Cvičení k přednáškám

1. Vlastnosti skalárů

Zopakujte si vlastnosti tělesa komplexních čísel ℂ.

Všimněte si vlastností sčítání a násobení, rozeberte si ℝ, ℚ, ℤ, ℕ jako podmonožiny se zúženými operacemi (grupa, okruh, dělitelé nuly, apod.)

Uvědomte si strukturu reálného vektorového prostoru na ℂ.

Počítejte inverzní prvky vzhledem k násobení, (a + ib)^{−1} = \frac{a−ib}{a^{2} +b^{2}} , např. (1 + 2i)^{−1} apod. Vzpomněte goniometrické tvary, mocniny, atd.

Připomeňte si běžné geometrické transformace z rovinné a prostorové geometrie (např. podobnosti, projekce, reflexe, otáčení apod.)

2. Vektory a počítání s maticemi

1. Zopakujte pojmy sloupce matice, řádky matice, operace sčítání a násobení. Vyná-

sobte několik příkladů matic, najděte nějaké dělitele nuly. Např. pro A = ( \begin{matrix}cosα & −sinα \\ sinα & cosα \end{matrix} )

spočtěte A^{2}, A^{3} (obecně A^{k}?).

2. Jednoduché systémy rovnic řešte Gausovou eliminací (převod na trojúhelníkový tvar.) Volte více příkladů.

3. Uvažme matice nad ℤ

A = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 2 & 1 \\ −1 & 2 \end{matrix} ) , B = (−1 0 2), C = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & −1 \\ 0 & 2 & 0 & 5 \end{matrix})

D = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}) , E = ( \begin{matrix}1 \\ −3 \\ 0 \\ 7 \end{matrix} ) , F = ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ −2 & 0 & −3 \\ 0 & 3 & 5 \end{matrix} )

G = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & −4 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) , H = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & −7 \end{matrix}) , I = (1 0 −2 4)

Spočtěte (pokud je definováno) EI, IE, D^{3} + 4DH − H^{2}, G^{2} − 3F, A − F, A − GF A, BACE − BF B^{T} a další ”polynomiální výrazy” dle vlastní volby.

4. Najděte matice pro elementární řádkové a sloupcové transformace.

Typeset by AMS-TEX

5. Některé matice z příkladu 1 upravte na řádkový (sloupcový) schodovitý tvar.

6. Najděte inverzní matici B^{−1} k B = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 2 & 4 \end{matrix}) metodou současných úprav s jed-

notkovou maticí. Totéž pro (čtvercové) matice z předchozích příkladů, pro matici

C = ( \begin{matrix}1 + i & 1 − i \\ 2 & i \end{matrix} ) nad ℂ, (čtvercové) matice z příkladu 1, a matici typu n/n

D = ( \begin{matrix}1 & 1 & … & 1 \\ 0 & 1 & … & 1 \\ ⋮ & & & ⋮ \\ 0 & … & 0 & 1 \end{matrix} ) .

5. Řešte maticové rovnice, např.

( \begin{matrix}1 & 3 \\ 3 & 8 \end{matrix}) · X = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix})

výpočtem inverze i přímým výpočtem.

3. Vektorové prostory, lineární závislost

1. Zjistěte, zda množina ℝ_{+} = {x ∈ ℝ; x > 0} s operacemi x ⊕ y = x.y, a ⊙ x = x^{a} pro x, y ∈ ℝ_{+} , a ∈ ℝ tvoří vektorový prostor. Pokud ano, určete jeho bázi a dimenzi.

2. Podle obecné teorie musí být ℝ_{+} z předchozího cvičení izomorfní s ℝ^{1}. Jaký je izomorfismus? (Pro každou volbu báze b ∈ ℝ_{+} a 1 ∈ ℝ^{1} dostaneme právě jeden.)

3. Zjistěte, zda daná množina tvoří vektorový podprostor v ℝ^{2}

M = {(x, y) ∈ ℝ^{2}; x ≥ 0, y ≥ 0}
M = {(x, y) ∈ ℝ^{2}; x = y}
M = {(x, y) ∈ ℝ^{2}; x.y ≥ 0}
M = {(x, y) ∈ ℝ^{2}; x = y + 1}.

Určete vždy podprostor generovaný M.

4. Prověřte lineární závislost vektorů

(1, −\sqrt{2}, −01), (1 − \sqrt{2}, 2, 1 + \sqrt{2}), (1, −\sqrt{2} − 1, −\sqrt{2} − 1)

v ℝ^{3} nad skaláry ℝ a v ℝ^{3} nad skaláry ℚ.

5. Prověřte lineární závislost polynomů v ℝ_{2}[x].

a) 1 + x, 1 − x, 2 + x − x^{2}

b) 1 − x, x − x^{2}, x^{2} − 1 6. Zjistěte, zda jsou lineárně závislé matice

( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) , ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & −2 \end{matrix}) ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) , ( \begin{matrix}2 & −1 \\ 2 & 1 \end{matrix})

ve vektorovém prostoru Mat_{2}ℝ.

7. Uvažujte ℝ jako vektorový prostor nad ℚ. Je \sqrt{8} ∈ ⟨1, \sqrt{2}⟩? Je \sqrt{3} ∈ ⟨1, \sqrt{2}⟩?

8. Zjistěte, zda a) (1, 1, 1, 1) patří do ⟨(1, 0, 1, 2), (0, 0, 1, 3), (0, 1, 0, 2)⟩ ⊂ ℝ^{4}

b) (−1, −4, 7) ∈ ℝ^{3} patří do

⟨(1, −2, 3), (−2, 1, −1), (0, −3, 5), (−2, −5, 3), (−1, −1, 2)⟩.

