Zpět

Požadavky k SZZ – specializace Obecná matematika

Státní závěrečná zkouška sestává z obhajoby bakalářské práce a z ústní zkoušky.

Charakteristika závěrečné práce a její obhajoba

Zpracováním bakalářské práce student prokazuje orientaci v  problematice dané tématem práce a schopnost odborné práce pod vedením vedoucího. U obhajoby bakalářské práce se hodnotí porozumění tématu a  úroveň prezentace.

Charakteristika ústní zkoušky

Účelem zkoušky je prověřit, že absolvent je schopen vést debatu na  odborné úrovni. Jejím smyslem je prokázat všeobecný přehled o základních pojmech a výsledcích z jednotlivých specializací a širších souvislostech mezi nimi.
Absolvent programu Matematika v rámci specializace Obecná matematika bude schopen

• vysvětlit zásadní výsledky základních matematických oborů: matematické analýzy, statistiky, algebry a geometrie,
• prezentovat přehled o aplikacích matematiky a statistiky v jiných vědních oborech.

Technická realizace

U ústní zkoušky student obdrží tři otázky, dvě z okruhu A  společných oblastí znalostí programu Matematika a jednu ze  znalostí své specializace, které jsou uvedeny v okruhu B.

Vymezení rozsahu otázek k ústní zkoušce

A. Společný okruh – základy matematiky

1. Základní algebraické struktury.
   Grupa, okruh, obor integrity, těleso. Homomorfismy a jejich jádra, podstruktury. Dělitelnost v komutativním okruhu, ireducibilita, okruh s  jednoznačným rozkladem. Základy elementární teorie čísel. Okruhy polynomů.
2. Lineární algebra a analytická geometrie.
   Matice a operace s maticemi, soustavy lineárních rovnic. Vektorové prostory, podprostory, báze, lineární zobrazení, lineární a kvadratické formy. Prostory se skalárním součinem. Afinní a euklidovská geometrie.
3. Spektrální teorie v prostorech konečné dimenze.
   Vlastní čísla a vlastní vektory. Podobnost matic, Jordanův kanonický tvar. Samoadjungované a unitární operátory. Singulární rozklad matice, pseudoinverzní matice. Aplikace na řešení soustav lineárních rovnic.
4. Základy diskrétní matematiky.
   Výroková logika. Základy teorie množin (množiny, zobrazení, relace). Elementární kombinatorika (variace, kombinace, princip inkluze a exkluze). Základy teorie grafů.
5. Diferenciální počet.
   Elementární funkce, limity a  spojitost, derivace a její geometrický význam, vyšetřování průběhu funkce, lokální a globální extrémy, věty o střední hodnotě, l'Hospi\-talovo pravidlo, parciální a směrové derivace, diferenciál funkcí a zobrazení, Taylorův polynom, implicitní a inverzní funkce, vázané extrémy.
6. Integrální počet.
   Primitivní funkce, metody integrace, konstrukce Riemannova integrálu a jeho vlastnosti, nevlastní integrál, věta o transformaci integrálu, základní příklady transformací, integrály závislé na parametru, křivkový a plošný integrál prvního a  druhého druhu, geometrické a fyzikální aplikace určitého integrálu.
7. Míra a integrál.
   Definice a konstrukce míry, borelovské a  lebesgueovsky měřitelné množiny, měřitelné funkce, abstraktní a  Lebesgueův integrál, Lebesgueovy věty o limitním přechodu, vzájemný vztah Riemannova a Lebesgueova integrálu, věta o substituci, Fubiniova věta, beta a gama funkce.
8. Nekonečné řady a metrické prostory.
   Kritéria konvergence číselných řad, absolutní a neabsolutní konvergence, Riemannova věta o  přerovnání. Posloupnosti a řady funkcí, stejnoměrná konvergence, derivování a integrování posloupností a řad funkcí, mocninné řady, poloměr konvergence, Taylorova řada. Metrický prostor, konvergence, otevřené a uzavřené množiny, spojitá a lipschitzovská zobrazení, úplné a  kompaktní prostory, prostor spojitých funkcí, prostory $L^p$, Banachova věta o pevném bodu a její aplikace.
9. Základy numerické matematiky.
   Iterativní numerické řešení rovnic (řešení nelineární rovnice, systémů lineárních a  nelineárních rovnic), základy numerické optimalizace (metoda nejmenších čtverců, metoda zlatého řezu, metoda půlení intervalu apod.).
10. Základy teorie pravděpodobnosti.
    Kolmogorova axiomatická definice pravděpodobnosti, podmíněná pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Náhodné veličiny a vektory, jejich číselné charakteristiky. Distribuční funkce, pravděpodobnostní funkce, hustota. Příklady diskrétních a  spojitých rozdělení. Zákon velkých čísel a  centrální limitní věta.
11. Základy statistiky.
    Náhodný výběr a statistiky, nestrannost a konzistence. Testování hypotéz, příklady jednovýběrových a  dvouvýběrových testů, základy teorie odhadu.
12. Základy finanční a pojistné matematiky.
    Jednoduché úročení a diskontování, složené a spojité úročení a diskontování, investice, současná a budoucí hodnota, vnitřní míra výnosnosti, doba návratnosti, spoření, důchody, úvěry, dluhopisy, durace a konvexita.

