REPREZENTACE LIEOVÝCH ALGEBER A LIEOVÝCH GRUP

Jan Slovák seminář 1994/1995 zapsáno s pomocí účastníků seminářů

Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii 0. Prolog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Část I.

Příklady Lieových grup a algeber . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1. Lieova grupa GL(n, 𝕂) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Lieovy podgrupy v GL(n, 𝕂) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3. Reprezentace algebry 𝔰l(2, ℂ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Část II.

Základní algebraické vlastnosti Lieových algeber . . . . . . . . . . . 17 4. Řešitelné a nilpotentní algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5. Cartanova-Killingova forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6. Rozložitelnost reprezentací polojednoduchých algeber . . . . . . . . . 25 7. Cartanovy podalgebry, váhy a kořeny . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Část III.

Polojednoduché algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 8. Kokořeny a Weylova grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 9. Jednoduché kořeny a fundamentální váhy . . . . . . . . . . . . . . 36 10. Klasifikce komplexních polojednoduchých algeber . . . . . . . . . . 51 11. Reálné formy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 12. Reprezentace polojednoduchých Lieových grup . . . . . . . . . . . 59 Dodatky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 13. Dodatek

Hladké variety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 14. Dodatek

Multilineární algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Masarykova universita Brno

Typeset by AMS-TEX

Úvod

Tento text je výsledkem společné práce účastníků semináře Martina Panáka, Michala Fikery, Ondry Kameníka, Michala Kunce, Ondry Klímy, Davida Krumla a Josefa Pojsla, kteří zachytili do písemné formy obsah mých seminářů. S ročním zpožděním jsem se snažil přidat alespoň ve stručnosti věci, které se (hlavně díky čtyřem odpadnutým pondělkům) nepodařilo v původním semináři přednést. Hlavně zásluhou pana Pojsla vznikl i z těchto dodatků celkem podrobný zápis. Záměrem je poskytnout zájemcům základní přehled teorie konečněrozměrných reprezentací Lieových algeber (a grup), strukturní teorie Lieových algeber (a grup) a naznačit některé možné aplikace. Předpokládá se pouze základní zběžná znalost lineární algebry a reálné analýzy více proměnných, zato se ale počítá se samostatným aktivním přístupem. Řada tvrzení je pouze odkazována, často je místo podrobného důkazu podáván spíše návod, jak jej provést. Často je čtenář vyzván k doplnění důkazů poznámkou ”cvičení” na okraji textu. Patrně text svojí náročností přesahuje standard běžných učebních textů. Přehled definic a základních vlastností týkajících se diferencovatelných variet a multilineární algebry je připojen v dodatcích.

Při přípravě seminářů jsem čerpal zejména z těchto zdrojů:

[FH] Fulton, W; Harris, Joe, Representation Theory, Springer-Verlag, GTM 129, 1991, pp. 551.

[HN] Hilgert; Neeb, K.H., Lie Grupen, Teubner, 1992?, pp. 350?.

[Ki] Kirillov, A.A., Introduction to the Theory of Representations and Noncommutative Harmonic Analysis, Překlad z ruštiny (to appear).

[KMS] Kolář, I.; Michor, P.W.; Slovák, J., Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag, 1993, pp. 434.

[Sa] Samelson, Hans, Notes on Lie Algebras, 2nd edition, Springer-Verlag, Universitext, 1990, pp. 162.

[Zh] Zhelobenko, D. P., Compact Lie groups and their representation, in russian,

Nauka, Moscow, 1970, pp. 664. Přeposlední kniha bude asi využívána nejvíce. Je v ní přehledný a stručný výklad

strukturní teorie Lieových algeber a jejích reprezentací, založený na přednáškách autora. [HN] je více zaměřena na Lieovy grupy a je psána s ”německou důkladností”. Kniha [FH] je velmi pěkným úvodem do reprezentací grup, jedná se téměř o soubor konkrétních příkladů, lze tam tedy najít mnoho detailních informací o jednotlivých Lieových grupách a jejich reprezentacích. Budeme ji také velice často využívat. [Ki] je spíše širokým přehledem dostupných výsledků. Je to typický ”ruský přístup”, kde se hovoří více o výsledcích než o jejich důkazech. Přesněji, hovoří se o výsledcích a většina důkazů je rozepsána do cvičení, které ale vesměs považuji za obtížné. [Zh] je podrobnou učebnicí, výklad je ale více veden z hlediska reprezentací Lieových grup. Konečně, poslední z citovaných zdrojů, [KMS], není vůbec zaměřen na Lieovy grupy či algebry, obsahuje ale dobře čitelný úvod do Lieových grup z hlediska diferenciální geometrie (a aplikace v diferenciální geometrii). Uvádím jej mimo jiné proto, že je mi důvěrně znám (a proto jej rád využívám). Většinu používaných tvrzení z lineární algebry lze najít v mých učebních textech dostupných v naší síti.

Červenec 1996 Jan Slovák

0. Prolog

V této části textu se budeme snažit naznačit důležité skutečnosti a konstrukce, na kterých je celá teorie Lieových grup a Lieových algeber založena. Hlavním smyslem je předvést čtenáři fascinující souvislosti zcela nelineárních objektů (Lieových grup a jejich homomorfismů) a odpovídající zcela lineární teorie (Lieovy algebry a jejich homomorfismy). Zde nebudeme hlavní tvrzení (formulované jako ”principy”) dokazovat, dostaneme se k tomu teprve mnohem později. Poskytnou nám ale potřebnou motivaci pro studium zmíněné lineární teorie.

0.1. Reprezentace grup. Je-li G nějaká grupa, V jistá matematická struktura a AutV grupa všech automorfismů V → V, pak reprezentací λ grupy G na V rozumíme grupový homomorfismus λ: G → AutV. Nás bude zajímat výhradně případ, kdy V je vektorový prostor, tj. AutV je grupa všech lineárních isomorfismů prostoru V. Této grupě říkáme obecná lineární grupa, značíme GL(V), ve speciálním případě vektorového prostoru 𝕂^{n} píšeme GL(n, 𝕂), případně jen GL(n), pokud je pole skalárů zřejmé z kontextu nebo nepodstatné. V celém dalším výkladu bude 𝕂 značit buď pole reálných čísel ℝ nebo pole komplexních čísel ℂ.

0.2. Definice. Lieova grupa G je grupa jejíž nosná množina je vybavena strukturou hladké variety a operace grupového násobení μ: G × G → G i operace vzetí inverze jsou hladká zobrazení.

První princip. Jsou-li G a H Lieovy grupy a G je souvislá, pak každý homomorfismus φ: G → H je jednoznačně určen tečným zobrazení T_{e}φ: T_{e}G → T_{e}H k φ v jednotce grupy G.

Aby byl tento princip prakticky užitečný, musíme jej doplnit o informaci, jak rozpoznat ta lineární zobrazení T_{e}G → T_{e}H, která skutečně odpovídají homomorfismům Lieových grup G a H. Navíc bychom také potřebovali hlubší souvislosti vlastností těchto homomorfismů. Odvodíme nyní právě tyto souvislosti.

0.3. Reprezentace Ad. Označme ℓ_{g}: G → G násobení zleva v G prvkem g ∈ G, podobně ℓ_{h}: H → H, a r_{g} bude analogicky označovat násobení zprava. Přímo z definice homomorfismů plyne, že φ: G → H je homomorfismus právě když φ ∘ ℓ_{g} = ℓ_{φ(g)} ∘ φ, ekvivalentně φ ∘ r_{g} = r_{φ(g)} ∘ φ. Tyto vztahy nám zatím nepomohou, protože T ℓ_{g}: T_{e}G → T_{g}G. Můžeme ale použít zobrazení

Conj_{g}: G → G, h ↦ g.h.g^{−1}.

Zobrazení Conj je grupový homomorfismus G → AutG. Z předchozího dostaneme

T_{e}φ ∘ T_{e}(Conj_{g}) = T_{e}(φ ∘ Conj_{g}) = T_{e}(Conj_{φ(g)} ∘φ) = T_{e}(Conj_{φ(g)}) ∘ T_{e}φ

Protože tečná zobrazení zachovávají součiny je zobrazení g ↦ T_{e} Conj_{g} grupový homomorfismus G → GL(T_{e}G). Budeme jej značit Ad, jeho hodnoty pak Ad(g) nebo zkráceně Ad_{g}.

Z předchozího vyplývá, že pro homomorfismus Lieových grup φ: G → H je T_{e}φ ∘ Ad_{g} = Ad_{φ(g)} ∘T_{e}φ. Ani tento vztah nás nemůže úplně uspokojit, protože se v něm ještě stále objevuje zcela explicitně původní homomorfismus φ.

0.4. Reprezentace ad. Zobrazení Ad: G → GL(T_{e}G) můžeme chápat jako zobrazení (které momentálně značíme stejným symbolem) Ad: G×T_{e}G → T_{e}G. Předchozí komutační relace pro Ad můžeme pak přehledně zobrazit v diagramu a na všechna zobrazení aplikujeme tečný funktor T. Přitom je třeba si uvědomit, že tečné zobrazení k libovolnému lineárnímu zobrazení je v každém bodě vždy znovu původní zobrazení.

G × T_{e}G  w φ × T_{e}φ uAd  H × T_{e}H u Ad  T_{e}G × T_{e}G  w T_{e}φ × T_{e}φ uT_{e} Ad  T_{e}H × T_{e}H u T_{e} Ad

T_{e}G  w T_{e}φ  T_{e}H  T_{e}G  w T_{e}φ  T_{e}H

Definujeme ad := T_{e} Ad : T_{e}G → T_{Id}(GL(T_{e}G)) ≃ Hom(T_{e}G, T_{e}G). Lineární zobrazení ad lze také chápat jako bilineární zobrazení âd: T_{e}G × T_{e}G → T_{e}G, zavedeme si pro něj označení

âd(X, Y) = ad(X)(Y) =: [X, Y].

V pravém diagramu je ve sloupcích právě toto zobrazení. Jeho komutativnost nyní lze zapsat jako T_{e}φ([X, Y]) = [T_{e}φ(X), T_{e}φ(Y)], kde nalevo se jedná o operaci v T_{e}G, napravo v T_{e}H.

Záhy uvidíme, že zobrazení ad je infinitesimální verzí násobení v G, zejména zachycuje ”jak moc je grupa G nekomutativní”.

0.5. Definice. Homomorfismus φ: ℝ → G Lieových grup, kde ℝ chápeme jako aditivní grupu, se nazývá jednoparametrická podgrupa v G.

Podrobněji, jednoparametrická podgrupa v G je homomorfismus splňující

φ(t + s) = φ(t).φ(s), φ(0) = e.

Tečný vektor \frac{∂}{∂t} |_{0} φ je vždy prvkem v T_{e}G. Ve skutečnosti, jsou to právě všechny prvky v T_{e}G, což je klíčem k předváděným základním principům.

0.6. Věta. Nechť G je libovolná souvislá Lieova grupa. Pak G je komutativní právě tehdy když ad je identicky nulové zobrazení.

Důkaz. Je-li G komutativní, pak Conj je konstantní zobrazení g ↦ Id_{G}. Je tedy i Ad konstantní zobrazení g ↦ Id_{GL(T_{e}G)} a proto ad = 0. Opačnou implikaci nebudeme nyní dokazovat.

0.7. Věta. Nechť G je libovolná Lieova Grupa. Zobrazení ad splňuje (1) je antisymetrické, tj. [X, Y] = −[Y, X] pro všechny X, Y ∈ T_{e}G.

(2) [X, [Y, Z]] = [[X, Y], Z] + [Y, [X, Z]] pro všechny X, Y, Z ∈ T_{e}G.

Důkaz. Přímo z definice plyne, že pro X ∈ T_{e}G, které je tečným vektorem k jednoparametrické podgrupě platí [X, X] = 0. Protože tak lze získat všechny X ∈ T_{e}G plyne již odtud antisymetrie. Identitu (2) nebudeme nyní dokazovat. _{cvičení!}

Identitě (2) se říká Jacobiho identita. Říká nám vlastně, že ad je derivace na algebře T_{e}G.

0.8. Definice. Vektorový prostor V spolu s bilineární operací [ , ]: V × V → V splňující (1) a (2) z předchozí věty se nazývá Lieova algebra. Zobrazení [ , ] říkáme Lieova závorka na V. Pro každou Lieovu Grupu G bude 𝔤 značit její Lieovu algebru T_{e}G s Lieovou závorkou ad.

Homomorfismy Lieových algeber V, W jsou lineární zobrazení f: V → W splňující f([X, Y]) = [f(X), f(Y)].

Druhý princip. Nechť G a H jsou Lieovy grupy, G souvislá a jednoduše souvislá, 𝔤 a 𝔥 nechť jsou jejich Lieovy algebry. Lineární zobrazení φ′: 𝔤 → 𝔥 je tečným zobrazením k nějakému homomorfismu φ: G → H právě tehdy, když je φ′ homomorfismem Lieových algeber 𝔤, 𝔥.

0.9. Příklad. Algebra všech čtvercových matic řádu n nad 𝕂 s operací

[X, Y] = XY − Y X

je Lieova algebra. Jak uvidíme hned v první kapitole, jde o Lieovu algebru grupy ^{cvičení!} GL(n, 𝕂), budeme ji značit 𝔤𝔩(n, 𝕂). Pro libovolný konečněrozměrný vektorový prostor V dostáváme analogicky Lieovu algebru 𝔤𝔩(V) všech endorfismů V, kde Lieova závorka je komutátor lineárních zobrazení.

0.10. Definice. Reprezentace Lieovy algebry 𝔤 na vektorovém prostoru V je libovolný homomorfismus φ: 𝔤 → 𝔤𝔩(V) Lieových algeber, tj. lineární zobrazení splňující φ([X, Y]) = φ(X) ∘ φ(Y) − φ(Y) ∘ φ(X).

Jako důsledek druhého principu dostáváme možnost studovat reprezentace Lieových grup prostřednictvím representací Lieových algeber.

Ověřte si jako cvičení, že samo zobrazení ad chápané jako X ↦ ad_{X} ∈ 𝔤𝔩(𝔤) je _{cvičení!} reprezentací Lieovy algebry 𝔤 v automorfismech 𝔤𝔩(𝔤). (Přepsání Jacobiho identity.)

Část I. Příklady Lieových grup a algeber

Zaměříme se nyní na tzv. maticové grupy a algebry, tj. takové, které tvoří podgrupy grupě GL(n, 𝕂) všech invertibilních matic nad 𝕂 řádu n (s operací násobení matic), resp. Lieovy podalgebry v Lieově algebře všech čtvercových matic řádu n se závorkou danou komutátorem. V této situaci budeme moci podrobněji vysvětlit základní principy uvedené v předchozí části. Zároveň si na konkrétních příkladech připravíme motivaci pro další postup. Pole 𝕂 bude pro nás vždy ℝ nebo ℂ, výrazy GL(n) a 𝔤𝔩(n) označují buď reálné nebo komplexní maticové grupy a algebry v dimenzi n a jsou použity v případech, kdy tvrzení platí pro obě možnosti.

1. Lieova grupa GL(n, 𝕂)

1.1. Representace Ad. Máme Conj_{A} X = A.X.A^{−1}. Musíme spočíst tečné zobrazení T_{E}(Conj_{A}). Vezměme tedy křivku t ↦ X(t), ℝ → GL(n) a počítejme \frac{∂}{∂t} |_{0} (A.X(t).A^{−1}). Jde vlastně o matici (reálných nebo komplexních) funkcí jedné reálné proměnné a musíme derivovat každý prvek výsledné matice. Jednotlivé funkce jsou ale lineární výrazy v prvcích matice X(t) a platí X(0) = E. Proto

\frac{∂}{∂t} |_{0} (A.X(t).A^{−1}) = A.( \frac{∂}{∂t} |_{0} X(t)).A^{−1}

a je-li Y = \frac{∂}{∂t} |_{0} X(t), pak Ad_{A} Y = A.Y.A^{−1}. Je tedy reprezentace Ad opět dána konjugováním, na rozdíl od Conj ale na celé algebře matic 𝔤𝔩(n, 𝕂).

1.2. Reprezentace ad. Z definice je pro matice X = \frac{∂}{∂t} |_{0} A(t), Y ∈ 𝔤𝔩(n, 𝕂), ad(X)(Y) = \frac{∂}{∂t} |_{0} (Ad(A(t))(Y)) = \frac{∂}{∂t} |_{0} (t ↦ A(t).Y.A(t)^{−1}). Výpočet se opírá o dvě snadná tvrzení z diferenciálního počtu.

Lemma. Pro libovolné křivky v GL(n) a Y ∈ 𝔤𝔩(n) platí (1) \frac{∂}{∂t} |_{0} (A(t).Y.B(t)) = ( \frac{∂}{∂t} |_{0} A(t)).Y.B(0) + A(0).Y.( \frac{∂}{∂t} |_{0} B(t))

(2) Je-li A(0) = E, pak \frac{∂}{∂t} |_{0} (A(t)^{−1}) = − \frac{∂}{∂t} |_{0} A(t).

Důkaz. První tvrzení plyne z vlastností derivování bilineárních funkcí a věty o derivování složených funkcí. Druhé tvrzení je okamžitým důsledkem prvého a vztahu ^{cvičení!} A(t).A(t)^{−1} = E.

Věta. Pro libovolné matice X, Y v 𝔤𝔩(n, 𝕂) platí [X, Y] = X.Y − Y.X. Zejména je ad antisymetrické a splňuje Jacobiho identitu.

Důkaz. Podle předchozích pomocných tvrzení je

\frac{∂}{∂t} |_{0} (Ad(A(t))(Y)) = ( \frac{∂}{∂t} |_{0} A(t)).Y.E − E.Y.( \frac{∂}{∂t} |_{0} A(t))

1. LIEOVA GRUPA GL(n, 𝕂) 5

a zbylé vlastnosti nyní plynou přímo z tohoto vztahu. ^{cvičení!} 1.3. Exponenciální zobrazení. Pro libovolnou matici X ∈ 𝔤𝔩(n) definujeme

(1)  exp(X) = E + X + \frac{X^{2}}{2!} + \frac{X^{3}}{3!} + ⋯ = ∑_{k=0}^{∞} \frac{X^{k}}{k!}

Lemma. exp je dobře definované zobrazení 𝔤𝔩(n, 𝕂) → 𝔤𝔩(n, 𝕂). Nekonečná řada

(1) je absolutně konvergentní pro každé X ∈ 𝔤𝔩(n, 𝕂).

Důkaz. V definičním vztahu (1) jde vlastně o matici nekonečných řad. Máme tedy ověřit vlastnosti jednotlivých prvků výsledné matice. Nechť C je maximum absolutních hodnot prvků v X. Pak absolutní hodnota libovolného prvku v X^{k} je shora omezena výrazem n^{k−1}C^{k} a proto je každá ze zmíněných řad majorizována ^{cvičení!} řadou pro e^{n.C}. □

1.4. Lemma. Nechť X, Y ∈ 𝔤𝔩(n), A ∈ GL(n).

(1) Je-li X.Y = Y.X (tj. [X, Y] = 0), pak (expX).(expY) = exp(X + Y).

(2) Platí exp: 𝔤𝔩(n) → GL(n) a (expX)^{−1} = exp−X.

(3) A.(expX).A^{−1} = exp(A.X.A^{−1}), tj. Conj_{A} ∘ exp = exp∘ Ad_{A}.

(4) Pro každé X ∈ 𝔤𝔩(n) je zobrazení φ: ℝ → GL(n) definované t ↦ exp(tX) jednoparametrická podgrupa v GL(n) a \frac{∂}{∂t} |_{0} φ = X.

(5) Tečné zobrazení k exp v 0 ∈ 𝔤𝔩(n) je identické zobrazení, tj. T_{0} exp = Id_{T_{E}GL(n)} : 𝔤𝔩(n) → 𝔤𝔩(n).

Důkaz. (1) Je-li X.Y = Y.X, pak

exp(X + Y) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(X+Y)^{k}}{k!} = ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=0}^{k} \frac{\binom{k}{l}X^{l}Y^{k−l}}{k!}
= ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=0}^{k} \frac{X^{l}}{l!} \frac{Y^{k−l}}{(k−l)!} = expX expY.

Při výpočtu jsme samozřejmě využili absolutní konvergenci všech uvažovaných řad. Tím je dokázána rovnost (1).

(2) Protože X a −X spolu vždy komutují, dostáváme

expX. exp(−X) = exp(X − X) = E.

(3) Vždy platí (A.X.A^{−1})^{k} = A.X^{k}.A^{−1}. Vztah tedy plyne přímo z definice exp.

Vlastnost (4) je přímým důsledkem (1). _{cvičení!} (5) Pro důkaz posledního tvrzení zvolme libovolné

X = \frac{∂}{∂t} |_{0} (t.X) ∈ T_{0}𝔤𝔩(n) = 𝔤𝔩(n).

Protože řada exptX konverguje absolutně a stejnoměrně, platí

T_{0} exp(X) = \frac{∂}{∂t} |_{0} (exptX) = \frac{∂}{∂t} |_{0} (∑_{k=0}^{∞} \frac{t^{k}X^{k}}{k!})
= \frac{∂}{∂t} |_{0} (tX) + \frac{1}{2} \frac{∂}{∂t} |_{0} (tX)^{2}) + \frac{1}{6} \frac{∂}{∂t} |_{0} ((tX)^{3}) + …
= \frac{∂}{∂t} |_{0} tX = X. □

Za zdůraznění stojí, že jsme mimo jiné ukázali, že každá matice X v 𝔤𝔩(n) je tečným vektorem k jednoparametrické podgrupě.

1.5. Lemma.

(1) Pro každé X ∈ 𝔤𝔩(n) je det(expX) = e^{Tr X}, kde TrX je stopa matice X.

(2) Ad(expX)Y = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}(adX)^{k}Y = e^{ad X}Y = = Y + [X, Y] + \frac{1}{2!} [X, [X, Y]] + \frac{1}{3!} [X, [X, [X, Y]]] + …

Důkaz. (1) Stopa i determinant matice se nezmění, jestliže zaměníme matici X maticí ekvivalentní. Počítejme proto přímo v ℂ pro matici X v Jordanově tvaru, tj. X = diag(λ_{1}, …, λ_{n}) + Y_{0}, kde Y_{0} je ostře horní trojúhelníková matice. Pak X^{k} = diag(λ_{1}^{k}, …, λ_{n}^{k}) + Y_{k}, kde Y_{k} je opět ostře horní trojúhelníková matice a tedy expX = diag(e^{λ_{1}}, …, e^{λ_{n}}) + Y, kde Y je znovu ostře horní trojúhelníková. Celkem det(expX) = e^{λ_{1} +···+λ_{n}}

(2) Plyne bezprostředně předchozích úvah, zejména pak z Lemmatu 1.4.(4). □ _{cvičení!}

1.6. Věta.

(1) Zobrazení exp: 𝔤𝔩(n, 𝕂) → GL(n, 𝕂) není injektivní ani surjektivní

(2) Existuje okolí U ⊂ 𝔤𝔩(n, 𝕂) vektoru 0 takové, že exp|_{U} je difeomorfismus na obraz.

Důkaz. (1) Vždy platí det(expX) > 0, tedy zobrazení není na. Dále uvažme nad

ℂ matici X = ( \begin{matrix}2ωik & 0 \\ 0 & 2ωik′ \end{matrix} ), k, k′ ∈ ℤ, pro kterou je expX = E, tedy zobrazení

není ani injektivní. Najděte reálný protipříklad! ^{cvičení!} (2) Plyne z věty o inverzní funkci. □ _{cvičení!}

1.7. Definice. Zobrazení inverzní k exp (definované na jistém okolí E ∈ GL(n, 𝕂)) značíme A ↦ logA. Hovoříme o logaritmu matice A.

Úvahami o řadách získáme podobně jako v analýze reálné proměnné

logA = ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k+1} \frac{1}{k} (A − E)^{k}

zejména o konvergenci se přesvědčíme majorizací geometrickou řadou.

Pro řadu podmnožin je logaritmus definován globálně. Uveďme několik příkladů:

1.8. Lemma.

(1) n_{p} := {X ∈ 𝔤𝔩(n) | X^{p} = 0}, N_{p} := {A ∈ GL(n, K) | A = E + X , X ∈ n_{p}} exp : n_{p} → N_{p} je difeomorfismus

(2) Sym := {symetrické matice v 𝔤𝔩(n)} exp : Sym → {pozitivně def. sym. matice} je spojitá bijekce

(3) Herm := {hermiteovské matice} exp : Herm → {pozitivně def. hermiteovské matice} je bijekce

Důkaz. (1) Vzhledem k Větě 1.6. stačí ukázat, že exp : n_{p} → N_{p} je injektivní a surjektivní. Nejprve prověřme, že zobrazení vede tam, kam má:

(expX − E)^{p} = (∑_{k=1}^{p−1} \frac{X^{k}}{k!})^{p} = pol(X) = 0, neb pol(X) je polynom obsahující pouze p-té či vyšší mocniny X. Zároveň si všimněme, že funkce log je definována na celém N_{p}, protože v definiční sumě log se pro prvky z N_{p} vyskytuje pouze konečně mnoho sčítanců. Vcelku snadno se lze též přesvědčit, že tam, kde jsou definována, jsou zobrazení log a exp navzájem inverzní. Je tedy exp : n_{p} → N_{p} difeomorfismus. _{cvičení!}

(2) Nechť X ∈ Sym. Pak lze X diagonalizovat pomocí ortogonální matice P: P XP^{−1} = diag(x_{1}, …, x_{n}) a

exp(X) = exp(P^{−1} diag(x_{1}, …, x_{n})P) = P^{−1} exp(diag(x_{1}, …, x_{n}))P
= P^{−1} diag(e^{x_{1}}, …, e^{x_{n}})P,

což je pozitivně definitní matice a dokonce každou pozitivně definitní matici můžeme psát v této formě. Tedy zobrazení je na.

Nyní připomeňme známý fakt z lineární algebry, že dvě symetrické matice jsou diagonalizovatelné pomocí stejné matice, jestliže komutují. Nechť exp(X) = exp(Y), QY Q^{−1} = diag(y_{1}, …, y_{n}) Zvolme polynom f takový, žef(e^{x_{j}}) = x_{j}, j = 1, … n.

f(exp(X)) = f(P^{−1} diag(e^{x_{1}}, …, e^{x_{n}})P)
= P^{−1} diag(f(e^{x_{1}}), …, f(e^{x_{n}}))P = X.

Nyní si všimněme, že

X · Y = f(expX) · Y = f(expY) · Y
= Q^{−1}f(exp(diag(y_{1}, …, y_{n})))Q · Q^{−1} diag(y_{1}, …, y_{n})Q
= Q^{−1} diag(y_{1}, …, y_{n})Q · Q^{−1}f(exp(diag(y_{1}, …, y_{n})))Q
= Y · f(expY) = Y · X

Tedy X a Y lze diagonalizovat se stejnou maticí a konečně z exp(X) = exp(Y) vyplývá X = Y. Tím jsme ukázali, že zobrazení je prosté, tedy celkem bijekce.

(3) Ukáže se analogicky jako (2). □ _{cvičení!}

1.9. Poznámka.

(1) Komutátor nilpotentních matic je nilpotentní. Jak uvidíme později, díky tomu je N_{p} podgrupa GL(n, K).

(2) Komutátor symetrických matic není symetrický a pozitivně definitní matice nejsou podgrupa GL(n, K).

Prostřednictvím (aspoň lokálně definované) inverze log k zobrazení exp musí být násobení v podgrupách v GL(n) vyjádřitelné na prvcích v Lieově algebře 𝔤. Následující důležité tvrzení ukazuje, že je dokonce vyjádřitelné pomocí vektorových operací a Lieovy závorky. To má zásadní význam pro celou teorii!

1.10. Bakerova-Campbellova-Hausdorffova formule. Pro z ∈ ℂ blízko 1 definujeme:

f(z) = \frac{logz}{z − 1} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n + 1}(z − 1)^{n}

Pro X, Y blízko 0 ∈ T_{E}GL(n, 𝕂) je dobře definována matice X ∗ Y vztahem exp(X ∗ Y) = expX · expY. Všude, kde mají výrazy smysl platí

X ∗ Y = Y + ∫_{0}^{1} f(e^{t ad X} · e^{ad Y})X dt

= X + Y + ∑_{n≥1} \frac{(−1)^{n}}{n + 1} ∑_{\begin{matrix}k_{1} ,... ,k_{n}≥0 \\ l_{1} ,... ,l_{n} \\ k_{i}+l_{i}≥1 \end{matrix}} \frac{(adX)^{k_{1}}(adY)^{l_{1}} ⋯ (adX)^{k_{n}}(adY)^{l_{n}}}{(k_{1} + ⋯ + k_{n})k_{1}! ⋯ k_{n}! l_{1}! ⋯ l_{n}!} X

= X + Y + \frac{1}{2}[X, Y] + \frac{1}{12}([X, [X, Y]] − [Y, [Y, X]]) + ⋯

Důkaz. Nebudu uvádět. Poměrně přehledný je k nalezení v [HN], krátký (ale dosti zhuštěný) je i v [KMS]. Koeficienty (u několika prvních členů) v závěrečném vztahu můžeme ověřit i přímým dosazením nekonečných sum pro exp a log. Celý problém vlastně spočívá v tom ukázat, že po tomto dosazení se vyruší vzájemně vše kromě výrazů v komutátorech. Ověřte výraz alespoň do druhého řádu! □ ^{cvičení!}

2. Lieovy podgrupy v GL(n, 𝕂)

2.1. Definice. Lieova podgrupa v Lieově grupě je podvarieta uzavřená jako množina vzhledem ke grupovým operacím.

Nechť G ⊂ GL(m, 𝕂) je podgrupa. T_{E}G ⊂ T_{E}GL(m, 𝕂) je podalgebra, 𝔤 ⊂ 𝔤𝔩(m, 𝕂)

Naopak pro libovolnou podalgebru 𝔤 ⊂ 𝔤𝔩(m, 𝕂), uvažme zúžení exponenciálního zobrazení na malé okolí nuly U, kde je definováno násobení X ∗ Y z Věty 1.10. Obraz exp(𝔤)|_{U} ⊂ GL(m, 𝕂) je uzavřený k násobení v GL(m, 𝕂), díky Větě 1.10. Pro každé malé U generuje ale exp(U ∩ 𝔤) (algebraickou) podgrupu v GL(m, 𝕂). Ve skutečnosti je to vždy souvislá ”skoro” Lieova podgrupa, v každém případě ale je to obraz homorfismu Lieových grup, a Lieova algebra vložené Lieovy grupy je právě 𝔤.^{1} Doplňte si podrobnosti! ^{cvičení!}

Odvodili jsme tedy přímou souvislost mezi souvislými Lieovými (vloženými) podgrupami G ⊂ GL(m, 𝕂) a Lieovými podalgebrami 𝔤 ⊂ 𝔤𝔩(m, 𝕂). Tato souvislost odráží daleko obecnější výsledek:

Třetí princip. Existuje bijektivní korespondence mezi konečněrozměrnými Lieovými algebrami a souvislými a jednoduše souvislými konečněrozměrnými Lieovými grupami.

2. LIEOVY PODGRUPY V GL(n, 𝕂) 9

Obtížná část důkazu této korespondence spočívá v konstrukci Lieovy grupy k předem dané Lieově algebře. Opírá se o Adovu větu, která říká, že každá Lieova algebra nad 𝕂 je podalgebrou v 𝔤𝔩(n, 𝕂) pro vhodné n. Tuto větu nebudeme dokazovat (přehledný důkaz lze najít v [FH, Appendix E]). Zbytek důkazu jsme ale vlastně již dosti podrobně naznačili.

1Problém skrytý ve slově ”skoro” je ten, že získaná je podmnožina je obrazem hladkého vložení Lieovy grupy do GL(m, 𝕂), tento obraz ale nemusí být podvarietou. Je pouze vloženou podvarietou. Jako příklad si můžete představit komutativní Lieovu grupu vzniklou vynásobením dvou jednorozměrných kružnic (topologicky jde o torus), příslušná Lieova algebra je ℝ^{2} s nulovou závorkou. Volba směru v této algebře s iracionální směrnicí povede k podgrupě na toru ve formě ”hustě navinuté niti”. To samozřejmě není podvarieta v našem smyslu, je to ale vložení přímky do toru.