9. Doplňte množiny do báze ℝ^{4}

M = {(1, −1, 0, 2), (0, 2, 1, 3), (2, 0, 1, 7)}
M = {(−1, 1, 0, 0,), (0, −1, 1, 0), (0, 0, −1, 1)}.

4. Báze vektorových prostorů

1. Určete nějakou bázi vektorového podprostoru

M{(x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n}; x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n} = 0}

a doplňte ji na bázi ℝ^{n}. Vzpomeňte přitom, jak funguje Steinitzova věta o výměně.

2. Nechť P_{1} = ⟨M_{1}⟩, P_{2} = ⟨M_{2}⟩ v ℝ^{4}, kde

M_{1} = {(4, 0, −2, 6), (2, 1, −2, 3), (3, 1, −2, 4)}
M_{2} = {(1, −1, 0, 2), (2, 2, −1, 3), (0, 1, 1, 0)}

Najděte P_{1} + P_{2}, P_{1} ∩ P_{2}, jejich báze a dimenze. (Připomeňte si přitom větu dimP_{1} + dimP_{2} = dim(P_{1} + P_{2}) + dim(P_{1} ∩ P_{2}).)

3. V ℝ_{5}[x] najděte bázi podprostorů a) P_{1} = {f ∈ ℝ_{5}[x]; f(x) = f(−x)}

b) P_{2} = {f ∈ ℝ_{5}[x]; f(x) = −f(−x)}

c) P_{3} = {f ∈ ℝ_{5}[x]; f(1) = f(2) = 0}.

Určete také P_{1} ∩ P_{3}, P_{2} + P_{3}.

4. Najděte souřadnice vektoru v dané bázi.

a) v = (2, 1, 1) ∈ ℝ^{3}, \underline{u} = ((2, 7, 3), (3, 9, 4), (1, 5, 3))

b) v = (2, 1, 1) ∈ ℝ^{3}, \underline{u} = ((1, 0, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 1))

c) v = x^{3} + x^{2} + x + 1 ∈ ℝ_{4}[x], \underline{u} = (1 + x^{3}, x + x^{3}, x^{2} + x^{3} + x^{4}, x^{3})

d) v = ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 2 & 1 & 4 \end{matrix}) ∈ Mat_{23}(ℝ) s bazí

\underline{u} = ( ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ,

( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ −1 & −1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ −1 & −1 & −1 \end{matrix} ))

5. Souřadnice a lineární zobrazení

1. Připomeňte si pojem souřadnic vektoru v dané bázi a napište souřadnice vektoru (1, 1, 1, 1) ∈ ℝ^{4} v bázi

a) \underline{u} = ((−1, 0, 0, 0), (−1, −1, 0, 0), (−1, −1, −1, 0), (0, 0, 1, −1))

b) \underline{v} = ((0, 0, 0, −5), (1, 2, 3, 1), (1, 0, −1, 0), (0, 1, 1, 0)).

2. Zjistěte, zda je zobrazení f: ℝ^{n} → ℝ^{n} lineární.

a) f(x, y) = (x, y^{2})

b) f(x, y) = (2x + 3y, x − y)

c) f(x, y, z) = (x + y, x − y, x + z + 2)

d) f(x, y, z) = (x − 17y + z, 2x − 5y, 13y − z)

3. Připomeňte si pojem matice zobrazení. V prostoru ℝ^{3} se standardní bazí \underline{u} = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) napište matice následujících zobrazení

a) identického zobrazení id: ℝ^{3} → ℝ^{3}

b) kolmé projekce do osy generované vektorem (1, 0, 0)

c) kolmé projekce do roviny generované vektory (0, 1, 0), (0, 0, 1)

d) násobení pevně zvoleným skalárem a ∈ ℝ.

Zapište tato zobrazení způsobem použitým v předchozím cvičení.

4. V reálném vektorovém prostoru V = ℂ, tj. dimV = 2, najdětete nutnou a dostatečnou podmínku pro to, aby obecné lineární zobrazení φ: V → V bylo také lineární jako zobrazení mezi (1-rozměrnými) komplexními vektorovými prostory.

5. V prostoru ℂ^{2} nad ℝ napište matici zobrazení (ve standardní bázi), která každý vektor (p, q) ∈ ℂ^{2} zobrazí na (ip, iq). (Matice bude v Mat_{4}(ℝ).)

6. Napište matici (id_{ℝ^{4}})_{\underline{u},\underline{v}} identického zobrazení na ℝ^{4} v bazích \underline{u}, \underline{v} ze cvičení 1, tzv. matici přechodu. Napište také (id_{ℝ^{4}})_{\underline{v},\underline{u}} a uvědomte si jak se tyto matice použijí pro převod souřadnic vektorů z jedné báze do druhé.

7. V prostoru polynomů ℝ_{3}[x] uvažme báze \underline{u} = (1, x, x^{2}, x^{3}) a \underline{v} = (1 + x, 1 − x, x^{2} + x^{3}, x^{2} − x^{3}). Najděte matice přechodu od \underline{u} k \underline{v} a naopak. Použijte je k převodu souřadnic několika polynomů.

8. Nechť ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{matrix}) je matice zobrazení f: ℂ_{3}[x] → ℂ_{1}[x] v bazích \underline{v} z předchozího

cvičení a standardní (1, x) na ℂ_{1}[x]. Najděte obrazy polynomů 2x − x^{3}, 1 + x^{2}, 1 + x + x^{2} + x^{3}.

9. Ve standardních bazích na ℝ^{3} a ℝ^{5} je dáno zobrazení f maticí A, g maticí B.

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & −1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \\ −1 & 1 & 0 \\ −2 & 0 & 1 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}−2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 0 & 7 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

Uvědomte si odkud kam tato zobrazení jdou a najděte matice jejich kompozic. Zjistěte, zda půjde o izomorfismus.

