Zpět

Požadavky k SZZ – specializace Modelování a výpočty

Státní závěrečná zkouška sestává z obhajoby bakalářské práce a z ústní zkoušky.

Charakteristika závěrečné práce a její obhajoba

Zpracováním bakalářské práce student prokazuje orientaci v  problematice dané tématem práce a schopnost odborné práce pod vedením vedoucího. U obhajoby bakalářské práce se hodnotí porozumění tématu a  úroveň prezentace.

Charakteristika ústní zkoušky

Účelem zkoušky je prověřit, že absolvent je schopen vést debatu na  odborné úrovni. Absolvent získá solidní matematické základy a základní znalosti z oblastí numerických metod, diferenciálních a diferenčních rovnic, statistiky, deterministického i stochastického modelování, nelineární dynamiky a jejich počítačové implementace včetně dobré představy o aplikacích, a bude schopen

• efektivně používat standardní modely používané v mnoha vědních oborech (ekonomie, populační biologie, ekologie, biochemie, medicína, neurověda, epidemiologie, fyzika atd.),
• lépe se orientovat ve zvolené oblasti exaktních a společenských věd,
• analyzovat daný problém a navrhnout pro něj matematický model a odpovídající výpočetní postup,
• dobře se orientovat v oblasti informačních technologií (programování, databáze, sítě),
• přesně formulovat postup řešení problému a spolupracovat na algoritmizaci a počíıtačové implementaci, za účelem jeho studia, simulace nebo predikce. Získané výsledky umí správně interpretovat.

Technická realizace

U ústní zkoušky student obdrží tři otázky, dvě z okruhu A  společných oblastí znalostí programu Matematika a jednu ze  znalostí své specializace, které jsou uvedeny v okruhu B.

Vymezení rozsahu otázek k ústní zkoušce

A. Společný okruh – základy matematiky

1. Základní algebraické struktury.
   Grupa, okruh, obor integrity, těleso. Homomorfismy a jejich jádra, podstruktury. Dělitelnost v komutativním okruhu, ireducibilita, okruh s  jednoznačným rozkladem. Základy elementární teorie čísel. Okruhy polynomů.
2. Lineární algebra a analytická geometrie.
   Matice a operace s maticemi, soustavy lineárních rovnic. Vektorové prostory, podprostory, báze, lineární zobrazení, lineární a kvadratické formy. Prostory se skalárním součinem. Afinní a euklidovská geometrie.
3. Spektrální teorie v prostorech konečné dimenze.
   Vlastní čísla a vlastní vektory. Podobnost matic, Jordanův kanonický tvar. Samoadjungované a unitární operátory. Singulární rozklad matice, pseudoinverzní matice. Aplikace na řešení soustav lineárních rovnic.
4. Základy diskrétní matematiky.
   Výroková logika. Základy teorie množin (množiny, zobrazení, relace). Elementární kombinatorika (variace, kombinace, princip inkluze a exkluze). Základy teorie grafů.
5. Diferenciální počet.
   Elementární funkce, limity a  spojitost, derivace a její geometrický význam, vyšetřování průběhu funkce, lokální a globální extrémy, věty o střední hodnotě, l'Hospi\-talovo pravidlo, parciální a směrové derivace, diferenciál funkcí a zobrazení, Taylorův polynom, implicitní a inverzní funkce, vázané extrémy.
6. Integrální počet.
   Primitivní funkce, metody integrace, konstrukce Riemannova integrálu a jeho vlastnosti, nevlastní integrál, věta o transformaci integrálu, základní příklady transformací, integrály závislé na parametru, křivkový a plošný integrál prvního a  druhého druhu, geometrické a fyzikální aplikace určitého integrálu.
7. Míra a integrál.
   Definice a konstrukce míry, borelovské a  lebesgueovsky měřitelné množiny, měřitelné funkce, abstraktní a  Lebesgueův integrál, Lebesgueovy věty o limitním přechodu, vzájemný vztah Riemannova a Lebesgueova integrálu, věta o substituci, Fubiniova věta, beta a gama funkce.
8. Nekonečné řady a metrické prostory.
   Kritéria konvergence číselných řad, absolutní a neabsolutní konvergence, Riemannova věta o  přerovnání. Posloupnosti a řady funkcí, stejnoměrná konvergence, derivování a integrování posloupností a řad funkcí, mocninné řady, poloměr konvergence, Taylorova řada. Metrický prostor, konvergence, otevřené a uzavřené množiny, spojitá a lipschitzovská zobrazení, úplné a  kompaktní prostory, prostor spojitých funkcí, prostory $L^p$, Banachova věta o pevném bodu a její aplikace.
9. Základy numerické matematiky.
   Iterativní numerické řešení rovnic (řešení nelineární rovnice, systémů lineárních a  nelineárních rovnic), základy numerické optimalizace (metoda nejmenších čtverců, metoda zlatého řezu, metoda půlení intervalu apod.).
10. Základy teorie pravděpodobnosti.
    Kolmogorova axiomatická definice pravděpodobnosti, podmíněná pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Náhodné veličiny a vektory, jejich číselné charakteristiky. Distribuční funkce, pravděpodobnostní funkce, hustota. Příklady diskrétních a  spojitých rozdělení. Zákon velkých čísel a  centrální limitní věta.
11. Základy statistiky.
    Náhodný výběr a statistiky, nestrannost a konzistence. Testování hypotéz, příklady jednovýběrových a  dvouvýběrových testů, základy teorie odhadu.
12. Základy finanční a pojistné matematiky.
    Jednoduché úročení a diskontování, složené a spojité úročení a diskontování, investice, současná a budoucí hodnota, vnitřní míra výnosnosti, doba návratnosti, spoření, důchody, úvěry, dluhopisy, durace a konvexita.