Poznamenejme, že důsledkem zmíněné Adovy věty je skutečnost, že všechny Lieovy grupy jsou Lieovy podgrupy ve vhodné GL(n). Vlastně tedy omezením studovaných objektů na maticové grupy a algebry nic neztrácíme!

Nyní si můžeme přímo ověřit vztah mezi homomorfismy Lieových grup a homomorfismy Lieových algeber pro podgrupy v GL(m, 𝕂).

2.2. Věta. Lineární zobrazení φ′ : 𝔤 → 𝔥 je homomorfismus Lieových algeber tečný k (lokálně definovanému) homomorfismu příslušných podgrup G, H právě, když existuje lokálně definovaný homomorfismus φ: G → G, pro který platí exp|_{𝔥} ∘ φ′ = φ ∘ exp|_{𝔤}. Pokud je podgrupa G jednoduše souvislá, je příslušný homomorfismus grup definován globálně na souvislé komponentě jednotky.

Důkaz. Situaci zachycuje diagram

𝔤𝔩(m, 𝕂) uexp  𝔤 u  |uexp|_{𝔤} w φ′ 𝔥 z  w uexp|_{𝔥}  𝔤𝔩(n, 𝕂) uexp

GL(m, 𝕂)  G u  |  w φ H z  w GL(n, 𝕂)

Pokud je dán homomorfismus φ, je jeho tečné zobrazení v e vždy homomorfismus Lieových algeber. To jsme ukázali již v první části textu. Obtížnější je opačná implikace. Je-li však φ′ homomorfismus, pak zobrazení definované na okolí jednotky vztahem exp|_{𝔥} ∘ φ′ ∘ (exp|_{𝔤})^{−1} je kompatibilní s násobením, protože násobení je vyjádřeno formulí z 1.10. Zbývá ověřit rozšíření tohoto zobrazení v případě jednoduché souvislosti G. To vynechám, vyžaduje to podrobnější diskusi pojmů týkajících diferencovatelných variet. Úplný důkaz je vcelku snadný, lze jej najít např. v [HN] nebo [KMS] □

2.3. Horní trojúhelníkové matice. O matici říkáme, že je horní trojúhelníková, jestliže všechny její prvky pod diagonálou jsou nulové. Množinu všech takovým matic v GL(m, 𝕂) značíme B_{m}. Násobení dvou horních trojúhelníkových matic je opět horní trojúhelníková matice:

( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & … & a_{2n} \\ ⋮ & & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & a_{nn} \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}b_{11} & b_{12} & … & b_{1n} \\ 0 & b_{22} & … & b_{2n} \\ ⋮ & & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & b_{nn} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} & … \\ 0 & a_{22} b_{22} & … \\ ⋮ & & ... \\ 0 & 0 & … \end{matrix} )

Je tedy B_{m} podvarieta v GL(m, 𝕂) dimenze \frac{1}{2}m(m + 1) nad 𝕂.

Označme 𝔟_{m} = {všechny horní trojúhelníkové matice v 𝔤𝔩(m, 𝕂)}. Podle předchozího výpočtu je [𝔟_{m}, 𝔟_{m}] = {ostře horní trojúhelníkové matice v 𝔤𝔩(m, 𝕂)}.

exp: 𝔟_{m} → B_{m} a zúžení exp: [𝔟_{m}, 𝔟_{m}] → {unipotentní horní trojúhelníkové}. Rovnost dimenzí zaručuje, že 𝔟_{m} je Lieova algebra B_{m}.

Komplexifikace reálné 𝔟_{m} ⊂ 𝔤𝔩(m, ℝ) je komplexní 𝔟_{m} ⊂ 𝔤𝔩(m, ℂ).

2.4. Speciální grupy SL(n, 𝕂). Definujeme

SL(n, 𝕂) = {A ∈ GL(n, 𝕂); detA = 1}
𝔰𝔩(n, 𝕂) = {X ∈ 𝔤𝔩(n, 𝕂); TrX = 0}

Zřejmě jde o podgrupu, je třeba ale ověřit, že jde o Lieovu podgrupu. Nejsnadněji se to ukáže prostřednictvím věty o inverzním zobrazení (viz. standardní matematická analýza). Je-li totiž nějaká podmnožina ve varietě zadána jako vzor jednoho bodu v zobrazení, které má konstantní hodnost, pak právě věta o inverzní funkci poskytuje přímo potřebné souřadné mapy pro podvarietu. Protože vždy platí A · A^{∗} = det(A)E, kde A^{∗} je algebraicky adjungovaná matice, má tečné zobrazení T_{A} det konstantní hodnost 1 (nezávislou na A). _{cvičení!}

Přímo z definice determinantu spočteme, že \frac{∂}{∂t}|_{0}(det(E + tX)) = TrX. Je

cvičení!

tedy stopa derivací deteminantu. Protože pro X = \frac{∂}{∂t}|_{0}A(t), Y ∈ 𝔤𝔩(n) platí [X, Y] = \frac{∂}{∂t}|_{0}(A(t)Y A(t)^{−1}), dostáváme Tr[X, Y] = 0 pro všechny X, Y ∈ 𝔰𝔩(n, 𝕂). Podle vztahu 1.5.(1) exp: 𝔰𝔩(n, 𝕂) → SL(n, 𝕂). Je tedy 𝔰𝔩(n, 𝕂) Lieova podalgebra a porovnáním dimenzí přímo plyne, že je to Lieova algebra podgrupy SL(n, 𝕂).^{2}

Komplexifikace 𝔰𝔩(n, ℝ) je 𝔰𝔩(n, ℂ).

2.5. Nechť Q je bilineární forma na ℝ^{m}, Q(v, w) = v^{T} 𝕁w, kde 𝕁 je regulární matice. Definujeme G_{Q} ⊂ GL(n, ℝ) takových matic A, pro které Q(A · v, A · w) = Q(v, w). Tzn. v^{T} 𝕁w = v^{T} A^{T} 𝕁Aw, proto jde právě o matice splňující A^{T} 𝕁A = 𝕁, tj. A^{T} 𝕁 = 𝕁A^{−1}. Zejména tvoří tyto matice podgrupu.

Spočtěme nyní tečné zobrazení k hladkému zobrazení A ↦ A^{T} 𝕁A na GL(m, 𝕂). Zvolme \frac{∂}{∂t} |_{0} A(t) = X, A(0) = B a počítejme

\frac{∂}{∂t} |_{0} (A(t)^{T} 𝕁A(t)) = X^{T} 𝕁B + B^{T} 𝕁X = 0.

Odtud lze vyčíst dvě skutečnosti. Jednak je to pro regulární B systém rovnic konstantní hodnosti, je tedy vzor jednoprvkové množiny {𝕁} podvarieta a tím máme ověřeno, že G_{Q} je Lieova podgrupa. Dále, volbou B = E obdržíme rovnici pro Lieovu podlagebru této podgrupy: X^{T} 𝕁 + 𝕁X^{T} = 0. Označme ji 𝔤_{Q}.

Můžeme také alternativně přímo začít s vektorovým podprostorem matic 𝔤_{Q} splňujících tuto rovnost (kandidát na Lieovu algebru konstruované podgrupy). Skutečně

𝕁^{−1} exp(X)^{T} 𝕁 = 𝕁^{−1} exp(X^{T})𝕁 = exp(𝕁^{−1}X^{T} 𝕁) = exp(−X) = (exp(X))^{−1}

a porovnáním dimenzí ověříme, že matice splňující tuto rovnici (𝕁^{−1}A^{T} 𝕁 = A^{−1} je ekvivalentní výše uvedené rovnici) tvoří příslušnou Lieovu podgrupu.

Analogicky můžeme uvažovat bilineární formy na komplexním vektorovém prostoru ℂ^{m}. Obdržíme pak komplexní Lieovy algebry 𝔤_{Q}.

2Také jsme mohli začít podalgebrou 𝔰𝔩(n, 𝕂) a zkonstruovat SL(n, 𝕂) jako podgrupu, která je obrazem 𝔰𝔩(n, 𝕂) v exponenciálním zobrazení.

2.6. Ortogonální grupy SO(k, l, ℝ). Uvažujme bilineární formu Q(v, w) = v^{T} 𝕁w, kde 𝕁 =( \begin{matrix}E_{k} & O \\ O & −E_{l} \end{matrix} ) a E_{j} je jednotková matice rozměru j × j. Pak grupu G_{Q}

definovanou v předcházejícím odstavci označujeme SO(k, l, ℝ) a příslušnou algebru 𝔰𝔬(k, l, ℝ). Zvláště pro k = n, l = 0 píšeme

SO(n, 0, ℝ) = SO(n, ℝ) = {A ∈ GL(n, ℝ); A^{−1} = A^{T} }
𝔰𝔬(n, 0, ℝ) = 𝔰𝔬(n, ℝ) = {X ∈ 𝔤𝔩(n, ℝ); X + X^{T} = 0}

Dá se ukázat, že SO(k, l, ℝ) ≅ SO(l, k, ℝ). _{cvičení!}

Komplexifikace algebry: 𝔰𝔬(k, l, ℝ) ⊗_{ℝ} ℂ ≅ 𝔰𝔬(k + l, ℂ). Pro komplexní vektorové prostory se symetrickou bilineární formou danou jednotkovou maticí dostaneme komplexní Lieovy algebry 𝔰𝔬(m, ℂ). Častější je v tomto případě použití jiné sy-

metrické nedegenerované bilineární formy Q, např. formy s maticí ( \begin{matrix}0 & E_{n} \\ E_{n} & 0 \end{matrix} ) pro

sudou dimenzi m = 2n.

2.7. Grupy Sp(2n, 𝕂). Proveďme stejnou úvahu jako v odstavci 2.6. s maticí

𝕁 = ( \begin{matrix}O & F_{n} \\ −F_{n} & O \end{matrix} ). Zde F_{j} je matice j × j, která má všude nuly jen na vedlejší

diagonále má jedničky. Vzniklou grupu nazýváme symplektická grupa v dimenzi n a označujeme Sp(2n, 𝕂).

Sp(2n, 𝕂) = \{( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ); ( \begin{matrix}A^{T} & C^{T} \\ B^{T} & D^{T} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & F \\ −F & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & F \\ −F & 0 \end{matrix} ) \}

Uvážíme-li, že · F znamená zrcadlové obrácení řádků, F · znamená obrácení sloupců, tedy F · · F znamená ^{T}, dále F^{2} = E, můžeme psát:

Sp(2n, ℂ) = \{( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ); AC = CA, DB = BD, AD − CB = E = DA − BC \}

Odtud, mimo jiné, přímo plyne Sp(2, ℝ) ≅ SL(2, ℝ).

Jinou volbou nedegenerované antisymetrické formy Q s maticí ( \begin{matrix}0 & E_{n} \\ −E_{n} & 0 \end{matrix} ) do-

stáváme isomorfní Lieovu grupu. Z rovnice X^{T} · Q + Q · X^{T} = 0 pro příslušnou Lieovu algebru dostaneme v tomto případě velmi přehledný popis algebry:

𝔰𝔭(2n, ℝ) = \{( \begin{matrix}A & B \\ C & −A^{T} \end{matrix} ); B, C ∈ S^{2}ℝ^{n}\}

Komplexifikace: 𝔰𝔭(2n, ℝ) ⊗_{ℝ} ℂ = 𝔰𝔭(2n, ℂ).

2.8 Grupy SU(n), U(n). Nyní uvažujme grupu U(n) komplexních lineárních automorfismů n-rozměrného komplexního vektorového prostoru V, které zachovávají pozitivně definitní Hermiteovskou formu H na V. (Pro Hermiteovskou formu H platí: H(λv, μv) = μ̄λH(v, w), H(w, v) = \overline{H(v, w)}; je positivně definitní, když H(v, v) > 0 pro v ≠ 0.)

Stejně jako v předcházejících odstavcích je jednoduché určit, jak vypadá U(n). Nechť tedy H odpovídá matici M. Potom^{3}

H(v, w) = v^{∗} · M · w, ∀v, w ∈ ℂ^{n},

tedy grupa U(n) je grupa matic A splňujících

A^{∗} · M · A = M.

Jestliže M = E (tj. H(v, w) = v^{∗} · w), je U(n) grupa matic A splňujících A^{∗} = A^{−1}. Tato podmínka opět definuje Lieovu podgrupu v GL(n, ℂ). Derivací této podmínky dostáváme: 𝔲(n) = {X; X^{∗} + X = 0}, a to je jen reálný vektorový podprostor! (Důvodem je, že pro obecný komplexní násobek matice X bude platit (αX)^{∗} +(αX) = ᾱX^{∗} +αX.) Tato Lieova algebra je tedy reálná Lieova podalgebra v 𝔤𝔩(n, ℂ) ⊂ 𝔤𝔩(2n, ℝ). Podmínka A^{∗}A = E zaručuje, že | detA| = 1. Zejména U(1) je komutativní grupa komplexních čísel na jednotkové kružnici v komplexní rovině.

Grupa SU(n) ⊂ U(n) jsou matice automorfismů s determinantem 1. Potom v algebře 𝔰u(n) ⊂ 𝔲(n) jsou právě matice v 𝔲(n) s nulovou stopou.

Komplexifikace: 𝔰𝔲(n) ⊗_{ℝ} ℂ ≅ 𝔰𝔩(n, ℂ). Skutečně, 𝔰𝔲(n) ⊗_{ℝ} ℂ = 𝔰𝔲(n) ⊕ i · 𝔰𝔲(n) a libovolnou matici X ∈ 𝔤𝔩(n, ℂ) můžeme rozložit na součet Hermiteovské a anti-Hermiteovské matice: X = \frac{1}{2}(X − X^{∗}) + \frac{1}{2}(X + X^{∗}). Přitom, je-li stopa X nulová, jsou nulové i stopy obou sčítanců. Je tedy první z nich v 𝔰𝔲(n) a i-násobek druhého také. Celkem dostáváme X = \frac{1}{2}(X −X^{∗})−i(\frac{i}{2})(X +X^{∗}). Opačná inkluze je zřejmá z definice 𝔰𝔲(n).

3. Reprezentace algebry 𝔰l(2, ℂ)

3.1. Algebra 𝔰𝔩(2, ℂ) ⊂ GL(2, ℂ) je podprostor všech matic s nulovou stopou a (jako vektorový prostor) má bázi

H = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) , X_{+} = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , X_{−} = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix})

Lieova závorka na bázi vypadá takto:

[H, X_{+} ] = 2X_{+} , [H, X_{−}] = −2X_{−}, [X_{+} , X_{−}] = H, [H, H] = 0.

3.2 Příklady isomorfních algeber.

1. Bázové vektory v 𝔰𝔬(3, ℂ) lze zvolit takto:

R_{x} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) … rotace o π/2 kolem osy x

R_{y} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 0 \end{matrix}) … rotace o π/2 kolem osy y

R_{z} = ( \begin{matrix}0 & −1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) … rotace o π/2 kolem osy z

3Konjugování matic libovolné velikosti značíme pomocí hvězdičky, tj. A^{∗} = Ā^{T}.

3. REPREZENTACE ALGEBRY 𝔰l(2, ℂ) 13

Lieova závorka na bázi pak vypadá takto:

[R_{x}, R_{y}] = R_{z}, [R_{y}, R_{z}] = R_{x}, [R_{z}, R_{x}] = R_{y}.

2. Bázové vektory v 𝔰𝔲(2) zvolíme

S_{x} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}0 & i \\ i & 0 \end{matrix}) , S_{y} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) , S_{z} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix} )

Přímým výpočtem najdeme stejné relace mezi těmito bázovými prvky jako v případě předešlém, tj.

[S_{x}, S_{y}] = S_{z}, [S_{y}, S_{z}] = S_{x}, [S_{z}, S_{x}] = S_{y}.

Je tedy 𝔰𝔲(2) ≅ 𝔰𝔬(3, ℝ). Protože již víme, že 𝔰u(2) ⊗_{ℝ} ℂ ≅ 𝔰l(2, ℂ), je i komplexifikace třírozměrné reálné ortogonální algebry rovna 𝔰𝔩(2, ℂ). Dalším příkladem je 𝔰𝔭(2, ℂ) ≅ 𝔰𝔩(2, ℂ).

3.3. Lemma. Buď λ : 𝔰l(2, ℂ) → 𝔤l(V) representace a v vlastní vektor operátoru λ(H) : V → V s vlastní hodnotou μ ∈ ℂ. Pak λ(X_{+} )(v) je buď 0 nebo vlastní vektor s vlastní hodnotou μ + 2 a λ(X_{−})(v) je 0 nebo vlastní vektor s vlastní hodnotou μ − 2 (obojí pro operátor λ(H)).

Důkaz. Předpokládejme λ(H)(v) = μv. Pro X_{+} platí

λ(H)(λ(X_{+} )(v)) = (λ(X_{+} )λ(H) + λ([H, X_{+} ]))(v)
= λ(X_{+} )(μv) + 2λ(X_{+} )(v) = (μ + 2)(λ(X_{+} )(v)).

Pro X_{−} úplně stejně. □

Víme, že nad komplexními čísly má každý lineární operátor vlastní vektor. Zvolme takový vektor v, tedy λ(H)(v) = αv, v ≠ 0. Sestavme posloupnost vektorů:

v, λ(X_{+} )(v), …, λ^{k}(X_{+} )(v), …,

Protože λ(H) má pouze konečný počet různých vlastních hodnot, ∃v_{0} λ(H)(v_{0}) = μv_{0}, v_{0} ≠ 0, λ(X_{+} )(v_{0}) = 0.

Zvolme tedy pevně přímo takový vlastní vektor v_{0} s vlastní hodnotou μ a λ(X_{+} )(v_{0}) = 0. Definujeme v_{1} = λ(X_{−})(v_{0}), …, v_{r} = λ(X_{−})(v_{r−1}) , kde v_{r} ≠ 0 a λ(X_{−})(v_{r}) = 0. Zřejmě λ(H)(v_{i}) = (μ − 2i)v_{i} pro i = 0, …, r. Protože

λ(X_{+} )(v_{i}) = λ(X_{+} )λ(X_{−})(v_{i−1}) = λ(X_{−})λ(X_{+} )(v_{i−1}) + λ([X_{+} , X_{−}])(v_{i−1}),

indukcí dostáváme λ(X_{+} )(v_{i}) = μ_{i}v_{i−1}, kde μ_{i} = i(μ + 1 − i), pro i = 0, …, r + 1. Zejména pro i = r + 1 máme 0 = λ(X_{+} )λ(X_{−})(v_{r}) = (r + 1)(μ − r)v_{r}. Přitom r + 1 > 0, a tedy μ = r, z čehož plyne, že μ ∈ ℤ, μ ≥ 0.

Nyní vezměme libovolné r ∈ ℤ, r ≥ 0, a libovolný vektorový prostor V dimenze r+1 s bazí {v_{0}, …, v_{r}} a definujme na něm akci 𝔰𝔩(2, ℂ) předpisy λ(X_{−})(v_{i}) = v_{i+1} pro i = 0, …, r − 1, λ(X_{−})(v_{r}) = 0, λ(H)(v_{i}) = (r − 2i)v_{i} a λ(X_{+} )(v_{i}) = μ_{i}v_{i−1}, kde μ_{i} = i(r + 1 − i), pro i = 0, …, r. Získáme tak reprezentaci 𝔰𝔩(2, ℂ), označíme ji D_{r}.

3.4. Definice. Nechť 𝔤 je Lieova algebra, λ : 𝔤 → 𝔤𝔩(V) její reprezentace. Říkáme, že λ je ireducibilní (irrep), jestliže ve V neexistuje netriviální 𝔤-invariantní podprostor. reducibilní, jestliže ve V existuje netriviální 𝔤-invariantní podprostor. rozložitelná, jestliže V = V_{1} ⊕ V_{2} ⊕ … ⊕ V_{k}, kde V_{i} jsou ireducibilní podprostory. přímým součtem reprezentací λ_{i} : 𝔤 → 𝔤𝔩(V_{i}), je-li λ(X) dáno součtem λ_{i}(X) na V_{i}, tj. pro v ∈ V, v = v_{1}+ …+v_{k}, v_{i} ∈ V_{i}, platí λ(X)(v) = λ_{1}(X)(v_{1})+…+λ_{k}(X)(v_{k}).

3.5. Věta. Ireducibilní reprezentace 𝔰𝔩(2, ℂ) jsou (až na izomorfismus) právě D_{r} pro r ∈ ℤ, r ≥ 0.

Důkaz. Provedeme-li předchozí konstrukci D_{r} pro ireducibilní reprezentaci λ, získáme reprezentaci D_{r} s λ izomorfní. Zbývá ukázat, že každá reprezentace D_{r} je irrep. Mějme libovolný nenulový vektor v = a_{0}v_{0} + … + a_{k}v_{k}, a_{k} ≠ 0, z V. Pak (λ(X_{+} ))^{k}(v) je násobek v_{0}, a tedy lineární kombinace vektorů (λ(X_{−}))^{l}(λ(X_{+} ))^{k}(v) pro l = 0, …, r vygenerují celý prostor V. To znamená, že nemůže existovat netriviální 𝔤-invariantní podprostor V. □

3.6. Věta. Každá konečněrozměrná reprezentace 𝔰𝔩(2, ℂ) je rozložitelná.

Důkaz. Buď λ : 𝔰𝔩(2, ℂ) → 𝔤𝔩(V) reprezentace. Důkaz provedeme indukcí vzhledem k m = dim(V). Předpokládejme, že věta platí pro všechny reprezentace dimenzí menších než m. Je-li V ireducibilní (pro m = 1 triviálně splněno), je tvrzení zřejmé. V opačném případě buď V_{1} ⊂ V netriviální ireducibilní podprostor (existuje díky konečnosti dimenze V) a označme π : V → V/V_{1} přirozenou projekci. Podle indukčního předpokladu je indukovaná reprezentace na W = V/V_{1} rozložitelná, tj. W = W_{1} ⊕ … ⊕ W_{k}, W_{i} ireducibilní. Označíme-li W′_{i} = π^{−1}(W_{i}), pak V_{1} ⊂ W′_{i} a W_{i} = W′_{i}/V_{1}. Stačí tedy dokázat tvrzení pro W ireducibilní. K tomu postačí, když nalezneme ve V invariantní komplement k V_{1}.

Nechť V_{1} má dimenzi r + 1 a bazi {v_{0}, …, v_{r}}, příslušná zúžená reprezentace je D_{r}. Podobně na W je indukovaná reprezentace rovna D_{q} s bazí {w_{0}, …, w_{q}}. Vlastní hodnoty λ(H) jsou (včetně násobnosti) právě vlastní hodnoty v D_{r} a v D_{q}. Nyní rozlišíme 2 případy:

(1) q > r nebo parita r a q je různá: Nechť u_{0} je vlastní vektor λ(H) s vlastní hodnotou q. Pak u_{0} ∉ V_{1}, protože buď je největší možná vlastní hodnota vektorů z V_{1} menší nebo má q jinou paritu než všechny vlastní hodnoty v D_{r}. Přitom λ(X_{+} )(u_{0}) = 0, protože q + 2 není vlastní hodnota λ(H). Pak ovšem i (λ(X_{−}))^{i}(u_{0}) ∉ V_{1} a generují invariantní podprostor U = ⟨u_{0}, …, (λ(X_{−}))^{q}(u_{0})⟩ komplementární k V_{1}.

(2) q ≤ r a parita r a q je stejná: Označme d = 2e = r − q. Pak vlastní vektor v_{e} ve V_{1} splňuje λ(H)(v_{e}) = (r−2e)v_{e} = qv_{e}. Ukážeme, že k této vlastní hodnotě existuje ještě jiný nezávislý vlastní vektor u_{0}, který navíc splňuje λ(X_{+} )(u_{0}) = 0. Ten potom jistě nepatří do V_{1} a generuje proto invariantní podprostor komplementární k V_{1}.

Předpokládejme, že takový vektor neexistuje. Potom ale existuje vektor u_{0} splňující (λ(H) − q · id_{V})^{2}(u_{0}) = 0 a (λ(H) − q · id_{V})(u_{0}) ≠ 0, tedy i λ(H)(u_{0}) = qu_{0} + v_{e} (viz. věta o rozkladu na kořenové prostory z elementární lineární algebry, resp. existence Jordanova kanonického tvaru matice). Navíc můžeme požadovat π(u_{0}) = w_{0}.Definujeme u_{1} = λ(X_{−})(u_{0}), … a indukcí (s použitím vztahu

cvičení!

λ(H)λ(X_{−}) = λ(X_{−})λ(H) − 2λ(X_{−})) se ukáže λ(H)(u_{i}) = (q − 2i)u_{i} + v_{e+i} .

Je-li q < r, pak u_{q+1} ∈ V_{1}, neboť π(u_{q+1} ) = λ(X_{−})(w_{q}) = 0. Přitom ale λ(H)(u_{q+1} ) = (q − 2q − 2)u_{q+1} + v_{e+q+1} , což nemůže žádná lineární kombinace v_{0}, …, v_{r} splňovat, spor. ^{cvičení!}

Je-li q = r, tj. e = 0, potom λ(H)(u_{r+1} ) = (−r − 2)u_{r+1} . Jelikož však −r − 2 není vlastní hodnota λ(H), musí být u_{r+1} = 0. Indukcí ukážeme, že λ(X_{+} )(u_{i}) = μ_{i}u_{i−1} + iv_{i−1}, kde μ_{i} = i(r + 1 − i). Protože

λ(H)λ(X_{+} )(u_{0}) = λ(X_{+} )λ(H)(u_{0}) + 2λ(X_{+} )(u_{0}) = (r + 2)λ(X_{+} )(u_{0})

a r + 2 není vlastní hodnota λ(H), platí λ(X_{+} )(u_{0}) = 0. Indukční krok se provede _{cvičení!} užitím vztahu λ(X_{+} )λ(X_{−}) = λ(X_{−})λ(X_{+} ) + λ(H). Pro i = r + 1 dostáváme λ(X_{+} )(0) = 0 · u_{r} + (r + 1)v_{r}, tj. v_{r} = 0, spor.

Existuje proto jistě vlastní vektor u_{0} ∉ V_{1} s vlastní hodnotou q. Vlastnost λ(X_{+} )(u_{0}) = 0 je pro r = q automatická, pro r > q plyne z lemmatu 3.3, protože násobnost vlastní hodnoty q + 2 je 1. □

3.7. Definice. Nechť λ : 𝔤 → 𝔤𝔩(V) je rozložitelná reprezentace. Tedy λ = λ_{1} ⊕ λ_{2} ⊕ … ⊕ λ_{k} kde λ_{1}, …, λ_{k} : 𝔤 → 𝔤𝔩(V) jsou ireducibilní. Každá λ_{i} je isomorfní ρ_{r} : 𝔤 → 𝔤𝔩(V_{r}). Počet λ_{i} isomorfních pevné ρ_{r} nazýváme násobností ρ_{r} v λ. Píšeme λ = ∑_{r} n_{r}ρ_{r} (pro konečně mnoho n_{r} nenulových).

Tenzorový součin dvou reprezentací λ_{1} : 𝔤 → 𝔤𝔩(V_{1}); λ_{2} : 𝔤 → 𝔤𝔩(V_{2}) definujeme vztahem

(λ_{1} ⊗ λ_{2})(X)(v ⊗ w) = (λ_{1}(X)(v)) ⊗ w + v ⊗ (λ_{2}(X)(w))

V dalším budeme předešlou rovnici psát podle konvence ve tvaru

X(v ⊗ w) = Xv ⊗ w + v ⊗ Xw.

3.8. Důsledek. D_{2s} ⊗ D_{2t} = D_{2(s+t)} ⊕ D_{2(s+t−1)} ⊕ … ⊕ D_{2|s−t|}.

Důkaz. Vzhledem k důkazu věty 3.6 nám stačí ukázat, že H má stejné vlastní vektory pro obě strany rovnice.

Nechť v_{i} a w_{j} jsou báze prostorů reprezentací D_{2s} a D_{2t} tvořené vlastními vektory operátoru H, viz. 3.3. Dále nechť je v ⊗ w = ∑_{i,j} a_{ij}v_{i} ⊗ w_{j} vlastní vektor H na tenzorovém součinu. Pak podle definice H(v ⊗ w) = α(v ⊗ w). Podle definice tenzorového součinu máme

H(∑_{i,j} a_{ij}v_{i} ⊗ w_{j}) = ∑_{i,j} a_{ij}(2s − 2i + 2t − 2j)(v_{i} ⊗ w_{j}) = α ∑_{i,j} a_{ij}v_{i} ⊗ w_{j}

z čehož máme α = 2(s + t − i − j) pro a_{ij} ≠ 0. Vlastní hodnotě α = 2(s + t) tedy odpovídá i = j = 0, tedy jediný vlastní vektor, který je vlastním vektorem v D_{2(s+t)} . Podobně vlastní hodnotě α = 2(s + t − 1) odpovídá i = 1; j = 0 a i = 0; j = 1 tedy dva vlastní vektory, které jsou vlastními vektory v D_{2(s+t)} a D_{2(s+t−1)} atd. Promyslete, proč je poslední člen na pravé straně právě D_{2|s−t|}!

cvičení!

Ověřili jsme, že si vlastní vektory odpovídají. □

Tato rovnost je známá pod názvem Clebsch-Gordanova řada. Lze se s ní setkat např. ve fyzice v kvantové teorii.

3.9. Příklady.

1. Reprezentace D_{0}. Platí Hv_{0} = 0; X_{−}v_{0} = 0; X_{+} v_{0} = 0. D_{0} je triviální akce na ℂ.

2. Reprezentace D_{1}. Platí Hv_{0} = v_{0}; X_{−}v_{0} = v_{1}; X_{+} v_{0} = 0. D_{1} je identická reprezentace 𝔰𝔩(2, ℂ) na ℂ^{2}.

3. Reprezentace D_{2}. Každý prvek X ∈ 𝔰𝔩(2, ℂ) ≃ ℂ^{3} lze psát ve tvaru X = aX_{+} + bH + cX_{−}. Podle 3.1, v této bázi odpovídají akce prvků H, X_{+} , X_{−} maticím

adH = ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −2 \end{matrix} ) , adX_{+} = ( \begin{matrix}0 & −2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) , adX_{−} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix} ) .

Volíme-li v_{0} = X_{+} pak Hv_{0} = 2v_{0}; X_{+} v_{0} = 0; X_{−}v_{0} = −H; X_{−}X_{−}v_{0} = −2X_{−}.

4. D_{1} ⊗D_{1} = D_{2} ⊕D_{0}. Tento rozklad odpovídá přesně rozkladu bilineárních forem na symetrickou a antisymetrickou část, tj. ℂ^{2} ⊗ ℂ^{2} = S^{2}ℂ^{2} ⊕ Λ^{2}ℂ^{2}, ale Λ^{2}ℂ^{2} = ℂ.

5. (D_{1} ⊗ D_{1}) ⊗ D_{1} = D_{3} ⊕ 2D_{1}.

Část II. Základní algebraické vlastnosti Lieových algeber

Otázky, které jsme si kladli na konci předchozí části pro reprezentace 𝔰𝔩(2, ℂ), budeme chtít studovat pro obecné Lieovy algebry. Obecné reprezentace Lieových algeber přitom budeme zkoumat ve dvou krocích. Nejprve si musíme udělat ”hrubý” rozbor struktury algeber. Zjistíme, že každá je tzv. polopřímým součinem dvou algeber se speciálními vlastnosti, přičemž ireducibilní reprezentace algeber prvního typu jsou vždy triviální. Později se budeme věnovat podrobněji vlastnostem algeber druhého typu, tzv. polojednoduchých Lieových algeber. V této části ukážeme zmíněný rozklad a zavedeme základní algebraické nástroje pro pozdější diskusi struktury algeber a jejich reprezentací.

4. Řešitelné a nilpotentní algebry

4.1. Definice. Nechť 𝔤 je Lieova algebra nad 𝕂.

Centrem Lieovy algebry 𝔤 nazýváme její podalgebru

Z(𝔤) = {X ∈ 𝔤; [X, Y] = 0, ∀Y ∈ 𝔤}.

