Jan Slovák

Algebraická geometrie

říjen 1995 – květen 1996

Obsah

1 Příklady a motivace 1

2 Projektivní rozšíření afinního prostoru 10

3 Polynomy 13

4 Afinní variety 24

5 Projektivní variety 36

6 Homogenní polynomy 44

7 Rovinné algebraické křivky 51

8 Dodatek 62 8.1 Několik obrázků křivek (ag0.ms) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 8.2 Komplexní kružnice, singulární body, tečny (ag1.ms) . . . . . . . . . . 62 8.3 Křivky v prostoru, tečny a tečné kužely (ag2.ms) . . . . . . . . . . . . 64 8.4 Deformace singularit křivek (ag3.ms) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 8.5 Příklady ploch v ℝ^{3} (ag4.ms) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 8.6 Tečné prostory a kužely ploch a křivek (ag5.ms) . . . . . . . . . . . . . 66 8.7 Afinní variety (ag6.ms) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 8.8 Projektivní rozšíření rovinných křivek (ag7.ms) . . . . . . . . . . . . . . 68 8.9 Projektivní rozšíření prostorových křivek (ag8.ms) . . . . . . . . . . . . 71 8.10 Homogenní polynomy (resultanty) (ag9.ms) . . . . . . . . . . . . . . . 73 8.11 Inflexe rovinných křivek (ag10.ms) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 8.12 Poláry rovinných křivek (ag11.ms) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Obr. 1: Křivky zadané f(x, y) = x^{3} − y^{2} a f(x, y) = x^{3} + x^{2} − y^{2}

1 Příklady a motivace

Předmětem (klasické) algebraické geometrie je studium objektů zadaných algebraickými rovnicemi nebo parametrizacemi, zejména jejich geometrických vlastností.

V této úvodní částí si uvedeme několik motivujících příkladů a pokusíme se diskutovat problémy související s vhodným vymezením třídy objektů, které budou předmětem našeho zájmu.

1.1 Křivky v afinní rovině ℝ^{2}. Každý nenulový polynom f(x, y) ve dvou proměnných zadává ţkřivku� v ℝ^{2} rovnicí f(x, y) = 0. Jde tedy o množinu nulových bodů jednoho polynomu f, budeme ji značit K = V(f). Odvoďte si, že je-li f = f_{1} … f_{k}, pak V(f) = V(f_{1}) ∪ ⋯ ∪ V(f_{k}).

Příklady takto zadaných křivek jsou ovedeny na obrázcích 1 – 2.

1.2 Parametrizace křivek. Křivky se můžeme pokusit zadat rovnicemi x = f(t), y = g(t), kde f, g ∈ ℝ[t]. Křivka je pak zadaná jako ţpolynomiální vložení� reálné přímky do roviny.

Například rovnice x = −1 + t, y = t(1 − t^{2}) dává křivku V(x^{3} + x^{2} − y^{2}), viz. obrázek 1. (Tuto parametrizaci snadno odvodíte výpočtem průniků přímek y = tx s naší křivkou, tj. parametrizujeme směrnicí těchto přímek.)

O něco více křivek obdržíme, když budeme v parametrizaci uvažovat podíly polynomů f = \frac{f_{1}}{f_{2}}, g = \frac{g_{1}}{g_{2}}. Hovoříme pak o racionální parametrizaci. Příkladem může být parametrizace kružnice

x = \frac{2t}{1 + t^{2}} , y = \frac{−1 + t^{2}}{1 + t^{2}}

kterou obdržíme tzv. stereografickou projekcí, viz. obrázek 3. (Spočtěte si sami!) Všimněme si, že tentokrát vložení reálné přímky dá pouze ţskoro všechny body� parametrizované variety, jeden z nich (tj. bod z kterého promítáme) totiž není dosažitelný pro žádnou hodnotu parametru t. To není způsobeno naší nešikovností, z rozdílných topologických vlastností přímky a kružnice totiž vyplývá, že globální parametrizace existovat

Obr. 2: Křivky zadané f(x, y) = 2x^{4} − 3x^{2}y + y^{2} − 2y^{3} + y^{4} a f(x, y) = x^{2} − y^{2}

nemůže.

1.3 Problémy s ℝ^{2}.

• Protože ℝ není algebraicky uzavřené pole, máme problémy s existencí kořenů polynomů. V důsledku toho se při malé změně koeficientů zadávající rovnice může drasticky změnit výsledná varieta. Nabízí se pracovat s komplexními polynomy v ℂ[x, y] a jimi zadanými podmnožinami c ℂ^{2}. To nás nemusí nijak děsit, naopak naše původně reálné křivky jsou obsaženy ve svých ţkomplexifikacích� (reálné polynomy prostě chápeme jako komplexní, které mají náhodou reálné koeficienty) a pouze získáváme bohatější nástroje pro popis jejich vlastností (imaginární tečny apod.).

• Chybí nám ţnevlastní body�. Např. při parametrizaci kružnice můžeme chybějící bod popsat jako obraz jediného nevlastního bodu reálné přímky, tj. bodu v ţnekonečnu�. Těchto problémů se nejlépe zbavíme tím, že budeme pracovat v tzv. projektivním rozšíření (reálné nebo komplexní) roviny.

Naznačený technický postup sice s sebou nese poněkud složitější algebraický aparát, vede ale k daleko bohatější, přehlednější a symetričtější teorii.

1.4 Příklad (Komplexní kružnice). Uvažme množiny bodů X^{ε} = V(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}−ε) ⊂ ℂ^{2} pro libovolné ε ∈ ℝ \ {0}. Příslušné reálné křivky jsou

X_{ℝ}^{ε} = X^{ε} ∩ ℝ^{2} = \begin{cases}kružnice s poloměrem \sqrt{ε} & ε > 0 \\ ∅ & ε < 0 \end{cases}

Budeme psát z_{j} = x_{j} + iy_{j} = x_{j} + \sqrt{−1}y_{j}, je tedy X^{ε} zadáno jako podmnožina v ℝ^{4} systémem dvou reálných rovnic

Re(z_{1}^{2} + z_{2}^{2} − ε) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} − y_{1}^{2} − y_{2}^{2} − ε = 0
Im(z_{1}^{2} + z_{2}^{2} − ε) = 2(x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2}) = 0

(t, 0)  (x, y) P = (0, 1) y  (t′, 0) (x′, y′)  x

Obr. 3: Stereografická projekce kružnice

Lze proto očekávat, že X^{ε} bude ţdvourozměrná plocha� v ℝ^{4}, zkusíme si ji představit jako plochu v ℝ^{3} ve vhodném průmětu ℝ^{4} → ℝ^{3}. Zvolme si za tím účelem zobrazení

φ_{+} : (x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}) ↦ (x_{1}, x_{2}, \frac{x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1}}{\sqrt{(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}})

Označme ještě V podmnožinu v ℝ^{4} zadanou druhou naší rovnicí, tj.

V = {(x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}); x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} = 0, (x_{1}, x_{2}) ≠ (0, 0)}.

Zúžení zobrazení φ_{+} na V je invertibilní a jeho inverze ψ_{+} je dána

ψ_{+} : (u, v, w) ↦ (u, v, \frac{−vw}{\sqrt{u^{2} + v^{2}}} , \frac{uw}{\sqrt{u^{2} + v^{2}}} ).

Všimněme si nyní, že

(\frac{x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}} )^{2} = y_{1}^{2} + y_{2}^{2}

a odtud vyplývá

φ_{+} (V ∩ X^{ε}) = H^{ε} = {(u, v, w); u^{2} + v^{2} − w^{2} − |ε| = 0}.

Nyní můžeme složit zkonstruovaná zobrazení

φ_{ε} : X^{ε} → V ⟶^{φ_{+}} ℝ^{3} \ {(0, 0, 0)} ⊃ H^{ε}

reálná část kružnice při ε > 0

Obr. 4: Zobrazení komplexní kružnice do ℝ^{3}

a pro každé ε > 0 získáme bijekci φ_{ε} : X^{ε} → H^{ε}. Reálná část této variety je ţnejužší kružnice� na jednodílném rotačním hyperboloidu H^{ε}, viz. obrázek 4.

Pro ε < 0 můžeme zopakovat předchozí úvahy, pouze v definici φ_{+} přehodíme proměnné x a y a znaménka:

φ_{−} : (x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}) ↦ (−y_{1}, −y_{2}, \frac{−y_{1}x_{2} + y_{2}x_{1}}{\sqrt{(}y_{1}^{2} + y_{2}^{2})} )

což přivodí změnu inverze ψ_{−}

ψ_{+} : (u, v, w) ↦ (\frac{−vw}{\sqrt{u^{2} + v^{2}}} , \frac{uw}{\sqrt{u^{2} + v^{2}}} , −u, −v).

Nyní je opět H^{ε} jednodílý rotační hyperboloid, ovšem jeho reálná část je X_{ℝ}^{ε} = ∅.

V komplexním případě můžeme pozorovat, že při spojité změně koeficientů se výsledná varieta většinou v podstatě nemění, až na jisté ţkastastrofické� body, kdy může dojít ke kvalitativnímu skoku. Říká se tomu princip permanence. V reálném případě tento princip vůbec neplatí.

1.5 Projektivní rozšíření přímky a roviny. Reálný prostor ℙ_{1}(ℝ) je definován jako množina všech směrů v ℝ^{2}, tj. jeho body jsou jednorozměrné podprostory vektorového prostoru ℝ^{2}.

Komplexní projektivní prostor ℙ_{1}(ℂ) je definován jako množina všech směrů v ℂ^{2}, jeho body jsou tedy jednorozměrné podprostory komplexního vektorového prostoru ℂ^{2}.

Analogicky, body reálných, resp. komplexních, dvourozměrných projektivních prostorů jsou definovány jako směry v ℝ^{3}, resp. ℂ^{3}, viz. obrázky 5, 6.

1 PŘÍKLADY A MOTIVACE 5

vlastní body se souřadnicemi (x, 1) jediný nevlastní bod, směr (1 : 0) x y

Obr. 5: Ilustrace definice projektivních rošíření

přímka nevlastních bodů vlastní body se souřadnicemi (x, y, 1) přímka zadaná dvěma body  x y  z

Obr. 6: Projektivní rošíření afinní roviny

Zkusme si nyní rozšířit definici stereografické projekce tak, aby kružnice byla parametrizována body ℙ_{1}(ℝ). Podívejme se tedy, jak bude vypadat odpovídající zobrazení ℙ_{1}(ℝ) → ℙ_{2}(ℝ^{2}). Body v projektivních rozšířeních budeme zadávat tzv. homogenními souřadnicemi, které jsou dány až na společný násobek. Např. body v ℙ_{2}(ℝ) budou (x : y : z).

Kružnice v rovině z = 1 je dána jako průnik kužele směrů zadaných rovnicí x^{2} + y^{2} − z^{2} = 0 s touto rovinou. Inverzi k sterografické projekci (tj. naší parametrizaci kružnice) můžeme nyní zapsat takto:

(t : 1) ↦ (\frac{2t}{1 + t^{2}} : \frac{t^{2} − 1}{t^{2} + 1} : 1) = (2t : t^{2} − 1 : t^{2} + 1).

Přitom je pro t ≠ 0 (t : 1) = (2t^{2} : 2t) a původní stereografickou projekci (tj. inverzi předchozí zobrazení) můžeme také zapsat pomocí lineárního předpisu

(x : y : z) ↦ (y + z : x)

který rozšiřuje naší parametrizaci i na nevlastní bod (0 : 1) ↦ (0 : 1 : 1). Zobrazní celého ℙ_{1}(ℝ) na kružnici má pak ţlineární� zápis

ℙ_{1}(ℝ) ∋ (x : y) ↦ (2x : x − y : x + y) ∈ ℙ_{2}(ℝ).

Podívejme se ještě, jak jednoduché je spočíst přímo vzorec pro stereografickou projekci v projektivních rozšířeních: Vložíme si ℙ_{1}(ℝ) jako body s homogenními souřadnicemi (t : 0 : 1) a mezi lineárními kombinacemi bodů (0 : 1 : −1) (tj. pól ze kterého promítáme) a (x : y : z) (obecný bod kružnice) musíme najít ten, který má souřadnice (u : 0 : v). Jediná možnost je bod (x : 0 : z + y), což je náš předchozí vztah.

1.6 Problémy. Můžeme si nyní vytyčit problémy, kterými se budeme zabývat.

• Jak vhodně definovat obecné objekty podobné křivkám, zejména ve vyšších dimenzích?

• Jaké algebraické nástroje máme k dispozici pro studium takových objektů?

• Jaká jsou vhodná zobrazení zachovávající podstatné vlastnosti našich objektů?

• Jak poznat, že geometrické vlastnosti dvou objektů naší třídy jsou stejné?

• Jak nalézt body našich objektů, v nichž se výrazně projevují jejich vlastnosti, a jak studovat chování objektu v okolí takových bodů?

• Jak studovat globální vlastnosti našich objektů? Zdaleka se nám nepodaří uspokojivě vypracovat odpovědi na všechny naznačené otázky, na konci přednášek by však posluchač měl mít alespoň jistou představu, jaké techniky by k uspokojivé teorii vést mohly.

1.7 Singularity křivek. Zatím budeme úplně ignorovat zásadní problém, jak budou naše úvahy týkající se křivky K = V(f) záviset na volbě definujícího polynomu f. Z technických důvodů však budeme předpokládat, že neexistují polynomy g, h takové, že f = gh. Rovnici f = 0 budeme říkat redukovaná rovnice nerozložitelné křivky K a stupeň polynomu f je stupeň křivky K.

Každá přímka L v afinním prostoru ℝ^{2} je zadána parametricky rovnicemi (x, y) = (a, b) + t(u, v). Dosazením do polynomu f dostaneme polynom g(t) = f(a + tu, b + tv) v jedné proměnné t. Body průniku L ∩ K jsou dány kořeny tohoto polynomu. Násobné kořeny t_{0} vypovídají o dotyku vyššího řádu a zadávají tečny křivky K v bodech (a + t_{0}u, b + t_{0}v). Zvolíme-li pevně bod (a, b) ∈ K, a hledáme (u, v) takové, aby t = 0 byl násobný kořen, dostaneme vztah

\frac{dg}{dt} = \frac{∂f}{∂x}(a, b) · u + \frac{∂f}{∂y} (a, b) · v) = 0.

Tato rovnice má prostor řešení dimenze 1 právě, když alespoň jedna z parciálních derivací f v (a, b) je nenulová. Takové body nazýváme regulární body křivky K. Ostatní jsou singulární body křivky K.

1.8 Tečny v singulárních bodech. Právě studium chování křivky v okolí singulárních bodů nám podá dobrou informaci o celé křivce. Všechny přímky procházející takovým bodem sice mají dotyk vyššího řádu, jistě je ale všechny nechceme považovat za tečny. Podle Taylorovy věty (snad dobře známé z matematické analýzy) má polynom f rozvoj v singulárním bodě (a, b)

f(x, y) = \underbrace{f(a, b)}_{=0 protože (a,b∈K)} + \underbrace{\frac{∂f}{∂x}(a, b)(x − a) + \frac{∂f}{∂y} (y − b)}_{=0 protože je (a,b) singulární}+

+ \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}}(a, b)(x − a)^{2} + \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (a, b)(x − a)(y − b) + \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} (a, b)(y − a)^{2} + …

Předpokládejme, že f_{r}(x − a, y − b) = ∑_{i=1}^{r} \frac{∂^{r}f}{∂x^{i}∂y^{r−i}} (a, b)(x − a)^{i}(y − a)^{r−i} je první nenulová homogenní část. Pak množina všech řešení (u : v) rovnice f_{r}(u, v) = 0 dává směrové vektory tečen v singulárním bodě (a, b). Množinu všech těchto tečen nazýváme tečný kužel křivky K v singulárním bodě (a, b).

1.9 Příklad. Pro nám již známou kubickou křivku K = V(x^{3} + x^{2} − y^{2}) snadno spočteme, že její jediný singulární bod je (0, 0), první nenulová homogenní část polynomu je x^{2} − y^{2}, tečný kužel je tedy tvořen dvěma přímkami x ± y = 0, viz. obrázek 7.

1.10 Objekty ve vyšších dimenzích. Přímou analogií křivek v ℂ^{2} jsou plochy v ℂ^{3}, které jsou opět zadány jediným polynomem. Pokud chceme obdržet křivky v ℂ^{3}, musíme použít polynomy alespoň dva, tj. křivku zadáme jako průnik dvou ploch.

Pro plochy můžeme počítat tečny v regulárních bodech a tečné kužely v singulárních bodech velmi podobně jako tomu bylo u křivek v rovině. Např. v regulárních bodech je alespoň jedna parciální derivace nenulová a získaná rovnice pro směrové vektory přímek majících protínání vyššího stupně bude mít prostor řešení kodimenze jedna, tj. pro plochy v ℝ^{3} dostaneme právě tečné roviny. V singulárních bodech dostaneme opravdové analogie kuželů (které ovšem mohou zdegenerovat např. na dvojici rovin).