6. Lineární zobrazení II

1. Nechť f: ℝ^{4} → ℝ^{4} je lineární zobrazení dané vztahem f(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (x_{1} +2x_{2} + 3x_{3} + 4x_{4}, 4x_{1} + 3x_{2} + 2x_{3} + x_{4}, x_{1} − 2x_{2} + 3x_{3} − x_{4}, x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}).

a) Najděte báze jádra Kerf a obrazu Imf.

b) Doplňte bázi Imf na bázi celého ℝ^{4}, nejlépe bazí Kerf, pokud to půjde (promyslete si), a napište matici f v této nové bázi.

2. Matice lineárního zobrazení f: ℝ^{3} → ℝ^{3} v bázi \underline{u} = ((1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)) je

A = ( \begin{matrix}−1 & 0 & −1 \\ 0 & −1 & 1 \\ −1 & 1 & 0 \end{matrix} )

a) Zjistěte, zda je f izomorfismus.

b) Pokud ano, najděte matici inverzního zobrazení ve standardní bázi.

3. Ve standardních bazích ℝ_{4}[x] a ℝ_{8}[x] určete matici zobrazení, které je definováno jako násobení pevně zvoleným polynomem g ∈ ℝ_{4}[x].

a) Zvolte sami několik různých g a najděte vždy dimenzi jádra příslušného zobrazení.

b) Zjistěte dimenzi obrazu podprostoru ⟨x^{2} + x^{3}, x − x^{4}⟩ při některé volbě.

Promyslete si dobře, co je skutečně nutné počítat v bodech a), b).

4. Určete dimenzi obrazu a jádra zobrazení, které je definováno jako násobení maticí

A = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 4 & 4 \end{matrix}) v Mat_{2}(ℂ)

a) zprava

b) zleva.

5. Najděte dimenzi a bázi obrazu průniku podprostorů V_{1} a V_{2} ⊂ ℝ^{4} při zobrazení f: ℝ^{4} → ℝ^{5}. Přitom f(x, y, z, w) = (x+2y+3z+w, 2x−3y−z−12w, −x+y+5w, −y−z− 2w, 2x − 3y − z − 12w), V_{1} = ⟨(2, −1, −1, 1), (−2, 3, 1, −1)⟩, V_{2} = ⟨(0, 2, 0, 0), (1, 1, 1, 1)⟩. Dále zjistěte dimenzi vzoru podprostoru W ⊂ ℝ^{5}, generovaného vektorem (1, 1, 1, 1, 1).

7. Permutace a determinanty

1. Uvědomte si souvislost permutace σ na množině X = {1, …, n} s pořadím (σ(1), …, σ(n)).

a) Pro permutace σ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 4 & 2 & 1 \end{matrix}), π = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 4 & 2 & 1 & 5 & 3 \end{matrix}) spočtěte

kompozice σ ∘ π, π ∘ σ a pro všechny čtyři předchozí permutace spočtěte jejich paritu (z definice pomocí počtu inverzí).

b) Napište π a σ jako součiny transpozic.

2. Nechť permutace π na X = {1, …, n} je definována pomocí cyklu na k prvcích v X, k ≥ 1, a ostatní prvky nechť jsou samodružné. k nazýváme délka cyklu π. Ukažte, že parita této permutace je sgn(π) = (−1)^{k−1}. Odtud pak plyne, že je-li permutace σ součinem cyklů π_{1}, …, π_{s}, o délkách k_{1}, …, k_{s} pak parita je sgn(σ) = (−1)^{∑_{i=1}^{s} k_{s}−s}.

3. Pro transpozici σ = (1, …, j, …, i, …, n) platí sgnσ = Π_{i>j} \frac{σ(i)−σ(j)}{i−j} . Dokažte, že tentýž vztah platí pro libovolnou permutaci σ. (Návod: Užijte vztah pro paritu součinu permutací a větu, že každá permutace je součinem transpozic.)

4. Rozložte následující permutace dané pořadím na cykly a spočtěte jejich paritu. a) (9, 4, 5, 1, 6, 2, 8, 3, 10, 7)

b) (9, 19, 5, 18, 10, 13, 20, 3, 12, 15, 11, 1, 4, 16, 8, 2, 17, 6, 7, 14).

5. Určete paritu permutací:

a) (n, n − 1, …, 2, 1)

b) (1, 3, 5, …, 2n − 3, 2n − 1, 2, 4, …, 2n)

c) (2, 3, 1, 5, 6, 4, …, 3n − 1, 3n, 3n − 2).

6. Vypočtěte determinant dle definice: | \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & −1 & 1 \\ 2 & −3 & 1 & 0 \end{matrix} |

7. Spočtěte determinanty matic

a) ( \begin{matrix}3 & 4 \\ 1 & 2 \end{matrix})

b) ( \begin{matrix}1 + i & i \\ 3 − i & 2 + i \end{matrix} )

c) ( \begin{matrix}sinx & −cosx \\ cosx & sinx \end{matrix} )

d) ( \begin{matrix}3 & 4 & −3 & −1 & 2 \\ −5 & 6 & 5 & 2 & 3 \\ 4 & −9 & −3 & 7 & −5 \\ −1 & −4 & 1 & 1 & −2 \\ −3 & 7 & 5 & 2 & 3 \end{matrix} )

e) ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 8 & 27 & 64 \end{matrix} ).