Podalgebru 𝔞 ⊂ 𝔤 nazýváme ideál, jestliže pro všechna X ∈ 𝔤, Y ∈ 𝔞 platí [X, Y] ∈ 𝔞. Nechť 𝔞 je ideál, pak vektorový prostor 𝔤/𝔞 s indukovanou Lieovou závorkou nazýváme faktorová algebra. (Prvky 𝔤/𝔞 jsou tvaru X +𝔞 a Lieova závorka je definována vztahem [X + 𝔞, Y + 𝔞] = [X, Y] + 𝔞.)

Ideál 𝔤′ ⊂ 𝔤 definovaný 𝔤′ = [𝔤, 𝔤] nazýváme derivovaná algebra algebry 𝔤. (Výraz [𝔤, 𝔤] chápeme jako vektorový podprostor generovaný množinou {[X, Y]; X ∈ 𝔤, Y ∈ 𝔤} a z definice je jasné, že jde o ideál.)

Nechť 𝔤^{(0)} = 𝔤, 𝔤^{(k)} = [𝔤^{(k−1)}, 𝔤^{(k−1)}] pak 𝔤^{(0)}, 𝔤^{(1)}, …, 𝔤^{(r)}, … nazýváme derivovaná posloupnost podalgeber v 𝔤.

Nechť 𝔤_{(0)} = 𝔤, 𝔤_{(k)} = [𝔤, 𝔤_{(k−1)}] pak 𝔤_{(0)}, 𝔤_{(1)}, …, 𝔤_{(r)}, … nazýváme dolní centrální posloupnost v 𝔤.

4.2. Cvičení. Nechť G je souvislá Lieova grupa s Lieovou algebrou 𝔤.

(1) Z(𝔤) je Lieova algebra centra G.

(2) 𝔞 ⊂ 𝔤 je ideál, právě tehdy, když příslušná podgrupa je normální.

(3) 𝔤/𝔞 je Lieova algebra faktorové grupy G/A.

4.3. Věta. Nechť 𝔤 je algebra. Pak libovolná 𝔤^{(k)} je ideál a pro každý ideál 𝔞 ⊂ 𝔤 je i 𝔞^{(k)} ideál v 𝔤.

Důkaz. Buď 𝔞 ideál algebry 𝔤. Pak z definice derivované algebry plyne 𝔞′ ⊂ 𝔞. Vezmu-li Z ∈ 𝔤, Z_{1}, Z_{2} ∈ 𝔞 libovolné, pak podle Jacobiho identity [Z, [Z_{1}, Z_{2}]] = [[Z, Z_{1}], Z_{2}] + [Z_{1}, [Z, Z_{2}]] ∈ 𝔞′. Protože prvky [Z_{1}, Z_{2}] lineárně generují 𝔞′, plyne odtud, že 𝔞′ je ideál.

Indukcí se tímto postupem ukáže, že 𝔞^{(k)} je ideál. Protože 𝔤 ⊂ 𝔤 je ideál, je ideál ^{cvičení!} i 𝔤^{(k)}. □

4.4. Definice. Lieovu algebru 𝔤 nazýváme nilpotentní, je-li 𝔤_{(k)} = 0 pro jisté k. řešitelná, je-li 𝔤^{(k)} = 0 pro jisté k. jednoduchá, jestliže neobsahuje netriviální ideály a nemá dimenzi 0 nebo 1. polojednoduchá, jestliže neobsahuje nenulové řešitelné ideály. perfektní, je-li 𝔤′ = 𝔤.

Přímo z definic plyne 𝔤^{(k)} ⊂ 𝔤^{(k−1)}, 𝔤^{(k)} ⊂ 𝔤_{(k)}. Zejména, je-li algebra nilpotentní pak je i řešitelná. Jednoduchým použitím Jacobiho identity se navíc ukáže, že Lieova algebra 𝔤 je řešitelná právě, když je její derivace 𝔤′ nilpotentní. ^{cvičení!}

Ukažte, že všechny vlastnosti z definice 4.4. se zachovávají při komplexifikaci! ^{cvičení!} 4.5. Příklady.

1. 𝔰𝔩(2, ℂ) je jednoduchá, viz. 3.1. _{cvičení!} 2. 𝔰𝔬(3, ℝ), 𝔰𝔲(2) jsou jednoduché, viz. 3.1.

3. Horní trojúhelníkové matice tvoří v 𝔤𝔩(n, 𝕂) řešitelnou algebru, která není nilpotentní.

4. Ostře horní trojúhelníkové matice tvoří v 𝔤𝔩(n, 𝕂) nilpotentní algebru.

5. Afinní algebra na přímce 𝔞𝔣𝔣(1, ℝ) je řešitelná a není nilpotentní. Její prvky

můžeme chápat jako ( \begin{matrix}a & b \\ 0 & 0 \end{matrix}) ∈ 𝔤𝔩(2, ℝ).

4.6. Lemma.

(1) Podalgebry a faktorové algebry nilpotentních (resp. řešitelných) algeber jsou nilpotentní (resp. řešitelné).

(2) Uvažujme exaktní posloupnost Lieových algeber^{4}

0  w𝔮  w i 𝔤  w j 𝔭  w0

Pak 𝔤 je řešitelná právě tehdy, když 𝔮 a 𝔭 jsou řešitelné. (Je-li 𝔮 ⊂ 𝔤 řešitelný ideál, pak 𝔤 je řešitelná právě tehdy, když 𝔤/𝔮 je řešitelná).

(3) Jsou-li 𝔞, 𝔟 ⊂ 𝔤 nilpotentní (resp. řešitelné) ideály, pak i 𝔞 + 𝔟 je nilpotentní (resp. řešitelný) ideál. Stejné tvrzení platí i pro libovolné systémy řešitelných, resp. nilpotentních ideálů v konečněrozměrné 𝔤.

Důkaz. (1): Pro podalgebru 𝔞 ⊂ 𝔤 platí 𝔞^{(k)} ⊂ 𝔤^{(k)} a 𝔞_{(k)} ⊂ 𝔤_{(k)}. Je-li 𝔞 ideál, je

(𝔤/𝔞)′ = 𝔤′ + 𝔞, [(𝔤/𝔞)′, (𝔤/𝔞)′] = 𝔤^{(2)} + 𝔞, …
[𝔤/𝔞, (𝔤/𝔞)′] = 𝔤_{(2)} + 𝔞, …

(2): V každé takové exaktní posloupnosti je 𝔭 ≃ 𝔤/𝔮 a tedy podle (1) jsou 𝔭 a 𝔮 řešitelné, je-li 𝔤 řešitelná. Předpokládejme naopak, že 𝔮 i 𝔭 jsou řešitelné. Všechny šipky jsou homomorfismy, tedy 𝔤^{(r)} se zobrazí do 𝔭^{(r)}. Pro dostatečně velká s je 𝔤^{(s)} v obrazu 𝔮. Protože 𝔮 → 𝔤 je injekce, 𝔮^{(r)} = 0 implikuje 𝔮^{(r+s)} = 0. (Všimněme si, že pro dolní centrální řadu poslední argument neprojde!) _{cvičení!} (3): 𝔞 + 𝔟 je ideál přímo z definice.

a) Pro řešitelné: Uvažme exaktní posloupnost 0 → 𝔞 → 𝔞 + 𝔟 → (𝔞 + 𝔟)/𝔞 → 0, kde (𝔞 + 𝔟)/𝔞 ≃ 𝔟/(𝔞 ∩ 𝔟)je řešitelná podle (1). Podle (2) je tedy řešitelná i 𝔞 + 𝔟. _{cvičení!} b) Pro nilpotentní: Jsou-li 𝔞, 𝔟 nilpotentní, iterované závorky alespoň řekněme s+1 prvků, jsou nulové. Rozepsáním Jacobiho identity se přesvědčíme, že (𝔞 + 𝔟)_{(2s)} je nulové.

4Tzn. obraz každého homomorfismu je jádrem následujícího.

cvičení!

Indukcí se předchozí tvrzení snadno dokážou pro libovolný konečný součet ideálů. Díky konečné dimenzi algebry 𝔤 odtud plynou tvrzení i pro nekonečné součty. □

4.7. Důsledek. V každé Lieově algebře existuje právě jeden maximální řešitelný ideál 𝔯 ⊂ 𝔤 (tzv. radikál) a právě jeden maximální nilpotentní ideál 𝔫 ⊂ 𝔤 (tzv. nilradikál). Faktorová algebra 𝔤/𝔯 je polojednoduchá.

Důkaz. Podalgebru 𝔯 (resp. 𝔫) obdržíme sečtením všech řešitelných (resp. nilpotentních) ideálů.

Předpokládejme, že v 𝔤/𝔯 je řešitelný ideál 𝔞̃. Pak je 𝔞̃ obrazem ideálu 𝔞 ⊂ 𝔤 a řešitelnost 𝔞̃ znamená, že 𝔞^{(k)} ⊂ 𝔯 pro dosti velká k. Z definice řešitelnosti plyne, že i 𝔞 je řešitelný. Pak ovšem je 𝔞 ⊂ 𝔯 a 𝔞̃ je triviální ideál. □

Pro nilradikál analogie této věty neplatí, viz. příklad v 4.10.

4.8. Polopřímé součiny. Mějme exaktní posloupnost Lieových algeber (příp. grup nebo jiných vhodných struktur s neutrálním prvkem)

0  wA  w i B  w j u s C  w0

kde s je řez homomorfismu j, tzn. homomorfismus s vlastností j ∘s = id_{C}. Zejména je B ≃ A ⊕ C na úrovni vektorových prostorů. Libovolné b ∈ B koresponduje s (i^{−1}(b − s(j(b)), j(b)), naopak k (a, c) ∈ A ⊕ C máme i(a) + s(c) ∈ B a máme tak definovánu bijekci realizující zmíněný isomorfismus. Dále definujme zobrazení φ: C → Hom(A, A) vztahem

φ(c)(a) = [s(c), i(a)], φ(c): A → A.

Protože je i(A) ⊂ B ideál (je to jádro homomorfismu), je tímto vztahem skutečně φ definováno a z Jacobiho identity plyne φ([c, c′]) = φ(c)∘φ(c′)−φ(c′)∘φ(c). Je tedy φ homomorfismus Lieových algeber. Lieovu závorku na B nyní vyjádříme takto: ^{cvičení!}

[i(a) + s(c), i(a′) + s(c′)] = i([a, a′]) + s([c, c′]) − φ(c′)(a) + φ(c)(a′).

Říkáme, že B = A⊕C s takto definovanou závorkou je polopřímý součin algeber A a C.

Naopak, kdykoliv zadáme homomorfismus φ: C → Hom(A, A) pro dvě algebry A, C, získáme prostřednictvím předchozí formule strukturu Lieovy algebry na vektorovém prostoru A ⊕ C.^{5} 4.9. Věta (Leviho rozklad). Buď 𝔤 Lieova algebra s radikálem 𝔯. Pak existuje podalgebra 𝔩 ⊂ 𝔤 taková, že 𝔤 ≃ 𝔯 ⊕ 𝔩 (jako vektorový prostor) a Lieova závorka je dána kanonickým vložením 𝔩 → 𝔯 ⊕ 𝔩 v příslušné exaktní posloupnosti

5Analogická konstrukce na úrovni grup dá a.c ∈ G, a ∈ A, c ∈ C, a násobení je pak dáno rozepsáním (a.c).(a′.c′) = (a.(ca′c^{−1})).(cc′). Jako jádro morfismu je i(A) normální podgrupa a φ(c) je v tomto případě tzv. vnitřní homomorfismus daný prvkem c.

0 → 𝔯 → 𝔯 ⊕ 𝔩 → 𝔩 → 0.

Podalgebra 𝔩 je určena jednoznačně až na konjugaci. Každá Lieova algebra je tedy polopřímým součinem řešitelné a polojednoduché algebry.

Podalgebra 𝔩 z tvrzení věty se nazývá Leviho faktor algebry 𝔤.

Důkaz. Nebudu provádět (i když není příliš těžký), viz. [FH, str. 499–500].

4.10. Příklady.

(1) 𝔤𝔩(n, ℂ) = 𝔰𝔩(n, ℂ) ⊕ ℂ, protože 𝔰𝔩(n, ℂ) = {A ∈ 𝔤𝔩(n, ℂ); TrA = 0} a ℂ lze chápat jako skalární násobky jednotkové matice, tzv. stopová část. Máme tedy korespondenci (Leviho rozklad) A ⟷ (A − \frac{Tr A}{n}E, TrA).

(2) Faktorová algebra 𝔤/𝔫 může mít nenulový nilradikál. Např. v algebře 𝔞𝔣𝔣(1)

matic ( \begin{matrix}a & b \\ 0 & 0 \end{matrix}) jsou v 𝔫 právě matice ( \begin{matrix}0 & a \\ 0 & 0 \end{matrix}) a 𝔞𝔣𝔣(1)/𝔫 je jednorozměrná (tedy

abelovská).

4.11. Lemma. Nechť 𝔤 působí na vektorovém prostoru V nilpotentními operátory. Pak existuje v ∈ V, v ≠ 0 tak, že X(v) = 0 pro všechny X ∈ 𝔤.

Důkaz. Indukcí vzhledem k dimenzi 𝔤. Pro dim𝔤 = 0 je tvrzení zřejmé. Nechť nyní je dim𝔤 = 0, φ : 𝔤 → 𝔤𝔩(n)(V) reprezentace. Pokud φ není injektivní, pak kerφ ⊂ 𝔤 je ideál a indukovaná reprezentace φ̃ : 𝔤/ kerφ → 𝔤𝔩(n)(V) je injektivní a dim(𝔤/ kerφ) < dim𝔤, proto lze použít indukčního předpokladu. Pokud je φ prosté, můžeme uvažovat 𝔤 ⊂ 𝔤𝔩(n)(V). Potom 𝔤 působí na 𝔤𝔩(n)(V) prostřednictvím ad a pro všechna X je adX nilpotentní: (adX)Y = XY − Y X, (adX)^{2}Y = X^{2}Y − 2XY X + Y X^{2}, . . .. Protože pro každé X je X^{k} = 0 pro jisté k ≤ dimV, je (adX)^{2k} ≡ 0. Předpokládejme, že 𝔞 ⊂ 𝔤 je maximální vlastní podalgebra. Uvažme ad|_{𝔞} : 𝔞 → 𝔤𝔩(n)(𝔤). Protože 𝔞 je vzhledem k ad invariantní, máme indukovanou reprezentaci na 𝔤/𝔞, tj. homomorfismus 𝔞 → 𝔤𝔩(n)(𝔤/𝔞), s hodnotami v nilpotentních operátorech. Podle indukčního předpokladu tedy existují společné nenulové vektory s triviální akcí. Nechť X_{0} + 𝔞 ∈ 𝔤/𝔞 je takový vektor. Pak X_{0} ∉ 𝔞 a [X_{0}, 𝔞] ⊂ 𝔞 z čehož plyne ⟨X_{0}, 𝔞⟩ = 𝔤. Označme W ⊂ V množinu všech vektorů s triviální akcí 𝔞. W ≠ {0}, Y X_{0} = X_{0}Y + [Y, X_{0}] pro Y ∈ 𝔞. Pro w ∈ W je Y X_{0}w = X_{0}0 + 0 = 0, tedy X_{0}W ⊂ W. Přitom X_{0}|_{W} je nilpotentní a proto musí existovat vlastní vektor w ∈ W, X_{0}w = 0. Pak w je hledaný vektor.

4.12. Věta (Engelova). Nechť 𝔤 ⊂ 𝔤𝔩(n)(V), dimV ≥ 1 je podalgebra nilpotentních operátorů. Pak 𝔤 je nilpotentní. Navíc, 𝔤 je nilpotentní právě, když adX : 𝔤 → 𝔤 je nilpotentní pro všechna X.

Důkaz. Dle Lemmatu 4.11 existuje v ∈ V, v ≠ 0, 𝔤v = 0. Předpokládejme, že už máme bázi ⟨v_{1}, …, v_{k}⟩ = W ⊂ V takovou, že 𝔤.⟨v_{1}, …, v_{l}⟩ ⊂ ⟨v_{1}, …, v_{l−1}⟩. To znamená, že zúžení operátorů na W má vždy ostře horní trojúhelníkovou matici. Pak akce 𝔤 na V/W má opět vektor v + W ≠ 0 takový, že 𝔤(v + W) = {0 + W }. Přitom v ∉ W a 𝔤.v ⊂ W. Proto ⟨v_{1}, …, v_{k}, v⟩ je opět podprostor s požadovanou vlastností. Po dim𝔤 krocích dostaneme bázi na V, ve které všechny X ∈ 𝔤 mají ostře horní trojúhelníkovou matici a 𝔤 je podalgebra v nilpotentní algebře, tedy nilpotentní.

Je-li 𝔤 nilponetní, pak všechny adX jsou nilpotentní přímo dle definice nilpotentnosti. Nechť tedy naopak adX je nilpotentní pro všechna X ∈ 𝔤. Opakováním předchozí konstrukce získáme posloupnost 0 ⊂ W_{1} ⊂ W_{2} ⊂ ⋯ ⊂ W_{n} = 𝔤 s vlastností adX : W_{k} → W_{k−1}. Pak ovšem každá iterované závorka s dim𝔤 + 1 prvky je nulová a 𝔤 je tedy nilpotentní. □

4.13. Věta (Lieova). Nechť 𝔤 ⊂ 𝔤𝔩(n)(V) je komplexní řešitelná Lieova algebra. Pak existuje společný vlastní vektor v_{0} ∈ V pro všechny X ∈ 𝔤, tj. Xv_{0} = λ(X)v_{0} pro lineární formu λ : 𝔤 → ℂ.

4.14. Poznámka. Ekvivalentní formulace:

(1) Každá ireducibilní reprezentace komplexní řešitelné Lieovy algebry 𝔤 je jednorozměrná.

(2) Každá komplexní řešitelná Lieova algebra 𝔤 je izomorfní jisté podalgebře horních trojúhelníkových matic.

Pro reálnou řešitelnou 𝔤 uvažme v + iw ∈ V^{ℂ} – vektor z Lieovy věty pro komplexifikovanou 𝔤_{ℂ}, tedy pro 𝔤 máme dvourozměrný invariantní podprostor ⟨v, w⟩ a zúžení 𝔤 na ⟨v, w⟩ je abelovské. Zejména odtud plyne, že ireducibilní reprezentace reálné řešitelné Lieovy algebry je abelovská a nejvýše dvojrozměrná.

Důkaz Lieovy věty je opřen o následující lemma.

4.15. Lemma (Dynkin). Nechť 𝔤 působí na V, 𝔞 ⊂ 𝔤 je ideál, λ : 𝔞 → ℂ lineární forma. Nechť W ⊂ V je generován společnými vlastními vektory pro zúžení akce na 𝔞, s vlastní hodnotou λ. Pak W je invariantní vzhledem k 𝔤.

Důkaz. Vezměme v ∈ W, A ∈ 𝔞, X ∈ 𝔤. Pak

AXv = XAv + [A, X]v = λ(A)Xv + λ([A, X])v (1)

A(X^{k}v) = XAX^{k−1}v + [A, X]X^{k−1}v. (2)

Stačí tedy ukázat, že λ([A, X]) = 0.

Podprostor U := ⟨v_{0} := v, v_{1} := Xv, …, v_{k} := X^{k}v, … ⟩ ⊂ V je invariantní vůči X. Ukážeme, že 𝔞U ⊂ U. Zřejmě Av_{0} = λ(A)v_{0} ∈ U. Předpokládejme, že pro všechna A ∈ 𝔞 je A(X^{k−1}v) ∈ U. Pak XAX^{k−1} ∈ U a [A, X]X^{k−1}v ∈ U, tedy dle (2) AX^{k}v ∈ U. Nyní z (1) a (2) máme, že matice A ∈ 𝔞 v bázi v_{0}, v_{1}, … bude horní trojúhelníková s λ(A) na diagonále ⇒ ∀A ∈ 𝔞 je Tr(A|_{U}) = dimU · λ(A). Zároveň [A, X] ∈ 𝔞 a Tr[A, X] = 0. Při dimU > 0 máme λ([A, X]) = 0.

Důkaz 4.13. Provedem indukci přes dimenzi 𝔤. Pro dim𝔤 = 0 věta zřejmě platí. Nechť nyní dim𝔤 = n > 0 a předpokládejme, že věta platí pro algebry dimenze menší. Každý vektorový podprostor v 𝔤 obsahující 𝔤′ je ideál, tedy v 𝔤 existuje ideál 𝔞 kodimenze 1. Podle předpokladu existuje na V společný vlastní vektor v ∈ V pro akci 𝔞 s vlastní hodnotou λ ∈ 𝔞^{∗}. Dle 4.15 je prostor W všech těchto vlastních vektorů invariantní vůči 𝔤. Předpokládejme, že X_{0} ∈ 𝔤, X_{0} ∉ 𝔞. Pak ⟨X_{0} + 𝔞⟩ = 𝔤. X_{0}W ⊂ W, X_{0}|_{W} má vlastní vektor v_{0} (platí nad ℂ, ne nad ℝ) s vlastní hodnotou λ_{0} ∈ ℂ. Pro obecný prvek X = A + rX_{0} ∈ 𝔤, A ∈ 𝔞, r ∈ ℂ, nyní máme Xv_{0} = λ(A)v_{0} + rλ_{0}v_{0}. □

5. Cartanova-Killingova forma

5.1. Definice. Nechť 𝔤 je Lieova algebra nad 𝕂, nechť φ : 𝔤 → 𝔤𝔩(V) je reprezentace. Zobrazení 𝔤 × 𝔤 ∋ (X, Y) ↦ Tr(φ(Y) ∘ φ(X)) ∈ 𝕂 nazýváme stopová forma reprezentace φ a značíme ji t_{φ}. Pro φ = ad : 𝔤 → 𝔤𝔩(V) mluvíme o Cartanově-Killingově formě 𝔤, stručně budeme hovořit o Killingově formě. Její hodnotu na X, Y ∈ 𝔤 budeme značit (X, Y), B(X, Y) nebo ⟨X, Y ⟩. Tato bilineární forma je vždy symetrická.

5.2. Lemma. Killingova forma na 𝔤 je invariantní pro každý automorfismus α : 𝔤 → 𝔤 a pro každou derivaci D : 𝔤 → 𝔤 splňuje B(DX, Y)+B(X, DY) = 0. Zejména pro D = ad_{X} dostaneme B(Z, [X, Y]) + B(X, [Z, Y]) = 0.

Důkaz. Platí

ad(α(X))(Y) = [α(X), Y] = α[X, α^{−1}(Y)] = α ∘ ad(X) ∘ α^{−1}(Y)
B(α(X), α(Y)) = Tr(ad(α(X)) ∘ ad(α(Y)))
= Tr(α ∘ ad(X) ∘ α^{−1} ∘ α ∘ ad(Y) ∘ α^{−1})
= Tr(α ∘ ad(X) ∘ ad(Y) ∘ α^{−1}) =
= Tr(adY ∘ α^{−1} ∘ α ∘ adX) = Tr(adX ∘ adY).

Každá derivace na Lieově algebře vznikne skutečným derivováním ”křivky automorfismů”. Odtud okamžitě plyne zbývající tvrzení. □ ^{cvičení!}

5.3. Příklady. 1. 𝔰𝔩(2, ℂ). Obecný vektor je X = aX_{+} + bH + cX_{−}, pro bázové vektory X_{−}, X_{+} , H, viz. 3.2. Odtud

ad_{X} ∼ ( \begin{matrix}2b & −2a & 0 \\ −c & 0 & a \\ 0 & 2c & −2b \end{matrix} ) (ad_{X})^{2} ∼ ( \begin{matrix}4b^{2} + 2ac & −4ab & −2a^{2} \\ −2bc & 4ac & −2ab \\ −2c^{2} & −4bc & 4b^{2} + 2ac \end{matrix} )

a tedy dostáváme B(X, X) = Tr(adX ∘ adX) = 8b^{2} + 8ac.

2. 𝔰𝔲(2). Zde X = αS_{Z} + βS_{Y} + γS_{X}, viz. 3.2, přičemž

𝔰𝔲(2) ∋ X ∼ \frac{1}{2} ( \begin{matrix}iα & −β + iγ \\ β + iγ & −iα \end{matrix} )

Dostáváme tedy, že jako prvek v podgrupě 𝔰𝔩(2, ℂ) má X souřadnice

a = 1/2(−β + iγ), b = 1/2iα, c = 1/2(β + iγ)

Odtud B(X, X) = 2(−α^{2} − β^{2} − γ^{2}), je tedy zúžení B na 𝔰𝔲(2) negativně definitní.

3. 𝔰𝔬(3, ℝ) ≅ 𝔰𝔲(2) a tedy vyjde totéž.

4. 𝔤𝔩(n, 𝕂). Spočtěme (ad_{A})^{2} : M ↦ AM −MA ↦ A^{2}M −2AMA+MA^{2}. Budeme pracovat s bazí e_{j}^{i} v prostoru matic, kde

e_{j}^{i} = ( 0 ⋯ 0 ; ⋮ ; ⋯ 1 ⋯; ⋮ ; 0 ↑ i ⋯ 0 ) ← j.

Každá matice je tvaru M = m_{i}^{j}e_{j}^{i} (vynecháváme znaky pro sumaci) a zobrazení

β: M ↦^{α} AM ↦ AMA je na bázových vektorech dáno e_{j}^{i} ↦ a_{j}^{k}e_{k}^{i} ↦ a_{j}^{k}a_{l}^{i}e_{k}^{l}.

Odtud

Trα = ∑_{i,j} a_{j}^{j} = n TrA, Trβ = ∑_{i,j} a_{j}^{j}a_{i}^{i}

a tedy Tr(adA)^{2} = 2n Tr(A^{2}) − 2(TrA)^{2}.

5. Speciální lineární algebry. Pro 𝔰𝔩(n, 𝕂) dostaneme zúžením Tr(adA)^{2} = 2n Tr(A^{2}). Všimněme si, že podalgebra 𝔰𝔩(n, 𝕂) je ideál v 𝔤𝔩(n, 𝕂), proto je zúžení Killingovy formy opravdu Killingovou formou na podalgebře. Obecně to tak neplatí! ^{cvičení!} 6. Pro libovolnou nilpotentní 𝔤 je B ≡ 0. (Podle Lieovy věty jsou ve vhodné bázi na 𝔤 všechny operátory ad_{X} dány ostře horní trojúhelníkovou maticí.)

5.4. Věta (1. Cartanovo kriterium). Lieova algebra 𝔤 je řešitelná právě, když B|_{𝔤′} ≡ 0.

Připomeňme 𝔤′ = [𝔤, 𝔤]. Pro důkaz můžeme předpokládat 𝕂 = ℂ, protože triviálnost B i řešitelnost zůstávají zachovány při komplexifikaci. Nejprve dokážeme pomocné tvrzení:

5.5. Lemma. Nechť 𝔤 ⊂ 𝔤𝔩(V) a pro všechny X, Y ∈ 𝔤 platí Tr(X ∘ Y) = 0. Potom derivovaná algebra 𝔤′ je nilpotentní.

Důkaz. ∀X ∈ 𝔤 platí X = X_{s} + X_{n} s X_{s} diagonalizovatelným a X_{n} nilpotentním (Jordanův kanonický tvar), X_{s}X_{n} = X_{n}X_{s}, navíc X_{s}, X_{n} jsou hodnoty vhodných polynomů v X. Ukážeme-li, že X_{s} = 0 pro všechny X ∈ 𝔤′, pak podle Engelovy věty tím bude tvrzení dokázáno. Polojednoduchá část X_{s} má ve vhodné bázi tvar X_{s} = diag(λ_{1}, …, λ_{n}) a uvažujme také matici X̄_{s} = diag(λ̄_{1}, …, λ̄_{n}). Protože Tr(X̄_{s}X_{s}) = ∑_{i} |λ_{i}|^{2}, stačí ukázat, že je tato stopa nulová.

Předpokládejme nejprve, že ad X̄_{s}(𝔤) ⊂ 𝔤. Jistě existuje polynom P takový, že P (λ_{i}) = λ̄_{i}, to tedy znamená, že X̄_{s} = P (X_{s}). Jako hodnoty jistých polynomů v téže matici X spolu jistě komutují X̄_{s} a X_{n} a tedy X̄_{s}X_{n} je nilpotentní, což znamená, že Tr(X̄_{s}X_{n}) = 0. Proto také Tr(X̄_{s} ∘ X) = ∑_{i} λ_{i}λ̄_{i}. Předpokládejme, že X ∈ 𝔤′, X = ∑_{k} [A_{k}, B_{k}]. Počítejme

Tr(X̄_{s}[A_{k}, B_{k}])= Tr(X̄_{s}A_{k}B_{k} − X̄_{s}B_{k}A_{k})
= Tr(X̄_{s}A_{k}B_{k}) − Tr(A_{k}X̄_{s}B_{k}) = Tr([X̄_{s}, A_{k}]B_{k}).

Protože [A_{k}, X̄_{s}] ∈ 𝔤, je podle předpokladu věty Tr([A_{k}, X̄_{s}]B_{k}) = 0, ale zároveň

Tr(X̄_{s}X) = ∑_{k} Tr(X̄_{s}[A_{k}, B_{k}]) = ∑_{i} |λ_{i}|^{2}

což implikuje X̄_{s} = 0 a to je to, co jsme chtěli dokázat.

Zbývá tedy ukázat, že ad X̄_{s}(𝔤) ⊂ g. Platí

adX = adX_{s} + adX_{n}, [adX_{s}, adX_{n}] = 0.

Přitom adX_{n} je nilpotentní a adX_{s}(e_{i}^{j}) = (λ_{i} −λ_{j})e_{i}^{j}. Proto adX = adX_{s} +adX_{n} je opět Jordanův rozklad. Dále ad X̄_{s} je diagonální s vlastními hodnotami (λ̄_{i} −λ̄_{j}) u e_{i}^{j} a proto je ad X̄_{s} opět polynom v adX_{s}, proto i v adX. To tedy znamená, že 𝔤 je invariantní vůči ad X̄_{s}. □

Důkaz věty 5.4. Je-li 𝔤 řešitelná, je její derivovaná algebra nilpotentní a proto je na ní B identicky nulová, viz. příklad 5.3.(6).

Uvažme ad : 𝔤 → 𝔤𝔩(𝔤), 𝔷(𝔤) := Ker(ad) je centrum 𝔤. Dostaneme exaktní posloupnost 0 → 𝔷(𝔤) → 𝔤 → 𝔮 → 0, kde 𝔮 = 𝔤/𝔷(𝔤), a dobře definované injektivní zobrazení ad: 𝔮 → 𝔤𝔩(𝔤). Můžeme proto 𝔮 ztotožnit s podalgebrou v 𝔤𝔩(𝔤).