B. Okruh specializace Modelování a výpočty

1. Spojité deterministické modely.
   Základy teorie obyčejných diferenciálních rovnic a systémů (především autonomních) a jejich aplikace, standardní spojité modely reálných procesů z různých vědních oblastí, předpoklady, konstrukce modelu, základy kvalitativní analýzy.
2. Diskrétní deterministické modely.
   Základy teorie diferenčních rovnic a systémů (především autonomních) a jejich aplikace, standardní diskrétní modely reálných procesů z různých vědních oblastí, předpoklady, konstrukce modelu, základy kvalitativní analýzy s důrazem na souvislosti mezi diskrétním a spojitým modelováním, jejich odlišnosti.
3. Výpočetní matematické systémy.
   Základní znalosti o výpočetní matematice (binární zápis čísla, floating point number system), základní typy matematického softwaru a jejich odlišnosti, příklady praktických úloh využívajících lineární algebru a jejich algoritmizace (populační modely, markovské řetězce, soustavy rovnic a nerovnic, metoda nejmenších čtverců, geometrie a grafika), souvislosti s důležitými pojmy lineární algebry.
4. Lineární statistické modely.
   Lineární regresní model, odhady parametrů a jejich vlastnosti, testování hypotéz, konfidenční a predikční intervaly, výběr a diagnostika modelu, multikolinearita a model s neúplnou hodností.
5. Numerické interpolační metody.
   Lagrangeův a Newtonův interpolační polynom, chyba polynomiální interpolace, iterovaná interpolace, Hermiteův interpolační polynom, kubické interpolační splajny.
6. Numerické metody diferenciálního a integrálního počtu.
   Numerické derivování (formule založené na derivaci interpolačního polynomu a rozvoji do Taylorovy řady), numerické integrování (kvadraturní formule, stupeň přesnosti a chyba, Gaussovy kvadraturní formule, Newtonovy-Cotesovy kvadraturní formule, složené kvadraturní formule).