Obr. 7: Tečný kužel křivky V(x^{3} + x^{2} − y^{2}) v singulárním bodě a plocha V(x^{2} − y^{2}z^{2} + z^{3}) ⊂ ℝ^{3}

Jako příklad křivek nám může sloužit tzv. tvistovaná kubika V(y − x^{2}, z − x^{3}) v ℝ^{3} znázorněná (včetně odpovídajících ploch z definujících polynomů) na obrázku 8. Uvědomme si, že u křivek už definice tečných prostorů není zdaleka tak jednoduchá. Uvidíme, že ve skutečnosti není ani tak složité tečné prostory v regulárních bodech definovat, jako je spolehlivě spočíst z generujících polynomů.

1.11 Deformace singularit. Jednoduchý postup jak zjistit chování křivky v okolí regulárního bodu je spočíst její tečnu v tomto bodě. Pro singulární body je to s tečnami složitější, často však stačí libovolně málo pozměnit vhodný parametr (tj. koeficient) definujícího polynomu a singularita vymizí. Díky principu permanence pak z chování tečen pro blízké hodnoty parametru můžeme usuzovat na typ původní singularity. Již jsme se potkali se singularitou v počátku u křivek V(x^{3}−y^{2}) a V(x^{3}+x^{2}−y^{2}). Uvažme polynomy

f_{ε} = x^{3} − y^{2} − ε, g_{δ} = x^{3} + δx^{2} − y^{2}, h_{ε,δ} = x^{3} + δx^{2} − y^{2} − ε.

Polynomy f_{0} a g_{0} dávají první z našich křivek, g_{1} dá druhou.

Podívejme se nejprve na chování křivek V(g_{δ}). Snadno spočteme, že vždy mají pouze jeden singulární bod (0, 0), jeho typ je ovšem zcela odlišný pro δ < 0 a δ > 0. Je-li δ kladné, pak nám vyjdou dvě reálné tečny ve směrech (1 : ±\sqrt{δ}), zatímco pro δ < 0 vyjdou obě tečny imaginární, je proto počátek izolovaným bodem křivky, viz. levý obrázek na 9.

Při deformacích f_{ε} je situace ještě daleko jednodušší. Pro nenulové ε totiž budou všechny body křivky regulární, viz. pravý obrázek na 9.

V obou případech získáváme jasnou představu o typu singularity Neilovy paraboly V(x^{3} − y^{2}). Diskuzí současných deformací h_{ε,δ} dospějeme ke křivce hodnot parametrů V(ε)∪V(ε− \frac{4δ^{3}}{27} ), pro které křivky obsahují nějaký singulární bod, pro všechny hodnoty vně této křivky jsou všechny body regulární. Tvar křivky se přitom podstatně mění 1 PŘÍKLADY A MOTIVACE 9

Obr. 8: Tvistovaná kubika v ℝ^{3} Obr. 9: Deformace singularit křivek pouze při přechodech mezi uvedenými čtyřmi oblastmi. Hodnoty odpovídající Neilově parabole jsou právě jediným bodem společným všem čtyřem oblastem.

2 Projektivní rozšíření afinního prostoru

2.1 Definice. n–rozměrný projektivní prostor nad polem 𝕂 je množina jednorozměrných podprostorů v 𝕂^{n+1} , značíme jej ℙ_{n}(𝕂). Je-li p ∈ ℙ_{n}(𝕂), nazýváme libovolný nenulový vektor x = (x_{0}, …, x_{n}) ∈ p ⊂ ℝ^{n} homogenní souřadnice bodu p. Píšeme p = (x_{0} : …: x_{n}).

2.2 Věta. Podmnožiny U_{i} = {(x_{0} : …: x_{n}) ∈ ℙ_{n}(𝕂); x_{i} ≠ 0} jsou afinní prostory se zaměřením 𝕂^{n}. Přitom ℙ^{n}(𝕂) \ U_{i} ≅ ℙ_{n−1}(𝕂).

Důkaz: Homogenní souřadnice jsou určeny jednoznačně, až na násobek skalárem z 𝕂. Protože 𝕂 je pole a x_{i} ≠ 0, lze vždy najít právě jeden skalár λ ∈ 𝕂 tak, že (λx_{0}, …, λx_{n}) mají na i–tém místě 1. Touto volbou už jsou zbylé hodnoty λx_{0}, …, λx_{n} dány jednoznačně. Tím tedy máme zkonstruováno zobrazení

φ : 𝕂^{n} → U_{i}, (y_{1}, …, y_{n}) → (y_{1}, …, y_{i}, 1, y_{i+1} , …, y_{n})

a zřejmě jde o bijekci. Naopak, zobrazení

ψ : U_{i} → 𝕂_{n}, (x_{0}, …, x_{i−1}, x_{i}, x_{i+1} , …, x_{n}) → \frac{1}{x_{i}} (x_{0}, …, x_{i−1}, x_{i+1} , …, x_{n})

je dobře definováno a platí φ ∘ ψ = id_{U_{i}}, ψ ∘ φ = id_{𝕂^{n}}.

Zřejmě platí ℙ_{n}(𝕂) \ U_{i} = {(x_{0} : x_{1} : …: x_{n}) ∈ ℙ_{n}(𝕂); x_{i} = 0}. Přitom zbylé skaláry x_{0}, …, x_{n} jsou opět určeny až na násobek a zobrazení

η : ℙ_{n}(𝕂) \ U_{i} → ℙ_{n−1}(𝕂)
(x_{0} : x_{1} : …: x_{i−1} : 0 : x_{i+1} : …: x_{n}) → (x_{0} : …: x_{i−1} : x_{i+1} : …: x_{n})

je dobře definovaná bijekce. □

2.3 Poznámka. Množina H_{i} = ℙ_{n}(𝕂)\U_{i} se nazývá projektivní nadrovina bodů v nekonečnu. Celý projektivní prostor ℙ_{n}(𝕂) lze také zkonstruovat tak, že začneme s afinní rovinou U_{0} a vytvoříme její ţprojektivní rozšíření� přidáním H_{0} = ℙ_{n−1}(𝕂), kde H_{0} lze chápat jako množinu směrů v U_{0} (definovaných jako třída ekvivalence rovnoběžných přímek v 𝕂^{n}).

Souřadně pak vzniklý prostor popisujeme tak, že pro ţkonečné body� (x_{1}, …, x_{n}) ∈ U_{0} užíváme souřadnice (1, x_{1}, …, x_{n}), zatímco pro ţbody v nekonečnu� užíváme souřadnice (0, y_{1}, …, y_{n}) ∈ H_{0}, a všechny souřadnice jsou určeny až na násobek jednoznačně.

2.4 Příklad. V afinním prostoru ℝ^{2} uvažujme dvě přímky L_{1} : y − x − 1 = 0 a L_{2} : y − x + 1 = 0. Jestliže budeme body přímek L_{1} a L_{2} chápat jako konečné body (tj. body v U_{2}) v projektivním prostoru ℙ_{2}(ℝ^{2}), budou zjevně jejich homogenní souřadnice (x : y : z) splňovat rovnice

L_{1} : y − x − z = 0, L_{2} : y − x + z = 0.

Podívejme se, jak budou rovnice těchto přímek vypadat v souřadnicích v U_{1}. Za tím účelem stačí dosadit y = 1 do předchozích rovnic:

L′_{1} : 1 − x − z = 0, L′_{2} : 1 − x + z = 0

Nyní jsou ţnekonečné� body naší původní afinní roviny U_{2} dány vztahem z = 0 a vidíme, že naše přímky L′_{1} a L′_{2} se protínají v bodě (1, 1, 0) ∈ U_{1}. To odpovídá geometrické představě, že rovnoběžné přímky L_{1}, L_{2} ⊂ U_{2} v afinní rovině se protínají v nekonečnu (a to v bodě (1 : 1 : 0)). 2.5 Definice. Projektivní přímka v projektivním prostoru ℙ_{n}(𝕂) je množina bodů p ∈ ℙ_{n}(𝕂) taková, že jejich homogenní souřadnice p = (x_{0} : ⋯: x_{n}) zaplní právě všechny nenulové vektory 2–rozměrného podprostoru v 𝕂_{n+1} .

Obecně, podprostor v ℙ_{n}(𝕂) dimenze k je množina bodů, jejichž homogenní souřadnice vyplní (k+1)–rozměrný podprostor v 𝕂^{n+1} . Ekvivalentně, k–rozměrný podprostor v ℙ_{n}(𝕂) je podmnožina v 𝕂^{n+1} , zadaná v homogenních souřadnicích systémem (n − k) nezávislých lineárních homogenních rovnic. 2.6 Příklad.

1. Každé dvě různé přímky v ℙ_{2}(ℝ) se protínají v jednom bodě. (Je-li L_{1} : ax+by + cz = 0, L_{2} = dx+ey +fz = 0 a (a : b : c) ≠ (d : e : f), pak homogenní souřadnice bodů průniku jsou všechna řešení systému těchto dvou nezávislých homogenních rovnic. Jde tedy o právě jeden bod v ℙ_{2}(𝕂).)

2. Každé dva různé body v ℙ_{2}(R) určují jedinou přímku je obsahující. (Dosazením homogenních souřadnic dvou různých bodů do obecné rovnice ax + by + cz = 0 přímky v ℙ_{2}(𝕂) získáme systém dvou nezávislých rovnic pro koeficienty a, b, c, proto dostaneme právě jedno řešení až na násobek.)

3. Každé dvě různé roviny v ℙ_{3}(ℝ) se protínají v jediné projektivní přímce. (Roviny jsou dány rovnicemi σ_{1} : a_{1}x+b_{1}y +c_{1}z +d_{1}w = 0, σ_{2} : a_{2}x+b_{2}y +c_{2}z +d_{2}w = 0, které jsou nezávislé, protože σ_{1} ≠ σ_{2}. Prostor všech řešení systému těchto dvou rovnic je tedy dvourozměrný, proto zadává projektivní přímku. Spočtěte si, že pro rovnoběžné roviny v afinní rovině U_{3} dostaneme přímku, jejíž všechny body leží v H_{3}, tzv. projektivní přímku bodů v nekonečnu!) 2.7 Projektivní souřadné systémy. Podle naší definice je ℙ_{n}(𝕂) množina všech jednorozměrných podprostorů v 𝕂^{n+1} a pomocí standardních souřadnic (tj. standardní báze) v 𝕂^{n+1} jsme definovali homogenní souřadnice. Zcela stejným způsobem lze ovšem použít libovolnou bázi v 𝕂^{n+1} . Opět bude každý jednorozměrný podprostor zadán souřadnicemi libovolného svého nenulového vektoru ve vybrané bázi. Hovoříme o projektivním souřadném systému určeném bazí e_{1}, …, e_{n} prostoru 𝕂^{n+1} . Podobně jako pro homogenní souřadnice jsou projektivní souřadnice (x_{0}, …, x_{n}) bodu p ∈ ℙ^{n}(𝕂) (v příslušné projektivní souřadné soustavě) dány vektorem v ∈ p, v = x_{0}e_{0} + ... + x_{n}e_{n}.

Z lineární algebry známe, jak se mění souřadnice vektorů při změnách bazí, vždy se jedná o násobení vhodnou invertibilní maticí (zleva). Nechť tedy jsou v 𝕂^{n} zvoleny báze e_{0}, …, e_{n} a e′_{0}, …, e′_{n} a příslušná matice přechodu A nechť má prvky a_{ij}. Tzn., že souřadnice x = (x_{0}, …, x_{n}) odpovídají souřadnicím x′ = (x′_{0}, …, x′_{n}) = A · x^{T}. (Musí tedy platit e_{i} = a_{0i}e′_{0} + ⋯ + a_{ni}e′_{n}.)

Naopak, kdykoliv zvolíme invertibilní matici A s n + 1 řádky a sloupci, dostaneme zobrazení ℙ_{n}(𝕂) → ℙ_{n}(𝕂), které homogenní souřadnice x^{T} zobrazí na A · x^{T}. Taková zobrazení nazýváme kolineace a je zřejmé, že matice kolineace je určena až na násobek skalárem. Podívejme se nyní, jak takové kolineace mohou vypadat. V afinních podprostorech U_{0}, U_{1} ⊂ ℙ_{n}(𝕂) získáme zejména speciální volbou matic tvaru

A = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & … & 0 \\ a_{10} & a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & & & ⋮ \\ a_{n0} & a_{n1} & a_{n2} & … & a_{nn} \end{matrix}) , B = (\begin{matrix}b_{00} & b_{01} & b_{02} & … & b_{0n} \\ 0 & 1 & 0 & … & 0 \\ ⋮ & & & & ⋮ \\ b_{n0} & b_{n1} & b_{n2} & … & b_{nn} \end{matrix})

všechny afinní transformace U_{0} → U_{0} a všechny afinní transformace U_{1} → U_{1}. Všimněme si, že pevnou volbou a_{00} = 1, resp. b_{11} = 1, jsme již jednoznačně vybrali matici A, resp. B, zadávající danou kolineaci. Součiny matic těchto dvou typů již snadno získáme všechny invertibilní matice. Vidíme, že kolineace jsou přesně zobrazení, která získáme ţrozšířením� afinních zobrazení na celá projektivní rozšíření afinních prostorů.

2.8 Poznámka. Obecněji, projektivní prostor ℙ(V) je definován jako množina jednorozměrných podprostorů ve vektorovém prostoru V a kolineace jsou taková zobrazení φ : ℙ(V) → ℙ(W), pro která existují invertibilní lineární zobrazení ψ : V ∈ W, tak že φ(⟨v⟩) = ⟨ψ(v)⟩.

2.9 Projektivní nadroviny. Projektivní podprostory v ℙ_{n}(𝕂) dimenze n − 1 se nazývají projektivní nadroviny. Vznikají řešením jediné nenulové rovnice a_{0}x_{0} + ⋯ + a_{n}x_{n} = 0 pro homogenní souřadnice. Protože koeficienty této rovnice jsou určeny až na násobek, lze nadrovinu ztotožnit s bodem (a_{0} : a_{1} : ⋯: a_{n}) ∈ ℙ_{n}(𝕂). Proto se množině všech nadrovin v ℙ_{n}(𝕂) říká duální projektivní prostor k prostoru ℙ_{n}(𝕂). Tento prostor označujeme ℙ_{n}(𝕂^{∗}).

2.10 Definice. Jsou-li M ⊂ ℙ_{n}(𝕂) a M′ ⊂ ℙ_{n}(𝕂) dvě množiny bodů takové, že existuje kolineace φ : ℙ_{n}(𝕂) → ℙ_{n}(𝕂) splňující φ(M) = M′, pak říkáme, že množiny M a M′ jsou projektivně ekvivalentní.

2.11 Body v obecné poloze. Je evidentní, že výběrem souřadnic, tj. popisem nějakého objektu v homogenních nebo jiných projektivních souřadnicích nemohou být ovlivněny geometrické vlastnosti studovaného objektu. Zejména musí být všechny geometrické vlastnostnosti invariantní vzhledem k působení kolineací. Všimněme si nyní nejjednodušších objektů, konečných podmnožin bodů projektivních prostorů.

O (n + 1) bodech p_{1}, …, p_{n+1} ∈ ℙ_{n}(𝕂) řekneme, že jsou v obecné poloze, jestliže neexistuje projektivní nadrovina σ ⊂ ℙ_{n}(𝕂) obsahující všechny p_{i}, i = 1, …, n + 1. O množině bodů M ⊂ ℙ_{n}(𝕂) mohutnosti větší než n + 1 řekneme, že je v obecné poloze, je-li každá její podmnožina n + 1 bodů v obecné poloze. Je zřejmé, že všechny množiny M = p_{1}, …, p_{n+1} bodů v obecné poloze jsou projektivně ekvivalentní.

(Zvolíme-li nenulové vektory v_{1} ∈ p_{1}, …, v_{n+1} ∈ p_{n+1} , jsou tyto jistě lineárně nezávislé a proto máme bázi na 𝕂^{n+1} , tj. projektivní souřadnice na ℙ_{n}(𝕂), ve které je p_{1} = (1 : 0 : 0 : ⋯: 0), p_{2} = (0 : 1 : 0 : ⋯: 0), …, p_{n+1} = (0 : ⋯: 0 : 1).) 2.12 Věta. Buďte p_{1}, …, p_{n+2} a q_{1}, …, q_{n+2} dvě skupiny bodů v ℙ^{n}(𝕂) v obecné poloze. Pak existuje kolineace φ : ℙ^{n}(𝕂) → ℙ^{n}(𝕂) taková, že φ(p_{i}) = q_{i}. Důkaz: Protože body p_{1}, …, p_{n+1} jsou v obecné poloze, definují jejich libovolně zvolené homogenní souřadnice v 𝕂^{n+1} projektivní souřadnice na ℙ_{n}(𝕂). Homogenní souřadnice bodu p_{n+2} pak můžeme vyjádřit jako

(x_{0}^{n+2} : ⋯: x_{n}^{n+2} ) = λ_{1}(x_{0}^{1} : ⋯: x_{n}^{1}) + ⋯ + λ_{n+1} (x_{0}^{n+1} : ⋯: x_{n}^{n+1} ).