Z definice plyne, že je-li B ≡ 0 na 𝔤′, pak (Tr(Y ∘ X) = 0 ∀ X, Y ∈ 𝔮′). Podle předchozího lematu to znamená, že (𝔮′)′ je nilpotentní. Odtud plyne, že 𝔮′ je řešitelná a tedy i 𝔮 je řešitelná. Protože 𝔷(𝔤) je abelovská podalgebra, je také řešitelná. Podle 4.6.(2) je tedy 𝔤 řešitelná. □

5.6. Věta (2. Cartanovo kriterium). Lieova algebra 𝔤 je polojednoduchá právě, když má kladnou dimenzi a Killingova forma B je nedegenerovaná.^{6}

Důkaz. Nedegenerovanost B a polojednoduchost 𝔤 se zachovávají při komplexifikaci, můžeme tedy předpokládat, že 𝔤 je komplexní. ^{cvičení!} (1) Předpokládejme, že 𝔤 není polojednoduchá. Tedy obsahuje nenulový abelovský ideál 𝔞 (abelovská je totiž jistě poslední nenulová derivovaná algebra 𝔤^{(k)}). Uvažme 0 ≠ A ∈ 𝔞, X ∈ 𝔤. Pak ad_{A} ∘ ad_{X} ∘ ad_{A} : 𝔤 → 𝔞 → 𝔞 → 0, proto ad_{A} ∘ ad_{X} je nilpotentní stupně 2, tedy B(A, X) = 0. Protože X je libovolné, pro indukované zobrazení B̂: 𝔤 → 𝔤^{∗} platí B̂(A) = {0} ⊂ 𝔤^{∗}, je tedy B degenerovaná. Je-li B degenerovaná, pak 𝔤^{⊥} = {X; B(X, Y) = 0, ∀Y ∈ 𝔤} ≠ {0}. Z invariantnosti B, tj. rovnosti B(X, [Y, Z])+B([Y, X], Z) = 0, vyplývá že 𝔤^{⊥} je ideál. Proto zúžení B|𝔤^{⊥} je Killingova forma 𝔤^{⊥} a proto 𝔤^{⊥} je řešitelný ideál. □

5.7. Důsledek. Algebra 𝔤 je polojednoduchá ⟺ je přímý součet jednoduchých.

Důkaz. Nechť 𝔤 je polojednoduchá a 𝔞 ⊂ 𝔤 nenulový ideál. 𝔞^{⊥} = {X; B(X, Y) = 0, ∀Y ∈ 𝔞}. Z invariantnosti B plyne, že 𝔞^{⊥} je opět ideál. Pak 𝔞 ∩ 𝔞^{⊥} je ideál s nulovou B, a proto 𝔞 ∩ 𝔞^{⊥} je řešitelný, tedy 𝔞 ∩ 𝔞^{⊥} = {0}. Z toho plyne, že dim𝔞 + dim𝔞^{⊥} = dim𝔤. Navíc [𝔞, 𝔞^{⊥}] ⊆ 𝔞 ∩ 𝔞^{⊥} = {0}, proto 𝔤 = 𝔞 ⊕ 𝔞^{⊥} jako Lieova algebra. Konečným počtem kroků získáme rozklad na přímé součty.

Naopak, Killingova forma přímého součtu jednoduchých algeber je nedegenerovaná. □

V důkazu jsme dokázali více:

6Nedegenerovanost bilineární formy f : V × V → 𝕂 značí, že indukované lineární zobrazení f̂: V → V^{∗} je izomorfismus.

6. ROZLOŽITELNOST REPREZENTACÍ POLOJEDNODUCHÝCH ALGEBER 25

5.8. Důsledek. Každý polojednoduchý ideál 𝔞 ⊂ 𝔤 v libovolné algebře 𝔤 je přímým sčítancem. ^{cvičení!} 5.9. Důsledek. Ideály a homomorfní obrazy polojednoduchých algeber jsou polojednoduché.

Důkaz. (1) Nechť 𝔤 je polojednoduchá, tedy 𝔤 = ⊕_{i=1}^{n} 𝔤_{i}, kde 𝔤_{i} jsou jednoduché. Nechť 𝔞 ⊂ 𝔤 její ideál. Dokažme implikaci : 𝔞 ∩ 𝔤_{i} ≠ {0} ⇒ 𝔤_{i} ⊆ 𝔞.

Jistě je 𝔞 ∩ 𝔤_{i} ideál v 𝔤_{i}, ale 𝔤_{i} je jednoduchá z čehož plyne, že 𝔤_{i} ∩ 𝔞 = 𝔤_{i}. Ale to znamená, že 𝔤_{i} ⊆ 𝔞. Nyní je 𝔞 = ⊕{𝔤_{i}; 𝔤_{i} ⊆ 𝔞}.

(2) Nechť 𝔤 = ⊕_{i=1}^{n} 𝔤_{i} je polojednoduchá a f : 𝔤 → f(𝔤) homomorfismus. Jádro f je ideál, podle předchozí části důkazu je proto přímým součtem některých jednoduchých sčítanců. Můžeme proto rovnou předpokládat, že f je prosté. Protože f je homomorfismus, máme potom f(𝔤) = ⊕{f(𝔤_{i}); f(𝔤_{i}) ≠ {0}}. Kerf|𝔤_{i} je ideál v 𝔤_{i}. Protože 𝔤_{i} je jednoduchá, dostáváme Kerf|𝔤_{i} = {0} a proto f|𝔤_{i} je izomorfismus 𝔤_{i}, a f(𝔤_{i}) je jednoduchá. Celkem jsme ukázali, že f(𝔤) je součet jednoduchých algeber. □

5.10. Důsledek. Každá derivace polojednoduché Lieovy algebry je vnitřní, tj. je rovna adX pro vhodné X ∈ 𝔤.

Důkaz. Nechť D: 𝔤 → 𝔤 je derivace polojednoduché 𝔤. Uvažme vektorový prostor 𝔤 ⊕ 𝕂D (tj. přidáme jeden generátor D) a definujme

[D, D] = 0, [D, X] = −[X, D] = D(X), X ∈ 𝔤

a definici závorky uvnitř 𝔤 ponecháme. Ověřte, že je takto dobře definována Lieova algebra. Z definice plyne, že 𝔤 je v ní polojednoduchý ideál. Proto existuje ^{cvičení!} doplňkový ideál, nechť je generován prvkem −Y + D, Y ∈ 𝔤 (musí mít jako vektorový prostor dimenzi 1). Pak pro všechny X ∈ 𝔤 platí [−Y + D, X] = 0, tzn. D(X) = [Y, X]. □

6. Rozložitelnost reprezentací polojednoduchých algeber

6.1. Univerzální obalující algebra 𝔘(𝔤). Buď λ : 𝔤 → 𝔤𝔩(V) reprezentace. Definujme rozšíření zobrazení λ na celou tensorovou algebru T (𝔤) := ⨁_{i=0}^{∞} ⊗^{i}𝔤:

λ̃: T (𝔤)→𝔤𝔩(V) ,
λ̃(X_{k} ⊗ X_{k−1} ⊗ … ⊗ X_{1}) := λ(X_{k}) ∘ λ(X_{k−1}) ∘ … ∘ λ(X_{1}) ∈ 𝔤𝔩(V)

kde ⊗^{0}𝔤 = 𝕂 a ⊗^{1}𝔤 = 𝔤. Položme I = ⟨{X ⊗ Y − Y ⊗ X − [X, Y]; X, Y ∈ 𝔤}⟩ oboustranný ideál v T (𝔤) a definujme 𝔘(𝔤) := T (𝔤)/I. Každé λ̃ : T (𝔤) → 𝔤𝔩(V) jednoznačně určuje homomorfismus \overline{λ} : 𝔘(𝔤) → 𝔤𝔩(V). V dalším nebudeme v zápisu rozlišovat mezi λ, λ̃, \overline{λ}.

Násobení v tenzorové algebře T (𝔤) indukuje násobení na 𝔘(𝔤) a dostáváme tak asociativní algebru. Násobení v ní budeme značit tečkou.^{7} 6.2. Casimirův operátor. Nechť 𝔤 je polojednoduchá, nechť e_{i} ∈ 𝔤, e′_{i} ∈ 𝔤 jsou báze duální vzhledem k B, tj. B(e_{i}, e′_{j}) = δ_{ij}. Klademe

7Původní algebra 𝔤 je injektivně vložena univerzální obalující algebry 𝔘(𝔤), kterou lze definovat jako univerzální objekt pro zobrazení 𝔤 → A do libovolné asociativní algebry A, které zobrazuje závorky na komutátory.

C := ∑_{i=1}^{dim 𝔤}e_{i} · e′_{i} ∈ 𝔘(𝔤).

Prvek C ∈ 𝔘(𝔤) nazýváme Casimirův operátor.^{8}

Lemma. C = ∑ e_{i} · e′_{i} je v centru 𝔘(𝔤) a nezávisí na volbě e_{i}, e′_{i}.

Důkaz. Pro všechny X ∈ 𝔘(𝔤) platí:

X · C = X · (∑_{i} e_{i} · e′_{i}) = ∑_{i} X · e_{i} · e′_{i} = ∑_{i}(e_{i} · X · e′_{i} + [X, e_{i}] · e_{i}) =

∑_{i}(e_{i} · e′_{i}X + e_{i} · [X, e′_{i}] + [X, e_{i}] · e_{i})

Potřebujeme tedy dokázat, že součet všech (e_{i} · [X, e′_{i}] + [X, e_{i}] · e_{i}).

Definujme

φ : 𝔤 ⊗ 𝔤 → 𝔤𝔩(V), φ(X ⊗ Y)(Z) := B(Y, Z) · X.

Každý prvek v jádru φ lze zapsat ∑_{i} X_{i} ⊗ Y_{i} ∈ Kerφ a můžeme přitom předpokládat, že vektory X_{i} jsou lineárně nezávislé. Pro takové prvky platí ∑_{i} B(Y_{i}, Z)·X_{i} = 0 pro všechna Z a proto B(Y_{i}, Z) = 0 pro všechna i a Z. Proto Y_{i} = 0 a tedy φ je prosté. Je proto φ izomorfismus vektorových prostorů.

Dále φ(∑_{i} e_{i} ⊗ e′_{i})(Z) = ∑_{i} B(e′_{i}, Z) · e_{i} = Z, tj. φ(∑_{i} e_{i} ⊗ e′_{i}) = id_{𝔤} a protože je φ izomorfismus C nezávisí na volbě e_{i}, e′_{i}.

Spočtěme, že pro každé Z ∈ 𝔤 je φ(ad_{Z} X⊗Y)+φ(X⊗ad_{Z} Y) = [ad_{Z}, φ(X⊗Y)]:

(φ(ad_{Z} X ⊗ Y) + φ(X ⊗ ad_{Z} Y))(A) = B(Y, A) ad_{Z}(X) + B(ad_{Z} Y, A)X = B(Y, A)[Z, X] + B([Z, Y], A)X =

[Z, B(Y, A)X] − B(Y, [Z, A])X = ad_{Z}(B(Y, A)X) − φ(X ⊗ Y)[Z, A] =

ad_{Z}(φ(X ⊗ Y)(A)) − φ(X ⊗ Y) ad_{Z} A = [ad_{Z}, φ(X ⊗ Y)](A).

Nyní víme, že φ je izomorfismus a [ad_{Z}, id_{𝔤}] = 0. Z předchozího výpočtu tedy vyplývá, že ∑_{i}((ad_{X} e_{i})⊗e′_{i})+e_{i}⊗ad_{X} e′_{i}) = 0, což je právě požadovaná rovnost □

Pro libovolné dvě reprezentace Lieovy algebry 𝔤 na vektorových prostorech V, W rozumíme homomorfismem φ: V → W takové lineární zobrazení, které splňuje φ(X.v) = X.φ(v) pro všechny X ∈ 𝔤. Hovoříme také o modulech nad 𝔤 a jejich homomorfismech.

8Často se jako Casimirův operátor algebry 𝔤 označuje každý prvek centra univerzální obalující algebry.

6.3. Schurovo lemma. Je-li φ : V → V homomorfismus ireducibilní reprezentace algebry 𝔤, potom φ je násobek identity.

Důkaz. Předpokládejme, že 𝔤 je komplexní algebra. Vezměme libovolný vlastní vektor v ∈ V, tj. φ(v) = α · v. Pak jistě podmodul generovaný v je V, tedy každý prvek z V lze psát jako λ(X)(v), přičemž máme φ(λ(X)(v)) = λ(X)(φ(v)) = α · λ(X)(v).

Pro reálnou algebru použijeme proceduru komplexifikace. □ ^{cvičení!}

6.4. Lemma. Buď λ : 𝔤 → 𝔤𝔩(V) ireducibilní reprezentace polojednoduché algebry 𝔤, dimV > 1. Potom Casimirův operátor C působí násobením nenulovým skalárem.

Důkaz. Pokud λ není prosté, použijeme reprezentaci 𝔤/ kerλ. Přitom 𝔤/ kerλ je opět polojednoduchá (viz. 5.9). Můžeme tedy předpokládat 𝔤 ⊂ 𝔤𝔩(V). (Prověřte si podrobně!) Pak i Casimirův operátor C lze považovat za prvek 𝔤𝔩(V). Protože je C _{cvičení!} v centru obalující algebry, jde o homomorfismus V → V, proto podle předchozího lemmatu působí C násobením skalárem. Spočtěme stopu tohoto homomorfismu:

TrC = ∑_{i} Tr(e_{i} · e′_{i}) = ∑_{i} B(e_{i}, e′_{i}) = dim𝔤 ≠ 0. □

6.5. Věta. Buď λ : 𝔤 → 𝔤𝔩(V) reprezentace polojednoduché algebry 𝔤 a buď W ⊂ V invariantní podprostor. Potom existuje invariantní podprostor W′ ⊂ V takový, že V = W ⊕ W′.

Důkaz.

1) Předpokládáme W ⊂ V ireducibilní s kodimenzí 1. Akce C zúžená na W je násobení nenulovým skalárem, na V/W ovšem působí celá 𝔤 triviálně (𝔤 = 𝔤′ a na 1-dimenzionálním V/W působí každá závorka triviálně). Odtud V = W ⊕ kerC, přičemž kerC je invariantní, protože C je homomorfismus.

2) Indukcí přes dimenzi V dokážeme případ W ⊂ V, codimW = 1 (tj. V nemusí být ireducibilní): Mějme 0 ≠ Z ⊂ W invariantní. Pak podle indukčního předpokladu V/Z = W/Z ⊕ Y/Z pro vhodné Y ⊂ V invariantní. Nyní Z ⊂ Y a Z má v Y kodimenzi 1, tedy podle indukčního předpokladu Y = Z ⊕ U pro nějaké U invariantní. To ale dává V = W ⊕ U.

3) Mějme nyní W ⊂ V ireducibilní. Definujeme ρ : Hom(V, W) → Hom(W, W) jako zúžení. Na Hom(V, W) můžeme opět definovat akci 𝔤 předpisem: (Xφ)(v) = X(φ(v)) − φ(Xv) pro X ∈ 𝔤, φ ∈ Hom(V, W) a v ∈ V (tj. uvažujeme standardní tenzorový součin reprezentací). Homomorfismy 𝔤-modulů Hom(W, W)^{𝔤} tvoří 1-rozměrný podprostor Hom(W, W), viz. Lemma 6.3. Označíme D podprostor ρ^{−1}(Hom(W, W)^{𝔤}) ⊂ Hom(V, W). Vezměme podprostor A kodimenze 1 v D těch zobrazení, která se v ρ zobrazí na 0. Protože ρ je homomorfismus 𝔤-modulů, je A invariantní podprostor. Tedy k němu podle 2) existuje v D invariantní komplement dimenze 1. V něm zejména existuje ψ : V → W takové, že ρ(ψ) = id_{W}. Přitom ρ(Xψ) = Xρ(ψ) = 0, protože jsme opět na 1-dimenzionálním prostoru. Je tedy ψ 𝔤-ekvivariantní projekce V → W. Proto V = W ⊕ kerψ a kerψ invariantní podprostor. □

æ

7. Cartanovy podalgebry, váhy a kořeny

V této kapitole předpokládáme všechny prostory nad ℂ.

7.1. Definice. Nilpotentní podalgebra 𝔥 ⊂ 𝔤, která je rovna svému normalizátoru (tj. množině {X ∈ 𝔤; [X, Y] ∈ 𝔥 pro všechny Y ∈ 𝔥})^{9}, se nazývá Cartanova podalgebra.

7.2. Buď φ: V → V homomorfismus vektorových prostorů. Kořenové prostory V_{λ}, λ ∈ ℂ, jsou podprostory V definované předpisem:

v ∈ V_{λ} ⟺ ∃ k ∈ ℕ : (φ − λ id_{V})^{k}(v) = 0 .

Pro komplexní vektorové prostory vždy platí V = ⨁_{λ∈ℂ} V_{λ}, přičemž V_{λ} ≠ {0} právě,

když λ je vlastní hodnota φ. Aplikujeme-li toto tvrzení na komplexní algebru 𝔤 a homomorfismus ad_{X} : 𝔤 → 𝔤, X ∈ 𝔤, dostáváme

𝔤 = ⨁_{λ∈ℂ} 𝔤_{λ}(X) .

Lemma. Pro λ, μ ∈ ℂ, X ∈ 𝔤 platí:

[𝔤_{λ}(X), 𝔤_{μ}(X)] ⊂ 𝔤_{λ+μ} (X).

Zejména pro λ, μ = 0 to znamená, že 𝔤_{0}(X) je podalgebra 𝔤.

Důkaz. Spočteme-li

(ad_{X} −(λ + μ) id_{𝔤})([Y, Z]) = [X, [Y, Z]] − (λ + μ)[Y, Z]
= [[X, Y], Z] + [Y, [X, Z]] − [λY, Z] − [Y, μZ]
= [(ad_{X} −λ id_{𝔤})Y, Z] + [Y, (ad_{X} −μ id_{𝔤})Z]

snadno vidíme, že další aplikací (ad_{X} −(λ + μ) id_{𝔤}) se budou mocniny u zobrazení v závorkách zvyšovat, a tedy se po dostatečném počtu iterací všechny závorky v součtu vynulují. □

7.3. Pro nenulové X ∈ 𝔤 rozepíšeme

det(ad_{X} −λ id_{𝔤}) = (−1)^{n}λ^{n} + D_{1}(X)λ^{n−1} + … + D_{n−1}(X)λ + D_{n}(X) ,

přičemž D_{n}(X) = det(ad_{X}) = 0, neboť ad_{X} X = 0. Označme r_{0} ∈ ℕ největší číslo takové, že ∃ X ∈ 𝔤 : D_{r_{0}}(X) ≠ 0 (tzn. ∀ X ∈ 𝔤 je násobnost vlastní hodnoty 0 morfismu ad_{X} alespoň n − r_{0}).

9název odpovídá spíše terminologii grup – je to algebra odpovídající největší podgrupě A obsahující podgrupu B příslušnou dané podalgebře takové, že B ⊂ A je normální podgrupa, proto se také někdy hovoří o idealizátoru – největší podalgebra ve které je daná ideálem.

Lemma. Nechť Y ∈ 𝔤 je takové, že D_{r_{0}}(Y) ≠ 0. Pak 𝔥 := 𝔤_{0}(Y) je Cartanova podalgebra 𝔤.

Důkaz. Podle předchozího lemmatu je 𝔥 podalgebra a zřejmě Y ∈ 𝔥. Pro všechna λ ≠ 0 je ad_{Y} |_{𝔤_{λ}(Y)} : 𝔤_{λ}(Y) → 𝔤_{λ}(Y) a je invertibilní. Navíc 𝔤_{λ}(Y) je vždy 𝔥modul. Díky spojitosti determinantu jistě existuje okolí U prvku Y v 𝔥 takové, že všechny jeho prvky působí na 𝔤_{λ}(Y) invertibilními transformacemi. Současně všechna Z ∈ U působí na 𝔤_{0}(Y) nilpotentně, protože jinak by násobnost vlastní hodnoty 0 byla pro ad_{Z} menší než pro ad_{Y}. Přitom ale nilpotentnost je dána vynulováním jistého algebraického výrazu na 𝔥, a tedy z nilpotentnosti působení všech Z z otevřené množiny U ⊂ 𝔥 plyne nilpotentnost působení všech Z ∈ 𝔥. Podle Engelovy věty to znamená, že 𝔥 = 𝔤_{0}(Y) je nilpotentní.

Mějme X ∈ 𝔤_{λ}(Y), λ ≠ 0, takové, že [X, Y] = − ad_{Y} X ∈ 𝔤_{0}(Y). Pak současně ad_{Y} X ∈ 𝔤_{λ}(Y), což znamená ad_{Y} X = 0, a tedy X = 0. Dostáváme, že 𝔥 je rovna svému normalizátoru, dohromady 𝔥 je Cartanova. □

7.4. Příklady.

(1) Uvažujme 𝔤 = 𝔤𝔩(n, ℂ), a J nechť je Jordanův blok řádu k

J = ( a 1 0 · 0 ; 0 a 1 · 0 ; ⋮ ; 0 0 0 · a ).

Pokud pro matici A platí JA − AJ = 0, pak A má pod diagonálou samé nuly a ”další” diagonály jsou konstantní. Tj. pro matici v Jordanově kanonickém tvaru ^{cvičení!}

A = ( J_{1} 0 · 0 ; 0 J_{2} · 0 ; ⋮ ; 0 0 · J_{s} )

má Ker ad_{A} minimální dimenzi právě tehdy, když vlastní hodnoty příslušné blokům J_{1}, …, J_{s} jsou různé. Zvolme přímo diagonální Y s λ_{1}, …, λ_{n} na diagonále, λ_{i} ≠ λ_{j} pro i ≠ j. Pak 𝔤_{0}(Y) tvoří všechny diagonální matice, což je vlastně abelovská Lieova algebra ℂ^{n}.

(2) Je-li 𝔤 nilpotentní, potom 𝔤 = 𝔥. (ad_{X} je nilpotentní pro všechna X, tzn. 𝔤_{0}(X) = 𝔤).

(3) Nechť 𝔤 = 𝔰𝔩(2, ℂ). Potom 𝔥 = ℂ H = ℂ ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) ⊂ 𝔤.

(4) V 𝔞𝔣𝔣(1) je 𝔥 = ℂ ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}).

7.5. Definice. Nechť 𝔥 je libovolná nilpotentní algebra, φ : 𝔥 → 𝔤𝔩(V) reprezentace. Váhový vektor reprezentace φ je v ∈ V takový, že pro všechny H ∈ 𝔥 platí (φ(H)−λ(H) id_{V})^{k}(v) = 0 pro dostatečně velké k a vhodné λ ∈ 𝔥^{∗}. Lineární forma λ se nazývá váha reprezentace φ.^{10}

10 V lineární algebře se častěji používá názvů kořenové vektory a vlastní hodnoty nebo vlastní čísla. V teorii polojednoduchých algeber rezervujeme ale pojem ”kořen” pro speciální případ.

Ve speciálním případě kdy 𝔥 ⊂ 𝔤 je Cartanova podalgebra a φ je zúžení operátoru ad hovoříme o kořenech λ ∈ 𝔥^{∗} algebry 𝔤 (příslušných volbě 𝔥).^{11}

7.6. Věta. Nechť 𝔥 je nilpotentní, φ : 𝔥 → 𝔤𝔩(V) libovolná reprezentace a λ ∈ 𝔥^{∗}.

(1) Množina V_{λ} všech váhových vektorů příslušných λ ∈ 𝔥^{∗} je vektorový podprostor.

(2) V_{λ} jsou invariantní vzhledem k φ a V = ⊕_{λ∈𝔥^{∗}}V_{λ}.

(3) Zúžení φ|V_{λ} má jedinou váhu λ.

Důkaz.

(1) Podle definice je V_{λ} průnikem kořenových prostorů zobrazení φ(H) příslušným λ(H) přes všechny H ∈ 𝔥, tedy V_{λ} je vektorový podprostor.

(2) Stačí ukázat invariantnost každého kořenového podprostoru R_{λ(H)} ⊃ V_{λ}. Nechť v ∈ R_{λ(H)}, H′ ∈ 𝔥 a předpokládejme (ad_{H})^{k}(H′) = 0. Potřebujeme ukázat, že pak také φ(H′)(v) ∈ R_{λ(H)}. Dokážeme to indukcí přes potřebný exponent k. Platí

(φ(H) − λ(H) id_{V})(φ(H′)(v)) = φ(H′)(φ(H) − λ id_{V})(v) + φ([H, H′])(v).

Pro k = 1 je tedy tvrzení zřejmé, protože člen se závorkou v tomto případě zmizí a iterací akce získáme potřebné.

Iterováním předchozí rovnosti dostáváme:

(φ(H) − λ(H) id_{V})^{s}(φ(H′)) = φ(H′)(φ(H) − λ id_{V})^{s}+

+ ∑_{m=0}^{s−1}(φ(H) − λ(H) id_{V})^{s−m−1}φ([H, H′])(φ(H) − λ(H) id_{V})^{m}.

Přitom (φ(H) − λ(H) id_{V}) má na R_{λ(H)} stupeň nilpotentnosti nejvýše dimR_{λ(H)} (viz. Hamiltonova-Caleyova věta v lin. algebře). Podle indukčního předpokladu je R_{λ(H)} invariantní vzhledem k φ([H, H′]), protože (ad_{H})^{k}(H′) = (ad_{H})^{k−1}([H, H′]). Proto pro s > 2 dimR_{λ(H)} je

(φ(H) − λ(H) id_{V})^{s}(φ(H′))(v) = φ(H′)(0) + 0 = 0.

Tím je ukázána invariantnost podprostorů V_{λ}. Zbývá ukázat, že generují celé V a ⊕_{λ∈𝔥^{∗}}V_{λ} je přímý:

Nechť λ_{1}, …, λ_{r} ∈ 𝔥^{∗} jsou váhy, pro něž je V_{λ} ≠ 0. Potom existuje H ∈ 𝔥 takové, že λ_{i}(H) ≠ λ_{j}(H) pro všechny i ≠ j (rovnost λ_{i}(H) = λ_{j}(H) definuje nadrovinu v 𝔥, je tedy pouze třeba vybrat vektor v 𝔥, který nepadne do konečného sjednocení nadrovin). Tedy v_{i} ∈ R_{λ_{i}(H)} a proto jsou v_{i} nezávislé (viz. elementární lin. algebra). Indukcí přes dimenzi V nyní ukážeme, že váhové prostory generují celé V. Pro dimV = 0 je to zřejmé. Předpokládejme, že to platí pro dimV < k a uvažme dimV = k. Předpokládejme nejprve, že každé φ(H) má právě jednu vlastní hodnotu λ(H). Z Lieovy věty pak vyplývá λ ∈ 𝔥^{∗} a V = V_{λ}.

11 Ve skutečnosti uvidíme, že v rozumných algebrách jsou Cartanovy podalgebry určeny až na vnitřní automorfismus algebry, v praxi pak zpravidla uvažujeme jednu pevně zvolenou Cartanovu podalgebru.

Předpokládejme nakonec, že φ(H) má různé vlastní hodnoty λ_{1}(H), …, λ_{r}(H), r > 1. Pak V = R_{λ_{1} (H)} ⊕ ⋯ ⊕ R_{λ_{r}(H)} je rozklad na kořenové prostory. Ukázali jsme, že R_{λ_{i}(H)} jsou invariantní, tj. V je přímým součtem invariantních podprostorů menší dimenze. Podle indukčního předpokladu se každý z nich rozkládá na přímý součet váhových podprostorů.

(3) Uvažujme zúžení reprezentace φ na V_{λ} a předpokládejme, že μ je váha příslušná nějakému společnému vlastnímu vektoru v ∈ V_{λ} (existuje podle Lieovy věty). Pak pro každé H ∈ 𝔥 je (φ(H) − λ(H) id_{V_{λ}}) nilpotentní a φ(H) − μ(H) id_{V_{λ}} má nulovou vlastní hodnotu. Pro každé v ∈ V_{λ}, H ∈ 𝔥 je ale v ∈ R_{λ(H)} odpovídajícímu φ(H) a proto při μ ≠ λ je (φ(H) − μ id_{V})|R_{λ(H)} invertibilní. Ukázali jsme ale, že tento operátor invertibilní není, proto λ = μ. □

Nyní můžeme předchozí výsledek aplikovat na reprezentaci ad|_{𝔥} Cartanovy podalgebry 𝔥 ⊂ 𝔤 na 𝔤. V tomto případě získáme i řadu dalších informací o kořenových prostorech. Pro každý kořen α označíme 𝔤_{α} = ∩_{X∈𝔥}𝔤_{α}(X) příslušný kořenový podprostor v 𝔤. Množinu všech nenulových kořenů α ∈ 𝔥^{∗} budeme značit Δ, pro všechny kořeny budeme užívat symbol Δ_{0} = Δ ∪ {0}.

7.7. Věta. Nechť 𝔥 ⊂ 𝔤 je Cartanova podalgebra. Potom (1) 𝔥 = 𝔤_{0} a 𝔤 = 𝔥 ⊕ ⨁_{α∈Δ} 𝔤_{α}

(2) Pro každé α ∈ Δ, H ∈ 𝔥 má ad_{H} |𝔤_{α} právě jednu vlastní hodnotu α(H)

(3) Je-li α, β, α + β ∈ Δ_{0} je [𝔤_{α}, 𝔤_{β}] ⊂ 𝔤_{α+β} , jinak je závorka nulová

(4) Jestliže α + β ≠ 0, α, β ∈ Δ, je 𝔤_{α} ⊥ 𝔤_{β} vzhledem k Killingově formě B

(5) Pro všechny H, H′ ∈ 𝔥 platí B(H, H′) = ∑_{α∈Δ} (dim𝔤_{α})α(H)α(H′).

Důkaz. (1): Dokážme 𝔥 = 𝔤_{0} zbytek pak plyne přímo z předchozí věty. Platí 𝔥 ⊂ 𝔤_{0}, protože 𝔥 je nilpotentní. Uvažme akci 𝔥 na faktorovém prostoru 𝔤_{0}/𝔥. Podle Lieovy věty buď existuje společný vlastní vektor nebo 𝔤_{0}/𝔥 = 0. Ale všechny vlastní hodnoty jsou 0, tedy pokud 𝔤_{0} ≠ 𝔥, pak existuje Y ∈ 𝔤_{0} \ 𝔥 takové, že [H, Y] ∈ 𝔥 pro všechna H ∈ 𝔥, což je spor s definicí 𝔥. Proto nutně 𝔤_{0}/𝔥 je triviální vektorový prostor, tj. 𝔤_{0} = 𝔥. Tvrzení (2),(3) jsou důsledky předchozí věty a lemmatu 7.2. (4): Podle (3) platí [𝔤_{λ}, [𝔤_{μ}, 𝔤_{ν}]] ⊂ 𝔤_{λ+μ+ν} pro všechny λ, μ, ν ∈ Δ. Pro pevná X ∈ 𝔤_{λ}, Y ∈ 𝔤_{μ} a λ + μ ≠ 0 je proto operátor adX adY nutně nilpotentní. Odtud B(X, Y) = 0. (5): Pro každý kořenový prostor 𝔤_{α} umíme podle Lieovy věty najít bázi, ve které jsou matice všech zobrazení ad_{H} |_{𝔤_{α}}, H ∈ 𝔥, horní trojúhelníkové se skaláry α(H) na diagonále. Odtud ovšem

B(H, H′) = ∑_{α∈Δ} Tr(adH ∘ adH′) = ∑_{α∈Δ}(dim𝔤_{α})α(H)α(H′). □

Pro polojednoduché algebry nyní snadno získáme velice silná tvrzení. Zejména si všimněme komutativnosti Cartanových podalgeber^{12}, nedegenerovanosti zúžení Killingovy formy na Cartanovu podalgebru a skutečnosti, že všechny kořenové vektory v 𝔤 jsou ve skutečnosti společné vlastní vektory pro všechna zobrazení ad(H), H ∈ 𝔥.

12 ve skutečnosti je pro polojednoduché 𝔤 ekvivalentní definice Cartanových podalgeber jako maximálních komutativních diagonalizovatelných podalgeber

7.8. Věta. Nechť 𝔤 je polojednoduchá Lieova algebra, 𝔥 ⊂ 𝔤 její Cartanova podalgebra.

(1) Je-li H ∈ 𝔥 a α(H) = 0 pro každé α ∈ Δ, pak H = 0.

(2) Kořeny generují celé 𝔥^{∗}, tj. ⟨Δ⟩ = 𝔥^{∗}.

(3) 𝔥 je abelovská Lieova algebra.

(4) Zúžení B|𝔥 je nedegenerovaná symetrická forma.

(5) Pro každé H ∈ 𝔥 je ad_{H} X = α(H)X pro všechny X ∈ 𝔤_{α}.

(6) Δ = −Δ (tzn. α ∈ Δ ⇔ −α ∈ Δ).