8. Výpočet determinantů a inverzních matic

1. Spočtěte úpravou na trojúhelníkový tvar nebo vhodným Laplaceovým rozvojem deteminanty matic

a) ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 2 & 1 & −1 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 7 \\ 3 & 1 & −1 & 4 & 1 \\ 5 & −2 & 3 & 6 & 1 \end{matrix} )

b) ( \begin{matrix}1 & 0 & 2 & 0 & 3 & 0 \\ 2 & 3 & 3 & 4 & 4 & 5 \\ 4 & 0 & 5 & 0 & 6 & 0 \\ 5 & 6 & 6 & 7 & 7 & 8 \\ 1 & 0 & −1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & −1 & −1 & 1 & 1 \end{matrix} )

2. Vypočtěte determinanty n-tého řádu z matice D_{n} ∈ Mat_{n}(ℝ).

a) D_{2n} = ( \begin{matrix}a & 0 & … & 0 & 0 & … & 0 & b \\ 0 & a & … & 0 & 0 & … & b & 0 \\ ⋮ & & & & & & ⋮ \\ 0 & 0 & … & a & b & … & 0 & 0 \\ 0 & 0 & … & c & d & … & 0 & 0 \\ ⋮ & & & & & & ⋮ \\ 0 & c & … & 0 & 0 & … & d & 0 \\ c & 0 & … & 0 & 0 & … & 0 & d \end{matrix} )

b) D_{n} = ( \begin{matrix}n & 1 & 1 & … & 1 \\ 1 & n & 1 & … & 1 \\ ⋮ & & & & ⋮ \\ 1 & 1 & 1 & … & n \end{matrix} )

3. Spočtěte inverzní matice k daným maticím metodou využívající přímé a zpětné Gausovy eliminace a použitím algebraicky adjungované matice.

a) ( \begin{matrix}8 & 5 \\ 11 & 7 \end{matrix})

b) ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ −1 & −3 & −2 \end{matrix} )

c) ( \begin{matrix}1 & 4 & −2 & 3 \\ 2 & 9 & 3 & −2 \\ −1 & −6 & −11 & 4 \\ 0 & −1 & −6 & 0 \end{matrix} )

d) Všimněte si, že všechny tři matice mají determinant ±1, proto výsledné inverzní matice jsou celočíselné. Vzpomeňte obecný výsledek, který toto zajišťuje (A^{−1} existuje právě, když |A| je invertibilní skalár!)

9. Systémy lineárních rovnic I

1. Řešte systémy rovnic (a diskutujte jejich řešitelnost pro různé okruhy skalárů).

(1)  4x_{1} + 3x_{2} + 6x_{3} = 1
3x_{1} + 5x_{2} + 4x_{3} = 10
x_{1} − 2x_{2} + 2x_{3} = −9
(2)  12x_{1} − x_{2} + 5x_{3} = 30
3x_{1} − 13x_{2} + 2x_{3} = 21
7x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 15
(3)  2x_{1} − 3x_{2} + 17x_{3} − 29x_{4} − 36x_{5} = 22
2x_{1} − 3x_{2} + 18x_{3} − 27x_{4} + 33x_{5} = 21
12x_{1} − 18x_{2} + 102x_{3} − 174x_{4} − 216x_{5} = 132
2x_{1} − 3x_{2} + 21x_{3} − 24x_{4} − 30x_{5} = 20
2x_{1} − 3x_{2} + 24x_{3} − 21x_{4} − 27x_{5} = 19

2. Diskutujte řešení předchozích rovnic z hlediska řešení příslušných homogenních systémů a najděte fundamentální sytémy řešení pro skaláry ℝ.

3. Najděte takový systém rovnic nad ℝ, aby platilo (1) množina jeho řešení je {(1 + 2s − t, 2t, −1 + s − t)^{T} ∈ ℝ^{3}; s, t ∈ ℝ}

(2) jeho fundamentální systém řešení je {(1, 0, 0, 2, 1), (0, 1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 0, 2)} Umíte najít všechny takové systémy?

4. Řešte systém rovnic s parametrem α ∈ 𝕂, uvažte přitom možnosti 𝕂 = ℤ, 𝕂 = ℝ.

x_{1} + x_{2} + αx_{3} = 1
x_{1} + αx_{2} + x_{3} = 1
αx_{1} + x_{2} + x_{3} = 1

5. Nad ℝ řešte maticovou rovnici

( \begin{matrix}1 & −4 & −3 \\ 1 & −5 & −3 \\ −1 & 6 & 4 \end{matrix} ) · X = ( \begin{matrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{matrix} ) (1)

( \begin{matrix}1 & −1 & −2 \\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 0 \end{matrix} ) · X = ( \begin{matrix}1 & −2 \\ 3 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} ) (2)

Diskutujte přitom možnost nalezení inverzní matice, příp. použití fundamentálních systémů řešení homogeního systému.

10. Systémy lineárních rovnic II

1. Najděte fundamentální systém řešení následujícího systému lineárních rovnic a fundamentální systém řešení příslušného homogenního systému.

( \begin{matrix}1 & 2 & −1 \\ 2 & −5 & 4 \\ 4 & −1 & 2 \end{matrix} ) . ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}3 \\ −1 \\ 5 \end{matrix} )

Řešte nad skaláry ℤ, ℤ_{6}, ℤ_{7}. Diskutujte přitom použití Cramerova pravidla i Gausovy eliminace.

2. Ve vektorovém prostoru ℝ^{4} najděte průnik podprostorů V_{1} a V_{2} zadaných generátory V_{1} = ⟨(1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0)⟩, V_{2} = ⟨(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0)⟩.

Spočtěte také průnik součtu V_{1}+V_{2} s podprostorem generovaným vektorem (1, −2, 3, −4). (Hodí se v tomto případě Crammerovo pravidlo?)

3. Považujte generátory podprostorů V_{1} a V_{2} z předchozího cvičení za prvky v (Z_{2})^{4}, (Z_{3})^{4}, resp. ℂ^{4}, a řešte znovu stejnou úlohu. Zejména si uvědomte, kolik prvků mají diskutované prostory a podprostory.