Přitom všechny koeficienty λ_{1}, …, λ_{n+1} musí být nenulové, protože jinak by některých n + 1 bodů leželo v jedné nadrovině. Totéž platí pro body q_{1}, …, q_{n+2} , nechť tedy bod q_{n+2} má souřadné vyjádření

(y_{0}^{n+2} : ⋯: y_{n}^{n+2} ) = λ̃_{1}(y_{0}^{1} : ⋯: y_{n}^{1}) + ⋯ + λ̃_{n+1} (y_{0}^{n+1} : ⋯: y_{n}^{n+1} ).

Zvolíme (jednoznačně určené a invertibilní) lineární zobrazení ψ : 𝕂^{n+1} → 𝕂^{n+1} zobrazující (λ_{i}(x_{0}^{i}, …, x_{n}^{i}) na λ̃_{i}(y_{0}^{i}, …, y_{n}^{i}), i = 1, …, n + 1. Příslušná kolineace φ zobrazí p_{i} na q_{i} a

(x_{0}^{n+2} : ⋯: x_{n}^{n+2} ) ↦ λ̃_{1}(y_{0}^{1} : ⋯: y_{n}^{1}) + ⋯ + λ̃_{n+1} (y_{0}^{n+1} : ⋯: y_{n}^{n+1} ) = (y_{0}^{n+2} : ⋯: y_{n}^{n+2} )

□

3 Polynomy

3.1 Definice. Nechť 𝕂 je komutativní okruh.^{1} Polynom f nad okruhem koeficientů 𝕂 je výraz f = a_{n}x^{n} + ⋯ + a_{1}x + a_{0}, kde a_{n}, …, a_{0} ∈ 𝕂, a_{n} ≠ 0. Říkáme, že f má stupeň n, značíme degf = n. Množinu všech polynomů nad okruhem koeficientů 𝕂 (v proměnné x) značíme 𝕂[x].

Polynom lze vždy chápat jako zobrazení^{2} f : 𝕂 → 𝕂, b ↦ f(b) = a_{n}b^{n}+⋯+a_{1}b+a_{0}. Součet polynomů f = a_{n}x^{n} + ⋯ + a_{0} a g = b_{m}x^{m} + ⋯ + b_{0} je dán formálním

sečtením koeficientů

f + g = a_{n}x^{n} + ⋯ + a_{0} + b_{m}x^{m} + ⋯ + b_{0} = (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1})x + …

a součin polynomů f a g je dán formálním součinem

f · g = (a_{0} + ⋯ + a_{n}x^{n})(b_{0} + ⋯ + b_{m}x^{m}) = ∑_{j=0}^{n+m} (∑_{i=0}^{j}a_{i}b_{j−i})x^{j}.

Takto definované sčítání a násobení zadává na 𝕂[x] strukturu komutativního okruhu s jedničkou.

1Uvidíme v dalším, že budeme uvažovat výhradně okruhy bez dělitelů nuly.

2Pro rozumné okruhy 𝕂 jsou si dva polynomy f a g rovny (jako formální výrazy) právě, když určují stejné zobrazení.

Sčítání a násobení polynomů je kompatibilní se sčítáním a násobením zobrazení, tj. (f + g)(a) = f(a) + g(a) a (f · g)(a) = f(a)g(a). Všimněme si, že znak · značí násobení v okruhu 𝕂[x] zatímco násobení v 𝕂 značíme prostým zřetězením výrazů.

3.2 Polynomy více proměnných. Okruhy polynomů v proměnných x_{1}, …, x_{r} definujeme induktivně vztahem

𝕂[x_{1}, …, x_{r}] := 𝕂[x_{1}, …, x_{r−1}][x_{r}].

Např. 𝕂[x, y] = 𝕂[x][y], tzn. že uvažujeme polynomy v proměnné y nad okruhem 𝕂[x]. Snadno si každý ověří (proveďte si to!), že polynomy v proměnných x_{1}, …, x_{r} lze chápat jako výrazy vzniklé z písmen x_{1}, …, x_{n} a prvků okruhu 𝕂 konečným počtem (formálního) sčítání a násobení v komutativním okruhu. Například prvky v 𝕂[x, y] jsou tvaru

f = a_{n}(x)y^{n} + a_{n−1}(x)y^{n−1} + ⋯ + a_{0}(x)
= (a_{mn}x^{m} + ⋯ + a_{0n})y^{n} + ⋯ + (b_{p0}x^{p} + ⋯ + b_{00})
= c_{00} + c_{10}x + c_{01}y + c_{20}x^{2} + c_{11}xy + c_{02}y^{2} + …

Pro zjednodušení zápisu zavádíme tzv. multiidexovou symboliku. Multiindex α délky r je r-tice nezáporných celých čísel (α_{1}, …, α_{r}). Celé číslo |α| = α_{1} + ⋯ + α_{r} nazýváme velikost multiindexu α. Stručně pak píšeme x^{α} místo x_{1}^{α_{1}}x_{2}^{α_{2}} … x_{r}^{α_{r}}. Pro polynomy v r proměnných pak máme symbolické vyjádření velice podobné obvyklému značení pro polynomy v jedné proměnné:

f = ∑_{|α|≤n} a_{α}x^{α}, g = ∑_{|β|≤m} a_{β}x^{β} ∈ 𝕂[x_{1}, …, x_{r}].

Říkáme, že f má celkový stupeň n, je-li alespoň jeden z koeficientů s multiindexem α velikosti n nenulový.

Okamžitě se také nabízejí analogické vzorce pro sčítání a násobení polynomů

f + g = ∑_{|α|≤max(m,n)}(a_{α} + b_{α})x^{α}

fg = ∑_{|γ|=0}^{m+n} ( ∑_{α+β=γ} (a_{α}b_{β})x^{γ})

kde multiindexy se sčítají po složkách a formálně neexistující koeficienty považujeme za nulové.

Samozřejmě musíme ověřit, že tyto vzorce opravdu popisují sčítání a násobení v induktivně definovaném okruhu polynomů v r proměnných. Dokážeme to indukcí přes počet proměnných. Předpokládejme, že vztahy platí v 𝕂[x_{1}, …, x_{r−1}] a počítejme součet

f = a_{k}(x_{1}, …, x_{r−1})x_{r}^{k} + ⋯ + a_{0}(x_{1}, …, x_{r−1}) = (∑_{α} a_{k,α}x^{α}) x_{r}^{k} + …

g = b_{l}(x_{1}, …, x_{r−1})x_{r}^{l} + ⋯ + b_{0}(x_{1}, …, x_{r−1}) = (∑_{β} b_{l,β}x^{β}) x_{r}^{k} + …
f + g = (a_{0}(x_{1}, …, x_{r−1}) + b_{0}(x_{1}, …, x_{r−1})) +
+ (a_{1}(x_{1}, …, x_{r−1}) + b_{1}(x_{1}, …, x_{r−1}))x_{r} + …

= (∑_{γ}(a_{k,γ} + b_{k,γ})(x_{1}, …, x_{r−1})^{γ})x_{r}^{k} + ⋯ + (∑_{γ}(a_{0,γ} + b_{0,γ})(x_{1}, …, x_{r−1})^{γ})

= ∑_{(γ,j)}(a_{j,γ} + b_{j,γ})(x_{1}, …, x_{r−1})^{γ}x_{r}^{j}.

Podobně se provede důkaz pro součin (proveďte!). 3.3 Lemma. Jestliže v okruhu 𝕂 nejsou dělitelé nuly, pak také v okruhu polynomů 𝕂[x_{1}, …, x_{r}] nejsou dělitelé nuly. Důkaz: Budeme postupovat indukcí přes počet proměnných r. ^{3} Pro r = 1 uvažujme polynomy f = a_{n}x_{1}^{n} + ⋯ + a_{1}x_{1} + a_{0} a g = b_{m}x^{m} + ⋯ + b_{0}, přičemž b_{m} ≠ 0 a a_{n} ≠ 0. Vedoucí člen součinu fg je a_{n}b_{m}x^{n+m} , protože a_{n}b_{m} ≠ 0, zejména tedy je součin nenulových polynomů opět nenulový.

Pokud tvrzení platí pro r − 1 proměnných, pak použijeme předchozí úvahu pro okruh polynomů v jedné proměnné x_{r} s koeficienty v 𝕂[x_{1}, …, x_{r−1}]. □ 3.4 Podílové těleso. Nechť 𝕂 je komutativní okruh (s jedničkou) bez dělitelů nuly. Jeho podílové těleso definujeme jako třídy ekvivalence dvojic (a, b) ∈ 𝕂 × 𝕂, b ≠ 0, které zapisujeme \frac{a}{b}, a ekvivalence je dána

\frac{a}{b} = \frac{a′}{b′} ⇔ ab′ = a′b.

Sčítání a násobení definujeme prostřednictvím reprezentantů tříd

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}

\frac{a}{b} \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

Snadno se ověří korektnost této definice a všechny axiomy komutativního tělesa. Zejména je \frac{0}{1} neutrální prvek vzhledem ke sčítání, \frac{1}{1} je neutrální prvek vzhledem k násobení a pro a ≠ 0, b ≠ 0 je \frac{a}{b} \frac{b}{a} = \frac{1}{1}.

Podílové těleso okruhu 𝕂[x_{1}, …, x_{r}] nazýváme těleso racionálních funkcí a značíme je 𝕂(x_{1}, …, x_{r}).

3Důkaz lze vést také přímo s použitím multiindexových formulí pro součin, ale museli bychom si nadefinovat určité vhodné uspořádání monomů, abychom mohli pracovat s vedoucím koeficientem.

Zkuste si to!)

3.5 Dělitelnost a nerozložitelnost. Nechť R je komutativní okruh bez dělitelů nuly. Řekneme, že b je dělitelné a a píšeme a|b, jestliže existuje c ∈ R takové, že b = ac. Platí

1. je-li a|b a zároveň b|c pak také a|c

2. a|b a zároveň a|c pak také a|(αb + βc) pro všechny α, β ∈ R

3. a|0 pro všechny a ∈ R

4. je-li b = ac a b ≠ 0 pak c je jednoznačně dáno volbou a, b (pro b = ac = ac′ totiž 0 = a(c − c′) a a ≠ 0)

5. invertibilní prvky v R (nazýváme je jednotky) tvoří komutativní podgrupu vzhledem k operaci násobení

6. každý prvek a ∈ R je dělitelný všemi jednotkami e ∈ R a jejich násobky ae (plyne z existence e^{−1})

Řekneme, že prvek a ∈ R je nerozložitelný, jestliže je dělitelný pouze jednotkami e ∈ R a jejich násobky ae. Řekneme, že okruh R je obor integrity s jednoznačným rozkladem, jestliže platí

7. pro každý nenulový prvek a ∈ R existují nerozložitelné a_{1}, …, a_{r} ∈ R takové že a = a_{1}a_{2} … a_{r}

8. jsou-li prvky a_{1}, …, a_{r} a b_{1}, …, b_{s} nerozložitelné, nejsou mezi nimi žádné jednotky a a = a_{1}a_{2} … a_{r} = b_{1}b_{2} … b_{s} pak je r = s a ve vhodném přeuspořádání platí a_{j} = e_{j}b_{j} pro vhodné jednotky e_{j}.

3.6 Příklad.

1. ℤ je obor integrity s jednoznačným rozkladem.

2. Každé pole (komutativní těleso) je obor integrity s jednoznačným rozkladem (a každý nenulový prvek je jednotka).

3. Nechť R má prvky tvaru a_{0} + ∑_{i=1}^{k} a_{i} ( \sqrt[2^{n_{i}}]{x^{m_{i}}}) kde a_{0}, …, a_{k} ∈ ℤ, m_{i}, n ∈ ℤ_{>0}. Pak jednotky jsou pouze prvky ±1, všechny prvky s a_{0} = 0 jsou rozložitelné, ale např. výraz x nelze vyjádřit jako součin nerozložitelných. (Nerozložitelných je zde příliš málo.)

3.7 Věta. Je-li R obor integrity s jednoznačným rozkladem, pak také okruh polynomů R[x_{1}, …, x_{r}] je obor integrity s jednoznačným rozkladem.

Důkaz: Myšlenka důkazu je velice jednoduchá. Stačí totiž provést důkaz pro polynomy v jedné proměnné nad oborem integrity s jednoznačným rozkladem R a zbytek plyne přímo z induktivní definice polynomů více proměnných. Uvažujme tedy f ∈ R[x]. Je-li f rozložitelný, pak je f = f_{1}f_{2}, kde žádný z polynomů f_{1}, f_{2} ∈ R[x] není jednotka. Předpokládejme na chvíli navíc, že je-li f dělitelný nerozložitelným polynomem h, pak jistě h dělí f_{1} nebo f_{2}.

Pokud tomu tak vždy bude, docílíme postupnou aplikací předchozí úvahy jednoznačný rozklad. Pokud je totiž f_{1} dále rozložitelné, opět f_{1} = g_{1}g_{2}, kde g_{1}, g_{2} nejsou jednotky, a přitom vždy buď oba polynomy g_{1} a g_{2} mají menší stupeň než f, nebo se sníží počet nerozložitelných faktorů ve vedoucích členech g_{1} a g_{2} (např. nad celými čísly ℤ je 2x^{2} + 2x + 2 = 2(x^{2} + x + 1)). Proto po konečném počtu kroků dojdeme k rozkladu f = f_{1} … f_{r} na nerozložitelné polynomy f_{1}, …, f_{r}. Z našeho dodatečného předpokladu také plyne, že každý nerozložitelný polynom h dělící f, dělí některý z f_{1}, …, f_{r}. Proto pro každý další rozklad f = f′_{1}f′_{2} … f′_{s} nutně každý z faktorů f_{i} dělí některý z f′_{j} a v takovém případě musí být f′_{j} = ef_{i} pro vhodnou jednotku e. Postupným krácením takových dvojic odvodíme, že r = s a jednotlivé faktory se liší pouze o násobky jednotek.

Zbývá tedy dokázat, že je-li f = f_{1}f_{2} dělitelný nerozložitelným polynomem h, pak jistě h dělí f_{1} nebo f_{2}. To bude cílem následující série technických lemmat.^{4}

□

3.8 Lemma. Nechť R je obor integrity s jednoznačným rozkladem. Pak platí 1. jsou-li a, b, c ∈ R, a je nerozložitelné a a|bc, pak buď a|b nebo a|c

2. jestliže konstantní polynom a ∈ R[x] dělí f ∈ R[x] pak a dělí všechny koeficienty polynomu f

3. je-li a nerozložitelný konstantní polynom v R[x] a a|fg, f, g ∈ R[x], pak a|f nebo a|g.

Důkaz: 1. Podle předpokladu bc = ad pro vhodné d ∈ R a nechť d = d_{1} … d_{r}, b = b_{1} … b_{s}, c = c_{1} … c_{q} jsou rozklady na nerozložitelné faktory. Tzn. ad_{1} … d_{r} = b_{1} … b_{s}c_{1} … c_{q}. Z jednoznačnosti rozkladu ad plyne a = eb_{j} nebo a = ec_{i} pro vhodnou jednotku e.

2. Nechť f = b_{0} + b_{1}x + ⋯ + b_{n}x^{n}. Protože a|f, jistě existuje polynom g = c_{0} + c_{1}x + … c_{k}x^{k} takový, že f = ag. Odtud okamžitě plyne k = n, ac_{0} = b_{0}, …, ac_{n} = b_{n}.

3. Uvažujme f, g ∈ R[x] jako výše a předpokládejme, že a nedělí ani f ani g. Pak podle předchozího bodu existuje nějaké i tak, že a nedělí b_{i} a nějaké j tak, že a nedělí c_{j}. Zvolme taková i, j nejmenší možná. Koeficient u x^{i+j} v polynomu fg je b_{0}c_{i+j} + b_{1}c_{i+j−1} +⋯+b_{i+j} c_{0}. Podle naší volby a dělí všechny b_{0}c_{i+j} , …, b_{i−1}c_{j+1} , b_{i+1} c_{j−1}, …, b_{i+j} c_{0}. A zároveň nedělí b_{i}c_{j}. Proto nemůže dělit celý koeficient. □

3.9 Lemma. Nechť K je podílové těleso oboru integrity R s jednoznačným rozkladem. Je-li polynom f nerozložitelný v R[x] je nerozložitelný také v K[x].