Důkaz. (1): Je-li H ∈ 𝔥 a α(H) = 0 pro všechna α ∈ Δ, pak pro každé Y ∈ 𝔤_{α} platí

B(H, Y) = \{ \begin{matrix}∑_{α∈Δ} dim𝔤_{α}α(H)α(Y) = 0 & Y ∈ 𝔥 \\ 0 & Y ∈ 𝔤_{α}, α ∈ Δ \end{matrix}

viz. 7.7.(4), 7.7.(5). Je tedy B(H, Y) = 0 pro všechna Y ∈ 𝔤. Přitom ale B je nedegenerovaná (viz. 5.6) a proto H = 0. (2): Plyne okamžitě z (1). (3): Na 𝔤_{α} existuje báze, ve které má ad_{H} |𝔤_{α} horní trojúhelníkovou matici (z Lieovy věty). Pak každé H ∈ [𝔥, 𝔥] má na 𝔤_{α} vlastní hodnotu 0. Tato vlastní hodnota je jediná a tedy α(H) = 0 pro každé α. Proto H = 0. (4): Pro všechny kořeny α ∈ Δ je 𝔥 ⊥ 𝔤_{α}. Přitom Killingova forma B polojednoduché algebry je nedegenerovaná, proto i její zúžení na 𝔥 musí být nedegenerované (představte si příslušnou matici formy B!). (5): Nechť H ∈ 𝔥 a adH = (adH)_{s} + (adH)_{n} je Jordanův rozklad. Zúžení (adH)_{s}|_{𝔤_{α}} je násobení skalárem α(H) a podle 7.7.(3) platí pro X ∈ 𝔤_{α}, Y ∈ 𝔤_{β}

(adH)_{s}([X, Y]) = (α + β)(H)([X, Y]) = [(adH)_{s}X, Y] + [X, (adH)_{s}(Y)].

Vidíme, že (adH)_{s} je derivace a podle 5.10 proto musí existovat S ∈ 𝔤 takové, že (adH)_{s} = adS. Pro všechna H′ ∈ 𝔥 je [S, H′] = 0 protože polojednoduchá část adH působí na každém 𝔤_{α} násobením skalárem α(H). Je tedy S v normalizátoru 𝔤_{0} = 𝔥, tj. v 𝔥. Nyní adH − adS = (adH)_{n} má na celém 𝔤 pouze nulové vlastní hodnoty, tj. pro všechny α ∈ Δ je α(H − S) = 0 a podle (1) je tedy H = S. Tím jsme ukázali, že nilpotentní část každého operátoru adH, H ∈ 𝔥, je nulová. (6): Pro všechna μ ≠ −λ je 𝔤_{μ} ⊥ 𝔤_{λ} a Killingova forma B je nedegenerovaná. Pro každé λ ∈ Δ musí proto být dimenze kořenového podprostoru 𝔤_{−λ} rovna dimenzi

𝔤_{λ}. □ cvičení!

Část III. Polojednoduché algebry

Nyní máme připraveny všechny nástroje pro úplnou popis všech konečněrozměrných (komplexních) polojednoduchých Lieových algeber a jejich ireducibilních reprezentací. Protože již víme, že každá reprezentace takové algebry je úplně rozložitelná, můžeme tak (implicitně) získat popsat všechny reprezentace. Skutečně podrobné provedení klasifikace je ovšem technicky zdlouhavé, proto v této části již (s vyjímkou kapitoly 8) jen zřídka budeme uvádět úplné důkazy všech tvrzení. Budeme se zato snažit všechna tvrzení demonstrovat na konkrétních případech.

8. Kokořeny a Weylova grupa

8.1. Věta. Pro kořenový rozklad polojednoduché Lieovy algebry 𝔤 s Cartanovou podalgebrou 𝔥 platí

(1) Pro všechny α ∈ Δ má vektorový podprostor [𝔤_{α}, 𝔤_{−α}] dimenzi 1 a zúžení α ∈ 𝔥^{∗} je na něm nenulové.

(2) Pro každý kořen α ∈ Δ existuje právě jedno h_{α} ∈ 𝔥 takové, že pro všechna Z ∈ 𝔥 splňuje Killingova forma B(h_{α}, Z) = α(Z) a [𝔤_{α}, 𝔤_{−α}] = ⟨h_{α}⟩.

(3) Jsou-li X ∈ 𝔤_{α}, Y ∈ 𝔤_{−α} takové, že B(X, Y) = 1, pak [X, Y] = h_{α},

(4) Pro všechny kořeny α ∈ Δ je dim𝔤_{α} = 1 a násobek tα je nenulovým kořenem právě, když t = ±1.

(5) Pro všechny X, Y ∈ 𝔥 je B(X, Y) = ∑_{α∈Δ} α(X)α(Y).

Důkaz. (1): Předpokládejme, že X ∈ 𝔤_{α}, Y ∈ 𝔤_{−α} jsou dva komutující prvky. Protože α ≠ 0, jsou ad_{X} i ad_{Y} nilpotentní a tedy i ad_{X} ∘ ad_{Y} je nilpotentní. Proto B(X, Y) = 0. Protože je ale B nedegenerovaná, existují takové prvky X ∈ 𝔤_{α}, Y ∈ 𝔤_{−α}, pro které je [X, Y] ≠ 0. Tím je ukázáno, že dim[𝔤_{α}, 𝔤_{−α}] > 0.

Označme si nyní 𝔤_{β}^{α} := ⊕_{t∈ℤ}𝔤_{β+tα} . Evidentně je g_{β}^{α} invariantní vzhledem k ad|_{𝔤_{α}}, ad|_{𝔤_{−α}}. Zejména má tedy smysl uvažovat stopu Tr(ad_{[X,Y]}|_{𝔤_{β}^{α}}) pro libovolné X ∈ 𝔤_{α}, Y ∈ 𝔤_{−α}. Protože jde o stopu závorky, musí být nulová. Přitom ale platí ad_{Z} X = α(Z)X pro všechny X ∈ 𝔤_{α}, Z ∈ 𝔥, proto

T r(ad_{Z} |_{𝔤_{β}^{α}}) = (dim𝔤_{β})β(Z) + qα(Z)

pro vhodné q ∈ ℤ. Pokud je přitom α([X, Y]) = 0, pak dosazením Z = [X, Y] dostáváme β(Z) = 0 pro všechna Z a všechny kořeny β, proto Z = 0. Celkem tedy je [𝔤_{α}, 𝔤_{−α}] ∩ Kerα = {0}. Odtud ovšem dim[g_{α}, g_{−α}] ≤ 1.

(2),(3): Z invariantnosti Killingovy formy dostaneme pro X ∈ 𝔤_{α}, Y ∈ 𝔤_{−α}

B([X, Y], Z) = −B(Y, [X, Z]) = B(Y, [Z, X]) = α(Z)B(Y, X).

Vybereme-li tedy X, Y tak, aby B(X, Y) = 1, je nutně [X, Y] = h_{α}. Jednoznačnost h_{α} plyne okamžitě z nedegenerovanosti zúžení B|_{𝔥}, viz. 7.8.(3). Tím jsme dokázali obě tvrzení.

(4): Pro všechna α ∈ Δ zvolme X_{α} ∈ 𝔤_{α}, Y_{α} ∈ 𝔤_{−α} tak, že h_{α} = [X_{α}, Y_{α}]. Platí

[h_{α}, X_{β}] = α(h_{α})X_{β} = B(h_{α}, h_{α})X_{β}

Označme V ⊂ 𝔤 generovaný Y_{α}, h_{α}, 𝔤_{tα} pro všechna t ∈ ℕ. Tento podprostor je zřejmě invariantní vzhledem k ad_{X_{α}}, ad_{Y_{α}}, ad_{h_{α}}. Protože je h_{α} závorka dvou prvků z V, je stopa ad_{h_{α}} |_{V} nulová. Přito zároveň

Trad_{h_{α}} |_{V} = α(h_{α})(−1 + dim𝔤_{α} + 2 dim𝔤_{2α} + …)

Odtud vyplývá, že dimg_{α} = 1 a všechny další násobky α již nejsou kořeny. (5): Jde o vztah odvozený v 7.7.(5) z dosazenými hodnotami pro dimenze. □

8.2. Kokořeny. V důkazu předchozí věty se vyskytly koncepčně důležité pojmy. Podprostor 𝔤_{β}^{α} = ⊕_{t∈ℤ}𝔤_{β+tα} , β ≠ −α, nazýváme α-řetízek kořenu β.

Komutační relace prvků h_{α}, X_{α}, Y_{α} velice připomínají relace mezi generátory 𝔰𝔩(2, ℂ). Skutečně, podprostor ⟨X_{α}⟩ ⊕ ⟨h_{α}⟩ ⊕ ⟨Y_{α}⟩ je podalgebra, a stačí zvolit násobek H_{α} prvku h_{α} tak, aby α(H_{α}) = B(h_{α}, H_{α}) = 2, tzn. volíme

H_{α} = \frac{2}{B(h_{α}, h_{α})}h_{α}

a získáváme 3-rozměrnou podalgebru g^{(α)} generovanou X_{α}, Y_{α}, H_{α} takovou, že lineární zobrazení převádějící tyto generátory na generátory X_{+} , X_{−}, H algebry 𝔰𝔩(2, ℂ) je izomorfismus Lieových algeber. Vektory H_{α} ∈ 𝔥 (jednoznačně určené!) nazýváme kokořeny, vektory h_{α} nazýváme kořenové vektory v 𝔥, X_{α} nazýváme kořenové prvky v 𝔤_{α}.

Pro případ β = −α definujeme 𝔤_{β}^{α} = 𝔤^{(β)}.

8.3. Cartanova čísla. Roli řetízků 𝔤_{β}^{α} nyní můžeme pochopit lépe. Jsou totiž invariantní vůči akci g^{(α)} a ireducibilní (plyne přímo zdefinice). Proto musí být izomorfní s některou z reprezentací D_{s} algebry 𝔰𝔩(2, ℂ), viz. výsledky kapitoly 3. Přitom snadno poznáme, která reprezentace to bude, stačí zjistit vlastní hodnoty operátoru ad_{H_{α}}. Ty ale jsou právě β(H_{α})+2t pro všechna t, pro která dim𝔤_{β+tα} ≠ 0. Protože dimenze všech 𝔤_{α}, α ∈ Δ, je 1, plyne z rozboru reprezentací D_{s} v kapitole 3, že v α-řetízku kořenu β nabývá t všech celočíselných hodnot z jistého intervalu. Označme β(H_{α}) − 2q nejmenší vyskytující se vlastní hodnotu. Potom 2q − β(H_{α}) =: β(H_{α}) + 2p je největší z nich a p, q ∈ ℕ, viz. 3.3. Dostáváme odtud

β(H_{α}) = q − p, g_{β}^{α} = ⊕_{t=−q}^{p} 𝔤_{β+tα} .

Zejména jsou tedy všechny hodnoty

a_{βα} := β(H_{α}) = q − p

celá čísla, nazýváme je Cartanova čísla polojednoduché algebry 𝔤. Důsledkem odvozených vztahů a 8.1.(5) je, že hodnoty Killingovy formy na kokořenech jsou celočíselné, tj. B(H_{α}, H_{β}) ∈ ℤ. Prostřednictvím vektorů h_{α} vyjádříme Cartanova čísla takto:

a_{βα} = β(H_{α}) = 2\frac{β(h_{α})}{B(h_{α}, h_{α})} = 2\frac{B(h_{β}, h_{α})}{B(h_{α}, h_{α})}.

8.4. Reálná Cartanova algebra. Celá 𝔥^{∗} je generována kořeny, proto množina kořenových vektorů v 𝔥, a tedy i množina kokořenů, generuje celou komplexní Lieovu (abelovskou) algebru 𝔥. Označme

𝔥_{0} = ⟨H_{α}; α ∈ Δ⟩_{ℝ} = ⟨h_{α}; α ∈ Δ⟩_{ℝ}

reálný vektorový podprostor generovaný kokořeny.

Lemma. Zúžení Killingovy formy B na 𝔥_{0} je reálná pozitivně definitní symetrická forma a 𝔥 = (𝔥_{0})_{ℂ}.

Důkaz. B|_{𝔥_{0}} je určena hodnotami na generátorech a ty jsou dokonce celočíselné. Navíc je B(H_{α}, H_{α}) = ∑_{γ∈Δ} (γ(H_{α}))^{2}, zbytek tvrzení je proto zřejmý. □

Protože je zúžení B na celou Cartanovu algebru 𝔥 nedegenerované, odpovídá reálné Cartanově podlagebře 𝔥_{0} v indukovaném izomorfismu reálný vektorový podprostor 𝔥_{0}^{∗} ⊂ 𝔥^{∗}. Tento izomorfismus indukuje symetrickou positivně definitní reálnou formu na 𝔥_{0}^{∗}. Obě tyto reálné definitní formy budeme značit stejně jako obvyklý euklidovský skalární součin ⟨ , ⟩. Pomocí tohoto skalárního součinu můžeme snadno vyjádřit Cartanova čísla ^{cvičení!}

a_{βα} = 2\frac{⟨β, α⟩}{⟨α, α⟩}.

Zejména si všimněme, že všechny kořeny leží v reálné části 𝔥_{0}^{∗}.

8.5. Věta. Množina Δ ⊂ 𝔥_{0}^{∗} všech nenulových kořenů má následující vlastnosti

(1) Pokud α, β ∈ Δ, pak 2\frac{⟨β,α⟩}{⟨α,α⟩} je celé číslo a_{βα}

(2) Pro všechny α, β ∈ Δ je také β − a_{βα}α ∈ Δ

(3) Jsou-li α, tα ∈ Δ, pak t = ±1

Důkaz. Z definice α-řetízku kořenu β a Cartanových čísel je vidět, že 𝔤_{β−a_{βα}α} do něj určitě patří. Ostatní tvrzení jsou pouze přeformulováním již dokázaných. □

8.6. Kořenové systémy. O libovolné konečné množině Δ v euklidovském prostoru řekneme, že je to redukovaný kořenový systém, platí-li pro ni všechny tři vlastnosti z předchozí věty.

Definiční vlastnosti 8.5.(1)-(3) můžeme zformulovat geometričtěji: Nechť V je euklidovský prostor. Pro v ∈ V definujeme zobrazení S_{v}V → V jako reflexi vzhledem k nadrovině ⟨v⟩^{⊥}, tj.

S_{v}(u) = u − 2.(průmět u do ⟨v⟩) = u − 2\frac{⟨u, v⟩}{⟨v, v⟩}v.

Můžeme tedy přeformulovat první dvě vlastnosti takto (1’) Pro všechny α, β ∈ Δ je S_{α}(β) − β celočíselný násobek α. (2’) Pro všechny α, β ∈ Δ je také S_{α}(β) ∈ Δ Konečné množiny v euklidovském prostoru, které splňují pouze první dvě vlast-

nosti se nazývají kořenové systémy.^{13} 8.7. Definice. Nechť Δ je redukovaný kořenový systém. Konečná grupa W izometrií generovaná všemi reflexemi S_{α}, α ∈ Δ, se nazývá Weylova grupa tohoto kořenového systému.

13 Těmito a podobnými objekty se matematikové již dávno zabývali zejména v souvislosti s krystalografickými grupami symetrií.

Je-li 𝔤 polojednoduchá Lieova algebra s Cartanovou podalgebrou 𝔥, pak Weylovu grupu kořenového systému Δ ⊂ 𝔥_{0}^{∗} nazýváme Weylovou grupou algebry 𝔤.^{14}

8.8. Poznámky. Již na první pohled by měl být zřejmý jeden z významů Weylovy grupy. Problém klasifikace polojednoduchých Lieových algeber je totiž podstatným způsobem zredukován do dvou kroků. Nejprve můžeme řešit zcela diskrétní problém jak vypadají všechny kořenové systémy v euklidovských prostorech – to není příliš těžké, v postatě jde o kombinatorické úvahy. Tím získáme (ve skutečnosti spočetný) seznam možností a zbývá ukázat pro které z nich skutečně existují Lieovy algebry a zda jsou určeny jednoznačně (až na izomorfismus) svým kořenovým systémem. K výsledkům této klasifikace se vrátíme později, plné důkazy nebudeme provádět vůbec, lze je najít např. v [FN], [Sa], [Zh].

Z praktického hlediska ovšem mají Weylovy grupy ještě daleko větší význam pro studium reprezentací příslušných algeber. V každé Weylově grupě je samozřejmě S_{α} = S_{−α} a pro každý redukovaný kořenový systém je tedy zapotřebí ke generování Weylovy grupy jen polovina kořenů. Brzy uvidíme, že i pro popis reprezentací není příliš vhodné pracovat se všemi vahami. Naopak, je potřeba vybrat si jich jen vhodnou část a potom můžeme rozpracovat postup použitý pro studium reprezentací 𝔰𝔩(2, ℂ) v kapitole 3. I v tomto klasifikačním problému hraje Weylova grupa klíčovou roli, hraje ji i v problému rozkladů tenzorových součinů, určování násobností a dimenzí reprezentací, atd.

Zajímavější příklady kořenových systémů Lieových algeber a jejich Weylových grup uvedeme až v příští kapitole. Již nyní si ale připomeňme alespoň nejjednodušší případ – algebru 𝔰𝔩(2, ℂ). Kořeny jsou tam pouze dva, jeden odpovídá kořenovému prvku X_{+} , druhý (opačný) kořenovému prvku X_{−}. Reálná část 𝔥_{0}^{∗} je jednorozmněrný euklidovský prostor. Kokořen je tam právě jeden – H ∈ 𝔥. Weylova grupa této algebry je tedy triviální grupa obsahující jediný prvek.

Kořenový systém algebry 𝔰𝔩(2, ℂ)

Všimněme si nyní, že v tomto kořenovém systému jsme učinili ještě jeden dodatečný výběr: zvolili jsme, který z kořenů je ”kladný” a který ”záporný”. Ireducibilní reprezentace pak odpovídaly ”společným vlastním vektorům” pro 𝔥 (tj. vlastním vektorům pro H) s triviální akcí ”všech kladných kořenů” (tj. kořenu X_{+} ). Kupodivu to zrovna takto bude i obecně.

9. Jednoduché kořeny a fundamentální váhy

9.1. Nejprve chceme rozdělit kořeny v polojednoduché algebře 𝔤 s Cartanovou podalgebrou 𝔥 na kladné a záporné. Za tím účelem můžeme zvolit lineární formu L na 𝔤^{∗} takovou, že L(α) ≠ 0 pro všechny kořeny α ∈ Δ a jednoduše definovat kladné a záporné kořeny takto

14 Samozřejmě lze ukázat, že (až na izometrii) je W plně určena algebrou 𝔤.

Δ_{+} = {α ∈ Δ; L(α) > 0}, Δ_{−} = {α ∈ Δ; L(α) < 0}.

Přímo z definice je vidět že každý kořen je buď kladný nebo záporný. Snadno se ověří, že

𝔟 := 𝔥 ⊕ ⨁_{α∈Δ_{+}} 𝔤_{α}

je maximální řešitelná podalgebra. Kladné kořeny jsou pak také charakterizovány ^{cvičení!} vztahem, že příslušné kořenové prvky X_{α} patří do 𝔟. Všimněme si, že je vždy stejně kladných a záporných kořenů, protože Δ = −Δ.

Maximální řešitelná podalgebra 𝔟 obsahující zvolenou Cartanovu podalgebru 𝔥 se nazývá Borelova podalgebra.^{15}

9.2. Jednoduché kořeny. V dalším budeme stále předpokládat, že jsme nějakým způsobem pevně zvolili kladné a záporné kořeny. Kladné kořeny, které nejsou součtem dvou kladných kořenů nazýváme jednoduché kořeny. Kokořeny odpovídající jednoduchým kořenům se nazývají jednoduché kokořeny. Často se také používá název prosté kořeny či kokořeny. Protože všechny kořeny lineárně generují (nad ℝ) celou reálnou 𝔥_{0}^{∗} a jednoduché kořeny generují ostatní, zjišťujeme, že jednoduchých kořenů je nejméně dim𝔥. Pokud je pro dva různé kořeny ⟨α, β⟩ > 0, pak také a_{αβ} > 0 a proto jsou i α − β a β − α kořeny, viz. 8.3. Jeden z nich musí být kladný, zejména tedy nemohou být α a β oba jednoduché kořeny. Skalární součin jednoduchých kořenů je proto vždy nekladný. Uvažme nyní nulovou lineární kombinaci ∑_{i} c_{i}α_{i} = 0 jednoduchých kořenů. Předchozí rovnost můžeme přepsat jako

λ := ∑_{j} c_{i_{j}}α_{i_{j}} = ∑_{k} c_{i_{k}}α_{i_{k}} =: ρ

kde všechny nenulové koeficienty jsou kladné. Nyní podle předchozího je

0 ≤ ⟨λ, λ⟩ = ⟨λ, ρ⟩ ≤ 0

což znamená, že λ = ρ = 0. Přitom ale je hodnota naší formy L definující kladné a záporné kořeny na λ ostře kladná, protože jsou všechny koeficienty kladné. Proto odtud vyplývá, že všechny koeficienty c_{i} jsou nulové. Celkem jsme dokázali, že jednoduché kořeny tvoří bázi 𝔥_{0}^{∗}.

Volba pořadí jednoduchých kořenů zadává tzv. lexikografické uspořádání na 𝔥_{0}^{∗}. Podrobněji, pro dvě reálné váhy λ, μ ∈ 𝔥_{0}^{∗} je λ > μ jestliže je první nenulový koeficient ve vyjádření λ − μ jako lineárních kombinace jednoduchých kořenů větší než nula.

15 Často se také postupuje naopak: zvolí se maximální řešitelná podalgebra 𝔟 (např. všechny horní trojúhelníkové matice v 𝔰𝔩(n, ℂ)), v ní nějaká Cartanova podalgebra (např. diagonální matice) a za kladné kořeny jsou prohlášeny ty, jejichž kořenové prvky X_{α} jsou v 𝔟.

Kořenový systém algebry 𝔰𝔩(3, ℂ)

9.3. Případ 𝔤 = 𝔰𝔩(3, ℂ). V tomto případě je dimenze 𝔥 = {(a, b, c) ∈ ℂ^{3}; a + b + c = 0} rovna 2. Uvažme standardní bázi e^{1}, e^{2}, e^{3} v ℂ^{3∗}, resp. ℝ^{3∗}. Pak můžeme také psát

𝔥_{0}^{∗} = {ae^{1} + be^{2} + ce^{3}; a + b + c = 0}

Pro Cartanovu podalgebru 𝔥 diagonálních matic snadno najdeme právě 6 kořenů e^{i} − e^{j}, i ≠ j.

Volbě Borelovy podalgebry horních trojúhelníkových matic v 𝔤 obsahující 𝔥 odpovídají kladné kořeny

Δ_{+} = {e^{1} − e^{2}, e^{2} − e^{3}, e^{1} − e^{3}}

a jednoduché kořeny jsou e^{1}−e^{2}, e^{2}−e^{3} (třetí je součtem prvních dvou). Killingova forma je dána vztahem B(X, X) = 6 Tr(X^{2}) (viz. příklad 5.3.(5)), odtud B(X, Y) = 6 Tr(X.Y). Je tedy zúžení B na 𝔥_{0} ⊂ ℝ^{3} až na násobek právě indukovaný skalární součin z ℝ^{3}.

Reflexe S_{e^{1} −e^{2}} ∈ W we Weylově grupě zobrazuje

e^{1} − e^{2} ↦ −(e^{1} − e^{2}) e^{1} − e^{3} ↦ e^{2} − e^{3}

Její akce na libovolném H = ae^{1} + be^{2} + ce^{3} spočívá tedy ve výměně souřadnic u e^{1} a e^{2}. Podobně pro zbylé kladné kořeny dostaneme ve W transpozice odpovídajích ^{cvičení!} souřadnic. Celá Weylova grupa je pak izomorfní grupě permutací na 3 prvcích.

Stejným postupem zjistíme, že při volbě Cartanovy podalgebry 𝔥 diagonálních matic v 𝔰𝔩(n, ℂ) a Borelově podalgebře horních trojúhelníkových matic jsou kořeny e^{i} − e^{j}, i ≠ j, kladné jsou ty s i < j. Jednoduché kořeny jsou e^{i} − e^{i+1} a příslušné jednoduché kokořeny jsou H_{i} = e_{i} − e_{i+1} pro 1 ≤ i ≤ n − 1. Z příslušného rozkladu na kořenové podprostory 𝔤_{α} vidíme, že 𝔰𝔩(n, ℂ) je skutečně polojednoduchá. _{cvičení!}

9.4. Váhy reprezentace. Pro další úvahy nyní zvolme pevně polojednoduchou Lieovu algebru 𝔤 s Cartanovou podalgebrou 𝔥. Zvolme dále pevně rozklad Δ =

Kořenový systém algebry 𝔰𝔩(4, ℂ)

Δ_{+} ∪ Δ_{−} a pořadí jednoduchých kořenů v 𝔥_{0}^{∗}. Dále budeme užívat značení

𝔫_{−} = ⊕_{α∈Δ_{−}} 𝔤_{α} 𝔫_{+} = ⊕_{α∈Δ_{+}} 𝔤_{α}

tj. 𝔤 = 𝔫_{−} ⊕ 𝔥 ⊕ 𝔫_{+} (součet tří vektorových podprostorů, které jsou podalgebry).

Váhou reprezentace φ: 𝔤 → 𝔤𝔩(V) rozumíme váhu zúžené reprezentace φ|_{𝔥}, tj. takovou lineární formu λ ∈ 𝔥^{∗}, že existuje společný váhový vektor v ∈ V pro všechny H ∈ 𝔥, tj. φ(H)(v) = λ(H).v. Dimenzi podprostoru V_{λ} všech váhových vektorů s vahou λ nazýváme násobností váhy λ.^{16}

V 3. kapitole jsme výsledky o reprezentacích 𝔰𝔩(2, ℂ) odvodili z jednoduchého výpočtu akce závorky. Tentýž trik můžeme zopakovat i obecně: Nechť je λ váha a v k ní příslušný váhový vektor reprezentace φ a α ∈ 𝔥_{0}^{∗} nechť je kořen. Pak

φ(H)φ(X_{α})(v) − φ(X_{α})φ(H)(v) = φ([H, X_{α}])(v) = α(H)φ(X_{α})(v)

a tedy je φ(X_{α})(v) váhovým vektorem s vahou λ+α. Toto jednoduché pozorování je klíčem k úplnému popisu všech ireducibilních reprezentací. Začneme podrobnějším zkoumáním vlastností vah.

9.5. Věta. Nechť φ: 𝔤 → 𝔤𝔩(V) je konečněrozměrná ireducibilní reprezentace komplexní polojednoduché Lieovy algebry 𝔤.

(1) Pro každou váhu λ reprezentace φ a všechny kokořeny H_{α} platí λ(H_{α}) ∈ ℤ.

(2) Existuje jen konečně mnoho vah reprezentace φ a V je generováno váhovými vektory.

(3) Množina vah reprezentace je invariantní vůči akci Weylovy grupy W.

(4) Násobnosti m_{λ} vah λ jsou invariantní vůči akci Weylovy grupy W.

Důkaz. (1): Každé H_{α} je obsaženo v podalgebře g^{(α)} izomorfní 𝔰𝔩(2, ℂ), zúžení φ na 𝔤^{(α)} je opět reprezentace a zúžení λ na H_{α} ℂ je její váha. Proto musí být λ(H_{α}) ∈ ℤ.

16 V uvažovaném případě reprezentací Cartanovy podlagebry jsou vždy všechny společné kořenové vektory (viz. definice váhy z 7.5), skutečně vlastní vektory. Za chvíli to odvodíme, obecně to plyne ihned i z toho, že u polojednoduchých algeber je Jordanův rozklad operátoru φ(H) roven součtu reprezentací z Jordanova rozkladu H, ale H má nulovou nilpotentní část.

(2): Dimenze V je konečná a váhové vektory odpovídající různým vahám jsou lineárně nezávislé, proto vah může být jen konečně mnoho. Pro všechny jednoduché kořeny α_{i} jsou φ(H_{α_{i}}) diagonalizovatelné a přitom spolu komutují. Z elementární lineární algebry je známo, že v takovém případě jsou diagonalizovatelné všechny naráz. Všechny ostatní kořeny jsou jejich lineární kombinace, tím je tedy tvrzení dokázané.

(3): Předpokládejme nejprve λ(H_{α}) > 0. Orbita 𝔤^{(α)}.v musí být ireducibilní reprezentace 𝔰𝔩(2, ℂ), vektory (X_{±α})^{k}.v jsou buď nezávislé nebo nulové a podle 9.4 jsou všechny váhovými vektory s vahami λ ± kα. Pokud by v byl vektor s triviální akcí X_{α}, pak by dimenze této orbity byla právě λ(H_{α}) + 1 a byla by generována všemi (X_{−α})^{k}.v, k = 0, …, λ(H_{α}). Obecně je váha každého dalšího vektoru v takové posloupnosti vždy o dvě menší a vždy budou vektory v, X_{−α}v, …, (X_{−α})^{r}v s r = λ(H_{α}) nezávislé, viz. 3.3. Zejména tedy existuje váhový vektor s vahou λ − λ(H_{α})α = S_{α}(λ). Pro λ(H_{α}) = 0 je tvrzení zřejmé, při λ(H_{α}) < 0 si stačí uvědomit, že H_{−α} = −H_{α} a S_{α} = S_{−α}.

(4): Protože je navíc zobrazení dané iterovanou akcí (X_{α})^{r} na váhovém prostoru V_{λ} injektivní, splňují násobnosti m_{λ} ≤ m_{S_{α}λ}. Protože je ale S_{α} involutivní, plyne odtud rovnost. □

9.6. Nechť φ: 𝔤 → 𝔤𝔩(V) je ireducibilní konečněrozměrná reprezentace. Nejvyšší váha reprezentace φ je největší z vah λ této reprezentace ve zvoleném uspořádání na 𝔥_{0}^{∗}. Vektorem nejvyšší váhy rozumíme libovolný váhový vektor s nejvyšší vahou.

Protože má φ jen konečně mnoho vah, nejvyšší váha určitě existuje. Je to právě ta váha λ, pro kterou λ + α není vahou pro žádné α ∈ Δ_{+} . Ekvivalentně, nejvyšší váhový vektor v ∈ V je takový vektor, pro který je 𝔫_{+} .v = {0} a φ(H) = λ(H).v pro všechny H ∈ 𝔥. Stejná definice nejvyšší váhy a vektorů nejvyšší váhy má smysl i pro libovolné konečněrozměrné reprezentace.

9.7. Lemma. Nechť φ je libovolná konečněrozměrná reprezentace 𝔤 → 𝔤𝔩(V) a nechť v ∈ V je vektor nejvyšší váhy. Potom orbita 𝔫_{−}.v ⊂ V je ireducibilní a invariantní podprostor lineárně generovaný v a vektory

v_{i_{1} ...i_{k}} = X_{α_{i_{1}}} .X_{α_{i_{2}}} … X_{α_{i_{k}}} .v

pro k = 1, 2, . . ..

Důkaz. Je zcela analogický jako v případě 𝔤 = 𝔰𝔩(2, ℂ) v kapitole 3. □ _{cvičení!}

9.8. Věta. Nechť φ: 𝔤 → 𝔤𝔩(V) je ireducibilní konečněrozměrná reprezentace. (1) Existuje právě jedna nejvyšší váha λ reprezentace φ.

(2) Příslušný váhový vektor je určen jednoznačně až na násobek a λ(H_{α_{i}}) ≥ 0 pro všechny prosté kokořeny α_{i}.

(3) Všechny ostatní váhy reprezentace φ jsou pak tvaru λ − ∑_{i} n_{i}α_{i}. Zejména se dvě různé váhy reprezentace φ mohou lišit jen o celočíselný násobek nějakého kořenu.

(4) Dvě ireducibilní reprezentace se stejnou nejvyšší vahou jsou isomorfní.

Důkaz. (1)-(3): Podle předchozího existuje ve V vektor v nejvyšší váhy λ. Příslušný podprostor musí, díky předpokladu ireducibility, být roven celému V a z explicitního výrazu pro generátory v předchozím lemmatu vyplývá dokazované tvrzení o ostatních vahách. Zejména je vidět, že žádná z nich nemůže být rovna λ.