4. V prostoru polynomů ℝ_{6}[x] uvažte podprostory V_{1} = ⟨x^{2} + 2x^{3}, −x^{3} + x^{6}⟩, V_{2} = ⟨2 + x^{2}, −1 + x^{6}, x^{2} + x^{3} + 2x^{4}⟩, V_{3} = ⟨x^{2} + x^{6}, 1 + 3x^{3} + x^{5}, x^{3}⟩ a spočtěte jejich průnik a V_{1} + V_{2} + V_{3}.

11. Vlastní vektory a vlastní hodnoty I

1. Dejte příklad zobrazení A: ℝ^{3} → ℝ^{3} pro které je KerA = ⟨(1, 0, 0), (1, 1, 1)⟩, ImA = ⟨(1, 0, 1)⟩.

2. Rozhodněte, zda existuje lineární zobrazení A: ℝ^{3} → ℝ^{2}, které zobrazí postupně vektory (1, 2, −3), (2, 1, −2), (1, −4, 5) na vektory (1, 2), (2, 3), (1, 3).

3. Lineární zobrazení f: Mat_{2}(ℝ) → ℝ splňuje f ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) = 1, f ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) = 0,

f ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = 3, f ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = 0. Najděte vyjádření f pomocí prvků matic, jádro, obraz.

4. Zobrazení A: ℝ_{4}[x] → ℝ_{4}[x] je definováno předpisem A(f)(x) = f′′′(x)−2f′′(x), kde čárky označují derivaci polynomů podle proměnné x. Ověřte, že A je lineární, spočtěte jeho jádro, obraz, vlastní hodnoty, vlastní vektory.

5. Nad skaláry 𝕂 = ℝ, ℂ najděte vlastní hodnoty a vlastní vektory zobrazení f: 𝕂^{3} → 𝕂^{3}, které je v bázi ((1, 1, 0), (1, −1, 0), (0, 0, 1)) dané maticí

A = ( \begin{matrix}4 & −5 & 7 \\ 1 & −4 & 9 \\ −4 & 0 & 5 \end{matrix} ) .

6. Nad skaláry 𝕂 = ℤ_{5}, ℝ, ℂ najděte vlastní hodnoty a vlastní vektory zobrazení

f: 𝕂^{2} → 𝕂^{2}, které je ve standardní bázi dané maticí A = ( \begin{matrix}0 & −2 \\ 2 & 0 \end{matrix}).

12. Vlastní hodnoty a vlastní vektory II

1. V ℝ^{3} určete podprostor vlastních vektorů příslušných vlastní hodnotě 3 pro matice

A = ( \begin{matrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} ), B = ( \begin{matrix}3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} ), C = ( \begin{matrix}3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} ).

2. Zjistěte, zda je matice A podobná diagonální matici nad poli ℚ, ℝ, ℂ (to nastane právě když vlastní vektory generují celý prostor 𝕂^{3}).

a) A = ( \begin{matrix}5 & 2 & −3 \\ 4 & 5 & −4 \\ 6 & 4 & −4 \end{matrix} ) b) A = ( \begin{matrix}4 & 7 & −5 \\ −4 & 5 & 0 \\ 1 & 9 & −4 \end{matrix} )

c) A = ( \begin{matrix}4 & 2 & −5 \\ 6 & 4 & −9 \\ 5 & 3 & −7 \end{matrix} )

3. Nechť ϕ: V → V je izomorfismus. Dokažte, že ϕ a ϕ^{−1} mají stejné podprostory vlastních vektorů a zjistěte závislost mezi vlastními hodnotami (jsou to převrácené hodnoty, nula tam být stejně nemůže).

4. Nad skaláry 𝕂 = ℝ najděte vlastní čísla a vlastní vektory matic

a) A = ( \begin{matrix}2 & −1 & 1 \\ −1 & 2 & −1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) b) B = ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 3 \\ −1 & −2 & 0 & −3 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 3 \end{matrix} )

13. Vlastní hodnoty a vlastní vektory II

1. Zjistěte, jak závisí vlastní hodnoty a vlastní vektory matic A, B na parametrech α a β.

A = ( \begin{matrix}2 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ α & β & 2 \end{matrix} ) B = ( \begin{matrix}2 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ α & β & 2 + α \end{matrix} )

2. Najděte Jordanovy kanonické tvary matic A, B, C.

A = ( \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ −1 & 4 & 0 \\ 5 & 7 & 3 \end{matrix} ) B = ( \begin{matrix}3 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 3 \end{matrix} ) C = ( \begin{matrix}0 & −3 & −2 \\ −1 & −2 & −2 \\ 0 & 4 & 3 \end{matrix} )

3. Spočtěte vlastní hodnoty a vlastní vektory matice B = 3A^{4} − 2A^{3} + A^{2} = A + 6E (aniž byste počítali B!)

A = ( \begin{matrix}2 & −1 & 1 \\ 4 & −2 & 2 \\ 2 & −1 & 1 \end{matrix} )

4. S využitím existence Jordanova kanonického tvaru dokažte pro komplexní matice větu Hamiltonovu-Caleyovu (tvrdí, že každá matice je kořenem svého charakteristického polynomu).

14. Komplexifikace a kanonické tvary reálných matic

1. Nechť D: ℝ_{3}[x] → ℝ_{3}[x] je lineární zobrazení dané derivací polynomů podle proměnné x. Ukažte, že komplexifikace reálných polynomů dá právě komplexní vektorový prostor polynomů téhož stupně nad ℂ a D^{ℂ}: ℂ_{3}[x] → ℂ_{3}[x] je opět derivace podle proměnné x.