Důkaz: Uvažme libovolný nenulový polynom f ∈ R[x] ⊂ K[x] (každý koeficient a ∈ R můžeme považovat za prvek \frac{a}{1} ∈ K). Předpokládejme, že f = g′h′ pro vhodné g′, h′ ∈ K[x], kde polynomy g′, h′ nejsou jednotky v K[x] (tzn. nejsou to konstantní polynomy, neboť K je pole). Nechť a je společný násobek jmenovatelů koeficientů v g′ a b je společný násobek jmenovatelů koeficientů v h′. Pak bh′, ag′ ∈ R[x] a platí abf = (bh′)(ag′). Nechť c je nerozložitelný faktor v rozkladu ab. Pak c dělí (bh′)(ag′) a proto c dělí polynom bh′ nebo polynom ag′ (podle předchozího lemmatu). To ale znamená, že c můžeme vykrátit. Po konečném počtu takových krácení zjistíme, že f = gh pro polynomy g, h ∈ R[x]. Přitom stupeň polynomů se neměnil, proto i g a h nejsou konstantní. Tím jsme dokázali negaci požadované implikace. □

3.10 Lemma (Algoritmus pro dělení se zbytkem). Nechť R je komutativní okruh bez dělitelů nuly a f, g ∈ R[x], g ≠ 0. Pak existuje a ∈ R, a ≠ 0, a polynomy q a r splňující af = qg + r, kde r = 0 nebo degr < degg. Je-li navíc R pole, nebo je aspoň vedoucí koeficient polynomu g roven jedné, potom lze volit a = 1 a polynomy q, r jsou v tomto případě určeny jednoznačně.

4A při prvním čtení bude možná vhodné tuto pasáž vynechat a vrátit se k ní později.

Důkaz: Tvrzení dokážeme indukcí vzhledem ke stupni f. Je-li degf < degg nebo f = 0, pak volíme a = 1, q = 0, r = f , což vyhovuje všem našim podmínkám. Pro konstantní polynom g klademe a = g, q = f, r = 0.

Předpokládejme tedy, že degf ≥ degg > 0 a pišme f = a_{0} + ⋯ + a_{n}x^{n}, g = b_{0} + ⋯ + b_{m}x^{m}. Buď platí b_{m}f − a_{n}x^{n−m}g = 0 a nebo je deg(b_{m}f − a_{n}x^{n−m}g) < degf. V prvém případě jsme hotovi, ve druhém pak, podle indukčního předpokladu, existují a′, q′, r′ splňující a′(b_{m}f − a_{n}x^{n−m}g) = q′g + r′ a buď r′ = 0 nebo degr′ < degg. Tzn.

a′b_{m}f = (g′ + a′a_{n}x^{n−m})g + r′.

Přitom je-li b_{m} = 1 nebo R je pole, pak podle indukčního předpokladu lze volit a′ = 1 a q′, r′ jsou tak určeny jednoznačně. V takovém případě ovšem získáme b_{m}f = (g′ + a_{n}x^{n−m})g + r′ a je-li R pole, můžeme rovnost vynásobit b^{−1}. Předpokládejme, že f = q_{1}g + r_{1} je jiné řešení. Pak 0 = f − f = (q − q_{1})g + (r − r_{1}) a buď je r = r_{1}, nebo deg(r − r_{1}) < degg. V prvém případě odtud ovšem plyne i q = q_{1}, protože R[x] neobsahuje dělitele nuly. Nechť ax^{s} je člen nejvyššího stupně v q − q_{1} ≠ 0 (určitě existuje). Potom jeho součin se členem nejvyššího stupňe v g musí být nulový (protože nejvyšší stupeň dostaneme tak , že vynásobíme nejvyšší stupně). To ovšem znamená, že a = 0. Protože ax^{s} byl největší nenulový stupeň, nutně dostáváme, že q − q_{1} žádné nenulové monomy neobsahuje, je tedy určitě nulové. Pak ovšem i r = r_{1}. □

3.11 Lemma (Bezoutova rovnost). Nechť K je pole a nechť f, g ∈ K[x]. Pak existuje největší společný dělitel^{5} h polynomů f a g. Polynom h je určený jednoznačně, až na násobek nenulovým skalárem. Přitom existují polynomy A, B ∈ K[x] takové, že h = Af + Bg.

Důkaz: Přímá konstrukce polynomů h, A a B se provede tzv. Euklidovým algoritmem. Provádíme postupně dělení se zbytkem (K je pole, takže to vždy umíme jednoznačně, viz. předchozí lemma):

f = q_{1}g + r_{1}
g = q_{2}r_{1} + r_{2}
r_{1} = q_{3}r_{2} + r_{3}
⋮
r_{p−1} = q_{p+1} r_{p} + 0.

V tomto postupu neustále klesají stupně r_{i}, proto jistě nastane rovnost z posledního řádku (pro vhodné p) a ta říká že r_{p}|r_{p−1}. Z předposledního řádku pak ale plyne r_{p}|r_{p−2} a postupně dojdeme až nazpět k prvnímu a druhému řádku, které dají r_{p}|g a r_{p}|f. Pokud h|f a h|g, pak ze stejných rovností postupně plyne, že h dělí všechny r_{i}, zejména tedy r_{p}, tzn. získali jsme největšího společného dělitele h = r_{p} polynomů f a g.

5Tzn. (i) h|f ∧ h|g (ii) k|f ∧ k|g ⇒ k|h.

Nyní můžeme postupně dosazovat z poslední do předchozích rovnic.

h = r_{p} = r_{p−2} − q_{p}r_{p−1}
= r_{p−2} − q_{p}(r_{p−3} − q_{p−1}r_{p−2})
= −q_{p}r_{p−3} + (1 + q_{p−1})r_{p−2}
= −q_{p}r_{p−3} + (1 + q_{p−1}q_{p})r_{p−2}
= −q_{p}r_{p−3} + (1 + q_{p}q_{p−1})(r_{p−4} − q_{p−2}r_{p−3})
⋮
= Af + Bg.
□

3.12 Lemma. Nechť R je obor integrity s jednoznačným rozkladem a f, g, h ∈ R[x]. Předpokládejme, že f je nerozložitelné a f|gh. Pak buď f|g nebo f|h.

Důkaz: Je-li f konstantní polynom (tj. prvek v R), pak jsme tvrzení již dokázali, viz. jedno z předchozích lemmat.

Předpokládejme, že degf > 0. Již víme, že f je nerozložitelný také v K[x], kde K je podílové těleso okruhu R. Předpokladejme tedy nejdříve, že R je pole (a je tedy rovno svému podílovému tělesu). Předpokládejme dále, že f|gh a zároveň f nedělí g. Ukážeme, že pak jistě f|h. Největší společný dělitel polynomů g a f musí být konstantní polynom v K, proto existují A, B ∈ K[x] takové, že 1 = Af + Bg. Odtud h = Afh + Bgh a protože f|gh musí platit i f|h.

Vraťme se nyní k obecnému případu. Podle předchozího vyplývá z našich předpokladů, že f|g nebo f|h v okruhu polynomů K[x] nad podílovým tělesem K okruhu R. Nechť např. h = kf v K[x] a zvolme a ∈ R tak, aby ak ∈ R[x]. Pak ah = akf a pro každý nerozložitelný faktor e ∈ a musí platit e|ak, protože f je nerozložitelný a nekonstantní. Můžeme proto e krátit. Po konečném počtu takových krácení je z a jednotka, tzn. h = k′f pro vhodné k′ ∈ R[x]. □

Důkaz tohoto lemmatu ukončil celý důkaz věty 3.7.

3.13 Kořeny polynomu. Hodnotou polynomu f ∈ R[x] v bodě a ∈ R rozumíme prvek f(a) = a_{0} + a_{1}a + ⋯ + a_{n}a^{n} ∈ R. Kořen polynomu f je takový prvek a ∈ R, pro který je f(a) = 0. Dělením polynomem x − b, b ∈ R, (všimněme si, že vedoucí koeficient je jednička, tedy algoritmus pro dělení vždy funguje jednoznačně) dostaneme jednoznačně zadané polynomy q, r splňující f = q(x − b) + r, kde r = 0 nebo degr = 0, tj. r ∈ R. Tzn., že hodnota polynomu f v b ∈ R je rovna právě f(b) = r. Z toho plyne, že prvek b ∈ R je kořen polynomu f právě, když (x − b)|f. Tím jsme dokázali následující tvrzení:

3.14 Lemma. Každý polynom f ∈ R[x] má nejvýše degf kořenů.

3.15 Důsledek. Nechť f ∈ R[x_{1}, …, x_{r}]. Je-li f(a_{1}, …, a_{r}) = 0 pro libovolnou volbu prvků a_{1}, …, a_{r} z nekonečné množiny D ⊂ R, pak f = 0.

Důkaz: Provedeme indukcí přes počet proměnných. Pro polynomy v jedné proměnné tvrzení plyne okamžitě z předchozího lemmatu.

Nechť f ∈ R[x_{1}, …, x_{r−1}][x_{r}] a předpokládejme, že pro menší počet proměnných tvrzení platí. Máme f = f_{0} + f_{1}x_{r} + ⋯ + f_{n}x_{r}^{n} a f_{n} ≠ 0. Proto podle předpokladu existují prvky a_{1}, …, a_{r−1} z D takové, že f_{n}(a_{1}, …, a_{r−1}) ≠ 0. Z toho ale plyne, že pouze pro konečně mnoho a_{r} z D může být f(a_{1}, …, a_{r}) = 0. □

Pokud má každý nekonstantní polynom f ∈ R[x] kořen, pak je R pole (všimněte si, že polynom ax − 1, a ≠ 0, má mít kořen, tj. vždy existuje a^{−1} ∈ R). Pro každé pole to ale samozřejmě neplatí, např. polynom x^{2} + 1 ∈ ℝ[x] kořen nemá. Pole R se nazývá algebraicky uzavřené, jestliže má každý nekonstantní polynom kořen.

3.16 Věta (Základní věta algebry). Pole ℂ je algebraicky uzavřené.

Důkaz: Předpokládejme, že f ∈ ℂ[z] je nenulový polynom, který nemá kořen, tj. f(z) ≠ 0 pro všechny z ∈ ℂ. Definujme zobrazení

φ : ℂ → ℂ, z ↦ \frac{f(z)}{|f(z)|}

tj. φ zobrazí celé ℂ do jednotkové kružnice K_{1} = {e^{it}, t ∈ ℝ} ⊂ ℝ^{2} = ℂ. Díky našemu předpokladu o nenulovosti f(z) je to skutečně dobře definované zobrazení. Dále definujme zobrazení s hodnotami v kružnici K_{r} ⊂ ℂ se středem v nule a poloměrem r ≥ 0

ψ_{r} : ℝ → K_{r}, t ↦ ψ(t) = re^{it}.

Pro každé r ∈ ⟨0, ∞) máme definováno spojité zobrazení κ_{r} = φ ∘ ψ_{r} : ℝ → K_{1}. Ze spojité závislosti κ na parametru r navíc vyplývá existence zobrazení α_{r} : ℝ → ℝ jednoznačně zadaných podmínkami 0 ≤ α_{r}(0) < 2π a κ_{r}(t) = e^{iα_{r}(t)}. Získané zobrazení α_{r} opět spojitě závísí na r. Celkem tedy máme spojité zobrazení

α : ℝ × ⟨0, ∞) → ℝ, (t, r) ↦ α_{r}(t)

a z jeho konstrukce plyne že pro všechna r je \frac{1}{2π}(α_{r}(2π) − α_{r}(0)) = n_{r} ∈ ℤ, viz. 10. Protože je α spojité, znamená to, že n_{r} je celočíselná konstanta nezávislá na r!

Pro dokončení důkazu si stačí uvědomit, že pokud f = a_{0} + ⋯ + a_{d}z^{d} a a_{d} ≠ 0, pak pro malá r se bude α_{r} chovat podobně jako konstantní zobrazení, zatímco pro velká r to vyjde stejně, jako kdyby f = z^{d}. Nejprve si spočtěme, jak tedy n_{r} dopadne při f = z^{d}, pak toto tvrzení upřesníme a důkaz tím bude ukončen.

Funkce ℂ → ℂ, z ↦ z^{d}, z ↦ \frac{z^{d}}{|z^{d}|} se snadno vyjádří pomocí goniometrického tvaru komplexních čísel z = r(cosα + i sinα).

z^{d} = r^{d}(cosdα + i sindα) = r^{d}e^{idα}

\frac{z^{d}}{|z^{d}|} = 1(cosdα + i sindα) = e^{idα}

zobrazení φ je tedy v tomto případě pouze ţzatočení� na jednotkové kružnici. Pak tedy κ_{r}(t) = e^{idt} a proto α_{r}(t) = dt, nezávisle na r. Odtud pro naši volbu f = z^{d} vyplývá n_{r} = d. Pokud zvolíme f = az^{d}, a ≠ 0, nebude to mít na předchozí výsledek žádný vliv (přesvědčte se!).

2π 0 ψ_{r}  α_{r}  psi_{1} K_{1} ϕ e^{it} K_{r}  2π 0

Obr. 10: Konstrukce zobrazení α

Zvolme nyní obecný polynom f = a_{0} + ⋯ + a_{d}z^{d}, který nemá kořen. Víme tedy, že a_{0} ≠ 0 (pokud by bylo a = 0, existoval by kořen). Pro z ≠ 0 platí

\frac{f(z)}{a_{d}z^{d}} = 1 + \frac{1}{a_{d}} (a_{0}z^{−d} + ⋯ + a_{d−1}z^{−1})

a proto lim_{|z|→∞} \frac{f(z)}{a_{d}z^{d}} = 1. Když tohle víme, můžeme spočítat

lim_{|z|→∞} |\frac{f(z)}{|f(z)|} − \frac{a_{d}z^{d}}{|a_{d}z^{d}|}| = lim_{|z|→∞} |\frac{f(z)}{a_{d}z^{d}} \frac{a_{d}z^{d}}{|a_{d}z^{d}|} \frac{|a_{d}z^{d}|}{|f_{(}z)|} − \frac{a_{d}z^{d}}{|a_{d}z^{d}|}| = 0.

Proto n_{r} = d pro velká r.

Podobnou úvahu uděláme i pro malá r. Připomeňme si, že a_{0} ≠ 0.

\frac{f(z)}{a_{0}} = 1 + \frac{1}{a_{0}}(a_{1}z + ⋯ + a_{d}z^{d})

proto lim_{|z|→0} \frac{f(z)}{a_{0}} = 1. Přitom opět platí \frac{f(z)}{|f(z)|} = \frac{f(z)}{a_{0}} \frac{a_{0}}{|a_{0}|} \frac{|a_{0}|}{|f(z)|}. Odtud lim_{|z|→0} \frac{f(z)}{|f(z)|} = lim_{|z|→0} \frac{a_{0}}{|a_{0}|}, tj. n_{r} = 0 pro malá r. Celkem vidíme, že stupeň našeho polynomu je d = 0.

□

3.17 Definice (Algebraická definice derivace). Nechť R je obor integrity s jednoznačným rozkladem, f = a_{0} + a_{1}x ⋯ + a_{n}x^{n} ∈ R[x]. Derivaci f′ polynomu f definujeme vztahem

f′ = a_{1} + 2a_{2}x + 3a_{3}x^{2} + ⋯ + na_{n}x^{n−1}.

Derivace f′ polynomu f ∈ R[x_{1}, …, x_{r}] podle proměnné x_{i} se definuje jako derivace polynomu f ∈ R[x_{1}, …, x_{i−1}, x_{i+1} , …, x_{r}][x_{i}]. Hovoříme o parciální derivaci polynomu f a značíme ji \frac{∂}{∂x_{i}} f. Zřejmě je opět \frac{∂}{∂x_{i}} f ∈ R[x_{1}, …, x_{r}]. Derivace vyšších řádů definujeme indukcí, tj. \frac{∂^{k}}{∂x_{i_{1}} ...∂x_{i_{k}}} f = \frac{∂}{∂x_{i_{k}}} (\frac{∂^{k−1}}{∂x_{i_{1}} ...∂x_{i_{k−1}}} f).

3.18 Lemma. Nechť R je obor integrity s jednoznačným rozkladem a f, g ∈ R[x]. 1. (f + g)′ = f′ + g′

2. je-li a ∈ R, pak a′ = 0 a (af)′ = af′

3. (fg)′ = f′g + g′f, (f^{k})′ = k(f^{k−1})f′

4. pro f ∈ R[x_{1}, …, x_{r}] a g_{1}, …, g_{r} ∈ R[x] je derivace složené funkce g(x) = f(g_{1}(x), …, g_{r}(x)) ∈ R[x] rovna

g′(x) = ∑_{i=1}^{r}(\frac{∂}{∂x_{i}} f) (g_{1}(x), …, g_{r}(x))g′_{i}(x).