(4): Uvažme přímý součet reprezentací φ a φ′ na vektorových prostorech V a V′. Nechť v a v′ jsou příslušné (až na násobek jednoznačně dané) vektory společné nejvyšší váhy λ. Pak je (v, v′) ∈ V ⊕ V′ opět vektorem nejvyšší váhy λ a ekvivariantní projekce V ⊕ V′ → V zobrazuje (v, v′) ↦ v. Pak ovšem ireducibilní podprostor W ⊂ V ⊕ V′ generovaný (v, v′) je touto projekcí zobrazen na V a jádro této projekce je nutně nulové. Celkem je tedy W isomorfní s V, ale ze stejných důvodů je také isomorfní s V′. □

9.9. Definice. Označme α_{1}, …, α_{k}, k = dim𝔥, všechny jednoduché kořeny ve zvoleném pořadí a H_{1}, …, H_{k} odpovídající jednoduché kokořeny. Váhy λ ∈ 𝔥_{0}^{∗} splňující λ(H_{α}) ∈ ℤ, α ∈ Δ, a λ(H_{i}) ≥ 0 pro všechny i = 1, …, k, se nazývají dominantní váhy algebry 𝔤.^{17} Dominantní váhy λ_{i} definované vztahem λ_{i}(H_{j}) = δ_{ij}, tj. formy z duální báze v 𝔥_{0}^{∗} k bázi z jednoduchých kokořenů, nazýváme fundamentální váhy.

9.10. Konstrukce reprezentací. Předpokládejme, že V a W jsou prostory ireducibilních reprezentací φ a ψ s nejvyššími vahami λ a μ. Uvažme tenzorový součin

φ ⊗ ψ : 𝔤 → 𝔤𝔩(V ⊗ W)

reprezentací φ a ψ. Jsou-li v ∈ V a w ∈ W příslušné vektory nejvyšší váhy a X ∈ 𝔫_{+} , H ∈ 𝔥 pak

(φ ⊗ ψ)(X)(v ⊗ w) = φ(X)(v) ⊗ w + v ⊗ ψ(X)(w) = 0
(φ ⊗ ψ)(H)(v ⊗ w) = φ(H)(v) ⊗ w + v ⊗ ψ(H)(w) = (λ + μ)(H)(v ⊗ w).

Jde tedy opět o vektor dominantní nejvyšší váhy v reprezentačním prostoru, proto generuje ireducibilní reprezentaci s touto nejvyšší váhou.

Celkem vidíme, že pokud se nám podaří sestrojit ireducibilní reprezentace s fundamentálními váhami, pak již máme dokázánu existenci a jednoznačnost ireducibilních reprezentací se všemi dominantními váhami.

9.11. Případ 𝔤 = 𝔰𝔩(3, ℂ).

V 9.3 jsme odvodili, že v tomto případě máme dva jednoduché kořeny e^{1} − e^{2} a e^{2} − e^{3} a jednoduché kokořeny jsou pak e_{1} − e_{2} a e_{2} − e_{3}. Přitom je zúžení Cartanovy-Killingovy formy na 𝔥_{0}^{∗} ≃ ℝ^{2} až na násobek indukovaný skalární součin z ℝ^{3} a proto jsou formy v duální bázi e^{1} a e^{1} + e^{2}. V tomto případě je snadné najít reprezentace s těmito nejvyššími vahami.

Uvažme nejprve standardní reprezentaci na ℂ^{3} (tzn. zadanou vložením 𝔰𝔩(3, ℂ) ⊂ 𝔤𝔩(3, ℂ)). Vektor (1, 0, 0) ∈ ℂ^{3} pak je vlastním vektorem s vahou e^{1}. Protože je množina vah invariantní vůči Weylově grupě a ta v našem případě působí ”permutacemi indexů”, musí být e^{2} a e^{3} váhy. Tím ale už máme vyčerpánu dimenzi 3, proto žádné další už nejsou. Váha e^{1} je nejvyšší, v_{1} = (1, 0, 0) je příslušný vektor nejvyšší váhy. Najděte si kořenové prvky, které dají další dva generátory v_{2} = X_{α}.v = (0, 1, 0) a v_{3} = X_{β}.v = (0, 0, 1) s vahami e^{2} a e^{3}. _{cvičení!}

17 Často se jim říká algebraicky dominantní pro odlišení od pojmu analyticky dominantních vah.

Ve skutečnosti totiž každá algebraicky dominantní váha určuje reprezentaci Lieovy algebry, ale ta odpovídá pouze reprezentaci jednoduše souvislé Lieovy grupy s algebrou 𝔤. Pokud je uvažovaná Lieova grupa G jiná, je zapotřebí silnější požadavek analytické dominance.

Dále uvažme prostor ℂ^{3} ∧ ℂ^{3} ⊂ ℂ^{3} ⊗ ℂ^{3} se zúžením tenzorového součinu standardní reprezentace. Pak vektor v_{1} ∧ v_{2} má váhu e^{1} + e^{2}. Akcí Weylovy grupy obdržíme váhy e^{1} + e^{3} a e^{2} + e^{3}. Dimenze uvažovaného prostoru je 3, více vah tam tedy již být nemůže. Všimněme si, že tato reprezentace je izomorfní duální reprezentaci k předchozí, tj. ℂ^{3∗}: její váhy jsou opačné (e^{1} + e^{2} = −e^{3} atd.) a tak to přesně má být, protože z definice (φ^{∗}(X)(v^{∗}))(v) = −v^{∗}(φ(X)(v)).

Váhy standardní reprezentace ℂ^{3} a její duální reprezentace

Celkem tedy vidíme, že existuje bijektivní korespondence mezi dominantními vahami ae^{1} + be^{2} a ireducibilními reprezentacemi. Přitom dominantní jsou právě lineární kombinace ae^{1} + be^{2} s a ≥ b ≥ 0. Navíc víme (alespoň přibližně) kde tyto reprezentace hledat: v tensorovém součinu S^{a−b}ℂ^{3} ⊗ ⊗^{b}ℂ^{3∗}.

Uvedeme si ještě alespoň dva příklady, tenzorové součiny S^{3}ℂ^{3} a ℂ^{3} ⊗ ℂ^{3^{∗}}.

Váhy reprezentací S^{3}ℂ^{3} a ℂ^{3} ⊗ ℂ^{3∗}

V prvém případě jde o ireducibilní reprezentaci s nejvyšší vahou 3e^{1} (zkuste přímo dokázat, jak je tomu pro obecné S^{k}(ℂ^{3})!) a násobnosti všech vah jsou opět _{cvičení!} jedna, protože prostor reprezentace je právě desetirozměrný a z akce Weylovy grupy vyplývá že váhy ve vrcholech trojúhelníku na obrázku nutně jsou vahami studované reprezentace a pak už z teorie plyne, že všechny ostatní ”opuntíkované” musí být mezi váhami také (součet váhových prostorů na přímce ve směru jednoho z kořenů α tvoří irep příslušné 𝔤^{(α)} a proto musí vyplnit celý ”interval”). _{cvičení!}

V druhém případě je situace složitější, protože prostor lineárních zobrazení je rozložitelný na stopovou a bezestopou část. Stopová část odpovídá ireducibilní triviální reprezentaci ℂ. Bezestopá zobrazení pak tvoří ireducibilní reprezentaci s nejvyšší vahou 2e^{1} + e^{2}. To že tam taková váha nutně musí být vyplývá z toho, že v tenzorovém součinu se nachází součty všech vah (stačí vzít tensorové součiny příslušných váhových vektorů). V našem případě tam tedy musí být e^{1} + (−e^{3}) = 2e^{1} + e^{2}. (Ještě lépe: ℂ^{3∗} ≅ ℂ^{3} ∧ ℂ^{3}, tedy má nejvyšší váhu e^{1} + e^{2}, proto je nyní 2e^{1} + e^{2} dokonce nejvyšší vahou.) Stejnou úvahou jako v předešlém případě zjistíme, že tam musí patřit také váha 2e^{1} − e^{2} (symetrie vůči kořenu e^{1} − e^{2}), pak ovšem také nulová váha a váha −e^{1} + e^{2} (symetrie vůči e^{1} − e^{3}), podobně se ověří, že i všechny ostatní váhy tam patří. Z toho, co jsme řekli ovšem ještě nevyplývá, že v bezestopé části by násobnost nulové váhy měla být tři. Otázka násobnosti vah je obecně dosti složitá, v našem případě je však přímo vidět, že v celém ℂ^{3} ⊗ ℂ^{3∗} jsou tři nezávislé vektory e_{i} ⊗ e^{i}, i = 1, 2, 3, s vahou 0. V tomto trojrozměrném podprostoru je potom dvourozměrný podprostor v bezestopé části, jednorozměrná je právě stopová část. Celkem dohromady jsme již našli 9-ti rozměrný přímý součet ^{cvičení!} vlastních podprostorů, což je potřebná dimenze. Proto se další váhy již nemohou vyskytovat.

9.12. Příklad 𝔰𝔬(5, ℂ). Začněme nejprve nižšími dimenzemi. Algebra 𝔰𝔬(2, ℂ) ≅ ℂ není polojednoduchá, v 3.2 jsme ukázali, že 𝔰𝔬(3, ℂ) ≅ 𝔰𝔩(2, ℂ).

Cartanova podalgebra 𝔰𝔬(4, ℂ) je dvourozměrná, jde o matice tvaru

( \begin{matrix}a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −b \end{matrix} ) .

Najdeme zde čtyři kořeny e^{1} + e^{2}, e^{1} − e^{2}, −e^{1} + e^{2} a −e^{1} − e^{2}, čímž vyčerpáme dimenzi 6 této algebry. Kořeny tvoří dvě na sebe kolmé přímky procházející počátkem. Díky kolmosti dostáváme výsledek, že algebru lze rozložit na přímý součet dvou podalgeber isomorfních s 𝔰𝔩(2, ℂ).

Konečně Lieova algebra 𝔰𝔬(5, ℂ) má Cartanovu podalgebru isomorfní Cartanově podalgebře 𝔰𝔬(4, ℂ):

( \begin{matrix}a & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −b & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Má proto tytéž kořeny, díky nové dimenzi přibývají další e^{1}, e^{2}, −e^{1} a −e^{2}. Máme tedy celkem osm kořenů, spolu s dimenzí Cartanovy podalgebry dostáváme už dimenzi deset, tedy žádné další kořeny neexistují. Za kladné kořeny lze zvolit např.

Kořenový systém algebry 𝔰𝔬(4, ℂ)

e^{1} − e^{2}, e^{1}, e^{1} + e^{2} a e^{2}. V tomto případě jsou e^{1} − e^{2} a e^{2} jednoduché. Jim odpovídající kokořeny jsou e_{1} − e_{2} a 2e_{2}.

Zaměříme se nyní na reprezentace 𝔰𝔬(5, ℂ). Fundamentální váhy jsou e^{1} a \frac{1}{2}(e^{1}+ e^{2}). Všechny dominantní váhy jsou pak jejich nezáporné celočíselné kombinace, leží tedy v oblasti úhlu, který spolu obě fundamentální váhy svírají. (Této oblasti se říká Weylova komora.)

Je snadné ověřit, že standardní reprezentace 𝔰𝔬(5, ℂ), tedy vložení i : 𝔰𝔬(5, ℂ) → 𝔤𝔩(5, ℂ), má nejvyšší váhu e^{1}, tedy jednu z fundamentálních. Další váhy dostaneme akcí Weylovy grupy: e^{2}, −e^{1} a −e^{2}. To však nestačí, protože celková dimenze je 5. Je však zřejmé, že také nulový vektor je váhový v této reprezentaci, přestože není v orbitě nejvyšší váhy pro akci Weylovy grupy; tvoří samostatnou orbitu.

Kořenový systém a standardní reprezentace 𝔰𝔬(5, ℂ)

Zajímavá je druhá antisymetrická tensorová mocnina standardní reprezentace, tedy i ∧ i : 𝔰𝔬(5, ℂ) → 𝔤𝔩(ℂ^{5} ∧ ℂ^{5}). Jde o reprezentaci s nejvyšší váhou e^{1} + e^{2}, která je isomorfní reprezentaci ad. Váhy jsou totiž ±e^{1}, ±e^{2} a ±e^{1} ± e^{2}, k tomu navíc dvojnásobná váha nulová odpovídající Cartanově podalgebře.

Algebra 𝔰𝔬(5, ℂ) má také reprezentaci s nejvyšší váhou \frac{1}{2}(e^{1} + e^{2}), tedy tou druhou fundamentální. Jde o speciální typ, kterým se říká spinové reprezentace.

9.13. Charaktery. Formy v 𝔥_{0}^{∗} vyjádřitelné jako celočíselné lineární kombinace fundamentálních vah se nazývají celočíselné váhy. Množinu všech celočíselných vah budeme značit I a ℤI bude značit volný modul generovaný prvky I nad ℤ, tzv. grupový okruh.

Aby se odlišilo sčítání v I a sčítání v ℤI, budeme psát operaci v konstruovaném grupovém okruhu multiplikativně. Váhu μ ∈ I budeme proto zapisovat jako e^{μ} v ℤI, a součet vah μ + ν ∈ I se zapíše e^{μ} · e^{ν} = e^{μ+ν} ∈ ℤI.

Formální součet χ_{λ} = charV (λ) = ∑_{μ∈I}(dimV_{μ})e^{μ} nazýváme charakter reprezentace λ, přičemž V (λ) je ireducibilní reprezentace s nejvyšší váhou λ a V_{μ} jsou váhové prostory odpovídající jednotlivým vahám. Evidentně je tato formálně nekonečná suma ve skutečnosti konečná. Charakter nám tedy formálně popisuje váhy reprezentace společně s jejich násobnostmi.

Nechť φ : 𝔤 → 𝔤𝔩(V (λ)) je reprezentace Lieovy algebry 𝔤 odpovídající reprezentaci φ : G → GL(V (λ)) Lieovy grupy G. Máme tedy vztah: φ(expX) = expφ(X). Nechť dále 𝔤 je polojednoduchá s váhami μ_{1}, μ_{2}, … odpovídajícími váhovým vektorům v_{1}, v_{2}, ⋯ ∈ V (λ). V bázi V (λ) dané váhovými vektory má každý operátor φ(H) pro H ∈ 𝔥 diagonální tvar s prvky μ_{r}(H) na diagonále. Operátor expφ(H) má proto také diagonální tvar s prvky expμ_{r}(H) na diagonále, proto trφ(expH) = ∑_{μ}(dimV_{μ}) expμ(H). Tomuto číslu se někdy říká charakter reprezentace φ Lieovy grupy G v bodě expH ∈ G. Přitom prvky ℤI lze chápat jako funkce ∑_{ν} m_{ν}e^{ν} : 𝔥 → ℂ podle předpisu H ↦ ∑_{ν} m_{ν} expν(H). Zejména tedy platí, že trφ(expH) = χ_{λ}(H).

Tuto konstrukci ještě modifikujme tak, že prvek e^{ν} ∈ ℤI budeme chápat místo původního expν( ) jako funkci exp(2πiν( )), spolu s homomorfním rozšířením na celé ℤI. Uvažujme tedy funkce tvaru exp∘2πiν pro ν ∈ I, zúžené na 𝔥_{0}. Jsou to spojité homomorfismy 𝔥_{0} na jednotkovou kružnici s nulovým prvkem 1 ∈ ℂ. Víme, že na kokořenech jsou všechny váhy celočíselné, proto mřížka celočíselných lineárních kombinací kokořenů T leží v jádru zobrazení exp∘2πiν. Je tedy definováno toto zobrazení na 𝔥_{0}/T = 𝕋, což je isomorfní toru (ℝ/ℤ)^{dim 𝔥_{0}}. Charaktery jsou nyní u grup definovány jako komplexní funkce na torech. Dá se ukázat, že okruh ℤI je takto isomorfní okruhu G možných charakterů polojednoduché grupy G.

9.14. Weylova formule pro charaktery. Klíčovým výsledkem pro popis vlastností reprezentací pomocí seznamu jejich vah je tzv. Weylova formule. Abychom ji alepsoň zformulovali, musíme zavést několik pojmů.

Označme ω_{1}, ω_{2}, … fundamentální váhy. Celočíselnou váhu nazveme ostře dominantní, jestliže je vyjádřitelná jako lineární kombinace fundamentálních vah s kladnými koeficienty. Nejmenší z ostře dominantních vah nazýváme nejnižší váha algebry 𝔤, značíme ji ρ. Je tedy ρ součtem všech fundamentálních vah, nebo také nejmenší dominantní váhou uvnitř (ne na okraji) Weylovy komory. Dá se ukázat, že ρ je zároveň polovinou součtu všech kladných kořenů, tedy ρ = ∑ ω_{i} = 1/2 ∑_{Δ_{+}} α.

Pro každý prvek S Weylovy grupy zavádíme jeho znaménko detS = ±1 podle toho jestli zachovává nebo obrací orientaci (je to opravdu determinant příslušné lineární isometrie). Každý takový prvek indukuje operaci na ℤI předpisem Se^{μ} = e^{S(μ)}. Pro celou Weylovu grupu tak dostáváme operátor ∑_{S∈W} (detS)S, který váze μ ∈ I přiřadí prvek ∑_{S∈W} (detS)(Se^{μ}) = ∑_{S∈W} (detS)(e^{S(μ)}). Tuto operaci budeme značit A a nazýváme ji alternující operátor Weylovy grupy.

Věta (Weyl). Pro dominantní váhu λ polojednoduché algebry 𝔤 platí:

χ_{λ} = A(λ + ρ)/Aρ

Věta tvrdí, že dělení A(λ + ρ) prvkem Aρ v okruhu ℤI dopadne beze zbytku, s výsledkem χ_{λ}.

Všimněme si krásy tohoto tvrzení: Na levé straně je výraz, který popisuje úplně váhy obsažené v prostoru reprezentace s nejvyšší vahou λ, napravo je výraz, který lze relativně snadno spočíst a nepotřebujeme k tomu nic, než obecné znalosti o Weylově grupě W a nejnižší váhu ρ.

Důkaz Weylovy formule neuvádíme pro jeho délku, přestože není příliš těžký. Tzv. ”moderní” důkaz, který využívá vlastností Casimirova a Laplaceova operátoru, je podán v [Sa] i [FH]. Navíc [FH] uvádí původní ”klasický” Weylův důkaz, jenž dochází k výsledku s pomocí integrování charakterů (jako komplexních funkcí) na kompaktních grupách.

Ukážeme si fungování Weylovy formule na příkladě.

9.15. Příklad. Uvažujme algebru 𝔰𝔩(2, ℂ) a její reprezentaci s nejvyšší váhou λ = me^{1} = mω_{1} pro libovolné m ∈ ℕ. V tomto případě máme ρ = e^{1} = ω_{1} a Weylova grupa se skládá pouze ze dvou prvků, z nichž jeden je identita a druhý obrací znaménko. Celkem dostáváme

χ_{λ} = \frac{A(λ + ρ)}{Aρ} = \frac{e^{(m+1)ω_{1}} − e^{−(m+1)ω_{1}}}{e^{ω_{1}} − e^{−ω_{1}}} =
= e^{mω_{1}} + e^{(m−2)ω_{1}} + ⋯ + e^{−(m−2)ω_{1}} + e^{−mω_{1}}

To přesně souhlasí s výsledky kapitoly 3.

V důkazu Weylovy formule, ale i v důkazu následujícího jejího důsledku, se uplatňuje toto lemma.

Lemma. Pro nejnižší váhu ρ platí:

Aρ = ∏_{α∈Δ_{+}} (e^{α/2} − e^{−α/2}) = e^{ρ} ∏_{α∈Δ_{+}} (1 − e^{−α}) = e^{−ρ} ∏_{α∈Δ_{+}} (e^{α} − 1)

Důkaz. Je zřejmé, že všechny tři výrazy se vzájemně sobě rovnají, stačí tedy ukázat, že jeden z nich je roven Aρ. K tomu je třeba (snadno dokazatelné) pozorování, že prvky Aμ jsou antisymetrické vzhledem k W (tedy S · Aμ = detS · Aμ pro všechny S ∈ W), a dále že všechny takové antisymetrické prvky v ℤI tvoří podokruh generovaný výrazy tvaru Aν pro ostře dominantní váhy ν.

Protože parita prvku Weylovy grupy S ∈ W je shodná s paritou počtu kladných kořenů, které jsou akcí S zobrazeny na záporné kořeny, je první ze tří výrazů tvrzení lemmatu antisymetrický. Druhý výraz evidentně obsahuje sčítanec e^{ρ}, a další sčítance tvaru e^{ρ−∑ α} pro nějaké kladné kořeny α. Proto jsou všechny tyto sčítance menší než ρ, a nemohou být ostře dominantní, jelikož ρ je nejmenší taková váha. Jako antisymetrický prvek ℤI je tvaru ∑ m_{ν}Aν pro ostře dominantní váhy ν, může však takto obsahovat jediný prvek tohoto tvaru, a to Aρ. □

9.16. Důsledek (Weylova formule pro dimenzi).

dimV (λ) = \frac{∏_{α∈Δ_{+}} ⟨λ + ρ, α⟩}{∏_{α∈Δ_{+}} ⟨ρ, α⟩}

Než se pustíme do důkau, demonstrujeme tuto formuli na standardní reprezentaci 𝔰𝔬(5, ℂ) z příkladu 9.12. Ta měla nejvyšší váhu λ = e^{1}, nejnižší váha algebry je ρ = \frac{1}{2}(3e^{1} + e^{2}). Dostáváme

⟨ρ, e^{1}⟩ = \frac{3}{2}  ⟨λ, e^{1}⟩ = 1
⟨ρ, e^{2}⟩ = \frac{1}{2}  ⟨λ, e^{2}⟩ = 0
⟨ρ, e^{1} + e^{2}⟩ = 2  ⟨λ, e^{1} + e^{2}⟩ = 1
⟨ρ, e^{1} − e^{2}⟩ = 1  ⟨λ, e^{1} − e^{2}⟩ = 1

dimV (λ) = \frac{\frac{5}{2} · \frac{1}{2} · 3 · 2}{\frac{3}{2} · \frac{1}{2} · 2 · 1} = 5

a to je správný výsledek.

Důkaz. Dimenzi reprezentace V (λ), která je rovna součtu všech koeficientů m_{μ} v charakteru χ_{λ} = ∑ m_{μ}e^{μ}, bychom mohli dostat pomocí homomorfismu ℤI do ℂ takového, který by každý prvek tvaru e^{ν} zobrazil na 1. V tomto případě však nemůžeme použít Weylovu formuli, protože obraz Aρ by byl nulový.

Použijeme tedy jinou konstrukci. Zavedeme homomorfismus j ∘ Ψ : ℤI → ℂ jdoucí přes okruh mocninných řad:

ℤI →^{Ψ} ℂ[[t]] →^{j} ℂ

Přitom j bude pouhým výběrem konstantního členu mocninné řady. Ψ definujeme pomocí sady homomorfismů Ψ_{μ} pro každou váhu μ ∈ I:

Ψ_{μ} : ℤI → ℂ[[t]] e^{β} ↦ exp(⟨μ, β⟩ · t) = e^{⟨μ,β⟩·t},

kde poslední výraz e^{x} značí exponenciální funkci na ℂ. Rozvinutím řad pro exponenciální funkci dostaneme ověření, že konstantní člen Ψ_{μ}(χ_{λ}) pro každé μ je opravdu dimenzí reprezentace V (λ).

Ukážeme, že Ψ_{μ}(Aν) = Ψ_{ν}(Aμ). Skutečně

Ψ_{μ}(Aν) = ∑_{S∈W}(detS)e^{⟨μ,S(ν)⟩·t} = ∑_{S∈W}(detS)e^{⟨S^{−1} (μ),ν⟩·t}

= ∑_{S∈W}(detS)e^{⟨S(μ),ν⟩·t} = Ψ_{ν}(Aμ)

Klademe Ψ = Ψ_{ρ} a máme

Ψ(Aμ) = Ψ_{ρ}(Aμ) = Ψ_{μ}(Aρ) = ∏_{α∈Δ_{+}} (e^{⟨μ,α⟩·t/2} − e^{−⟨μ,α⟩·t/2})

= ( ∏_{α∈Δ_{+}} ⟨μ, α⟩)t^{#Δ_{+}} + členy vyššího stupně v t,

kde #Δ_{+} je počet kladných kořenů. Odsud po vydělení dostáváme

Ψ(χ_{λ}) = Ψ(A(λ + ρ))/Ψ(Aρ)
= \frac{∏_{α∈Δ_{+}} ⟨λ + ρ, α⟩}{∏_{α∈Δ_{+}} ⟨ρ, α⟩} + členy kladného stupně v t.

□

9.17. Weylova formule má další důsledky. Uvedeme alespoň některé z nich.

Zavedeme tzv. dělící funkci na množině I takto: P(μ) je počet způsobů, jak lze váhu μ rozepsat na celočíselný součet kladných kořenů. Zřejmě je P(μ) = 0 pro váhy, které nejsou kladné (mimo nulové váhy) a P(0) = 1.

Důsledek (Kostantova formule). Násobnost m_{μ} váhy μ je

m_{μ} = ∑_{S∈W} detS · P(S(λ + ρ) − ρ − μ).

Důkaz. Protože 1/(1 − e^{−α}) = 1 + e^{−α} + e^{−2α} + …, dostáváme (∏_{α∈Δ_{+}} (1 − e^{−α}))^{−1} = ∑_{I} P(μ)e^{−μ}. (Nekonečné řady tohoto typu lze násobit díky jejich speciálním vlastnostem, které neuvádíme, viz např. [Sa].)

Díky lemmatu 9.15 lze Weylovu formuli pro charaktery zapsat

χ_{λ} = A(λ + ρ)e^{−ρ}/ ∏_{α∈Δ_{+}} (1 − e^{−α}).

Po dosazení máme

χ_{λ} = ∑ m_{μ}e^{μ} = ( ∑_{S∈W} detS · e^{S(λ+ρ)−ρ} ) · ( ∑_{ν∈I} P(ν)e^{−ν}).

Roznásobíme-li výraz napravo, vidíme, že příspěvek pro m_{μ} (μ je pevné) dostaneme pro taková ν, pro něž S(λ + ρ) − ρ − ν = μ. Odtud již plyne tvrzení. □

Tento výsledek je však velmi nepraktický, protože funkce P se nedá snadno vyčíslit. Existují však formule, jejichž algoritmizace je mnohem snadnější.

Pro celočíselné lineární formy μ zavádíme funkci ε(μ) = ε_{μ} = detT, jestliže existuje prvek Weylovy grupy T takový, že μ = T (λ + ρ) − ρ, a ε_{μ} = 0, jestliže takový prvek neexistuje. Zobrazení λ ↦ T (λ + ρ) − ρ se nazývá posunutá akce grupy W s počátkem −ρ, často také afinní akce.

Důsledek (Klimykova formule). Násobnost m_{μ} váhy μ je

m_{μ} = ε_{μ} − ∑_{1≠S∈W} detS · m_{μ+ρ−S(ρ)} ;

prvek 1 ∈ W značí jednotku grupy W.

Důkaz. Přepíšeme Weylovu formuli na ∑ m_{μ}e^{μ} · ( ∑_{W} detS · e^{S(ρ)}) = ∑_{W} detT · e^{T (λ+ρ)} . Budeme upravovat levou stranu na ∑_{W} ( ∑_{μ∈I} detS · m_{μ}e^{μ}e^{S(ρ)}), což se rovná ∑_{W} ( ∑_{μ∈I} detS · m_{S(μ)}e^{S(μ+ρ)} ), protože pokud μ probíhá celé I, pak S(μ) probíhá také celé I pro pevné S ∈ W. Dále pro každé S zavedeme ν výrazem S(μ + ρ) = ν + ρ, a ν probíhá v tomto případě také celé I. Dostáváme tak levou stranu jako ∑_{W} ( ∑_{ν∈I} detS · m_{ν+ρ−S(ρ)} e^{ν+ρ} ), což je rovno ∑_{μ∈I} ( ∑_{W} detS · m_{μ+ρ−S(ρ)} )e^{μ+ρ} . Porovnáme-li tento výsledek s pravou stranou výše uvedené Weylovy formule, vidíme, že koeficient u e^{μ+ρ} je roven detT, pokud μ + ρ = T (λ + ρ) pro nějaké (v tomto případě jediné) T, jinak je tento koeficient nulový. To je však právě hodnota ε_{μ}.

Celkem máme m_{μ} +∑_{1≠S∈W} detS ·m_{μ+ρ−S(ρ)} = ε_{μ}, což jsme chtěli ukázat. □

Klimykova formule umnožňuje induktivní výpočet násobností jednotlivých vah. Všimněme si, že ρ − S(ρ) je pro každé S nenulové dominantní (tedy nenulovou lineární kombinací kladných kořenů s nezápornými celočíselnými koeficienty). Pro násobnost m_{μ} proto dostáváme vyjádření s pomocí násobností vah vyšších než μ, plus výraz ε_{μ}, který vyžaduje test přes celou Weylovu grupu. Začneme-li tedy počítat násobnosti vah od m_{λ} = 1, můžeme brát váhy dále sestupně a spočítat tak všechny násobnosti, až dorazíme k požadované váze μ. Efektivitu tohoto algoritmu snižuje pozorování, že díky faktoru detS se mnoho násobností v konečné sumě pro μ vzájemně odečte, a jejich příspěvek byl tedy spočítán zbytečně.

9.18. Tenzorové součiny reprezentací. Vezměme dvě ireducibilní reprezentace φ a ψ s nejvyššími váhami λ′ a λ′′. Jak jsme ukázali v 9.10, reprezentace φ ⊗ ψ má nejvyšší váhu λ′ + λ′′. Tuto úvahu lze zobecnit: Nechť μ (resp. ν) je váha reprezentace φ (resp. ψ) s násobností m′_{μ} (resp. m′′_{ν}) a váhovým prostorem V_{μ} (resp. W_{ν}). (Máme tedy v charakteru χ_{λ′} sčítanec m′_{μ}e^{μ} a v charakteru χ_{λ′′} sčítanec m′′_{ν}e^{ν}.) Pro vektory v ∈ V_{μ} a w ∈ W_{ν} platí: φ(H)(v) = μ(H) · v a ψ(H)(w) = ν(H) · w. Tedy

(φ ⊗ ψ)(H)(v ⊗ w) = φ(H)(v) ⊗ w + v ⊗ ψ(H)(w) = (μ + ν)(H) · v ⊗ w.

Prostor V_{μ} ⊗ W_{ν}, který je prvky tvaru v ⊗ w lineárně generován, je tedy váhovým prostorem reprezentace φ ⊗ ψ dimenze m′_{μ} · m′′_{ν} pro váhu μ + ν. Přímým součtem těchto váhových prostorů je již celý vektorový prostor V ⊗ W, na kterém se reprezentace φ ⊗ ψ realizuje. V charakteru reprezentace φ ⊗ ψ (která nemusí být ireducibilní) se proto vyskytují právě sčítance m′_{μ}m′′_{ν}e^{μ+ν} = (m′_{μ}e^{μ}) · (m′′_{ν}e^{ν}), což znamená, že charakter reprezentace φ ⊗ ψ je χ_{λ′} · χ_{λ′′}.

Reprezentace φ⊗ψ není obecně ireducibilní, musí však být rozložitelná na přímý součet ireducibilních reprezentací. Proto χ_{λ′} · χ_{λ′′} = ∑_{λ} n_{λ}χ_{λ}, kde suma probíhá dominantní váhy a n_{λ} je násobnost ireducibilní reprezentace s nejvyšší váhou λ v reprezentaci φ⊗ψ. Budeme hledat koeficienty n_{λ}. Z technických důvodů položíme n_{λ} = 0 také pro nedominantní váhy λ.

Věta (Steinbergova formule). Pro každou dominantní váhu λ platí:

n_{λ} = ∑_{S,T ∈W} detST · P(S(λ′ + ρ) + T (λ′′ + ρ) − λ − 2ρ)

(P je dělící funkce popsaná výše.)

Důkaz. Aplikací Weylovy formule dostáváme vyjádření χ_{λ′} · A_{λ′′+ρ} = ∑ n_{λ}A_{λ+ρ} . Použijeme definice charakteru a alternujícího operátoru:

( ∑_{μ} m′_{μ} · e^{μ}) · ( ∑_{T} detT · e^{T (λ′′+ρ)} ) = ∑_{λ,U} n_{λ} detUe^{U(λ+ρ)} .

Za m′_{μ} dosadíme z Konstantovy formule (9.17) výraz ∑_{S} detS ·P(S(λ′ +ρ)−ρ−μ):

∑_{μ,S,T} detST · P(S(λ′ + ρ) − ρ − μ) · e^{T (λ′′+ρ)+μ} = ∑_{λ,U} n_{λ} detU · e^{U(λ+ρ)} .

