základy diskrétní matematiky.
   Výroková logika. Základy teorie množin (množiny, zobrazení, relace). Elementární kombinatorika (variace, kombinace, princip inkluze a exkluze). Základy teorie grafů.
5. Diferenciální počet.
   Elementární funkce, limity a spojitost, derivace a její geometrický význam, vyšetřování průběhu funkce, lokální a globální extrémy, věty o střední hodnotě, l'Hospi\-talovo pravidlo, parciální a směrové derivace, diferenciál funkcí a zobrazení, Taylorův polynom, implicitní a inverzní funkce, vázané extrémy.
6. Integrální počet.
   Primitivní funkce, metody integrace, konstrukce Riemannova integrálu a jeho vlastnosti, nevlastní integrál, věta o transformaci integrálu, základní příklady transformací, integrály závislé na parametru, křivkový a plošný integrál prvního a druhého druhu, geometrické a fyzikální aplikace určitého integrálu.
7. Míra a integrál.
   Definice a konstrukce míry, borelovské a lebesgueovsky měřitelné množiny, měřitelné funkce, abstraktní a Lebesgueův integrál, Lebesgueovy věty o limitním přechodu, vzájemný vztah Riemannova a Lebesgueova integrálu, věta o substituci, Fubiniova věta, beta a gama funkce.
8. Nekonečné řady a metrické prostory.
   Kritéria konvergence číselných řad, absolutní a neabsolutní konvergence, Riemannova věta o přerovnání. Posloupnosti a řady funkcí, stejnoměrná konvergence, derivování a integrování posloupností a řad funkcí, mocninné řady, poloměr konvergence, Taylorova řada. Metrický prostor, konvergence, otevřené a uzavřené množiny, spojitá a lipschitzovská zobrazení, úplné a kompaktní prostory, prostor spojitých funkcí, prostory $L^p$, Banachova věta o pevném bodu a její aplikace.
9. Základy numerické matematiky.
   Iterativní numerické řešení rovnic (řešení nelineární rovnice, systémů lineárních a nelineárních rovnic), základy numerické optimalizace (metoda nejmenších čtverců, metoda zlatého řezu, metoda půlení intervalu apod.).
10. Základy teorie pravděpodobnosti.
    Kolmogorova axiomatická definice pravděpodobnosti, podmíněná pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Náhodné veličiny a vektory, jejich číselné charakteristiky. Distribuční funkce, pravděpodobnostní funkce, hustota. Příklady diskrétních a spojitých rozdělení. Zákon velkých čísel a centrální limitní věta.
11. Základy statistiky.
    Náhodný výběr a statistiky, nestrannost a konzistence. Testování hypotéz, příklady jednovýběrových a dvouvýběrových testů, základy teorie odhadu.
12. Základy finanční a pojistné matematiky.
    Jednoduché úročení a diskontování, složené a spojité úročení a diskontování, investice, současná a budoucí hodnota, vnitřní míra výnosnosti, doba návratnosti, spoření, důchody, úvěry, dluhopisy, durace a konvexita.

B. Okruh specializace Finanční a pojistná matematika

1. Finanční matematika.
   Diskrétní modely oceňování derivátů, cenné papíry a jejich výplata, risk neutrální pravděpodobnostní míra, obecný jednokrokový model, portfolio a arbitráž, základní věta arbitrážní teorie, úplnost a neúplnost trhu, věta o úplnosti trhu.
2. Teorie portfolia.
   Výnos a riziko portfolia, Markowitzův model, modely rovnováhy na kapitálových trzích, přímka kapitálového trhu, tržní portfolio, model oceňování kapitálových aktiv CAPM.
3. Životní pojištění.
   Úmrtnostní tabulky, výpočet jednorázového netto pojistného, výpočet běžného netto pojistného, všeobecná rovnice ekvivalence, brutto pojistné, technické rezervy, Zillmerova rezerva, pojistně matematické výpočty založené na rezervě.
4. Neživotní pojištění.
   Tarifní skupiny a základní ukazatele, technické rezervy a výpočet rezervy na pojistná plnění, bonus-malus systém, individuální model rizika, kolektivní model rizika, teorie kredibility.
5. Lineární statistické modely.
   Lineární regresní model, odhady parametrů a jejich vlastnosti, testování hypotéz, konfidenční a predikční intervaly, výběr a  diagnostika modelu, multikolinearita a model s neúplnou hodností.
6. Data mining.
   Příprava dat pro data mining, organizace dat, průzkumová analýza, analýza hlavních komponent, deskriptivní modelování (analýza nákupního košíku, shluková analýza), prediktivní modelování (lineární regrese, logistická regrese a ROC křivky).