Důkaz: Tvrzení 1. a 2. jsou zřejmá přímo z definice derivace.

3. Zvolme dva polynomy f = a_{0}+⋯+a_{n}x^{n}, g = b_{0}+⋯+b_{m}x^{m} v R[x] a počítejme

(fg) = ∑_{j=0}^{n+m} (∑_{i=0}^{j}(a_{i}b_{j−1}))x^{j}

(fg)′ = ∑_{j=0}^{n+m} j (∑_{i=0}^{j}a_{i}b_{j−1}) x^{j−1} = ∑_{j=0}^{n+m−1} (j + 1) (∑_{i=0}^{j+1}a_{i}b_{j−i+1} ) x^{j}

f′g + g′f = ∑_{j=0}^{m+n−1} (∑_{i=0}^{j}(i + 1)a_{i+1} b_{j−i}) x^{j} + ∑_{j=0}^{m+n−1} (∑_{i=0}^{j}(j − i + 1)a_{i}b_{j−i+1} ) x^{j}

= ∑_{j=0}^{m+n−1} (∑_{i=0}^{j}(i + 1)a_{i+1} b_{j−i} + (j − i + 1)a_{i}b_{j−i+1} ) x^{j}

a přímým srovnáním se ověří, že výsledné sumy dávají tentýž výsledek.^{6} Zbytek tvrzení se odvodí snadno indukcí.

4. Víme, že derivace součtu je součet derivací, proto nám stačí dokázat tvrzení pro polynomy tvaru x^{α} = x_{1}^{α_{1}} … x_{r}^{α_{r}} (obecný případ pak plyne z 1. a 2.). To znamená, že g(x) = (g_{1}(x))^{α_{1}} … (g_{r}(x))^{α_{r}}, ale pak 3. poskytuje právě požadované tvrzení. □

3.19 Věta. Nechť R je obor integrity s jednoznačným rozkladem a s charakteristikou^{7} větší než 2. Nechť g ∈ R[x] je nerozložitelný a nekonstantní. Pak g^{2}|f právě, když g|f a zároveň g|f′.

Důkaz: Předpokládejme g|f, tj. f = gh (definice dělitelnosti). Pak f′ = g′h + gh′. Pokud navíc g|f′, pak také g|g′h. Protože je g nerozložitelný, dělí buď h nebo g′, ale g′ má menší stupeň než g, takže g|h. Proto platí g^{2}|f.

Naopak, je-li g^{2}|f, tj. f = g^{2}h, je f′ = 2gg′h + g^{2}h′. Odtud plyne, že g|f′. □

6Důkaz lze vést také např. matematickou indukcí přes stupeň polynomů, nebo pomocí distributivity a úvah o monomech.

7Např. R = ℝ[x_{1}, …, x_{r}], R = ℂ[x_{1}, …, x_{r}] apod.

3.20 Důsledek. Za předpokladů předchozí věty, prvek a ∈ R je vícenásobný kořen polynomu f právě, když polynom (x − a) dělí f i f′.

3.21 Věta (Taylorova věta pro polynomy jedné proměnné). Pro každý polynom f ∈ R[x] stupně n a každé prvky a, b ∈ R platí

f(b) = f(a) + f′(a)(b − a) + ⋯ + \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(b − a)^{n}.

Důkaz: Po dosazení prvku x+a do polynomu f dostaneme roznásobením polynomiální výraz g(x) = f(x + a) = a_{0} + a_{1}x + ⋯ + a_{n}x^{n}. Iterované derivování nyní dá

g′(x) = a_{1} + 2a_{2}x + ⋯ + na_{n}x^{n−1}
g′′(x) = 2a_{2} + 2.3a_{3}x + ⋯ + n(n − 1)a_{n}x_{n−2}
⋮
g^{(n)} = n!a_{n}

a další derivace je již nulová. Dosazením x = 0 dostaneme

f(a) = a_{0}, f′(a) = a_{1}, …, f^{(n)}(a) = n!a_{n}.

Vyčíslením g(b − a) získáme právě požadovaný vztah. □

3.22 Věta (Taylorova věta pro polynomy více proměnných). Pro každý polynom f ∈ R[x_{1}, …, x_{r}] s celkovým stupněm n a pro libovolné prvky a_{1}, …, a_{r}, b_{1}, …, b_{r} ∈ R platí

f(b_{1}, …, b_{r}) = f(a_{1}, …, a_{r}) + ∑_{i=1}^{r} \frac{∂}{∂x_{i}} f(a_{1}, …, a_{r})(b_{i} − a_{i}) + …

+ \frac{1}{n!} ∑_{|α|=n} (\frac{∂^{α_{1}}}{∂x_{1}^{α_{1}}} … \frac{∂^{α_{r}}}{∂x_{r}^{α_{r}}} f) (a_{1}, …, a_{r})(b_{1} − a_{1})^{α_{1}} … (b_{r} − a_{r})^{α_{r}}.

Důkaz: Uvažme polynom F (t) = f(a_{1} + (b_{1} − a_{1})t, …, a_{r} + (b_{r} − a_{r})t) pro a = (a_{1}, …, a_{r}), b = (b_{1}, …, b_{r}) pevné, tj. F ∈ R[t]. Podle již dokázané Taylorovy věty platí

F (t) = F (0) + F′(0)t + ⋯ + F^{n}(0)t^{n}

= f(a_{1}, …, a_{r}) + (∑_{i=1}^{r}(a_{1}, …, a_{r})(b_{i} − a_{i}))t + …

+ \frac{1}{n!} ∑_{|α|=n} \frac{∂^{α}}{∂x^{α}} f(a_{1}, …, a_{n})(b − a)^{α}t^{n}.

Pro t = 1 dostáváme právě tvrzení věty. □

4 Afinní variety

4.1 Definice. Afinní varieta V ⊂ 𝕂^{n} zadaná množinou polynomů S = {f_{1}, …, f_{s}} ⊂ 𝕂[x_{1}, …, x_{n}] je množina všech bodů x ∈ 𝕂^{n} takových, že f(x) = 0. Píšeme V = V(f_{1}, …, f_{s}) = V(S). Množinu všech polynomů g ∈ 𝕂[x_{1}, …, x_{n}] splňujících g(x) = 0 pro všechny x ∈ V, nazýváme ideál variety V, značíme I(V).

Varieta V ⊂ 𝕂^{n} se nazývá nerozložitelná (ireducibilní) jestliže neexistují dvě vlastní podvariety V_{1}, V_{2}, V_{1} ≠ V, V_{2} ≠ V, takové, že V = V_{1} ∪ V_{2}. V opačném případě říkáme, že varieta V je rozložitelná.

4.2 Věta. Pro afinní variety V, W ⊂ 𝕂^{n}, V = V(f_{1}, …, f_{k}), W = V(g_{1}, …, g_{l}) platí 1. I(V) je ideál v 𝕂[x_{1}, …, x_{n}].

2. I((V(S)) ⊇ ⟨S⟩, kde ⟨S⟩ označuje ideál generovaný množinou S, tj. nejmenší ideál obsahující S.

3. V ⊆ W právě, když I(V) ⊇ I(W)

4. V ∪ W = V({f_{i}g_{j}; i = 1, …, k; j = 1, …, l})

5. V ∩ W = V(f_{1}, …, f_{k}, g_{1}, …, g_{l}).

Důkaz: (1): I(V) je ideál, jestliže je tato množina uzavřena vzhledem ke sčítání plynomů a pro všechny g ∈ 𝕂[x_{1}, …, x_{n}] a pro všechny f ∈ I(V) je také gf ∈ I(V). Skutečně f(x) = 0 zaručuje (gf)(x) = g(x)f(x) = 0 a také uzavřenost vůči sčítání je zřejmá.

(2): prvky ⟨f_{1}, …, f_{n}⟩ jsou tvaru h = h_{1}f_{1} + ⋯ + h_{s}f_{s}, kde h_{i} ∈ 𝕂[x_{1}, …, x_{n}], proto se jistě nulují ve všech bodech variety V(S).

(3): ţ⇒� Vezmeme x ∈ V, f ∈ I(W). Protože V ⊆ W a tudíž x ∈ W, je f(x) = 0 a tedy f ∈ I(V).

ţ⇐� Nechť x ∈ V (a chceme dokázat x ∈ W). Nechť W = V(f_{1}, …, f_{n}) (takové f_{i} jistě existují podle definice), pak také f_{i} ∈ I(W) ⊆ I(V) a tudíž f_{i}(x) = 0, tj. x ∈ W.

(4): ţ⊆� Zvolme si x ∈ V, tzn. f_{i}(x) = 0 pro všechny i. Tedy pro všechny i, j je f_{i}g_{j}(x) = 0. Stejně pro x ∈ W.

ţ⊇� Předpokládejme, že x ∉ V ∪ W. Pak existuje i_{0} takové, že f_{i}(x) ≠ 0 a zároveň existuje j_{0} tak že g_{j_{0}}(x) ≠ 0. Proto f_{i_{0}}g_{j_{0}}(x) ≠ 0 a tedy x ∉ V(f_{i}g_{j}).

(5): x ∈ V ∩ W právě, když všechny f_{i} i g_{j} se v x nulují a to je právě, když x ∈ V(f_{1}, …, f_{k}, g_{1}, …, g_{l}). □

4.3 Nadplochy v 𝕂^{n}. Nadplochou v 𝕂^{n} rozumíme varietu V = V(f) zadanou jedním polynomem f ∈ 𝕂[x_{1}, …, x_{n}]. Tzn. ideál ⟨f⟩ generující V je hlavní ideál. Sjednocení nadploch V = V(f_{1}) ∪ ⋯ ∪ V(f_{k}) je opět nadplocha, V = V(f_{1} … f_{k}). Podle věty 3.7 lze naopak každý polynom f ∈ 𝕂[x_{1}, …, x_{n}] rozložit na součin f = af_{1}^{l_{1}} … f_{k}^{l_{k}} nerozložitelných polynomů f_{1}, …, f_{k} ∈ 𝕂[x_{1}, …, x_{n}], a ∈ 𝕂, a podle předchozí věty je V(f) sjednocením nerozložitelných nadploch V(f_{i}). Přitom původní varieta je také dána V = V(f_{1} … f_{k}) pro polynom g = f_{1} … f_{k} obecně nižšího stupně, v jehož rozkladu se již nevyskytují exponenty různé od jedničky. Říkáme, že nadplocha V(f_{1} … f_{k}) je dána redukovanou rovnicí g = 0.

Obr. 11: paraboloid s (redukovanou) rovnicí f = x^{2} + y^{2} − z a kuželová plocha daná f = x^{2} + y^{2} − z^{2} se singulárním bodem v počátku

4.4 Příklady nadploch. Řadu příkladů nadploch v ℝ^{2}, tj. algebraických křivek v rovině, jsme již diskutovali v úvodní motivační kapitole. Na serii obrázků 11 – 13 můžeme shlédnout několik příkladů nadploch v ℝ^{3}, tj. obvyklých algebraických ploch.

Všimněme si, že paraboloid nemá žádné singulární body, zatímco kuželová plocha jeden singulární bod má. Velmi zajímavá je singularita variety zadané polynomem xy+ z^{3}, prozkoumejte její řezy různými rovinami. Poslední dvě variety dávají nahlédnout další možnosti singularit, první je analogie bodu vratu u křivek, v druhé máme celou přímku singulárních bodů. Ve všech uvedených příkladech tvoří množiny singulárních bodů opět variety, které působí dojmem menší dimenze. To není náhoda, uvidíme, že je tomu tak vždy.

Ve všech našich příkladech jsou také variety zadány redukovanými rovnicemi. To je vidět např. z toho, že singularity můžeme opravdu spočíst jako společné nulové body všech parciálních derivací. Kdyby totiž některý z faktorů vystupoval ve vyšší mocnině, tj. mohli bychom psát f = g^{2}h, pak by všechny parciální derivace ve všech bodech komponenty příslušné faktoru g byly nulové. Je tedy vidět, že i u nadploch nemůžeme vybírat generující polynomy jakkoliv. Z teorie kuželoseček a kvadrik patrně víte, že technicky se (pro potřeby klasifikací) může hodit také počítat komponenty variety s násobnostmi danými právě exponenty v příslušném rozkladu. Např. možnost jediné přímky odpovídá dvojnásobné komponentě kuželosečky.

Pro ideál generovaný obecnou varietou I(V(f_{1}, …, f_{s})) ⊇ ⟨f_{1}, …, f_{s}⟩, a to i v případě nadplochy, tzn. při s = 1, může tedy být inkluze ostrá. Nejjednodušší příklad je ⟨x^{2}⟩ ≠ ⟨x⟩, přičemž ideál generovaný V(x^{2}) je právě ⟨x⟩. Pro obecnější variety budeme proto potřebovat další vhodné algebraické pojmy.

4.5 Definice. Nechť R je libovolný okruh a I ⊂ R je ideál. Řikáme, že ideál I je vlastní , jestliže I ≠ R a I ≠ {0} maximální, jestliže neexistuje vlastní ideál I′ takový, že I ≠ I′ a I ⊂ I′ ⊂ R. konečně generovaný, jestliže existují f_{1}, …, f_{s} ∈ R takové, že I = ⟨f_{1}, …, f_{s}⟩.

26 ALGEBRAICKÁ GEOMETRIE Obr. 12: variety zadané polynomy f = x^{2} + y^{2} − z^{2} + z^{3} a f = xy + z^{3}, první má singularitu v nule, řezy druhé rovinami x = ±y dávají Neilovu parabolu

Obr. 13: první zadaná f = x^{2} + y^{2} − z^{3} a tzv. Whitneyho deštník f = x^{2} − y^{2}z hlavní ideál , je-li I = ⟨f⟩. prvoideál , jestliže z f ∉ I a g ∉ I vyplývá fg ∉ I. radikálový , jestliže z f^{k} ∈ I pro jisté k ≥ 1 plyne f ∈ I. okruh R nazýváme noetherovský, je-li každý jeho ideál konečně generovaný.

4.6 Poznámka. Každý okruh s jedničkou je konečně generovaný. Pole nemá nevlastní ideály, zejména je tedy každé pole je noetherovské. Pojem prvoideálu zobecňuje vlastnosti prvočísel v ℤ, radikálové ideály jsou takové, které obsahují i všechny odmocniny svých prvků (odtud název).

4.7 Věta (Hilbertova věta o bázi). Je-li R noetherovský okruh, pak také okruh polynomů R[x] je noetherovský.

Tuto větu nebudeme nyní dokazovat.^{8}

4.8 Důsledek. Je-li R noetherovský, pak 1. R[x_{1}, …, x_{n}] je také noetherovský.

2. Okruhy R je noetherovský právě, když každá neklesající posloupnost I_{1} ⊂ I_{2} ⊂ I_{3} ⊂ … ideálů v R se stabilizuje (tj. pro jisté N ∈ ℕ platí I_{N} = I_{N+1} = I_{N+2} = . . ..)

3. Variety V ⊂ 𝕂^{n} jsou právě množiny všech bodů v 𝕂^{n}, ve kterých se nulují všechny polynomy některého ideálu I ⊂ R[x_{1}, …, x_{n}], tj. V = V(I).

Důkaz: 1. Plyne okamžitě indukcí přes počet proměnných z Hilbertovy věty.

2. Sjednocení všech ideálů I_{k} je opět ideál a ten musí být konečně generovaný podle Hilbertovy věty. Všechny generátory pak ovšem leží v některém I_{N}, tj. každá taková posloupnost ideálů se zastaví. Naopak, pro každý ideál I ⊂ 𝕂[x_{1}, …, x_{n}] je možné vytvořit posloupnost I_{1} ⊂ I_{2} ⊂ ⋯ ⊂ I generovanou postupně více a více generátory z I. Předpokládáme-li platnost podmínky ţneklesajících řetězců�, pak jistě dojde při vhodné volbě k rovnosti I = I_{N}, tj. dostáváme Hilbertovu větu.

3. Naše definice variety používala jen prvky konečně generovaných ideálů, takové jsou však všechny. □

4.9 Poznámka. Přiřazení, které varietě V přiřadí I(V), tj. ideál asociovaný s V, je mimořádně důležité, protože tento ideál nejen zadává varietu V, ale zároveň nijak nezáleží na našich volbách generátorů. Proto vše co spočteme pomocí algebraických manipulací s tímto ideálem opravdu popisuje geometrické vlastnosti variety V. Zejména tedy V = V(I(V)) a z 4.2 plyne, že V = W právě, když I(V) = I(W).

Další podstatný pokrok v algoritmizaci studia variet spočívá v zavedení jistých kanonických bazí pro ideály I(V). Takové objekty nejenže existují, ale dokonce jsou k dispozici efektivní algoritmy na jejich konstrukci. Jedná se tzv. Grőbnerovy báze polynomiálních ideálů. Touto problematikou se zde nebudeme podrobněji zabývat, budeme však tyto báze používat, aniž bychom se o to zasloužili, při výpočtech v softwarových systémech pro algebraické manipulace, zejména v systému Maple V. Zájemce odkazuji na moje přednášky Geometrické algoritmy, II, jejichž texty jsou dostupné v lokální síti.

