4.8 Nevlastní integrály
Také nevlastní integrály, které jsme definovali v kapitole 3, lze počítat pomocí programu Maple.
Poznámka. Na začátku každého příkladu předpokládáme zadání těchto příkazů:
> restart:with(student):
4.8.1 Nevlastní integrál přes neomezený interval
Příklad:
Vyšetřete nevlastní integrál .
Řešení:
Zadaný nevlastní integrál uložíme do proměnné .
> I1:=Int(1/(x^2+2*x),x=3..infinity);
> plot(1/(x^2+2*x),x=3..infinity,numpoints=1550, font=[TIMES,ROMAN,10]);
Najdeme funkci horní meze a spočteme pro ni limitu:
> F1(c):=Int(1/(x^2+2*x),x=3..c);
Příslušný integrál spočteme rozkladem na parciální zlomky. Podrobný návod lze nalézt v mé bakalářské práci.
> convert(integrand(F1(c)),parfrac,x);
> F(c):=int(%,x=3..c);
> Limit(F(c),c=infinity);
> value(%);
Integrál tedy konverguje a jeho hodnota je rovna:
> I1=%;
Stáhnout .mws soubor
Příklad:
Vyšetřete nevlastní integrál .
Řešení:
Zadaný nevlastní integrál uložíme do proměnné .
> I2:=Int(1/(x^2+1)^2,x=-infinity..infinity);
> plot(1/(x^2+1)^2,x=-infinity..infinity,numpoints=250, font=[TIMES,ROMAN,10],scaling=constrained);
Jelikož je integrand spojitý pro , postačí vložit pouze 1 pomocný bod, například :
> I2=Int(1/(x^2+1)^2,x=-infinity..0)+Int(1/(x^2+1)^2,x=0..infinity);
> assume(c>0):
> F2(c):=int(1/(x^2+1)^2,x=0..c);
> I2a:=limit(F2(c),c=infinity);
> assume(c,real):
> F1(c):=int(1/(x^2+1)^2,x=c..0);
> I2b:=limit(F1(c),c=-infinity);
Zadaný integrál tedy konverguje a je roven:
> I2=I2a+I2b;
Stáhnout .mws soubor
4.8.2 Nevlastní integrál z neomezené funkce
Příklad:
Vyšetřete nevlastní integrál .
Řešení:
Zadaný integrál uložíme do proměnné .
> I3:=Int(1/(sqrt(x-1)),x=1..10);
> plot(1/(sqrt(x-1)),x=1..10,y=0..10, font=[TIMES,ROMAN,10],numpoints=550,scaling=constrained);
Integrand je funkce spojitá na intervalu , v bodě není definovaná. Limita je rovna:
> Limit(1/(sqrt(x-1)),x=1,right);
> value(%);
Jedná se tedy o nevlastní integrál z neomezené funkce. Spočteme proto nejdříve určitý integrál na intervalu .
> Int(1/(sqrt(x-1)),x=c..10);
> value(%);
> F:=unapply(%,c):
A nakonec vypočteme limitu pro .
> Limit(F(c),c=1,right):%=value(%);
Zadaný integrál tedy konverguje a jeho hodnota je rovna .
Stáhnout .mws soubor