2. Projděte si podobně jako v prvním příkladě prostory reálných a komplexních matic a lineární zobrazení transpozice a násobení pevnou (reálnou) maticí zprava, resp. zleva.

3. Spočtěte Jordanův kanonický tvar reálné matice A nad ℂ. Pak diskutujte geometrické vlastnosti příslušného zobrazení ℝ^{3} → ℝ^{3} (tj. při existenci komplexních kořenů najděte příslušnou invariantní rovinu, ve které je zobrazení dáno rotací a homotetií).

A = ( \begin{matrix}1 & −1 & −4 \\ 1 & 1 & −2 \\ 1 & −1 & 0 \end{matrix} )

4. Proveďte totéž jako v předchozí úloze v závislosti na hodnotě parametru a ∈ ℝ

A = ( \begin{matrix}a + 2 & −2 & a + 2 \\ a & 0 & a + 2 \\ a − 2 & 0 & a \end{matrix} )

5. Nechť V je reálný vektorový prostor a uvažujme jeho komplexifikaci V^{ℂ} jako reálný vektorový prostor (V^{ℂ})_{ℝ}. Připomeňme si pojem komplexní konjugace na komplexifikaci a ukažte, že komplexifikaci posledního prostoru můžeme (jako komplexní vektorový prostor) ztotožnit s V^{ℂ} ⊕ V̄^{ℂ}.

15. Prostory se skalalárním součinem, I.

1. Zjistěte, zda je zobrazení g: ℝ^{2} × ℝ^{2} → ℝ skalární součin.

g(x, y) = x_{1}y_{1} + x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1} + x_{2}y_{2}
g(x, y) = 4x_{1}y_{1} + 2x_{1}y_{2} + 5x_{2}y_{2}
g(x, y) = x_{1}y_{1} + x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1} + 2x_{2}y_{2}

2. Zkuste na ℝ^{2} najít takový skalární součin, aby vektory u a v na sebe byly kolmé (1) u = (1, 2), v = (2, 3)

(2) u = (−5, 2), v = (10, −4)

3. Grammovým-Schmidtovým ortogonalizačním procesem sestrojte ortonormální bázi podprostoru

L = ⟨(1, 1, −1, −1), (1, −1, 1, 1), (−1, −2, 0, 1)⟩

ve standardním euklideovském ℝ^{4}.

4. Najděte ortogonální bázi vektorového prostoru ℝ_{3}[x] se skalárním součinem definovaným vztahem f · g = ∫_{−1}^{1} f(x)g(x)dx. Najděte matici přechodu od standardní báze (1, x, x^{2}, x^{3}) do nalezené báze.

5. Najděte ortogonální průmět vektoru (1, 2, 3) do podprostoru

L = ⟨(−1, 1, 1), (1, 1, 1)⟩.

16. Prostory se skalárním součinem, II.

1. Na vektorovém prostoru ℂ_{n}[x] definujte skalární součin tak, aby byla báze (1, x, \frac{1}{2!} x^{2}, …, \frac{1}{n!}x^{n}) ortonormální.

2. Najděte ortonormální bázi podprostoru

L = ⟨(3, 2, −4, −6), (8, 1, −2, −16), (5, 12, −14, 5), (11, 3, 4, −7)⟩ ⊂ ℝ^{4}

ve standardním euklideovském prostoru.

3. Nejděte ortonormální fundamentální systém řešení systému rovnic

2x_{1} − x_{2} + 5x_{3} + 7x_{4} = 0
4x_{1} − 2x_{2} + 7x_{3} + 5x_{4} = 0
2x_{1} − x_{2} + x_{3} − 5x_{4} = 0

4. Pokud to jde, doplňte dané vektory na ortogonální bázi standardního euklidovského prostoru. (Kolik máme možností?)

(1) u = (2, 2, 1), v = (−2, 1, 2)

(2) u = (−3, 1, −2, 2), v = (4, 2, −3, 2).

5. Určete všechny hodnoty parametrů a, b, c, pro které je matice

A = ( \begin{matrix}a & 0 & 2c \\ −\frac{1}{\sqrt{3}} & 2b & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ −a & −\frac{1}{\sqrt{2}} & c \end{matrix} )

ortogonální. Pro tyto hodnoty spočtěte příslušný kanonický tvar. (Promyslete geometrické vlastnosti transformace!)

6. Zkuste definovat na ℝ^{3} dva skalární součiny tak, aby zobrazení φ: ℝ^{3} → ℝ^{3}, φ(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1} + x_{2} + x_{3}, −x_{1} + x_{2}, x_{3}), bylo ortogonální.

17. Ortogonální průměty a zobrazení

1. Najděte ortogonální doplněk podprostoru

P = ⟨(−1, 2, 0, 1), (3, 1, −2, 4), (−4, 1, 2, −4)⟩

v ℝ^{4} se standardním skalárním součinem. Pak najděte kolmé průměty vektorů standardní báze do P a P^{⊥}.

2. Nechť je L = ⟨u, v, w⟩ ⊂ ℝ^{4}. Nejděte kolmý průmět vektoru z do L a L^{⊥}.

(1) z = (4, 2, −5, 3), u = (5, 1, 3, 3), v = (3, −1, −3, 5), w = (3, −1, 5, −3)

(2) z = (2, 5, 2, −2), u = (1, 1, 2, 8), v = (0, 1, 1, 3), w = (1, −2, 1, 1)

3. Najděte (přímým výpočtem) všechny ortogální a unitární matice řádu 2, pak všechny ortogonální s kladným determinantem.