8Elementární důkaz založený na dělení polynomů se zbytkem lze nalézt v mých přednáškách ”Geometrické algoritmy, II”, na stejném WWW-serveru jako tyto přednášky.

4.10 Lemma (Slabá věta o nulách). Nechť pole 𝕂 je algebraicky uzavřené, I ⊂ 𝕂[x_{1}, …, x_{n}] je ideál. Pak V(I) = ∅ právě, když I = 𝕂[x_{1}, …, x_{n}].

Všimněme si, že ve speciálním případě polynomů v jedné proměnné, I ⊂ 𝕂[x], I = ⟨f⟩, lemma říká, že pokud f není invertibilní prvek okruhu polynomů, pak f má kořen. V polynomech o jedné proměnné je každý ideál hlavní ideál, tj. všechny ideály jsou tohoto tvaru. Můžeme tedy Slabou větu o nulách považovat za velmi silné zobecnění Základní věty algebry. Důkaz: Jeden směr implikace je triviální: Je-li I = 𝕂[x_{1}, …, x_{n}] pak 1 ∈ I, tj. V(I) = ∅ (podle definice – v žádném bodě není nulový konstantní polynom 1). Opačný směr vyžaduje další technické úvahy, opět odkazuji na svoje texty Geometrické algoritmy, II. □

4.11 Věta (Hilbertova věta o nulách). Nechť 𝕂 je algebraicky uzavřené pole, S ⊂ 𝕂[x_{1}, …, x_{n}] je libovolný ideál. Pak I(V(S)) je radikálový ideál \sqrt{S} ideálu S. Tzn. polynom f splňuje f(a) = 0 pro všechny a ∈ V(S) právě, když f^{m} ∈ S pro vhodné m. Je-li S = ⟨f_{1}, …, f_{s}⟩, pak to znamená, že f^{m} = h_{1}f_{1}+ ⋯ + h_{s}f_{s} pro vhodné polynomy h.

Důkaz: Ve skutečnosti se jedná o tvrzení ekvivalentní předchozímu lemmatu. Uvažme g ∈ I(V(S)), tj. g se nuluje ve všech bodech variety V(S), a předpokládejme S = ⟨f_{1}, …, f_{s}⟩. Definujeme

S̃ = ⟨f_{1}, …, f_{s}, 1 − yg⟩ ⊂ 𝕂[x_{1}, …, x_{n}, y].

Z předpokladů plyne V(S̃) = ∅. Skutečně, pro bod (a_{1}, …, a_{n}, a_{n+1} ) ∈ 𝕂^{n+1} píšme a := (a_{1}, …, a_{n}) a je buď f_{1}(a) = ⋯ = f_{s}(a) = 0, a tedy i g(a) = 0, a proto 1 − a_{n+1} g(a) = 1 ≠ 0, nebo je 1 − a_{n+1} g(a) = 0. Pak ale není a ∈ V(S), nutně je proto nějaký z polynomů f_{1}, …, f_{s} v a nenulový. Podle Slabé věty o nulách je nyní S̃ = 𝕂[x_{1}, …, x_{n}, y], což znamená, že 1 ∈ S̃. Odtud

1 = h_{1}f − 1 + ⋯ + h_{s}f_{s} + h_{s+1} (1 − yg).

Nyní v podílovém tělese 𝕂(x_{1}, …, x_{n}, y) můžeme dosadit y = \frac{1}{g}, tj.

1 = h_{1}(x_{1}, …, x_{n}, \frac{1}{g})f_{1}(x_{1}, …, x_{n}) + ⋯ + h_{s}(x_{1}, …, x_{n}, \frac{1}{g})f_{s}(x_{1}, …, x_{n}) + 0.

Vynásobením vhodnou mocninou g získáme rovnost v 𝕂[x_{1}, …, x_{m}] tvaru

g^{m} = h′_{1}f_{1} + ⋯ + h′_{s}f_{s}.
□

4.12 Důsledek. Pro algebraicky uzavřená pole je korespondence V ↔ I(V) bijekce mezi varietami a radikálovými ideály.

Důkaz: Víme že I(V(S)) je vždy radikálový ideál a podle Hilbertovy věty o nulách je to ten nejmenší, který obsahuje S. Navíc V = W právě, když I(V) = I(W).

□ 4.13 Důsledek. Polynom f ∈ ℂ[x_{1}, …, x_{n}] nemá ve svém rozkladu na nerozložitelné polynomy faktory s mocninou vyšší než 1 právě, když ⟨f⟩ je radikálový. Zejména pak pro g ∈ I(V(f)) je g = fh pro vhodné h. Důkaz: Předpokládejme f = g^{2}h a g je nerozložitelné. Pak g^{2}h^{2} = fh ∈ ⟨f⟩, tj. i (gh)^{2} ∈ ⟨f⟩. Polynom gh do tohoto idálu jistě nepatří, protože gh nelze napsat jako násobek f. Proto ⟨f⟩ není radikálový ideál. Tím jsme dokázali, že pokud ⟨f⟩ je radikálový, pak f neobsahuje kvadráty.

Předpokládejme naopak, že f = f_{1} … f_{r} je rozklad na nerozložitelné a všechny f_{i}, i = 1, …, r, jsou různé polynomy stupně alespoň 1. Nechť g^{m} ∈ ⟨f⟩, tj. g^{m} = fh pro vhodné h. Nechť g = g_{1} … g_{k}, h = h_{1}, …, h_{s} jsou rozklady na nerozložitelné faktory. Tedy g^{m} = g_{1}^{m}g_{2}^{m} … g_{k}^{m} = f_{1} … f_{r}h_{1} … h_{s}. Všechny f_{1}, …, f_{r} jsou různé, proto musí být i mezi g_{1}, …, g_{k}. Nechť jsou to g_{1}, …, g_{r}, tzn.

g^{m} = f^{m}g_{r+1}^{m} … g_{k}^{m} = fh_{1} … h_{s}.

Zejména f^{m−1}g_{r+1}^{m} … g_{k}^{m} = h_{1} … h_{s}. Potom g_{r+1} , …, g_{k} jsou mezi h_{1}, …, h_{s} a odtud (nechť jsou to opět ty první)

g = g_{1} … g_{r}g_{r+1} … g_{k} = f_{1} … f_{r}h_{1} … h_{k−r} = fh′.

Tím jsme dokázali, že radikálový ideál \sqrt{⟨f⟩} = ⟨f⟩. Druhá polovina tvrzení plyne z Hilbertovi věty o nulách. □ 4.14 Věta. Varieta V = V(S) je nerozložitelná právě, když I(V) je prvoideál. Důkaz: ţ⇒� Předpokládejme, že f, g ∉ I(V) a fg ∈ I(V) pro dva nekonstantní polynomy f, g. Množiny W_{1} = V(f) ∩ V a W_{2} = V(g) ∩ V jsou opět variety. Ukážeme, že tyto variety jsou vlastní podvariety. Existuje b ∈ V s vlastností f(b) ≠ 0, odtud b ∉ V(f) a proto W_{1} ≠ V. Je to tedy vlastní podvarieta. Podobně W_{2} ≠ V. Přitom ale pro a ∈ V je f(a)g(a) = 0, tj. buď a ∈ W_{1}, nebo a ∈ W_{2}. Odtud plyne, že V = W_{1}∪W_{2} je rozložitelná varieta.

ţ⇐� Předpokládejme, že V je rozložitelná, tj. V = W_{1} ∪ W_{2}, kde W_{1} ⊆ V, W_{2} ⊆ V, W_{1} ≠ V, W_{2} ≠ V jsou vlastní podvariety. Odtud plyne, že I(W_{1}) ⊃ I(V) a I(W_{2}) ⊃ I(V) jsou ostře větší ideály. Proto existují polynomy f, g takové, že f ∉ I(V), f ∈ I(W_{1}) a g ∉ I(V), g ∈ I(W_{2}). Přitom platí fg ∈ I(W_{1} ∪ W_{2}) = I(V), tzn. I(V) není prvoideál. □ 4.15 Věta. Každá varieta V ⊆ 𝕂^{n} je sjednocením takových nerozložitelných variet V_{1}, …, V_{k}, že neplatí V_{i} ⊂ V_{j} pro jakákoliv různá i, j a variety V_{1}, …, V_{k} jsou určeny jednoznačně, až na pořadí. Důkaz: Nejprve sporem ukážeme, že existuje nějaký rozklad. Předpokládejme tedy, že pro danou varietu V neexistuje žádný rozklad požadovaných vlastností. Pak nutně V = V_{1} ∪ V_{2} pro dvě vlastní podvariety (jinak by se jednalo o rozklad s jediným objektem). Dále alespoň jedna z nich se dá opět rozložit, píšeme V_{1} = V_{11} ∪ V_{12} nebo V_{2} = V_{21} ∪ V_{22}. Induktivně můžeme pokračovat dále a tento proces se nikdy nezastaví (jinak bychom měli požadovaný rozklad). Tzn., že jsme získali posloupnost

V = W_{0} ⊇ W_{1} ⊇ W_{2} ⊇ ⋯ ⊇ W_{k} ⊇ …

kde všechny inkluze jsou ostré. Pro příslušné asociované ideály tím dostaneme neklesající posloupnost

I(V) = I(W_{0}) ⊂ I(W_{1}) ⊂ ⋯ ⊂ I(W_{k}) ⊂ …

která se nikdy nestabilizuje, ale to je spor s tvrzením Hilbertovy věty o bázi. Proto při předchozí konstrukci postupných rozkladů nutně dojdeme do stavu, kdy všechny variety V_{ij} budou nerozložitelné a pokud je některá z nich obsažena v jiné, prostě ji vynecháme.

Nyní jednoznačnost. Předpokládejme, že V = W_{1} ∪ ⋯ ∪ W_{l} = V_{1} ∪ ⋯ ∪ V_{k} jsou dva takové rozklady. Chceme dokázat, že jsou až na pořadí stejné. Platí W_{1} = (W_{1} ∩ V_{1}) ∪ (W_{1} ∩ ∪_{i=2}^{k} V_{i}). Proto, pokud W_{1} není pod V_{1}, je W_{1} ⊂ ∪_{i=2}^{k} V_{i}, protože je W_{1} nerozložitelné. Podobně, pokud W_{1} není obsaženo v V_{1} ∪ ⋯ ∪ V_{s}, pak W_{1} ⊂ ∪_{i=s+1}^{k} V_{i}. Celkem tedy vidíme, že vždy existuje nějaké j takové, že W_{1} ⊂ V_{j}. Podobně pro všechny ostatní W_{2}, …, W_{k} a také naopak pro inkluze V_{i} ⊂ W_{j}. Celkem jsme tedy ověřili, že V_{i} ⊂ W_{k_{i}} ⊂ V_{j_{i}}. To je ale možné jen pro V_{j_{i}} = V_{i}, tj. V_{i} ⊂ W_{k_{i}} ⊂ V_{i}, a všude musí nastat rovnost, tedy V_{i} = W_{k_{i}} = V_{i}. Stejně pro komponenty W_{j}. □ 4.16 Poznámka. Každý prvoideál I je radikálový ideál. Je-li totiž g^{m} ∈ I, pak buď g^{m−1} nebo g je v I, tj. po konečně mnoha krocích ověříme g ∈ I. Proto je V(S) nerozložitelná varieta, kdykoliv je S prvoideál v algebraicky uzavřeném 𝕂. 4.17 Příklad.

1. V = V(y − x^{2}, z − x^{3}) ⊂ ℂ^{3} je tzv. tvistovaná kubika. Ukážeme, že ideál S = ⟨y − x^{2}, z − x^{3}⟩ je prvoideál. Definujme homomorfismus okruhů φ předpisem

φ : ℂ[x, y, z] → ℂ[t], x ↦ t, y ↦ t^{2}, z ↦ t^{3}.

Nyní, je-li φ(fg) = φ(f)φ(g) = 0, pak buď φ(f), nebo φ(g) je nulový polynom. Stačí tedy ukázat, že S je jádro homomorfismu φ. Pak totiž bude platit, že při fg ∈ S je φ(fg) = 0 a proto buď φ(f) nebo φ(g) je 0 v ℂ[t], tzn. buď f nebo g patří do S. Každé f ∈ S lze vyjádřit jako f = h_{1}(y − x^{2}) + h_{2}(z − x^{3}), proto φ(f) = 0. Odtud S ⊂ kerφ. Z tvaru generátorů S plyne, že každý polynom h ∈ ℂ[x, y, x] lze vyjádřit ve tvaru

h = h_{1}(y − x^{2}) + h_{2}(z − x^{3}) + r, r ∈ ℂ[x].

Odtud již vyplývá, že kerφ = S a je tedy S prvoideál. Zejména je tvistovaná kubika nerozložitelná.

2. Pro plochy v ℂ^{3} a křivky v ℂ^{2} je situace jednodušší. Jsou zadané polynomem f = f_{1}^{k_{1}} … f_{r}^{k_{r}} = 0 a ⟨f⟩ je prvoideál právě, když rozklad má jen jeden faktor v první mocnině. Přitom jsme již dokázali, že ⟨f⟩ = \sqrt{⟨f⟩} právě, když f je redukovaná rovnice nadplochy.

3. Uvažme další křivku v ℂ^{3} zadanou ideálem S = ⟨y^{2} − xz, z^{2} − y^{3}⟩. Zdá se, že stejná varieta by měla být zadaná také ideálem ⟨y^{2} − xz, z^{2} − xyz⟩. Snadný výpočet ukazuje, že dokonce i tyto ideály jsou si rovny:

z^{2} − xyz = (z^{2} − y^{3}) + y(y^{2} − xz)
z^{2} − y^{3} = (z^{2} − xyz) − y(y^{2} − xz)

Je tedy V(S) = V(y^{2} − x^{2}, z(z − xy). Snadná úvaha nyní dává, že ve skutečnosti je V(S) = V(y^{2} − xz, z) ∪ V(y^{2} − xz, z − xy).

První z komponent, V_{1} = V(y^{2} − xz, z) = V(y^{2}, z) = V(y, z), je nerozložitelná varieta, protože ⟨y, z⟩ obsahuje právě polynomy v ℂ[x][y, z] bez absolutních členů a v součinu fg bez absolutních členů musí jistě mít tuto vlastnost buď f nebo g, je to tedy jistě prvoideál. Je vidět, že jde o všechny body na ose x.

Druhá komponenta je V_{2} = V(y^{2} − xz, z − xy). Všimněme si, že y^{2} − xz = (y^{2} − x^{2}y) − x(z − xy), tzn. V_{2} = V(y(y − x^{2}), z − xy) = V(y, z − xy) ∪ V(y − x^{2}, z − xy). První z těchto komponent už nemusíme znovu uvažovat, zbývá V′_{2} = V(y − x^{2}, z − xy) což je varieta z prvního příkladu. (Je totiž z − x^{3} = (z − xy) + x(y − x^{2}).) Celkem jsme získali rozklad uvažované variety na dvě komponenty, tvistovanou kubiku V′ a body na ose x. Všimněme si, že osa x se přitom v našem rozkladu vyskytuje ţdvakrát�. 4.18 Definice. Pro libovolný polynom f ∈ 𝕂[x_{1}, …, x_{n}] definujeme jeho lineární část v bodě p = (p_{1}, …, p_{n}) ∈ 𝕂^{n} jako polynom

D_{p}^{1}f = \frac{∂f}{∂x^{1}}(p)(x_{1} − p_{1}) + ⋯ + \frac{∂f}{∂x^{n}} (p)(x_{n} − p_{n}).

Tečný prostor k varietě V v bodě p ∈ V je varieta T_{p}V = V(⟨D_{p}^{1}f; f ∈ I(V)⟩). 4.19 Věta.

1. Tečný prostor k varietě V v libovolném bodě p ∈ V ⊂ 𝕂^{n} je afinní podprostor v 𝕂^{n}.

2. Je-li I(V) = ⟨f_{1}, …, f_{s}⟩, pak T_{p}V = V(D_{p}^{1}f_{1}, …, D_{p}^{1}f_{s}). Důkaz: Stačí dokázat pouze druhé tvrzení, protože pak je vidět, že T_{p}V je množina všech řešení systému lineárních rovnic.