Na pravé straně povolíme sčítání přes všechny váhy λ, čímž se součet nezmění, protože pro nedominantní λ je n_{λ} = 0. Pro pevné U ∈ W zavedeme σ předpisem U(λ+ρ) = σ+ρ a pravou stranu můžeme přepsat na ∑_{σ,U} detUn_{U^{−1} (σ+ρ)−ρ} ·e^{σ+ρ} , což je rovno ∑_{σ,U} detUn_{U(σ+ρ)−ρ} · e^{σ+ρ} , protože detU = detU^{−1}. Na levé straně provedeme stejný trik: pro pevné T ∈ W zavedeme σ tak, aby splňovalo T (λ′′ + ρ) + μ = σ + ρ. Levá strana má pak tvar ∑_{σ,S,T} detST · P(S(λ′ + ρ) + T (λ′′ + ρ) − σ − 2ρ) · e^{σ+ρ} .

Dále, je-li σ dominantní, je σ +ρ ostře dominantní a pro U ≠ 1 není U(σ +ρ)−ρ dominantní. Je tedy v tomto případě n_{U(σ+ρ)−ρ} = 0 a na pravé straně nám u e^{σ+ρ} zbývá jediný koeficientu n_{σ}. To je tedy rovno koeficientu u σ + ρ na levé straně, což dává tvrzení věty. □

Steinbergova formule je velmi explicitní, ale bohužel ne příliš praktická. Používá se zde totiž opět dělící funkce, která se těžko vyčísluje, a dále se vnořeně sčítá přes celou Weylovu grupu.

Jiný přístup k problému poskytuje Brauerův algoritmus. Ten předpokládá, že známe násobnosti všech vah jedné z obou reprezentací, nechť je to např. φ. Použitím Weylovy formule, podobně jako výše, dostáváme vztah

( ∑ m′_{μ}e^{μ}) · A_{λ′′+ρ} = ∑ n_{λ}A_{λ+ρ}

Na levé straně tedy násobíme symetrický prvek antisymetrickým, čímž dostáváme antisymetrický prvek, jehož vyjádření s pomocí alternujících operátorů na pravé straně hledáme.

Myšlenka Brauerova algoritmu spočívá v tom, že při výpočtu lze vzít v úvahu i členy s nedominantními váhami, které se liší od příslušných dominantních pouze znaménkem. K formulaci budeme potřebovat tomu odpovídající značení. Váhu τ nazveme singulární, jestliže platí ⟨τ, α⟩ = 0 pro nějaký jednoduchý kořen α. Pro singulární τ je S_{α}(τ) = τ, a tedy A_{τ} = A_{S_{α}(τ)} = detS_{α} · A_{τ} = −A_{τ}, z čehož plyne A_{τ} = 0. V tomto případě položíme η_{τ} = 0. Pro regulární váhu τ zavádíme η_{τ} = detS pro takový prvek S Weylovy grupy, že S(τ) je dominantní (takový prvek je v každém případě jediný). Výrazem [τ] značíme dominantní prvek v orbitě váhy τ. Je tedy vždy A_{τ} = η_{τ} A_{[τ]}.

Věta (Brauerův algoritmus).

χ′_{λ} · A_{λ′′+ρ} = ∑ m′_{σ} · η_{σ+λ′′+ρ} · A_{[σ+λ′′+ρ]} ,

přičemž suma na pravé straně probíhá všechny váhy σ reprezentace φ.

Důkaz. Nechť množina E obsahuje dvojice tvaru (e^{μ}, e^{ν}) pro všechny váhy μ reprezentace φ a všechny ν z orbity prvku λ′′ + ρ. Každé takové dvojici přiřadíme člen m′_{μ} detS · e^{μ} · e^{ν} pro takové S, že ν = S(λ′′ + ρ). Součet všech těchto členů dává právě levou stranu dokazovaného vztahu.

Na E definujeme akci Weylovy grupy předpisem S(e^{μ}, e^{ν}) = (Se^{μ}, Se^{ν}). Každá orbita pak obsahuje jediný prvek tvaru (e^{σ}, e^{λ′′+ρ} ), přičemž různá σ odpovídají různým orbitám. Pro každou orbitu dostáváme součet členů, které jí přiřadíme:

∑_{S∈W} m′_{Sσ} · detS · e^{Sσ} · e^{S(λ′′+ρ)} ,

kde jsme využili toho, že m′_{σ} = m′_{Sσ}. To je ovšem právě m′_{σ}A_{σ+λ′′+ρ} , a sečtením přes σ, tedy všechny orbity, dostáváme požadované. □

Tento výsledek existuje také ve formulaci pana Klimyka:

Věta (Klimyk). Pro dominantní váhu λ, násobnost n_{λ} ireducibilní reprezentace s nejvyšší váhou λ v tenzorovém součinu φ ⊗ ψ je rovna ∑ m′_{σ} · η_{σ+λ′′+ρ} , přičemž se sčítá přes takové váhy σ reprezentace φ, pro které je [σ + λ′′ + ρ] = λ + ρ.

10. Klasifikce komplexních polojednoduchých algeber

10.1. Označíme jednoduché kořeny jako v předchozích kapitolách α_{1}, …, α_{m}, Cartanova čísla a_{ij} = 2 · \frac{⟨α_{i},α_{j}⟩}{⟨α_{j},α_{j}⟩}. Nechť θ_{ij} je úhel, který svírají vektory α_{i} a α_{j}. Pak zřejmě

a_{ij} · a_{ji} = 4 · \frac{⟨α_{i}, α_{j}⟩ · ⟨α_{j}, α_{i}⟩}{⟨α_{j}, α_{j}⟩ · ⟨α_{i}, α_{i}⟩} = 4 cos^{2} θ_{ij}.

Zavedeme označení n_{ij} = a_{ij} · a_{ji} a vidíme, že n_{ij} může nabývat hodnot mezi 0 a 4. Kdyby však pro různá i a j bylo n_{ij} = 4, pak θ_{ij} = 0, což není možné. Navíc víme, že a_{ij} jsou celá čísla, proto n_{ij} ∈ {0, 1, 2, 3}.

10.2. Definice. Pro každý kořenový systém Δ definujeme jeho Dynkinův diagram (neorientovaný) jako graf s m vrcholy α_{1}, …, α_{m} a hranami mezi α_{i} a α_{j} s násobností n_{ij}.

10.3. Příklad 𝔰𝔩(3, ℂ). Máme dva jednoduché kořeny e^{1}−e^{2} a e^{2}−e^{3}. Dostáváme Cartanova čísla a_{12} = −1, a_{21} = −1, tedy n_{12} = n_{21} = 1. Dostáváme tak Dynkinův diagram algebry 𝔰𝔩(3, ℂ): • • .

10.4. Poznámka. Dynkinův diagram je souvislý právě tehdy, když algebra 𝔤 je jednoduchá.

Důkaz. Předpokládejme, že Dynkinův diagram algebry 𝔤 je nesouvislý, mějme dvě souvislé komponenty odpovídající rozkladu na kořenové systémy Δ_{1} a Δ_{2}. Víme tedy, že pro všechna α ∈ Δ_{1} a β ∈ Δ_{2} je ⟨α, β⟩ = 0. Najdeme rozklad 𝔤 na přímý součet dvou podalgeber.

Cartanovu podalgebru 𝔥 lze díky kolmosti rozložit na přímý součet 𝔥 = ⟨H_{α} : α ∈ Δ_{1}⟩ ⊕ ⟨H_{β} : β ∈ Δ_{2}⟩. Algebru 𝔤 rozložíme na dva podprostory

𝔤 = (⟨H_{α} : α ∈ Δ_{1}⟩ ⊕ ⨁_{α∈Δ_{1}} 𝔤_{α}) ⊕ (⟨H_{β} : β ∈ Δ_{2}⟩ ⊕ ⨁_{β∈Δ_{2}} 𝔤_{β}),

jejichž Lieova závorka je nulová, jak ukážeme.

Uvažme α + β pro α ∈ Δ_{1} a β ∈ Δ_{2}: kdyby to byl kořen, patřil by buď Δ_{1} nebo Δ_{2}. Pokud nastane první případ, máme 0 = ⟨α + β, β⟩ = ⟨α, β⟩ + ⟨β, β⟩ = ⟨β, β⟩, což je spor s nedegenerovaností Killingovy formy na 𝔥. Podobně to dopadne i pro případ α + β ∈ Δ_{2}. Proto α + β není kořen, a tedy [X_{α}, X_{β}] ∈ 𝔤_{α+β} = 0. Zároveň [h_{α}, X_{β}] = β(h_{α})X_{β} = ⟨α, β⟩ · X_{β} = 0.

Je-li naopak algebra 𝔤 polojednoduchá, ale není jednoduchá, rozložíme ji na přímý součet jednoduchých komponent. Nechť jsou tyto komponenty dvě, a to 𝔞 ⊕ 𝔟. Vezměme dva jednoduché kořeny α algebry 𝔞 a β algebry 𝔟. α rozšíříme na celé 𝔤 tak, že α(𝔟) = 0, podobně pro β. Přitom α i β zůstávají kořeny 𝔤 a α ⊥ β, a jinak vzniklé kořeny algebra 𝔤 nemá. Dynkinův diagram tedy má dvě souvislé komponenty, jednu odpovídající kořenům 𝔞 a druhou kořenům 𝔟. □

10.5. Každému konečnému neorientovanému grafu s m vrcholy a násobnostmi hran n_{ij} přiřadíme kvadratickou formu Q předpisem:

Q(x_{1}, …, x_{m}) = 2 · ∑_{i} x_{i}^{2} − ∑_{i≠j} \sqrt{n_{ij}}x_{i}x_{j}

Druhá suma přitom probíhá všechna i a všechna j, která jsou různá, proto např. výraz x_{1}x_{2} se vyskytuje dvakrát, jednou pro i = 1, j = 2, a podruhé pro i = 2, j = 1.

Algebra 𝔰𝔩(3, ℂ) z předchozího příkladu má formu Q(x_{1}, x_{2}) = 2x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}−2x_{1}x_{2}.

Lemma. Každý Dynkinův diagram jednoduché komplexní Lieovy algebry zadává pozitivně definitní formu Q.

Důkaz. Přímým výpočtem ukážeme, že

Q(x_{1}, …, x_{m}) = 2 · ⟨ ∑_{i} \frac{α_{i}x_{i}}{\sqrt{⟨α_{i}, α_{i}⟩}}, ∑_{i} \frac{α_{i}x_{i}}{\sqrt{⟨α_{i}, α_{i}⟩}}⟩

= 2 · ∑_{i} x_{i}^{2} · \frac{⟨α_{i}, α_{i}⟩}{⟨α_{i}, α_{i}⟩} − 2 · ∑_{i≠j}x_{i}x_{j} · \frac{⟨α_{i}, α_{j}⟩}{\sqrt{⟨α_{i}, α_{i}⟩ · ⟨α_{j}, α_{j}⟩}}

= ∑_{i} 2x_{i}^{2} − ∑_{i≠j} \sqrt{n_{ij}}x_{i}x_{j}

□ 10.6 Věta. Každý souvislý diagram s násobností hran 1, 2 nebo 3, jehož kvadratická forma je positivně definitní, je jedním z následujícího seznamu:

A :  \begin{matrix}• & • • & • • • & … & \overbrace{• • ⋯ • •}^{m} & … \\ A_{1} & A_{2} & A_{3} & & A_{m} \end{matrix}

B :  \begin{matrix}• • & • • • & … & \overbrace{• • ⋯ • •}^{m} & … \\ B_{2} & B_{3} & & B_{m} \end{matrix}

D :  \begin{matrix}• •^{⧸•} {⧹ \atop •} & • • •^{⧸•} {⧹ \atop •} & … & \overbrace{• • ⋯ • •^{⧸•} {⧹ \atop •}}^{m} & … \\ D_{4} & D_{5} & & D_{m} \end{matrix}

E :  \begin{matrix}• • • • • • & • • • • • • • & • • • • • • • • \\ E_{6} & E_{7} & E_{8} \end{matrix}
F :  \begin{aligned}• & • & & • & • \\ & & F_{4} \end{aligned}
G :  \begin{aligned}• & & • \\ & G_{2} \end{aligned}

Důkaz. Kvadratická forma Q má symetrickou matici

( \begin{matrix}2 & & & & −\sqrt{n_{ij}} \\ & . & . & . \\ −\sqrt{n_{ij}} & & & & 2 \end{matrix} )

Zúžíme-li formu Q na nějaký podgraf Dynkinova diagramu, zůstane positivně definitní. Dá se však snadno ukázat, že pro následující grafy má jejich forma singulární matici, tedy se nemohou vyskytnout jako podgrafy Dynkinových diagramů polojednoduchých algeber:

Ã :  •^{⧸•⧹}• •^{⧸•⧹} ⧹_{•⧸}• …
B̃ :  •⧹_{•⧸}• • •⧹_{•⧸}• • • …
C̃ :  • • • • • • • …
D̃ :  •⧹_{•⧸}•^{⧸•} {⧹ \atop •} •⧹_{•⧸}• •^{⧸•} {⧹ \atop •} …
Ẽ :  • • • \begin{matrix}• \\ • \end{matrix} • •

• • • • • • • • • • • • • • • • •
F̃ :  • • • • •
G̃ :  • • •

Diskusí možných Dynkinových grafů, které neobsahují tyto podgrafy, dostaneme snadno tvrzení věty. Přitom v některých řadách záměrně nezačínáme od jedničky, protože máme isomorfismy G_{1} ≅ F_{1} ≅ E_{1} ≅ D_{1} ≅ B_{1} ≅ A_{1}, F_{2} ≅ B_{2}, E_{2} ≅ A_{2}, D_{2} ≅ A_{1} ⊕ A_{1}, F_{3} ≅ B_{3}, E_{3} ≅ D_{3} ≅ A_{3}, E_{4} ≅ A_{4} a E_{5} ≅ D_{5}. □

10.7. Předchozí věta ukazuje, jaké jsou možné Dynkinovy diagramy pro jednoduché Lieovy algebry. Abychom s jejich pomocí tyto algebry úplně klasifikovali, zbývají dva kroky:

(1) Ukázat, že Dynkinův diagram identifikuje Lieovu algebru jednoznačně až na isomorfismus, a

(2) ke každému Dynkinovu diagramu najít jemu odpovídající Lieovu algebru. První podmínka však zatím není splněna. U vícenásobných hran totiž není zřejmá orientace: pokud n_{ij} = 2, může být a_{ij} = −1 a a_{ji} = −2, nebo naopak. Potom \frac{a_{ij}}{a_{ji}} = \frac{⟨α_{i},α_{i}⟩}{⟨α_{j},α_{j}⟩}, tedy buď ⟨α_{i}, α_{i}⟩ < ⟨α_{j}, α_{j}⟩, nebo naopak. V případě trojnásobné hrany to dopadne stejně. Zorientujeme tedy tyto hrany šipkou, která povede od většího kořene k menšímu. V případě G_{2} ovšem budou oba zorientované diagramy isomorfní. Dostáváme tedy pouze místo řady diagramů B dvě řady:

B :  \begin{matrix}• > • & • • > • & … & \overbrace{• • ⋯ • • > •}^{m} & … \\ B_{2} & B_{3} & & B_{m} \end{matrix}

C :  \begin{matrix}• • < • & • • • < • & … & \overbrace{• • ⋯ • • < •}^{m} & … \\ C_{3} & C_{4} & & C_{m} \end{matrix}

Případ C_{2} = • < • je isomorfní diagramu B_{2}, proto se v seznamu neuvádí.

V případě n_{ij} = 1 existuje pouze jediná možnost, a to a_{ij} = a_{ji} = −1, není tedy nutná žádná orientace hran. Celkem dostáváme orientovaný Dynkinův diagram.^{18}

10.8. Rekonstrukce jednoduché Lieovy algebry z jejího (orientovaného) Dynkinova diagramu se skládá ze dvou fází: rekonstrukce kořenového systému z Dynkinova diagramu a rekonstrukce Lieovy algebry z kořenového systému.

První část je snazší. Potřebujeme dostat všechny kladné kořeny, záporné pak získáme okamžitě. Z Dynkinova diagramu zjistíme všechny jednoduché kořeny, včetně úhlů mezi nimi a poměry jejich velikostí. Všechny kladné kořeny jsou tvaru β = ∑ m_{i}α_{i} s nezápornými m_{i}. Označme ∑ m_{i} jako stupeň kořene β a postupujme indukcí vzhledem ke stupni. Kořeny stupně 1 známe, neboť jsou to právě jednoduché kořeny. Ve stupni 2 jsou vyloučeny případy 2α_{i}, tedy přichází v úvahu pouze tvar α_{i} + α_{j}. Ten nastane právě tehdy, pokud jsou α_{i} a α_{j} v Dynkinově diagramu spojeny hranou.

Dále předpokládejme, že již známe všechny kořeny stupně nejvýše m. Vezměme tedy kořen β = ∑ m_{i}α_{i} stupně právě m a pro každý jednoduchý kořen α = α_{j} uvažme, zda je také β + α kořenem. Podívejme se na α-řetízek kořenu β, viz 8.3. Máme kořeny

β − qα, …, β, …, β + pα,

18 Některá literatura označuje až tento orientovaný diagram jako Dynkinův, bez přívlastku orientovaný.

přičemž q − p = a_{βα}. Proto β + α je kořen, právě když p > 0, tedy

q > a_{βα} = 2\frac{⟨β, α⟩}{⟨α, α⟩} = ∑ m_{i}a_{α_{i}α}.

Číslo q přitom známe díky tomu, že β − qα musí být kladný kořen, neboť každý kořen se zapíše jako kombinace jedoduchých kořenů buď s výhradně kladnými nebo s výhradně zápornými koeficienty.

Zbývá ukázat, že každý kořen stupně m + 1 je tohoto tvaru. Nechť γ = ∑ r_{i}α_{i} má stupeň m + 1. Díky pozitivní definitnosti Killingovy formy je 0 < ⟨γ, γ⟩ = ∑ r_{i}⟨γ, α_{i}⟩, proto ⟨γ, α_{i}⟩ > 0 pro nějaké r_{i} > 0. Z výše uvedené diskuse α-řetízku pro β také vyplývá, že pokud ⟨β, α⟩ > 0, pak q > p a proto β − α musí být také kořen. V našem případě je tedy γ −α_{i} kořen, který musí být kladný, protože r_{i} > 0. Je tedy γ součtem kořenů stupňů m a 1.

10.9. Příklad. Vezměme Dynkinův diagram ^{1}• > ^{2}• (pro názornost zde označujeme uzly velikostí příslušných kořenů – později budeme takové značeí používat pro popis vah!). Tedy a_{12} = −3 a a_{21} = −1, proto 4 cos^{2} θ = 3 a cosθ = −\sqrt{3}/2, z čehož máme úhel mezi α_{1} a α_{2}: θ = 5π/6. Přitom poměr velikostí α_{1} a α_{2} je \sqrt{3}.

Jediným kandidátem na kořen stupně 2 je α_{1} +α_{2}, což je opravdu kořen, protože tyto dva vrcholy jsou spojeny hranou.

Pro stupeň 3 máme dvě možnosti: 2α_{1} + α_{2} a α_{1} + 2α_{2}. V obou případech je β = α_{1} + α_{2}. Pro α = α_{1} víme, že β − α = α_{2} je kořen, ale β − 2α už není, proto q = 1. Potom a_{βα} = a_{11} + a_{21} = 2 − 1 = 1 a 2α_{1} + α_{2} není kořen. Pro α = α_{2} je opět q = 1, ale a_{βα} = a_{12} + a_{22} = −3 + 2 = −1 a α_{1} + 2α_{2} je jediný kořen stupně 3.

V případě čtvrtého stupně jsou opět dvě možnosti pro jediné β = α_{1} + 2α_{2} a α může být α_{1} nebo α_{2}. V prvním případě: β − α_{1} = 2α_{2} není kořen a q = 0, a_{βα} = a_{11} + 2a_{21} = 0, proto 2α_{1} + 2α_{2} není kořen. Pro případ α = α_{2} je dokonce β − 2α = α_{1} kořenem, tedy q = 2 a a_{βα} = a_{12} + 2a_{22} = 1 a α_{1} + 3α_{2} je kořen.

Ve stupni 5 najdeme pro β = α_{1} + 3α_{2} a α = α_{1} hodnoty q = 0 a a_{βα} = −1, z čehož 2α_{1}+3α_{2} je kořen, zatímco pro α = α_{2} je q = 3 a a_{βα} = 3 a α_{1}+4α_{2} kořenem není. Dále už nenajdeme žádný další kořen stupně 6, a tedy známe již všechny kladné kořeny algebry G_{2}: α_{1}, α_{2}, α_{1} + α_{2}, α_{1} + 2α_{2}, α_{1} + 3α_{2}, 2α_{1} + 3α_{2}. Obrázek znázorňuje celý kořenový systém této algebry, přitom plné čáry jsou použity pro kladné kořeny a přerušované pro záporné kořeny.

10.10. Rekonstrukce Lieovy algebry z jejího kořenového systému je uvedena např. v [Sa]. Klíčem je tzv. Weyl–Chevalleyho normální forma Lieovy algebry. Nechť máme již vybrány kokořeny H_{α} v Cartanově podalgebře. Hledáme doplnění báze na celou algebru prvky tvaru X_{α} a X_{−α} takovými, že [X_{α}, X_{−α}] = H_{α}. Máme zde však jistou volnost: místo X_{α} a X_{−α} lze vzít c_{α}X_{α} a c_{α}^{−1}X_{−α} pro nenulovou konstantu c_{α}. V obou případech dostaneme jiný koeficient N_{αβ} ve vyjádření [X_{α}, X_{β}] = N_{αβ}X_{α+β} . Weyl–Chevalleyho normální forma normuje tyto koeficienty na jisté celočíselné hodnoty a dá se zkonstruovat se znalostí kořenového systému dané Lieovy algebry. Je také třeba se ujistit, že celý postup je nezávislý na výběru Cartanovy podalgebry; skutečně platí tvrzení, že výběrem různých Cartanových podalgeber dostáváme automorfismus polojednoduché Lieovy algebry.

Výsledkem je pak následující tvrzení:

Kořenový systém algebry G_{2}

Věta. Nechť 𝔤_{1} a 𝔤_{2} jsou dvě polojednoduché Lieovy algebry, jejichž kořenové systémy jsou izomorfní. Pak také 𝔤_{1} a 𝔤_{2} jsou izomorfní.

10.11. Ke každému Dynkinovu diagramu navíc existuje odpovídající Lieova algebra. Algebry odpovídající řadám A, B, C a D jsou nám už známé příklady z kapitoly 2: 𝔰𝔩, 𝔰𝔬 a 𝔰𝔭. Pro zbylé diagramy se též dají zkonstruovat speciální algebry.

Můžeme tedy klasifikovat všechny komplexní jednoduché Lieovy algebry:

Diagram  Algebra  Řád  Dimenze
A_{ℓ}  𝔰𝔩(ℓ + 1, ℂ) ℓ = 1, 2, … ℓ(ℓ + 2)
B_{ℓ}  𝔬(2ℓ + 1, ℂ) ℓ = 2, 3, … ℓ(2ℓ + 1)
C_{ℓ}  𝔰𝔭(ℓ, ℂ)  ℓ = 3, 4, … ℓ(2ℓ + 1)
D_{ℓ}  𝔬(2ℓ, ℂ)  ℓ = 4, 5, … ℓ(2ℓ − 1)
G_{2}  —  2  14
F_{4}  —  4  52
E_{6}  —  6  78
E_{7}  —  7  133
E_{8}  —  8  248

Algebrám A_{ℓ}, B_{ℓ}, C_{ℓ} a D_{ℓ} se říká klasické Lieovy algebry, G_{2}, F_{4}, E_{6}, E_{7} a E_{8} se nazývají výjimečné Lieovy algebry.

10.12 Poznámka. Dynkinovy diagramy popisují také vnitřní strukturu jednotlivých algeber. Mají totiž tu pěknou vlastnost, že vložení Dynkinova diagramu do jiného odpovídá nějaké podalgebře. Zvláště je vidět, že vložení A_{1} do všech diagramů odpovídá podalgebrám 𝔰𝔩(2, ℂ), které jsme našli v každé polojednoduché algebře. Navíc symetrie Dynkinových diagramů odpovídají automorfismům Lieových algeber. Např. v případě D_{ℓ} dostáváme automorfismy záměnou kokořenů odpovídajících dvěma pravým krajním vrcholům diagramu.

10.13. Značení reprezentací. Dynkinovy diagramy pomáhají také při značení reprezentací. Každá ireducibilní reprezentace je identifikována svou nejvyšší váhou, která je nezápornou celočíselnou lineární kombinací fundamentálních vah. Tyto fundamentální váhy lze ztotožnit s vrcholy Dynkinova diagramu. Označíme-li tedy každý vrchol celým nezáporným číslem, lze tak identifikovat každou ireducibilní reprezentaci odpovídající algebry. Např. ^{1}• ^{0}• a ^{0}• ^{1}• značí fundamentální reprezentace algebry 𝔰𝔩(3, ℂ), nejnižší váha je ρ = ^{1}• ^{1}• . Libovolnou ireducibilní reprezentaci s nejvyšší váhou λ = c_{1}ω_{1} + c_{2}ω_{2} označíme ^{c_{1}}• ^{c_{2}}• .

Toto značení může sloužit také pro libovolné (nejen nejvyšší) váhy reprezentací, pokud u vrcholů Dynkinova diagramu povolíme také záporná celá čísla. S pomocí tohoto značení lze velmi snadno zjistit obraz dané váhy při některé Weylově reflexi. Spočtěme, jak dopadne obraz nějaké váhy λ = c_{1}ω_{1} + ⋯ + c_{m}ω_{m} v reflexi S_{α_{i}}. Víme, že S_{α_{i}}(λ) = λ − λ(H_{α_{i}}) · α_{i}, což je ovšem zřejmě rovno λ − c_{i} · α_{i}. Kořeny α_{i} lze snadno vyjádřit s pomocí Cartanových čísel a fundamentálních vah: víme, že α_{i}(H_{α_{j}}) = a_{ij}, proto α_{i} = ∑_{j} a_{ij}ω_{j}. Celkem dostáváme S_{α_{i}}(λ) = S_{α_{i}}(∑_{j} c_{j}ω_{j}) = ∑_{j} c_{j}ω_{j} −c_{i} ·∑_{j} a_{ij}ω_{j}. Proto koeficient c_{j} u ω_{j} přejde při reflexi S_{α_{i}} na c_{j} −a_{ij} ·c_{i}.

Vidíme tedy, že při grafickém znázornění váhy λ s pomocí Dynkinova diagramu dostáváme jednoduchá pravidla pro Weylovu reflexi podle i-tého kořene: koeficienty c_{j} u vrcholů, které nejsou spojeny v Dynkinově diagramu hranou s i-tým vrcholem, zůstávají stejné (zde totiž a_{ij} = 0). Samotný i-tý koeficient c_{i} přejde na c_{i}−a_{ii}·c_{i} = c_{i}−2c_{i} = −c_{i}. Je-li j-tý vrchol spojen jednoduchou hranou s i-tým, pak c_{j} ↦ c_{j}+c_{i}, protože zde a_{ij} = −1. V případě, že z i-tého vede dvojitá (resp. trojitá) hrana do j-tého (takto orientovaná), máme c_{j} ↦ c_{j} + 2c_{i} (resp. c_{j} ↦ c_{j} + 3c_{i}), protože a_{ij} = −2 (resp. a_{ij} = −3). Pokud je orientace obrácená, je opět c_{j} ↦ c_{j} + c_{i}, protože a_{ij} = −1.

Tyto výsledky shrneme graficky (kořeny pro přehlednost značíme zleva α, β a γ):

S_{β}(^{a}• ^{b}• ^{c}• ) = ^{a+b} • ^{−b} • ^{c+b} •
S_{β}(^{a}• ^{b}• > ^{c}• ) = ^{a+b} • ^{−b} • >^{c+2b} •
S_{α}(^{a}• > ^{b}• ) = ^{−a} • >^{b+3a} •

11. Reálné formy

11.1. Definice. Reálná Lieova algebra 𝔤_{0} se nazývá reálná forma komplexní Lieovy algebry 𝔤, pokud 𝔤 je (izomorfní) komplexifikaci 𝔤_{0}.

11.2. Poznámka. Komplexní Lieova algebra může mít různé neizomorfní reálné formy. Příkladem může být 𝔰𝔬(2n, ℂ), jejíž reálné formy 𝔰𝔬(2n, 0, ℝ) a 𝔰𝔬(n, n, ℝ) nejsou izomorfní. Podobně 𝔰𝔩(n, ℝ) a 𝔰𝔲(n) jsou různé (tedy neizomorfní) reálné formy 𝔰𝔩(n, ℂ).

11.3. Definice. Reálná forma 𝔤_{0} komplexní Lieovy algebry 𝔤 se nazývá kompaktní forma, jestliže její Killingova forma je negativně definitní.

11.4. Příklad. Algebra 𝔰𝔲(2) z příkladu 3.1.(2) je kompaktní formou 𝔰𝔩(2, ℂ). Prvky S_{x}, S_{y} a S_{z} tvoří bázi a přímým výpočtem dostaneme

⟨S_{x}, S_{x}⟩ = ⟨S_{y}, S_{y}⟩ = ⟨S_{z}, S_{z}⟩ = −2.

Přitom podle 2.8 víme, že 𝔰𝔲(2) ⊗_{ℝ} ℂ ≅ 𝔰𝔩(2, ℂ).

11.5. Poznámka. Význam kompaktních forem spočívá v tom, že podle výsledku pana Weyla je každá reálná Lieova grupa s Lieovou algebrou, která je kompaktní formou nějaké komplexní Lieovy algebry, automaticky kompaktní v topologickém smyslu. To je velmi užitečné, protože je pak možno integrovat na celé takové Lieově grupě.

11.6. Věta. Každá komplexní polojednoduchá Lieova algebra má kompaktní formu.

Důkaz. Jde o explicitní popis reálné formy, o které ukážeme, že je kompaktní. Bude třeba využít Weyl–Chevalleyho normální formu komplexní polojednoduché Lieovy algebry 𝔤.

Sestrojme 𝔲 jako reálný vektorový prostor generovaný prvky iH_{α} pro jednoduché kořeny α a dále prvky U_{α} = (X_{α} − X_{−α}) a V_{α} = i(X_{α} + X_{−α}) pro α jdoucí přes kladné kořeny α.

Nejprve ukážeme, že 𝔲 je reálná forma 𝔤, tedy že každý prvek Y ∈ 𝔤 lze zapsat jako Y_{1} + iY_{2} pro Y_{1}, Y_{2} ∈ 𝔲. Rozepíšeme

Y = H + X = ∑(k_{α} + iℓ_{α})H_{α} + ∑(y_{α} + iz_{α})X_{α},

přičemž první suma jde přes jednoduché kořeny a druhá přes všechny. Snadným výpočtem zjistíme, že lze pak jednoznačně psát

Y = ( ∑ ℓ_{α} · iH_{α} + ∑_{α∈Δ_{+}} \frac{y_{α} − y_{−α}}{2} · U_{α} + ∑_{α∈Δ_{+}} \frac{z_{α} + z_{−α}}{2} · V_{α})+

i( ∑ −k_{α} · iH_{α} + ∑_{α∈Δ_{+}} \frac{z_{α} − z_{−α}}{2} · U_{α} + ∑_{α∈Δ_{+}} \frac{y_{α} + y_{−α}}{2} · V_{α}).

Musíme ověřit, že 𝔲 je Lieova algebra, tedy že je uzavřena na operaci závorky. Skutečně, [iH_{1}, iH_{2}] = 0, [iH, U_{α}] = α(H)V_{α}, [iH, V_{α}] = −α(H)U_{α}, což vše zůstává v 𝔲, protože α(H) jsou reálná čísla pro reálná H. Pro zbylé výpočty potřebujeme konstanty N_{α,β} z Weyl–Chevalleyho normální formy, které jsou reálné (dokonce celé) a navíc N_{α,β} = −N_{−α,−β}. Potom [U_{α}, U_{β}] = N_{α,β}U_{α+β} + N_{α,−β}U_{α−β}, [V_{α}, V_{β}] = −N_{α,β}U_{α+β} − N_{α,−β}U_{α−β}, [U_{α}, V_{β}] = N_{α,β}V_{α+β} + N_{α,−β}V_{α−β}.