B. Okruh specializace Obecná matematika

1. Algebra.
   Svazy (úplné, modulární, distributivní), Booleovy algebry. Normální podgrupy a faktorizace grup. Ideály a faktorizace okruhů. Maximální ideály a prvoideály. Rozšíření těles a jeho stupeň. Konečná tělesa. Základy univerzální algebry.
2. Lineární algebra a geometrie.
   Systémy lineárních nerovnic, Farkasovo lemma, věta o dualitě v lineárním programování. Rozklad polyedrů, Minkowského věta. Geometrické odvození simplexové metody. Tenzorový součin vektorových prostorů, jeho vlastnosti, báze tenzorového součinu, souřadnice tenzorů. Symetrické a antisymetrické tenzory, objemové formy. Smithův normální tvar celočíselných a polynomiálních matic.
3. Topologie.
   Topologické prostory, spojitá zobrazení. Oddělitelnost (Hausdorffovy, regulární, úplně regulární a normální prostory). Souvislost, lokální souvislost. Kompaktnost, lokální kompaktnost, kompaktifikace.
4. Lineární funkcionální analýza.
   Rozdíly mezi konečnou a nekonečnou dimenzí, Fourierovy řady v Hilbertových prostorech, Hahnova-Banachova věta a její důsledky, duální prostory, reflexivita, Banachova-Steinhausova věta a její aplikace, kompaktní a prekompaktní množiny.
5. Obyčejné diferenciální rovnice.
   Metody řešení rovnic 1. řádu a lineárních rovnic a systémů, existence a jednoznačnost řešení, rovnice vyšších řádů, globální vlastnosti řešení, závislost řešení na počátečních podmínkách a parametrech, stabilita lineárních a perturbovaných lineárních systémů.
   
6. Komplexní analýza.
   Cauchyovy-Riemannovy podmínky, komplexní diferencovatelnost, holomorfní funkce, Cauchyovy integrální vzorce, nezávislost integrálů na integrační cestě, reziduová věta, Liouvilleova věta, Cauchyova nerovnost, Morerova věta, Laurentovy řady.
7. Diferenciální geometrie křivek a ploch.
   Afinní a projektivní prostory. Kuželosečky a kvadriky a jejich klasifikace. Parametrické vyjádření a rovnice křivek a ploch. Styk křivek a styk křivky s plochou. Oblouk křivky, Frenetův trojhran, křivost a torse prostorové křivky. První a druhá základní forma plochy, střední a Gaussova křivost.