4. Zjistěte, zda je ortogonální transformace daná maticí

A = ( \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \\ −\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ −\frac{1}{\sqrt{3}} & −\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \end{matrix} )

kompozicí reflexe a rotace, či zda se jedná pouze o rotaci, a najděte osu a úhel této rotace.

18. Bilineární a kvadratické formy

1. Zjistěte, zda je zobrazení f: ℝ^{2} × ℝ^{2} → ℝ bilineární forma na ℝ^{2}. Pokud ano, rozhodněte, zda je symetrická nebo antisymetrická.

(1) f(x, y) = x_{1}y_{2}

(2) f(x, y) = x_{1}y_{1} + 2y_{2} − 12

(3) f(x, y) = x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1} + x_{1}y_{1}

2. Určete hodnost bilineární formy f(x, y) = x_{1}y_{1} + 2x_{2}y_{1} − x_{2}y_{2} + 3x_{3}y_{2} na ℝ^{3} a najděte její matici v

(1) standardní bázi ℝ^{3}

(2) v bázi (1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)

3. Uvažme bilineární formu h(x, y) = 2x_{1}y_{1} − 4x_{1}y_{2} − 3x_{2}y_{2} + 2x_{2}y_{3} − 4x_{3}y_{2} − x_{3}y_{3} definovanou na ℂ^{3} a nechť f(x) je jí definovaná kvadratická forma.

(1) Napište analytické vyjádření f.

(2) Najděte polární formu g pro f.

4. Určete hodnost kvadratické formy f(x) = x_{1}^{2} − 2x_{1}x_{2} + 8x_{1}x_{3} − 2x_{2}x_{3}, uvažujeme-li f jako formu na ℂ^{3}, resp. na ℝ^{5}.

5. Najděte diagonální tvar formy f na ℝ^{3} pomocí algoritmu doplnění na čtverce

(1) f je daná formulí z předchozího cvičení

(2) f(x, y) = 4x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2} + 15x_{3}^{2} + 4x_{1}x_{2} − 4x_{1}x_{3} − 8x_{2}x_{3}

(3) f(x, y) = x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x2x_{3}

19. Reálné a komplexní kvadratické formy

1. Najděte kanonické tvary kvadratických forem na ℂ^{3} daných vztahy (2), (3) z cvičení 5 předchozí série. Najděte také příslušné polární báze.

2. Zjistěte vlastnosti reálných kvadratických forem, např. definitnost, pozitivní definitnost apod. (pozor na závislost na prostoru V na němž je forma definována)

(1) f(x) = x_{1}^{2} − x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}

(2) f(x) = 2x_{1}x_{2} + 4x_{1}x_{3}

(3) f(x) = −2x_{1}^{2} − 8x_{2}^{2} − 3x_{3}^{2} + 2x_{1}x_{2} + 4x_{1}x_{3} − 2x_{2}x_{3}

3. Najděte všechny hodnoty parametru a ∈ ℝ, pro které je kvadratická forma f na ℝ^{3} positivně definitní, resp. negativně definitní (použijte Sylvestrovo kriterium)

(1) f(x) = x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 4ax_{1}x_{2} + a^{2}x_{1}x_{3}

(2) f(x) = ax_{1}^{2} + ax_{2}^{2} + (a − 3)x_{3}^{2} + 2x_{1}x_{2} + 2ax_{1}x_{3} + 2x_{2}x_{3}

20. Adjungovaná zobrazení

1. Lineární zobrazení φ: ℝ^{3} → ℝ^{3} je dáno vztahem

φ(x, y, z) = (x − 2y + z, x + 3z, −y − z)

(1) Spočtěte duální zobrazení φ^{∗}: ℝ^{3∗} → ℝ^{3∗}

(2) adjungované zobrazení φ^{∗}: ℝ^{3} → ℝ^{3} vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu na ℝ^{3}.

(3) adjungované zobrazení φ^{∗}: ℝ^{3} → ℝ^{3} vzhledem ke skalárnímu součinu

⟨(x, y, z), (x′, y′, z′)⟩ = 2xx′ + xy′ + x′y + 2yy′ + yz′ + y′z + zz′.

2. Na ℂ^{4} se standardním skalárním součinem určete, kdy je samoadjungované zobrazení

φ(x, y, z, w) = (αx, βy, γz, δw)

pro α, β, γ, δ ∈ ℂ.

3. Na prostoru reálných polynomů stupně 2 se skalárním součinem daným f · g = ∫_{0}^{1} f(x)g(x)dx spočtěte adjungované zobrazení k

(1) operaci derivování podle proměnné

(2) operaci násobení pevným polynomem

(3) operaci ”zapomenutí monomů stupně 2”

4. Na ℝ^{3} se standardním skalárním součinem najděte adjungované zobrazení k promítání na vybraný podprostor ve směru doplňkového podprostoru. Kdy bude toto promítání samoadjungované?

21. Analytická geometrie I

1. V rovině R_{2} ja dán trojúhelník ABC. Označme po řadě A′, B′, C′ středy jeho stran BC, AC, AB. Dokažte že v zaměření ℝ^{2} platí

(A′ − A) + (B′ − B) + (C′ − C) = 0.