Spočtěme D_{p}^{1}(hf) pro součin. Podle definice to je

\frac{∂(hf)}{∂x_{1}}(p)(x_{1} − p_{1}) + ⋯ = (\frac{∂h}{∂x_{1}}(p)f(p) + h(p)\frac{∂f}{∂x_{1}}(p))(x_{1} − p_{1}) + …

Protože p je bod variety, pro každý polynom h = h_{1}f_{1} + ⋯ + h_{s}f_{s} ∈ I(V) dostaneme D_{p}^{1}h = h_{1}(p)D_{p}^{1}f_{1} + ⋯ + h_{s}(p)D_{p}^{1}f_{s}. Pro libovolný polynom h v asociovaném ideálu je tedy D_{p}^{1}(h) lineární kombinací D_{p}^{1}(f_{1}), … D_{p}^{1}(f_{s}). Proto D_{p}^{1}h ∈ ⟨D_{p}^{1}f_{1}, …, D_{p}^{1}f_{s}⟩ a věta je dokázaná. □ 4.20 Věta. Nechť L je přímka v 𝕂^{n} zadaná parametricky, L : p + tv, a V ⊂ 𝕂^{n} varieta. Pak L ⊂ T_{p}V, p ∈ V, právě, když pro každé f ∈ I(V) je hodnota t = 0 kořenem polynomu f(p + tv) ∈ 𝕂[t] s násobností alespoň 2. Důkaz: Označme g(t) = f(p + tv) ∈ 𝕂[t]. Skalár t = 0 je kořen s násobností alespoň 2 právě, když je i kořenem derivace g′(t). Spočteme

g′(0) = \frac{∂f}{∂x^{1}}(p)v_{1} + \frac{∂f}{∂x^{2}}(p)v_{2} + ⋯ + \frac{∂}{∂x^{n}} (p)v_{n} = D_{p}^{1}f(p + v)

kde v = (v_{1}, …, v_{n}). Odtud plyne, že g′(0) = 0 právě, když v ∈ T_{p}V. To nastane právě, když L ⊂ T_{p}V. □

4.21 Důsledek. Pro nadplochu V ⊂ 𝕂^{n} s redukovanou rovnicí V = V(f) je T_{p}V = V(D_{p}^{1}f). Přitom, je-li f = f_{1} … f_{r} rozklad na nerozložitelné faktory a V_{i} = V(f_{i}) jsou příslušné komponenty, pak pro v ∈ V_{i} je dimT_{p}V = n − 1 právě, když D_{p}^{1}f_{i} ≠ 0 a dimT_{p}V_{i} = n v opačném případě. Dále, dimT_{p}V = dimT_{p}V_{i} právě, když p ∉ V_{i} ∩ V_{j} pro nějaká i ≠ j.

4.22 Příklad. Uvažme polynom f = (x^{2} + y^{2} − 1)(x − 1), tj. V(f) je sjednocení jednotkové kružnice a její tečny v bodě p = (1, 0). Ideál I = ⟨f⟩ je radikálový, protože f je redukované. Platí

D_{p}^{1}f = (2x^{2} − 2x + x^{2} + y^{2} − 1) |_{(1,0)} (x − 1) + (2y(x − 1) |_{(1,0)} (y) = 0 + 0.

V tomto bodě tedy bude každá jím procházející přímka v T_{p}V. Ve všech ostatní budou tečné prostory jednorozměrné (tečny k příslušným křivkám).

4.23 Definice. Pro nerozložitelnou varietu V definujeme její dimenzi vztahem

dimV = min{dimT_{p}V, p ∈ V }.

Obecně, pro varietu V a bod p ∈ V definujeme dimenzi V v bodě p,

dim_{p}V = max{dimenze komponent do nichž p patří}.

Dimenze variety V je pak maximum dimenzí v bodech p ∈ V. Body ve kterých je dimV = dimT_{p}V jsou regulární , ostatní nazýváme singulární.

Zaveďme nyní přesně pojem parametricky zadané variety.

4.24 Definice. Racionální parametrickou reprezentací variety V(f_{1}, …, f_{r}) ⊆ 𝕂^{n} rozumíme racionální funkce r_{1}, …, r_{n} ∈ k(t_{1}, …, t_{s}) splňující následující podmínky

• Je-li x_{i} = r_{i}(t_{1}, …, t_{n}) pro i = 1, 2, …, n, pak (x_{1}, …, x_{n}) ∈ V(f_{1}, …, f_{r}) pro libovolná t_{1}, …, t_{s}.

• V(f_{1}, …, f_{r}) je minimální afinní varieta obsahující takto dané body (x_{1}, …, x_{n}). Pokud jsou všechny r_{i} polynomy v 𝕂[t_{1}, …, t_{s}], pak hovoříme o polynomiální parametrizaci.

4.25 Věta. Nechť V ⊆ 𝕂^{n} je afinní varieta zadaná parametricky ve tvaru x_{1} = g_{1}(t_{1}, …, t_{m}), …, x_{n} = g_{n}(t_{1}, …, t_{m}), kde g_{i} ∈ 𝕂(t_{1}, …, t_{m}). Pak V je nerozložitelná.

Důkaz: Provedeme nejprve důkaz pro polynomiální parametrizace, tj. g_{i} ∈ 𝕂[t_{1}, …, t_{m}], kdy je celkem snadný.

Uvažme zobrazení φ : 𝕂^{m} → 𝕂^{n}, (t_{1}, …, t_{m}) ↦ (g_{1}(t_{1}, …, t_{m}), …, g_{n}(t_{1}, …, t_{m})). Pak I(V) = I(φ(𝕂^{n})). Je tedy f ∈ I(V) právě, když f ∘ φ = 0 jako polynom v 𝕂[t_{1}, …, t_{m}]. Chceme ukázat, že asociovaný ideál je prvoideál, předpokládejme tedy, že fh ∈ I(V). Pak (fh) ∘ φ = (f ∘ φ) · (h ∘ φ) = 0, jako polynom v 𝕂[t_{1}, …, t_{m}]. Proto buď f ∘ φ nebo h ∘ φ je nula.

Obecný případ vyžaduje o trochu složitější postup. Nechť h_{1}, …, h_{n} jsou jmenovatelé racionálních funkcí z parametrizace a předpokládejme, že nejsou všechny konstantní.

Označme W = V(h_{1}, …, h_{n}) varietu nulových bodů alespoň jednoho polynomu h_{i}. Nyní můžeme definovat φ : 𝕂^{m}\W → 𝕂^{n}, φ(t_{1}, …, t_{m}) = (g_{1}(t_{1}, …, t_{m}), …) a opět platí I(V) = I(φ(𝕂^{m} \ W)). Uvažme fh ∈ I(V), tj. (f ∘ φ) · (h ∘ φ) = 0, kde poslední rovnost chápeme v podílovém tělese. Jeden z nich musí tedy být nulový prvek podílového tělesa.

Nechť f∘φ = 0, tj. f(\frac{r_{1}}{h_{1}}, …, \frac{r_{n}}{h_{n}}) = 0 na 𝕂^{m}\W. Tzn. do obyčejného polynomu dosazujeme podíly nějakých polynomů. Existuje přitom k takové, že součin (h_{1} … h_{n})^{k}(f∘φ) je již obyčejný polynom v 𝕂[t_{1}, …, t_{m}]. Pak ovšem také (h_{1} … h_{n})^{k}(f ∘ φ) = 0 v 𝕂[t_{1}, …, t_{n}] a hodnoty tohoto polynomu na 𝕂^{m} \ W, což je otevřená podmnožina, jsou nulové. Proto je tento polynom identicky nulový všude, je proto identicky nulové i f ∘φ a to jsme potřebovali ukázat. □

4.26 Příklad.

1. Uvažme varietu zadanou parametricky

x = t(u^{2} − t^{2}), y = u, z = u^{2} − t^{2}

Jde o varietu vyobrazenou na titulní straně textů. Přesvědčit se o tom můžeme eliminací proměnných t, u z rovnic.

x = tz, z = y^{2} − t^{2}
x^{2} = t^{2}z^{2} = (y^{2} − z)z^{2} = y^{2}z^{2} − z^{3}

Dostali jsme tedy skutečně varietu V(x^{2} − y^{2}z^{2} + z^{3}). Podle předchozí věty je nerozložitelná. Tečné prostory k této varietě jsme počítali již v úvodní kapitole.

2. Tvistovaná kubika je dána V(y−x^{2}, z−x^{2}) a její parametrizace je vidět okamžitě: x = t, y = t^{2}, z = t^{3}. Znovu jsme tedy ukázali, že ⟨y − x^{2}, z − x^{3}⟩ je pvoideál, tentokrát daleko jednodušeji. Každý prvoidál je radikálový, proto pro tečné prostory dostáváme

T_{p}V = V(D_{p}^{1}(y − x^{2}), D_{p}^{1}(z − x^{3})).

Označíme-li p = (p_{x}, p_{y}, p_{z}), dostaneme

T_{p}V = V(−2p_{x}(x − p_{x}) + (y − p_{y}), −3p_{x}^{2}(x − p_{x}) + (z − p_{z})).

Např. pro p = (1, 1, 1) je tečný prostor přímka V(−2(x−1)+(y−1), −3(x−1)+(z−1)). 3. Varieta V(x^{2} − y^{2}z) je zadána parametricky

x = uv, y = v, z = u^{2}

je tedy nerozložitelná. Pro libovolný bod tvaru p = (0, 0, α) je tečný prostor T_{p}V = V(0) = 𝕂^{3}. Jsou tedy všechny body na ose z singulární.

Bez důkazu uvedeme obecnou větu o rozkladu variet na komponenty. Pro speciální případ nadploch je ale důkaz již snadný, zkuste si sami!

4.27 Věta. Nechť V ⊂ 𝕂^{n} je afinní varieta a označme Σ = {p ∈ V; p je singulární bod} 1. Σ je afinní varieta obsažená ve V.

2. Pro p ∈ Σ je dim(T_{p}V) > dim_{p}V.

3. Σ neobsahuje žádnou nerozložitelnou komponentu V.

4. Jsou-li V_{i}, V_{j} různé nerozložitelné komponenty V, pak V_{i} ∩ V_{j} ⊆ Σ. 4.28 Poznámka. Každou s-tici polynomů (f_{1}, …, f_{s}) můžeme chápat jako zobrazení φ = (f_{1}, …, f_{s}) : 𝕂^{n} → 𝕂^{s}. Vlastnosti tohoto zobrazení ve společném nulovém bodě p ∈ 𝕂^{n} jistě budou vypovídat i něco o chování variety V(f_{1}, …, f_{s}) v okolí bodu p. Z analýzy je známo, že ţlineární část chování� je zachycena tzv. Jacobiho maticí

J(f_{1}, …, f_{s})(p) = ( \begin{matrix}\frac{∂}{∂x_{1}}f_{1} & … & \frac{∂}{∂x_{n}} f_{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \frac{∂}{∂x_{1}}f_{s} & … & \frac{∂}{∂x_{n}} f_{s} \end{matrix} ) (p)

Determinant této matice se nazývá Jacobián příslušného zobrazení v bodě p. Hodnost J(f_{1}, …, f_{s})(p) ≤ min(n, s). Předpokládejme, že hodnost je rovna s, zejména je tedy s ≤ n. Pak (jak je známo z analýzy) je varieta V(f_{1}, …, f_{s}) = φ^{−1}(0) lokálně grafem jistého zobrazení 𝕂^{n−s} → 𝕂^{n} (tzv. věta o implicitní funkci). Zejména tedy v tomto případě jistě bude bod p regulárním bodem variety.

Samozřejmě, naopak tvrzení neplatí. Např. f = (x^{2} − y)^{2} zadává parabolu, všechny body jsou regulární, Jacobiho matice ale bude pro všechny bdy na parabole nulová. 4.29 Definice. Uvažme polynom f ∈ 𝕂[x_{1}, …, x_{n}] stupně d a bod p ∈ 𝕂^{n}. Taylorův rozvoj f v bodě p dává

f(x) = f(p) + D_{p}^{1}f(x − p) + ⋯ + \frac{1}{k!}D_{p}^{k}f(x − p) + ⋯ + \frac{1}{d!}D_{p}^{d}f(x − p)

kde D_{p}^{k}f = ∑_{|α|=k} \frac{∂^{|α|}f}{∂x^{α}} (p)(x − p)^{α}, viz. tzv. multiindexovou symboliku zavedenou v 3.2. Homogenní polynom D_{p}^{k}f, který je buď stupně k nebo nulový, nazýváme k-lineární část f v bodě p. Definujeme D_{p}^{min}f jako první nenulovou homomgenní část f v p. Pro každý nenulový polynom f je jeho první nenulová část dobře definovaná v každém bodě p ∈ 𝕂^{n}, pro body mimo V(f) je to konstanta f(p).

Tečný kužel variety V = V(f_{1}, …, f_{s}) v bodě p ∈ V definujeme vztahem

C_{p}(V) = V(D_{p}^{min}f; f ∈ I(V)).

Tečný kužel je podle definice průnik variet ∩_{f∈I(V)}V(D_{p}^{min}f). 4.30 Věta. Nechť V = V(f) je nadplocha a I(V) = ⟨g⟩. Pak C_{p}(V) = V(D_{p}^{min}g). Je-li 𝕂 = ℂ, pak navíc také C_{p}(V) = V(D_{p}^{min}f). Důkaz: Polynomy z I(V) = ⟨g⟩ jsou násobky g. Spočítáme pro libovolný polynom h minimální nenulovou část D_{p}^{min}(hg). Dostaneme

D_{p}^{k}(hg) = ∑_{|α|=k} \frac{∂^{|α|}}{∂x^{α}} (hg)(p)(x − p)^{α}

= ∑_{|α|=k} ( ∑_{β+γ=α} (\frac{∂^{|β|}}{∂x^{β}} h)(\frac{∂^{|γ|}}{∂x^{γ}} g)(p))(x − p)^{α}

Označme minimální stupně k′ pro g, k′′ pro g. Je-li k < k′ + k′′, pak buď \frac{∂^{|β|}}{∂x^{β}} h nebo \frac{∂^{|γ|}}{∂x^{γ}} g je nulové. Proto dostaneme minimální nenulovou část pro k = k′ + k′′, tzn.

D_{p}^{min}(hg) = ( ∑_{|β|=k′} (\frac{∂^{|β|}}{∂x^{β}} h)(p)(x − p)^{β}) · ( ∑_{|γ|=k′′} (\frac{∂^{|γ|}}{∂x^{γ}} g)(p)(x − p)^{γ})
= (D_{p}^{min}h)(D_{p}^{min}g)

Odtud plyne, že pro hg ∈ I(V) je V(D_{p}^{min}(hg)) ⊇ V(D_{p}^{min}g).

Předpokládejme navíc, že 𝕂 = ℂ. Spočteme, že ideály ⟨f⟩ a I(V) budou dávat tentýž kužel (ale s násobností). Máme h ∈ I(V) právě, když h^{m} ∈ ⟨f⟩ pro vhodné m. Podle předchozího výpočtu je D_{p}^{min}(h^{m}) = (D_{p}^{min}h)^{m} a proto V(D_{p}^{min}h) = V(D_{p}^{min}h^{m}) ⊇ V(D_{p}f) plyne z předchozí části důkazu. □

4.31 Příklad. Pro variety větších kodimenzí je bohužel situace daleko složitější. Vezměme křivku V = V(xy, xz + z(y^{2} − z^{2})) ⊆ ℂ^{3}. Lze spočítat, že ⟨xy, xz + z(y^{2} − z^{2})⟩ je radikálový ideál. Mohli bychom doufat, že C_{0}(V) = V(xz, xz), uvidíme však, že to není pravda. Uvažme f = y(xz + z(y^{2} − z^{2})) − z(xy) = zy(y^{2} − z^{2}) ∈ I(V). Polynom D_{f}^{min} = zy(y^{2} − z^{2}) není nulový v bodech roviny x = 0, která je celá obsažena v V(xz, xz)! Tečný kužel proto musí ve skutečnosti být daleko menší.

Následující věta říká, že tečný kužel v libovolném bodě je vyplněn právě všemi limitními stavy sečen tímto bodem procházejících. O sečnách L_{k} procházejících bodem p přitom řekneme, že konvergují k přímce L : p + tv, jestliže existují směrové vektory v_{k}, v_{k} → v, takové, že L_{k} = p + tv_{k}). 4.32 Věta. Nechť V je afinní varieta v ℂ^{n}. Přímka L : p+tv leží celá v C_{p}V právě když existuje posloupnost bodů q_{k} ∈ V, q_{k} ≠ p konvergujících k p takových, že L_{k} : p+t(q_{k}p) konverguje k L. Důkaz: Napřed ukážeme, že pro body q_{k} ∈ V, q_{k} → p, konvergují sečny k přímce v C_{p}V. Zvolíme p = 0 (bez újmy na obecnosti můžeme provést posunutí do počátku). Předpokládejme, že L_{k} : p + t(q_{k} − p) = tq_{k} konverguje k přímce L : p + tv = tv. Tzn. existuje v_{k} → v, q_{k} = t_{k}v_{k}. Zjevně t_{k} → 0. Nechť f ∈ I(V), tj. f ≡ 0 na V. Dále nechť k je minimální číslo takové, že D_{0}^{k}f ≠ 0. Tzn. f = D_{0}^{k}f + ⋯ + D_{0}^{d}f, kde d je stupeň f. Nyní

0 = f(t_{l}v_{l}) = t_{l}^{k}D_{0}^{k}f(v_{l}) + t_{l}^{k+1} D_{0}^{k+1} f(v_{l}) + ⋯ + t_{l}^{d}D_{0}^{d}f(v_{l})
0 = D_{0}^{k}f(v_{l}) + t_{l}D_{0}^{k+1} f(v_{l}) + …

Limitním přechodem l → ∞, tj. t_{l} → 0, dostaneme D_{0}^{k}f(v) = 0. To ale znamená, že přímka L je obsažena v tečném kuželi C_{0}V, což jsme chtěli dokázat.