Zbývá tedy spočítat hodnotu Killingovy formy ⟨X, X⟩ pro libovolný prvek X ∈ 𝔲. Nechť X = iH + ∑ r_{α}U_{α} + ∑ s_{α}V_{α} pro reálné H a reálná čísla r_{α} a s_{α}. Potom přímým výpočtem dostáváme

⟨X, X⟩ = − ∑_{Δ}α^{2}(H) − 4 ∑_{Δ_{+}} \frac{r_{α}^{2} + s_{α}^{2}}{⟨α, α⟩} .

Tedy tato forma je negativně definitní a proto 𝔲 je kompaktní forma 𝔤. □

11.7 Poznámka. Dá se navíc ukázat, že dvě kompaktní formy jediné jednoduché komplexní Lieovy algebry jsou izomorfní.

11.8. Jistým způsobem opačným případem kompatní reálné formy je tzv. split forma.^{19} Tu dostaneme tak, že reálnou část Cartanovy algebry 𝔥_{0} rozšíříme o lineární obal prvků X_{α}, X_{−α} Weyl–Chevalleyho normální formy pro všechny kladné kořeny α. Výhodou je, že její (reálné) ireducibilní reprezentace dostaneme z reprezentací komplexifikace prostým zúžením na reálný vektorový podprostor generovaný 𝔥_{0} a X_{±α}, přičemž prostorem, na kterém je algebra representována je právě reálný lineární obal orbity vektoru nejvyšší váhy v původní komplexní reprezentaci.

Této reálné formě odpovídají reálné Lieovy grupy, které jsou nekompaktní: Killingova forma má v bázi tvořené bází 𝔥_{0} a prvky X_{α} + X_{−α}, X_{α} − X_{−α} signaturu (|Δ_{+} | + dim𝔥, |Δ_{+} |), protože ⟨H, H⟩ = ∑ α^{2}(H), ⟨X_{α} + X_{−α}, X_{α} + X_{−α}⟩ = \frac{4}{⟨α,α⟩} a ⟨X_{α} − X_{−α}, X_{α} − X_{−α}⟩ = −\frac{4}{⟨α,α⟩}. V případě kompaktní formy máme signaturu (0, dim𝔤). Dá se ukázat, že signatura Killingovy formy už nemůže být vyšší ve prospěch pozitivních prvků, tedy všechny reálné formy mají signaturu Killingovy formy mezi těmito dvěma extrémy.

11.9. Příklady. V případě 𝔰𝔩(n, ℂ) je její split forma 𝔰𝔩(n, ℝ). Pro 𝔰𝔬(2n, ℂ) máme kompaktní formu 𝔰𝔬(2n, 0, ℝ) a split formu 𝔰𝔬(n, n, ℝ). Podobně pro 𝔰𝔬(2n + 1, ℂ) je 𝔰𝔬(n, n + 1, ℝ) ≅ 𝔰𝔬(n + 1, n, ℝ) její kompaktní formou, zatímco split forma je 𝔰𝔬(2n + 1, 0, ℝ).

12. Reprezentace polojednoduchých Lieových grup

Sem patří poznámky o aplikacích teorie Lieových algeber v teorii reprezentací Lieových grup – snad příště!

19 Je zde použit původní anglický termín split pro neznalost odpovídajícího českého.

Dodatky

Následující dvě kapitoly obsahují velice stručný přehled pojmů z diferenciální geometrie a multilineární algebry a jejich základních vlastností.

13. Dodatek Hladké variety

13.1. Hladkou varietou M v prostoru ℝ^{n} nazýváme podmnožinu (značenou stejným písmenem) M ⊂ ℝ^{n} spolu s nejvýše spočetným systémem otevřených podmnožin U_{α} ⊂ ℝ^{n}, α ∈ A, takových, že

(1) otevřené podmnožiny V_{α} := U_{α} ∩ M pokrývají M

(2) jsou dány difeomorfismy φ_{α}: ℝ^{n} → U_{α} takové, že φ_{α}^{−1}(M) = {(a, 0) ∈ ℝ^{n}; a ∈ ℝ^{m}} pro pevné m ∈ ℕ.

Číslo m se nazývá dimenze variety M. Zúžená zobrazení ψ_{α} := φ_{α}|_{ℝ^{m}}: ℝ^{m} → ℝ^{n} → V_{α} se nazývají mapy nebo souřadné systémy na M. Pro dvě různé mapy ψ_{α}, ψ_{β} dostáváme difeomorfismus ψ_{β} ∘ ψ_{α}^{−1} definovaný na průniku V_{α} ∩ V_{β}, tzv. transformaci souřadných systémů. Pokrytí M množinami V_{α} spolu se zobrazeními ψ_{α} se nazývá atlas.

13.2. Definice. Nechť M a N jsou hladké variety dimenze m a n. Zobrazení f: M → N nazýváme hladké jestliže je pro každou mapu ψ_{α} na M a každou mapu η_{β} na N zobrazení η_{β}^{−1} ∘ f ∘ ψ_{α}: ℝ^{m} → ℝ^{n} hladké.

13.3. Příklady.

1. Celý prostor ℝ^{n} je pro každou dimenzi n hladkou varietou. Za atlas můžeme vzít jedinou mapu id_{ℝ^{n}} : ℝ^{n} → ℝ^{n}. Obecněji, ukažte, že každá otevřená podmnožina v ℝ^{n} je hladká varieta. ^{cvičení!} 2. Jednotková kružnice v ℝ^{2} je hladká varieta, např. můžeme použít sférické souřadnice v ℝ^{2} pro definici atlasu. ^{cvičení!} 3. Hladká křivka na varietě M ⊂ ℝ^{n} je takové zobrazení c: ℝ → M, že ψ_{α}^{−1} ∘c: ℝ → ℝ je hladké zobrazení pro každou mapu na M. Z definice je to ale ekvivalentní požadavku, že c je hladké jakožto zobrazení ℝ → ℝ^{n}.

4. Hladká funkce na varietě M ⊂ ℝ^{n} je takové zobrazení f: M → ℝ, že f ∘ ψ_{α}: ℝ^{m} → ℝ je hladké pro každou mapu ψ_{α}. Všimněme si, že obecně nejsou hladké funkce na M zúžením hladkých funkcí na ℝ^{n}. Např. jestliže v příkladu 2 vypustíme z kružnice jeden bod, jistě obdržíme opět varietu. Promyslete si, jak na ní budou vypadat křivky a funkce.^{20}

13.4. Tečné prostory. Prostor ℝ^{n} berme jako bodový afinní prostor. Pro každý bod x ∈ ℝ^{n} definujeme tečné vektory k ℝ^{n} v bodě x jako body příslušného vektorového zaměření. Vektorový prostor všech tečných vektorů v x značíme T_{x}ℝ^{n}.

20 Obecně pro všechny hladké variety platí, že zobrazení mezi nimi je hladké právě tehdy, když se s libovolnou hladkou křivkou a libovolnou hladkou funkcí skládá na hladké zobrazení z ℝ^{m} → ℝ^{n}. Důkaz je velmi technický, patří do funkcionální analýzy.

Z definice je T_{x}ℝ^{n} ≃ ℝ^{n} a tečné vektory v x můžeme chápat jako vektory derivace křivek c: ℝ → ℝ^{n}, c(0) = x, v bodě 0. Takový tečný vektor budeme značit \frac{∂}{∂t} |_{0} c(t) ∈ T_{c(0)}ℝ^{n}.

Pro varietu M ⊂ ℝ^{n} a bod x ∈ M definujeme T_{x}M ⊂ T_{x}ℝ^{n} jako vektorový podprostor vektorů odpovídajících křivkám c: ℝ → M ⊂ ℝ^{n}. Ukažte, že jde opravdu o vektorový podprostor. ^{cvičení!} 13.5. Tečné zobrazení. Nechť f: ℝ^{m} → ℝ^{n} je diferencovatelné zobrazení. Definujeme T_{x}f: T_{x}ℝ^{m} → T_{f(x)}ℝ^{n}, T_{x}f.X je hodnota diferenciálu f na přírůstku X ∈ ℝ^{m}, tj. i-tá souřadnice T_{x}f.X je ∑_{j} \frac{∂f_{i}}{∂x^{j}} X^{j}, kde X = (X^{1}, …, X^{m}). Ověřte, že je-li X = \frac{∂}{∂t} |_{0} c(t), pak T_{x}f = \frac{∂}{∂t} |_{0} (f ∘ c(t)), nezávisle na volbě c.

cvičení!

Pro obecné variety M ⊂ ℝ^{n} a N ⊂ ℝ^{k} definujeme pro hladké zobrazení f: M → N a bod x ∈ M tečné zobrazení T_{x}f tak, že jeho hodnotou na vektoru \frac{∂}{∂t} |_{0} c(t) ∈ T_{x}M je vektor \frac{∂}{∂t} |_{0} (f ∘ c(t)) ∈ T_{f(x)}N. Ověřte, že je tato definice nezávislá na volbě křivky c (můžete pracovat v souřadném okolí bodu x). _{cvičení!}

Zejména, je nyní snadné zkonstruovat z atlasu ψ_{α} pro M atlas pro podmnožinu T M := ∪_{x∈M}T_{x}M ⊂ ℝ^{2n}. Stačí použít tečná zobrazení k φ_{α}: ℝ^{n} → ℝ^{n}. Získaná varieta, spolu s projekcí π_{M}: T M → M, π_{M}( \frac{∂}{∂t} |_{0} c) = c(0), se nazývá tečný bandl variety M. Tečná zobrazení T_{x}f v jednotlivých bodech x ∈ M tvoří zobrazení T f: T M → T N, které je opět hladké. Doplňte si podrobnosti. ^{cvičení!}

Přímo z definice hladkosti zobrazení plyne, že kompozice dvou hladkých zobrazení je opět hladké zobrazení. Nechť jsou tedy f: M → N a g: N → P dvě hladká zobrazení. Potom z věty o derivování složené funkce okamžitě plyne, že

T_{x}(g ∘ f)( \frac{∂}{∂t} |_{0} c) = \frac{∂}{∂t} |_{0} (g ∘ f ∘ c) = T_{f(x)}g ∘ T_{x}f( \frac{∂}{∂t} |_{0} c).^{21} cvičení!

13.6. Součiny variet. Jsou-li M ⊂ ℝ^{n} a N ⊂ ℝ^{k} dvě hladké variety dimenzí m a p, pak na kartézském součinu jejich nosných množin je definována struktura hladké variety (M × N) ⊂ ℝ^{n+k} s atlasem obsahujícím φ_{α}^{M} × φ_{β}^{N}: ℝ^{n} × ℝ^{k} → ℝ^{n} × ℝ^{k}. Dimenze této variety je m + p.^{22}

Ověřte, že T (M × N) = T M × T N jako hladká varieta a že tečné zobrazení zachovává součiny. ^{cvičení!} 13.7. Podvariety. Variety jsme definovali jako podmnožiny v ℝ^{m} s jistými vlastnostmi. Snadným zobecněním této definice získáme pojem podvariety a naše původní definice bude definovat variety jako podvariety ve varietě ℝ^{m}:

Hladkou podvarietou Q v hladké varietě M nazýváme podmnožinu (značenou stejným písmenem) Q ⊂ M takovou, že pro každý bod x ∈ Q existuje souřadná mapa φ_{x}: ℝ^{m} → U_{x} variety M taková, že φ_{x}^{−1}(U_{x} ∩ Q) = ℝ^{k} ⊂ ℝ^{m}, kde ℝ^{k} je vloženo do ℝ^{m} pomocí doplnění nulami.

Z definice přímo plyne, že Q je varieta dimenze k a zúžená zobrazení ψ_{α} := φ_{α}|_{ℝ^{k}}: ℝ^{k} → ℝ^{m} → U_{α} jsou souřadné mapy variety Q. Zejména tak opět získáme nejvýše spočetný atlas

13.8. Vložené podvariety. Často se setkáváme také s podmnožinami ve varietách, které jsou velmi blízké podvarietám, podvariety ve smyslu předchozí definice to však nejsou. Vloženou podvarietou ve varietě M rozumíme obraz injektivního hladkého zobrazení variet Q → M. Rozmyslete si příklady vložených podvariet, které nejsou podvarietami (např. osmička namalovaná v rovině nebo hustě namotaná niť na válci). _{cvičení!}

21 Celkem lze obdržené poznatky shrnout do tvrzení, že jsme zkonstruovali funktor T definovaný na kategorii hladkých variet a hladkých zobrazení, který varietě M přiřazuje její tečný bandl T M a hladkému zobrazení f příslušné tečné zobrazení T f

22 Jde opravdu o součin ve smyslu kategorií.

Tečné prostory T_{x}Q v bodech x ∈ Q jsou vektorové podprostory v tečných prostorech T_{x}M.

13.9. Topologie. V předchozím textu jsme implicitně předpokládali znalost pojmů jako otevřená množina. Všimněte si, že varieta M ⊂ ℝ^{n} nemusí být ani otevřená, ani uzavřená podmnožina. V každém případě se ale na ní indukuje topologie z ℝ^{n} a právě tuto budeme mít vždy na mysli. V textu budeme používat řadu dalších topologických pojmů, jako souvislost, jednoduchá souvislost, kompaktnost, … Vysvětlení těchto pojmů lze najít ve kterémkoliv základním textu o topologii.

14. Dodatek Multilineární algebra

14.1. Tensorový součin. Nechť V a W jsou vektorové prostory nad stejným polem skalárů 𝕂. Tensorový součin V ⊗W je vektorový prostor spolu s bilineárním zobrazením V × W → V ⊗ W, v × w ↦ v ⊗ W, které má následující univerzální vlastnost: Pro každé bilineární zobrazení φ: V × W → Z existuje právě jedno lineární zobrazení φ̄: V ⊗ W → Z takové, že φ(v, w) = φ̄(v ⊗ w), pro všechny v ∈ v, w ∈ W.

Je snadné ověřit, že tensorový součin, pokud existuje, je touto vlastností určen jednoznačně až na isomorfismus.

14.2. Věta. Nechť (e_{1}, …, e_{m}) je báze V, (f_{1}, …, f_{n}) je báze W. Pak V ⊗ W existuje a má bázi (e_{1} ⊗ f_{1}, …, e_{1} ⊗ f_{n}, …, e_{m} ⊗ f_{n}). Tato konstrukce je navíc funktoriální, tzn. pro dvě lineární zobrazení φ: V → V′, ψ: W → W′ dostáváme lineární zobrazení φ ⊗ ψ: V ⊗ W → V′ ⊗ W′, (φ ⊗ ψ)(v ⊗ w) = ψ(v) ⊗ ψ(w).

Důkaz. Proveďte jako cvičení. ^{cvičení!}

14.3. Důsledek. Pro konečněrozměrné prostory V, Z a W platí (1) V ⊗ W ≃ W ⊗ V

(2) (V ⊕ Z) ⊗ W ≃ (V ⊗ W) ⊕ (Z ⊗ W)

(3) (V ⊗ W) ⊗ Z ≃ V ⊗ (W ⊗ Z)

Bude-li nutné zdůraznit nad jakými skaláry tensorový součin uvažujeme, budeme příslušné pole označovat jako index u znaku pro tensorový součin (např. komplexní vektorové prostory lze chápat také jaké reálné a uvažovat příslušný tensorový součin, který budeme značit ⊗_{ℝ}).

Analogicky definujeme libovolné konečné tensorové součiny. Jedná-li se o tensorový součin k kopií téhož vektorového prostoru V, píšeme často V^{⊗k} nebo ⊗^{k}V.

14.4. Antisymetrická zobrazení. Připomeňme, že k-lineární zobrazení φ je antisymetrické, jestliže pro každou permutaci σ na k prvcích platí

φ(v_{σ(1)}, …, v_{σ(k)}) = sgnσφ(v_{1}, …, v_{k}).

Není těžké ověřit, že ekvivalentní je (zdánlivě slabší) požadavek, φ(v_{1}, …, v_{k}) = 0 kdykoliv jsou alespoň dva z argumentů stejné.

Vnější tensorový součin Λ^{k}V stupně k je vektorový prostor spolu s antisymetrickým k-lineárním zobrazením V × … × V → Λ^{k}V, (v_{1}, …, v_{k}) ↦ v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{k}, s univerzální vlastností: Pro každé antisymetrické multilineární zobrazení φ: V × … × V → Z existuje jediné lineární zobrazení φ̄: Λ^{k} → Z splňující φ(v_{1}, …, v_{k}) = φ̄(v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{k}). Z technických důvodů klademe Λ^{0}V = 𝕂.

Opět je snadné ověřit, že když prostor Λ^{k}V existuje, je určen jednoznačně až na isomorfismus.

14.5. Věta. Nechť V je vektorový prostor s bazí (e_{1}, …, e_{m}). Pak Λ^{k}V existuje a má bázi tvořenou prvky e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{k}} s i_{1} < ⋯ < i_{k}. Zejména je Λ^{m}V ≃ 𝕂 a Λ^{k}V je triviální nulový prostor pro k > m.

Důkaz. Snadno se ověří přímou konstrukcí. Lze také odvodit zavedením Λ^{k}V jako faktorového prostoru V^{⊗k}/I, kde vektorový podprostor I je generován výrazy v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{k} s alespoň dvěmi stejnými vektory v_{i}. □

14.6. Důsledek. Nechť V a W jsou dva konečněrozměrné vektorové prostory. Pak Λ^{k}(V ⊕ W) = ⊕_{j=0}^{k} Λ^{j}V ⊗ Λ^{k−j}W.

Důkaz. Hledaný isomorfismus je dán přiřazením

(v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{j}) ⊗ (w_{1} ∧ ⋯ ∧ w_{k−j}) ↦ v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{j} ∧ w_{1} ∧ ⋯ ∧ w_{k−j}.

14.7. Symetrická zobrazení. Připomeňme, že multilineární zobrazení φ je symetrické, jestliže pro každou permutaci σ na k prvcích platí φ(v_{σ(1)}, …, v_{σ(k)}) = φ(v_{1}, …, v_{k}).

Symetrický tensorový součin S^{k}V stupně k definujeme jako vektorový prostor spolu se symetrickým k-lineárním zobrazením V × … × V → S^{k}V, (v_{1}, …, v_{k}) ↦ v_{1}∨⋯∨v_{k}, s univerzální vlastností: Pro každé symetrické lineární zobrazení φ: V × … × V → Z existuje jediné lineární zobrazení φ̄: S^{k} → Z splňující φ(v_{1}, …, v_{k}) = φ̄(v_{1} ∨ ⋯ ∨ v_{k}). Z technických důvodů opět klademe S^{0}V = 𝕂.

Opět je snadné ověřit, že když S^{k}V existuje, je určeno jednoznačně až na isomorfismus.

14.8. Věta. Nechť V je konečněrozměrný vektorový prostor s bazí (e_{1}, …, e_{m}). Potom S^{k}V existuje pro každé k ≥ 0 a má bázi tvořenou prvky e_{j_{1}} ∨ ⋯ ∨ e_{j_{k}} s j_{1} ≤ ⋯ ≤ j_{k}.

Důkaz. Ověří se přímou konstrukcí. Lze též definovat S^{k}V jako faktorový prostor V^{⊗k}/I kde vektorový podprostor I je generován prvky v_{1}⊗⋯⊗v_{k}−v_{σ(1)}⊗⋯⊗v_{σ(k)} pro libovolnou permutaci σ na k prvcích. □

Báze v S^{k}V můžeme také zapsat ve tvaru e_{1}^{i_{1}} ∨⋯∨e_{n}^{i_{n}}, kde exponenty probíhají všechny multiindexy (i_{1}, …, i_{n}) a ∑_{j=1}^{n} i_{j} = k.

14.9. Důsledek. Realizace Λ^{k}V a S^{k}V jako faktorových prostorů celého tensorového prostoru V^{⊗k} dává projekce Alt: V^{⊗k} → Λ^{k}V, v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{k} ↦ v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{k} a Sym: V^{⊗k} → S^{k}V, v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{k} ↦ v_{1} ∨ ⋯ ∨ v_{k}. Naopak, máme inkluze

ι: Λ^{k}V → V^{⊗k}, v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{k} ↦ ∑_{σ} sgnv_{σ(1)} ⊗ ⋯ ⊗ v_{σ(k)}

ι: S^{k}V → V^{⊗k}, v_{1} ∨ ⋯ ∨ v_{k} ↦ ∑_{σ} v_{σ(1)} ⊗ ⋯ ⊗ v_{σ(k)}

14.10. Věta. Přiřazení (v_{1} ∧⋯∧v_{k})⊗(v_{k+1} ∧⋯∧v_{k+l} ) ↦ v_{1} ∧⋯∧v_{k+l} definuje antisymetrické bilineární zobrazení ∧: Λ^{k}V × Λ^{l}V → Λ^{k+l} V.

Podobně, přiřazení (v_{1} ∨ ⋯ ∨ v_{k}) ⊗ (v_{k+1} ∨ ⋯ ∨ v_{k+l} ) ↦ v_{1} ∨ ⋯ ∨ v_{k+l} definuje symetrické bilineární zobrazení ∨: S^{k}V × S^{l}V → S^{k+l} V.

Důkaz. Proveďte jako cvičení. ^{cvičení!}

14.11. Definice. Zobrazení ∧ z předchozí věty nazýváme vnější součin a podobně ∨ nazýváme symetrický součin. Vektorový prostor Λ(V) = ⊕_{k=0}^{m} Λ^{k}V, m = dimV, spolu s vnějším součinem, nazýváme vnější algebra (nad V). Vektorový prostor S(V) = ⊕_{k=0}^{∞} S^{k}V, spolu se symetrickým součinem nazýváme symetrická algebra (nad V). Podobně máme obecnou tensorovou algebru T (V), která je definována jako vektorový prostor ⊕_{k=0}^{∞} V^{⊗k} se součinem daným tensorovým součinem ⊗. Tensory, které jsou vyjádřitelné jako součin příslušného počtu vektorů z V nazýváme rozložitelné.

14.12. Duální prostory. Nechť V je (konečněrozměrný) vektorový prostor nad 𝕂 a V^{∗} jeho duální prostor, tj. vektorový prostor všech lineárních forem na V. Pro v^{∗} ∈ V^{∗} a v ∈ V budeme často značit ⟨v, v^{∗}⟩ hodnotu formy v^{∗} na v. Prostor všech lineárních zobrazení φ: V → W, kde W je libovolný další vektorový prostor konečné dimenze, můžeme ztotožnit s tensorovým součinem W ⊗V^{∗}, a to prostřednictvím přiřazení w ⊗ v^{∗} ↦ (v ↦ ⟨v, v^{∗}⟩.w). Ověřte, že se opravdu jedná o lineární isomorfismus!

cvičení!

Analogicky pak W ⊗ (V^{∗})^{⊗k} je prostor všech k-lineárních zobrazení na V s hodnotami ve W, W ⊗ Λ^{k}V^{∗} a W ⊗ S^{k}V^{∗} jsou prostory všech k-lineárních antisymetrických zobrazení a k-lineárních symetrických zobrazení s hodnotami v W.

Specielně pro W = 𝕂 dostáváme příslušné prostory multilineárních forem na V. Lineární automorfismy na V jsou pak právě tensory ve V ⊗ V^{∗}.

14.13. Báze. Nechť e_{1}, …, e_{n} je báze V a e^{1}, …, e^{n} duální báze ve V^{∗}. Pak

e_{j_{1}}^{∗} ⊗ ⋯ ⊗ e_{j_{k}}^{∗},  1 ≤ j_{1}, …, j_{k} ≤ n
e_{j_{1}}^{∗} ∧ ⋯ ∧ e_{j_{k}}^{∗},  j_{1} < ⋯ < j_{k}
\frac{1}{i_{1} !...i_{n}!}(e_{j_{1}}^{∗})^{i_{1}} ∨ ⋯ ∨ (e_{j_{k}}^{∗})^{i_{n}},  i_{1} + ⋯ + i_{n} = k

jsou příslušné duální báze ke standardním bazím na (V^{∗})^{⊗k}, Λ^{k}V a S^{k}. Ověřte! _{cvičení!}

Jako jednoduché cvičení si ověřte, že v případě V ⊗ V^{∗} tvoří souřadnice tensoru v příslušné standardní bázi právě matici odpovídajícího zobrazení v původní bázi na V. Obecné tensory pak dávají něco jako matice multilineárních zobrazení, ty však samozřejmě mohou mít mnoho indexů místo právě dvou. Vhodná konvence (standardně užívaná v geometrii) je, že u souřadnic tensorů píšeme indexy odpovídající kopiím V jako horní, indexy odpovídající kopiím V^{∗} jako dolní. U označování bázových prvků je tomu pak naopak a implicitně se ve formulích sčítá, kdykoliv se objeví stejný index jednou nahoře a jednou dole.

Dále můžete ověřit, že při změně původní báze na V prostřednictvím matice A dostaneme příslušné transformační zákony pro souřadnice na prostorech tensorů tak, že pro každý výskyt V^{∗} násobíme jednou maticí A^{−1}, pro každý výskyt V jednou maticí A.

14.14. Kontrakce. Vektorový prostor V lze také považovat za prostor lineárních forem na V^{∗}, kde v(v^{∗}) = ⟨v, v^{∗}⟩. Kdykoliv uvažujeme tensorový součin V^{⊗k} ⊗ (V^{∗})^{⊗ℓ}, k, ℓ > 0, jako ℓ-lineární zobrazení s hodnotami ve V^{⊗k}, máme pro každou vybranou kopii V ve V^{⊗k} a V^{∗} ve (V^{∗})^{⊗ℓ} definovánu tzv. kontrakci, která je tensorem ve V^{⊗(k−1)} ⊗ (V^{∗})^{⊗(ℓ−1}:

Pro α ∈ V^{⊗(k−1)} ⊗ (V^{∗})^{⊗(ℓ−1)} je α(v_{1}^{∗}, …, v_{k}^{∗}, v_{1}, …, v_{ℓ}) ∈ 𝕂 a kontrakci Trα i-té a j-té komponenty definujeme předpisem

Trα(v_{1}^{∗}, …, v_{k−1}^{∗}, v_{1}, …, v_{ℓ−1}) =

= ∑_{p} α(v_{1}^{∗}, …, v_{i−1}^{∗}, e^{p}, v_{i+1}^{∗} , …, v_{k}^{∗}, v_{1}, …, v_{j−1}, e_{p}, v_{j+1} , …, v_{ℓ})

V případě k = ℓ = 1 jde přesně o vyčíslení lineárních forem na vektorech.

Bez souřadnic lze kontrakci názorně definovat tak, že V^{⊗k}⊗(V^{∗})^{⊗ℓ} chápeme jako (V^{⊗(k−1)} ⊗(V^{∗})^{⊗(ℓ−1]})⊗(V ⊗V^{∗}), kde jsme dozadu přesunuli (isomorfismem) právě vybrané komponenty a kontrakce pak je definována na rozložitelných tensorech vztahem (pro jednoduchost uvažujeme i = j = 1)

Tr(v_{1}^{∗} ⊗ ⋯ ⊗ v_{k}^{∗} ⊗ v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{ℓ}) = ⟨v_{1}, v_{1}^{∗}⟩v_{2}^{∗} ⊗ ⋯ ⊗ v_{k}^{∗} ⊗ v_{2} ⊗ ⋯ ⊗ v_{ℓ}.

Je-li k = ℓ, máme k dispozici tzv. úplnou kontrakci V^{⊗k} ⊗ (V^{∗})^{k} → 𝕂. Budeme ji značit stejně jako vyčíslení forem ⟨ , ⟩, což je speciální případ.

14.15. Operátor i_{X}. V případech symetrických tensorů nezávisí kontrakce na výběru kopií V a V^{∗}, u antisymetrických se mění pouze znaménko a zavádíme konvenci, že vždy kontrahujeme přes první indexy. Dostáváme tak pro x ∈ Λ^{p}V, resp. y^{∗} ∈ Λ^{p}V^{∗} zobrazení splňující

i_{X}: Λ^{p+q} V^{∗} → Λ^{q}V^{∗}, ⟨z, i_{x}(w^{∗})⟩ = ⟨z ∧ x, w^{∗}⟩
i_{y^{∗}}: Λ^{p+q} V → Λ^{q}V, ⟨i_{y^{∗}}(w), z^{∗}⟩ = ⟨w, y^{∗} ∧ x^{∗}⟩.

Ověřte si, že takto definovaná operace i je rovna kompozici

\frac{1}{p!q!} Alt∘c ∘ (ι ⊗ ι): Λ^{p+q} V ⊗ Λ^{p}V^{∗} → V^{⊗(p+q)} ⊗ (V^{∗})^{⊗p} → V^{⊗q} → Λ^{q}V

kde c je kontrakce přes prvních p kopií V.Analogická formule platí i pro duální ^{cvičení!} případ (se stejným koeficientem).

Podobně se definuje také operace vložení i_{y} pro symetrické tensory.

Index

α-řetízek kořenu β, 34

A

afinní akce, 48 algebraicky dominantní váhy, 41 alternující operátor, 46 analyticky dominantní váhy, 41 antisymetrické tensory, 62 atlas, 60

B

Borelova podalgebra, 37

C

Cartanova podalgebra, 28 Cartanova čísla, 34 Cartanova-Killingova forma, 22 Casimirův operátor, 26 celočíselné váhy, 45 centrum, 17 charakter reprezentace, 45

D

derivovaná algebra, 17 derivovaná posloupnost podalgeber, 17 dimenze, 60 dolní centrální posloupnost, 17 dominantní váhy, 41 Dynkinův diagram, 51

F

faktorová algebra, 17 fundamentální váhy, 41

H

hladká funkce, 60 hladká křivka, 60 hladké zobrazení, 60 homomorfismus, 26 horní trojúhelníková matice, 9

I

idealizátor, 28

ideál, 17

ireducibilní (irrep), 14

J

Jacobiho identita, 2 jednoduchá algebra, 18 jednoduché kokořeny, 37 jednoduché kořeny, 37 jednoparametrická podgrupa, 2

K

kokořeny, 34

kompaktní forma, 58

kontrakce, 65

kořenové prostory, 28 kořenové prvky v 𝔤_{α}, 34 kořenové systémy, 35 kořenové vektory v 𝔥, 34 kořeny, 30

L

Leviho faktor, 20

lexikografické uspořádání na 𝔥_{0}^{∗}, 37 Lieova algebra, 3 Lieova grupa G, 1 Lieova závorka, 3 logaritmus matice A, 6

M

mapy, 60 modul, 26

N

nejnižší váha algebry, 45

nejvyšší váha, 40 nilpotentní, 18 nilradikál, 19 normalizátor, 28 násobnost váhy, 39 násobností, 15

O

obecná lineární grupa, 1 orientovaný Dynkinův diagram, 54 ostře dominantní váha, 45

P

perfektní, 18 polojednoduchá, 18 polopřímý součin, 19 posunutá akce, 48 prosté kořeny, 37 přímým součtem, 14

R

radikál, 19 reducibilní, 14 redukovaný kořenový systém, 35 reprezentace Lieovy algebry, 3 reálná forma, 57 rozložitelná, 14 rozložitelné tenzory, 64 řešitelná algebra, 18

S

souřadné systémy, 60 split forma, 59 stopová forma, 22 symetrická algebra, 64 symetrický součin, 64 symetrický tensorový součin S^{k}V, 63 symplektická grupa, 11

T

tensorová algebra T (V), 64 tensorový součin V ⊗ W, 62 tenzorový součin, 15 tečné zobrazení, 61 tečný bandl, 61 transformace souřadných systémů, 60

U

univerzální obalující algebra, 25

úplná kontrakce, 65

V

vektor nejvyšší váhy, 40 vložená podvarieta, 62 vnější algebra, 64 vnější součin, 64 vnější tensorový součin Λ^{k}V, 63 váha reprezentace, 29 váha reprezentace, 39 váhový vektor reprezentace, 29

W

Weyl–Chevalleyho normální forma, 55 Weylova grupa, 36