2. Je dána přímka p : 2x + 3y − 6 = 0. Určete její parametrický popis. Jak se získá implicitní popis z parametrického?

3. Určete vzájemnou polohu polohu přímek (1) p : 2x − 3y + 4 = 0, q : 3x + 2y − 7 = 0

(2) p : (x, y) = (1, −1) + t(1, −2), q : 2x + y − 1 = 0

(3) p : (x, y) = (2, 1) + t(−1, 3), q : (x, y) = (1, 3) + t(2, −6)

4. Zjistěte vzájmenou polohu rovin

(1) α : (x, y, z) = (1, −2, 3) + t(−1, 0, 1) + s(2, 1, 0) β : (x, y, z) = (−1, 0, 1) + t(1, 1, 2) + s(−1, 3, 1)

(2) α : (x, y, z) = (2, −1, 1) + t(1, 1, 1) + s(1, −1, 0) β : x + y − 2z + 1 = 0

(3) α : 2x − y + z − 9 = 0, β : x + y − z = 0

5. Najděte parametrické vyjádření přímky v R_{3} zadané

p : \{ \begin{matrix}2x − y + z − 9 = 0 \\ x + y − z = 0 \end{matrix}

Jak vypadají rovnice všech rovin procházejících danou přímkou p (tzv. svazek rovin)? Jak se získá jejich obecná rovnice z parametrického, resp. implicitního tvaru p.

Zadejte parametricky i implicitně přímku, resp. rovinu zadanou dvěmi, resp. třemi, body. Zadání volte sami.

6. Najděte příčku mimoběžek p, q procházející bodem M. Je dáno M = (7, 0, 4), p : (x, y, z) = (2, −1, 1)+t(1, 2, 1), q : (x, y, z) = (1, 1, 1)+t(2, −1, 1) Jak se hledá příčka zadaná směrem?

22. Analytická geometrie II

1. V rovině E_{2} je dán obdélník ABCD. Dokažte že v jejím zaměření ℝ^{2} se standardním skalárním součinem platí (A − M) · (C − M) = (B − M) · (D − M).

2. Ukažte, že ortogonální doplněk zaměření nadroviny v E_{n} zadané implicitně η : a_{1}x_{1}+ ⋯ + a_{n}x_{n} + a_{0} = 0 je generován tzv. normálovým vektorem v = (a_{1}, …, a_{n}).

Ukažte, že pro vzdálenost bodu A = (y_{1}, …, y_{n}) od η platí

ρ(A, η) = \frac{|a_{1}y_{1} + ⋯ + a_{n}y_{n} + a_{0}}{\sqrt{a_{1}^{2} + ⋯ + a_{n}^{2}}} .

3. Určete pro jaké vektory v E_{2}, E_{3} platí (1) ∥u + v∥ = ∥u − v∥

(2) ∥u + v∥ = ∥u∥ − ∥v∥

(3) ∥u + v∥ ≥ ∥u∥ − ∥v∥

(4) ∥u + v∥ > ∥u − v∥

4. Najděte souřadnice vrcholů krychle ABCDEF GH, je-li A = (1, −1, 3), B = (3, 0, 5), D = (−1, 1, 4) (pokud existuje).

5. Napište rovnici přímky p, která obsahuje M = (3, 2) a s přímkou q : \sqrt{3}x − y + 3 = 0 svírá úhel \frac{π}{3}, resp. \frac{π}{2}.

6. Určete bod Q souměrný k bodu P = (3, −1, 4) podle přímky p : (x, y, z) = (−7, −4, 7)+ t(4, 3, −1).

7. Najděte osu mimoběžek p : (x, y, z) = (0, −15, −6) + t(2, −1, 3), q : (x, y, z) = (3, 4, 2) + s(4, 2, −3).

23. Analytická geometrie III

1. Ukažte, že odchylka dvou nadrovin je rovna odchylce jejich normálových vektorů.

2. Spočtěte výšku pravidelného čtyřstěnu ABCD v E_{3} a odchylky jeho protilehlých hran .

3. Spočtěte povrch a objem čtyřstěnu ABCD v E_{3} je-li A = (1, −1, 2), B = (2, 0, −2), C = (3, −2, 0), D = (1, 1, 1).

4. Spočtěte objem a výšku čtyřbokého jehlanu ABCDV v E_{3}, je-li A = (2, −1, 2), B = (0, 0, 5), C = (−1, 0, 5), D = (4, −3, −4), V = (1, 2, 1). Dále určete odchylky jeho hran od podstavy.

24. Analytická geometrie IV

1. Uvažme n − 1 vektorů u_{1} = (x_{11}, …, x_{1n}), …, u_{n−1} = (x_{(n−1)1} , …, x_{(n−1)n}) v standardním orientovaném euklidovském vektorovém prostoru ℝ^{n}. Dále uvažme matici

A = ( \begin{matrix}y_{1} & y_{2} & … & y_{n} \\ x_{11} & x_{12} & … & x_{1n} \\ ⋮ & & & ⋮ \\ x_{(n−1)1} & x_{(n−1)2} & … & x_{(n−1)n} \end{matrix} )

Ukažte, že vektor u_{n} = (A_{11}, …, A_{1n}), kde A_{ij} jsou algebraické doplňky prvků a_{ij} matice A má následující vlastnosti:

(1) u_{n} je kolmý na všechny u_{1}, …, u_{n−1}

(2) velikost vektoru ∥u_{n}∥ je rovna (neorientovanému) objemu rovnoběžnostěnu zadaného vektory u_{1}, …, u_{(n−1)}

(3) u_{1}, …, u_{n} je báze ℝ^{n} kompatibilní s orientací. V dimenzi 2 tak dostáváme obvyklý vektorový součin dvou vektorů u_{1}, u_{2}.

2. Najděte kanonické rovnice a osy kuželosečky dané ve standardní souřadné soustavě rovnicí

(1) x^{2} + y^{2} + 4xy + 2x + 1 = 0 (hyperbola s vrcholem v (−\frac{\sqrt{2}}{6}, −\frac{\sqrt{2}}{2}) a osami ve směrech (±\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}))

(2) 2x^{2} − 3y^{2} + 5xy + x + 10y − 3 (dvě různoběžné přímky)

3. Napište rovnici kružnice procházející bodem A = (1, 2) a dotýkající se přímek p : x − y + 3 = 0, q : x − y − 1 = 0.