> F:=(x,y)->log(1+x^4+y^4)/sqrt(x^2+y^2);

F := λ x y ln 1 + x 4 + y 4 x 2 + y 2

> Diff(F(x,y),x,x):%=value(%);

2 x 2 ln 1 + x 4 + y 4 x 2 + y 2 = 12 x 2 1 + x 4 + y 4 x 2 + y 2 - 16 x 6 1 + x 4 + y 4 2 x 2 + y 2 - 8 x 4 1 + x 4 + y 4 x 2 + y 2 3 2 + 3 ln 1 + x 4 + y 4 x 2 x 2 + y 2 5 2 - ln 1 + x 4 + y 4 x 2 + y 2 3 2

> Diff(F(x,y),x,y):%=value(%);

2 x y ln 1 + x 4 + y 4 x 2 + y 2 = - 16 x 3 y 3 1 + x 4 + y 4 2 x 2 + y 2 - 4 x 3 y 1 + x 4 + y 4 x 2 + y 2 3 2 - 4 y 3 x 1 + x 4 + y 4 x 2 + y 2 3 2 + 3 ln 1 + x 4 + y 4 x y x 2 + y 2 5 2

> Diff(F(x,y),y,x):%=value(%);

2 x y ln 1 + x 4 + y 4 x 2 + y 2 = - 16 x 3 y 3 1 + x 4 + y 4 2 x 2 + y 2 - 4 x 3 y 1 + x 4 + y 4 x 2 + y 2 3 2 - 4 y 3 x 1 + x 4 + y 4 x 2 + y 2 3 2 + 3 ln 1 + x 4 + y 4 x y x 2 + y 2 5 2

> Diff(F(x,y),y,y):%=value(%);

2 y 2 ln 1 + x 4 + y 4 x 2 + y 2 = 12 y 2 1 + x 4 + y 4 x 2 + y 2 - 16 y 6 1 + x 4 + y 4 2 x 2 + y 2 - 8 y 4 1 + x 4 + y 4 x 2 + y 2 3 2 + 3 ln 1 + x 4 + y 4 y 2 x 2 + y 2 5 2 - ln 1 + x 4 + y 4 x 2 + y 2 3 2

2)

> alias(y=y(x)):

> G:=sqrt(x)+sqrt(y)=1;

G := x + y = 1

> c:=diff(G,x);

c := 1 2 x + 1 2 x y y = 0

> d:=solve(c, diff(y,x));

d := - y x

> a:=diff(G,x$2);

a := - 1 4 x 3 2 - 1 4 x y 2 y 3 2 + 1 2 2 x 2 y y = 0

> b:=solve(a, diff(y,x$2));

b := - 1 2 - y 3 2 - x y 2 x 3 2 x 3 2 y

> subs(diff(y,x)=d,b);

- 1 2 - y 3 2 - y x x 3 2 y

> restart;

3)

> a:int(sqrt(exp(x)-1),x);

2 x - 1 - 2 arctan x - 1

> normal(diff(%,x));

x - 1

> VypocetIntegralu := proc (vyraz) local r, h, cesky, preklad, simple, vypis;
cesky := false; vypis := false; if nargs = 2 and args[2] = czech then cesky :=

true end if; r := Int(vyraz,x); print(r = ``);  while h <> [] do h := Student

:-Calculus1:-Hint(r); if 1 < nops({h}) then h := op(1,{h}) end if; preklad :=

h; if h <> [] then vypis := true; r := Student:-Calculus1:-Rule[h](r); if

cesky then if h[1] = rewrite then preklad[1] := `upravíme výraz` end if; if h[

1] = sum then preklad[1] := `rozepíšeme součet` end if; if h[1] = constant

then preklad[1] := `integrujeme konstantu` end if; if h[1] = constantmultiple

then preklad[1] := `vytkneme konstantu`; vypis := false end if; if h[1] =

partialfractions then preklad[1] := `rozložíme na parciální zlomky` end if; if

h[1] = change then preklad := [`zavedeme substituci`, h[2]] end if; if h[1] =

power or h[1] = sin or h[1] = cos or h[1] = exp then preklad[1] :=

`integrujeme výraz` end if; if h[1] = revert then preklad[1] :=

`dosadíme zpět` end if; if h[1] = parts then preklad := [

`užijeme metodu per partes`, u = h[2], v = h[3]] end if; if h[1] = solve then

preklad[1] := `integrál spočítáme algebraicky` end if end if; if vypis then

print(preklad); print(`` = rhs(r)) end if end if end do; if vypis then simple

:= simplify(rhs(r)); if simple <> rhs(r) then print([`upravíme výraz`]); print

(`` = simple) end if end if end proc:

> VypocetIntegralu(sqrt(exp(x)-1),czech);

x - 1 x =

zavedeme substituci u = x

= u - 1 u u

zavedeme substituci u - 1 = u1 2

= 2 - 2 1 + u1 2 u1

rozepíaeme sou et

= 2 u1 + - 2 1 + u1 2 u1

integrujeme konstantu

= 2 u1 + - 2 1 + u1 2 u1

zavedeme substituci u1 = tan u2

= 2 u1 - 2 1 u2

integrujeme konstantu

= 2 u1 - 2 u2

[`dosadíme zpt`]

= 2 u1 - 2 arctan u1

[`dosadíme zpt`]

= 2 u - 1 - 2 arctan u - 1

[`dosadíme zpt`]

= 2 x - 1 - 2 arctan x - 1

4)

> int(1/sqrt(1-x^2),x=0..1);

1 2 π

5)

> sum((k^2+k-1)/(k+2)!,k=1..infinity);

1 2

6)

> limit(log(x)/exp(x),x=infinity);

0

7)

> B:=taylor(sin(x), x=0,6);

B := x - 1 6 x 3 + 1 120 x 5 + O x 6

> F:=convert(B, 'polynom');

> f:=unapply(F,x);

f := λ x x - 1 6 x 3 + 1 120 x 5

> with(plots):

> plot([sin(x),f(x)], x=-Pi..Pi);

[Plot]

>