Opačný směr je nepříjemnější. V podstatě se jedná o diskuzi, jaká je nejmenší varieta obsahující všechny limity sečen. Provádí se v ℂ[t, x_{1}, …, x_{n}]. Detaily vynecháme. □

4.33 Věta. Nechť p ∈ V ⊂ ℂ^{n}. Pak dim_{p} V = dimC_{p}V.

Důkaz: Pro nadplochy plyne z definice, obecný důkaz vynecháme □ 4.34 Důsledek. Nechť p ∈ V ⊂ ℂ^{n}. Následující podmínky jsou ekvivalentní.

1. p je regulární bod

2. dimℂ_{p}(V) = dimT_{p}V

3. C_{p}V = T_{p}V

5 Projektivní variety

Připomeňme, že projektivní prostor ℙ_{n}(𝕂) je množina jednorozměrných podprostorů (a_{0} : a_{1} : ⋯: a_{n}) v 𝕂^{n+1} . 5.1 Definice. Homogenní polynom stupně k v 𝕂[x_{0}, …, x_{n}] je takový polynom, jehož všechny monomy mají stupeň k. Tj. f = ∑_{|α|=k} c_{α}x^{α}. Každý f ∈ 𝕂[x_{0}, …, x_{n}] je jednoznačně vyjádřen jako součet homogenních komponent f = ∑_{i=1}^{k} f_{(i)}, kde f_{(i)} je homogenní polynom stupně i, i = 0, …, k.

Ideál I ⊂ 𝕂[x_{0}, …, x_{n}] je homogenní, jestliže pro každý polynom f ∈ I jsou i všechny jeho homogenní komponenty v I. 5.2 Lemma. Nechť f ∈ 𝕂[x_{0}, …, x_{n}] je libovolný polynom a f(x) = 0 pro všechny homogenní souřadnice x = (x_{0} : x_{1} : ⋯: x_{n}) jistého bodu p ∈ ℙ_{n}(𝕂). Pak všechny homogenní komponenty polynomu f splňují f_{(i)}(x) = 0. Důkaz: Nechť je f = ∑_{i=0}^{k} f_{(i)}. Platí f_{(i)}(λx) = λ^{i}f(x). Je-li f(λx) = 0 pro všechny hodnoty λ, pak 0 = f(λx) = ∑_{i=0}^{k} f_{(i)}(x)λ^{i} je identicky nulový polynom, musí tedy mít nulové všechny koeficienty. Právě to jsme měli dokázat. □ 5.3 Poznámka. Pro množinu S ⊂ ℙ_{n}(𝕂) definujeme

I(S) = {f ∈ 𝕂[x_{0}, …, x_{n}], f(x) = 0 pro všechny homogenní souřadnice bodů vS}

Zjevně je I(S) ideál a z předchozího lemmatu plyne, že I(S) je homogenní ideál. Nabízí se definovat ţnejmenší varietu� obsahující S jako množinu všech bodů v ℙ_{n}(𝕂), jejichž homogenní souřadnice jsou nenulovými body všech f ∈ I(S). Následující věta ukazuje, že homogenní ideály jsou generovány konečně mnoha homgenními polynomy. To nám umožní použít explicitnější definici. 5.4 Věta. Ideál I ⊂ 𝕂[x_{0}, …, x_{n}] je homogenní ideál, právě když existují homogenní polynomy f_{1}, …, f_{s} ∈ 𝕂[x_{0}, …, x_{n}] takové, že I = ⟨f_{1}, …, f_{s}⟩. Důkaz: Uvažme dva polynomy f = ∑_{i=0}^{k} f_{(i)}, g = ∑_{j=0}^{l} g_{(j)}. Pak

(f + g) = ∑_{q=0}^{max(k,l)}(f_{(q)} + g_{(q)})

(fg) = ∑_{q=0}^{k+l}( ∑_{i+j=q} f_{(i)}g_{(i)})

Z Hilbertovy věty o bázi plyne, že I = ⟨f_{1}, …, f_{s}⟩ pro vhodné generátory f_{i} = ∑_{j} f_{i(j)}. Protože I je homogenní ideál, jsou f_{i(j)} ∈ I (z definice). Dále f_{i} leží v ideálu generovaném f_{i(j)}, tzn. I = ⟨f_{i(j)}⟩.

Předpokládejme naopak, že I = ⟨f_{1}, …, f_{s}⟩ s homogenními polynomy f_{i} ∈ I. Nechť f = h_{1}f_{1} + ⋯ + h_{s}f_{s} a nechť f = ∑_{j=0}^{k} f_{(j)}. Pak f_{(k)} se vyjádří jako součet (některých) nejvyšších homogenních komponent h_{i}f_{i}. Ty jsou ale součiny f_{i} s nejvyššími komponentami h_{i}. Odtud f_{(k)} ∈ I. Nyní f −f_{(k)} ∈ I a nejvyšší homogenní komponenta f −f_{(k)} opět leží v I. Po konečném počtu kroků všechny f_{(j)} ∈ I. □ 5.5 Definice. Projektivní varieta V ⊂ ℙ_{n}(𝕂) je množina zadaná homogenními polynomy f_{1}, …, f_{s} ∈ 𝕂[x_{0}, …, x_{n}],

V = V(f_{1}…. , f_{s}) = {(a_{0} : ⋯: a_{n}) ∈ ℙ_{n}(𝕂) ; f_{i}(a_{0}, …, a_{n}) = 0 ; i = 1, …, s)}

Projektivní varieta se nazývá nerozložitelná , jestliže ji nelze vyjádřit jako sjednocení V = V_{1} ∪ V_{2} dvou projektivních variet takových , že V_{i} ⊈ V_{j}, i ≠ j. 5.6 Věta. Pro každé nekonečné pole 𝕂 zadávají přiřazení V ↦ I(V), I ↦ V(I) korespondence

{ projektivní variety} ⇌ { homogenní ideály}

a platí V(I(V)) = V. Zejména V = W právě, když I(V) = I(W). Důkaz: Úplně stejný jako v afinním případě. □ 5.7 Věta. Každou projektivní varietu lze jednoznačně (až na pořadí) vyjádřit jako sjednocení nerozložitelných variet V = V_{1} ∪ ⋯ ∪ V_{k}, V_{i} ⊈ V_{j} pro všechny i ≠ j. Důkaz: Stejně jako v afinním případě, získáme pro V klesající řetězec V = V_{0} ⊇ V_{1} ⊇ V_{2} ⊇ … projektivních variet. Odtud I(V_{0}) ⊆ I(V_{1}) ⊆ … je rostoucí řetězec homogenních ideálů. Proto existuje N takové, že I(V_{N}) = I(V_{N+1} ) = . . .. Pro získaný rozklad se pak analogicky k afinnímu případu odvodí jednoznačnost. □ 5.8 Poznámka. Projektivní prostor jsme vyjádřili jako ℙ_{n}(𝕂) ≅ U_{0} ∪ ℙ_{n−1}(𝕂), kde U_{0} je afinní rovina 𝕂^{n} a o jednu dimenzi menší projektivní prostor ℙ_{n−1}(𝕂) hraje roli bodů v nekonečnu. Přesněji, U_{0} = {p = (x_{0} : ⋯: x_{n}); x_{0} ≠ 0}, p ≅ (1, x_{1}, …, x_{n}) ≅ (x_{1}, …, x_{n}), a podobně můžeme do ℙ_{n}(𝕂) vložit afinní roviny U_{i} = {p = (x_{0} : ⋯: x_{n}); x_{i} ≠ 0}. Pro varietu V ⊂ ℙ_{n}(𝕂), V = V(f_{1}, … f_{s}), definujeme její ţafinní část v U_{i}� jako V_{af} = V ∩ U_{i}. Rádi bychom také naopak uměli k varietě V_{af} ⊂ U_{0} najít odpovídající projektivní varietu V. 5.9 Věta. Nechť V = V(f_{1}, …, f_{s}) ⊂ ℙ_{n}(𝕂) je projektivní varieta. Definujeme g_{i} ∈ 𝕂[x_{1}, …, x_{n}], g_{i}(x_{1}, …, x_{n}) = f_{i}(1, x_{1}, …, x_{n}), i = 1, …, s. Pak V_{af} = V ∪ U_{0} = V(g_{1}, …, g_{s}) ⊂ 𝕂_{n}. Důkaz: Je-li (1 : a_{1} : ⋯: a_{n}) ∈ V ∩ U_{0}, pak f_{i}(1, a_{1}, …, a_{n}) = g_{i}(a_{1}, …, a_{n}) = 0. Tím je dokázáno, že V_{af} ⊂ V(g_{1}, …, g_{s}). Naopak, je-li g_{i}(a_{1}, …, a_{n}) = 0, i = 1, …, s, pak f_{i}(1, a_{1}, …, a_{n}) = g_{i}(a_{1}, …, a_{n}) = 0, tj. (1 : a_{1} : ⋯: a_{n}) ∈ V ∩ U_{0}. □ 5.10 Definice. Nechť I ⊂ 𝕂[x_{1}, …, x_{n}] je ideál. Homogenizací ideálu I je ideál

I^{h} = ⟨f^{h}; f ∈ I⟩ ⊂ 𝕂[x_{0}, …, x_{n}]

kde f^{h} je tzv. homogenizace polynomu f = ∑_{i=0}^{k} f_{(i)}, daná vztahem

f^{h}(x_{0}, …, x_{h}) = ∑_{i=0}^{k}f_{(i)}(x_{0}, …, x_{n})x_{0}^{k−i} = x_{0}^{k}f(\frac{x_{1}}{x_{0}}, …, \frac{x_{n}}{x_{0}}).

Projektivní rozšíření afinní variety V = V(f_{1}, …, f_{s}) ⊂ 𝕂^{n} ≅ U_{0} ⊂ ℙ_{n}(𝕂) definujeme jako projektivní varietu V((I(V))^{h}).

5.11 Věta. Nechť V je nadplocha v 𝕂^{n} zadaná redukovanou rovnicí f = 0. Potom projektivním rozšířením variety V je V(f^{h}).

Důkaz: Nadplocha V je zadána hlavním ideálem ⟨f⟩, který je radikálový, proto je také asociovaný ideál I = I(V) = ⟨f⟩. Z formule pro homogenizaci polynomu ihned plyne, že homogenizace součinu dvou polynomů je součin jejich homogenizací. Pak ovšem libovolný prvek g homogenizovaného ideálu I^{h} je nutně opět násobkem f^{h}. Odtud vyplývá dokazované tvrzení. □

5.12 Příklad. Tvistovaná kubika W = V(x_{2} − x_{1}^{2}, x_{3} − x_{1}^{3}) (parametricky je zadaná x_{1} = t, x_{2} = t^{2}, x_{3} = t^{3}). Homogenizací generátorů f = x_{2} − x_{1}^{2}, g = x_{3} − x_{1}^{2}, získáme polynomy f^{h} = x_{0}x_{2} − x_{1}^{2}, g^{h} = x_{0}^{2}x_{3} − x_{1}^{3}.

Uvažme varietu V = V(x_{0}x_{2}−x_{1}^{2}, x_{0}^{2}x_{3}−x_{1}^{3}). Její průnik s projektivní rovinou bodů v nekonečnu je V ∩ H = V(x_{0}x_{2} − x_{1}^{2}, x_{0}^{2}x_{3} − x_{1}^{3}, x_{0}) = V(x_{1}, x_{0}), což je celá projektivní přímka. Dá se proto tušit, že varieta V je zbytečně příliš veliká.

Skutečně, má také V′ = V(x_{2}x_{0} − x_{1}^{2}, x_{0}^{2}x_{3} − x_{1}^{3}, x_{1}x_{3} − x_{2}^{2}) afinní část v U_{0} rovnu W. Přitom V′ ∩ H = V(x_{2}x_{0} − x_{1}^{2}, x_{0}^{2}x_{3} − x_{1}^{3}, x_{1}x_{3} − x_{2}^{2}, x_{0}) = V(x_{1}, x_{0}, x_{2}), tzn. v ţnekonečnu� přibyl jediný bod (0 : 0 : 0 : 1). To odpovídá daleko lépe intuitivní představě o rozšíření křivky o body v nekonečnu.

Přitom si všimněme, že I = ⟨x_{2} − x_{1}^{2}, x_{3} − x_{1}^{3}⟩ je prvoideál, tedy zejména radikálový ideál, stačí proto uvažovat homogenizovaný ideál I^{h}. To však neznamená, že stačí zhomogenizovat libovolné generátory. V našem případě jsme museli přidat polynom, který je v I, je homogenní, ale není v ⟨f^{h}, g^{h}⟩.

5.13 Příklad. Graf reálné funkce y = x^{3} − x je varieta W = V(y − x^{3} + x) jejíž projektivní rozříšení je podle předchozí věty V = V(z^{2}y − x^{3} + z^{2}x) ⊂ ℝ^{3}. Její body v projektivní rovině H bodů v nekonečnu spočteme přidáním rovnice z = 0, tj. vyjde jediný bod (0 : 1 : 0) ∈ H ∩ V.

Pro polynom g = z^{2}y − x^{3} + z^{2}x řešme soustavu rovnic

g = 0, \frac{∂g}{∂x} = 0, \frac{∂g}{∂y} = 0, \frac{∂g}{∂z} = 0

Řešením je jediný bod (0 : 1 : 0) ∈ ℙ_{2}(ℝ), což znamená, že nevlastní bod je jediným singulárním bodem křivky. Podívejme se jak se chová naše křivka v okolí svého jediného singulárního bodu. Stačí zvolit jiné vložení afinní roviny do projektivní roviny, např. uvažujme body s nenulovou y-ovou souřadnicí. Tzn. dosadíme y = 1 do g, označme nově vzniklý polynom h = z^{2} − x^{3} + xz. Původně nekonečný bod nyní přejde na bod (0, 0) a snadno přepočítáme, že první derivace h jsou v tomto bodě nulové. Nemá proto smysl počítat tečnu, můžeme se ale zajímat o tečný kužel v singulárním bodě (0, 0). Spočteme D_{(0,0)}^{2}h = z^{2}, je tedy tečným kuželem dvojnásobná tečna z = 0. Prohlédněte si situaci na obrázku 15.

Bez důkazu uvedu obecnou větu popisující vztah mezi původní afinní varietou a jejím projektivním rozšířením.

Obr. 14: Graf funkce y = x^{3} − x a chování v okolí nevlastního singulárního bodu (0 : 1 : 0). Všimněte si, že tři nulové hodnoty původní funkce se ocitají na projektivní přímce nevlastních bodů, proto se křivka vpravo zdá na první pohled nesouvislá.

5.14 Věta. Nechť W ⊂ 𝕂^{n} je afinní varieta a nechť V = V((I(V))^{h}) je její projektivní rozšíření. Potom

1. V_{af} = V ∩ U_{0} = W

2. V je nejmenší afinní varieta v ℙ_{n}(𝕂) taková, že její afinní část V_{af} = W

3. Žádná komponenta projektivního rozšíření V neleží celá v projektivní nadrovině nevlastních bodů H = V(x_{0})

4. Je-li W nerozložitelná, potom je i V nerozložitelná.

5.15 Poznámka. Je-li 𝕂 = ℂ (a stejně pro libovolné algebraicky uzavřené pole), pak není třeba znát asociovaný ideál I(W) pro nalezení projektivního rozšíření. Je-li totiž W = V(I), pak přímo platí V = V(I^{h}). Důvodem je platnost Hilbertovy věty o nulách a skutečnost, že homogenizace součinu polynomů je součin jejich homogenizací.

Bohužel, pro obecná pole to neplatí. Např. I = ⟨x^{2}+y^{4}⟩ ⊂ ℝ^{2} dává V(I) = {(0, 0)}, ale I^{h} = ⟨z^{2}x^{2} + y^{4}⟩ zadává varietu {(0 : 0 : 1), (1 : 0 : 0)}. Přitom samozřejmě je nejmenší varieta v ℙ_{2}(ℝ) obsahující jediný bod {(0 : 0 : 1)} zase tento jediný bod. Když přitom vezmeme celý asociovaný ideál ⟨x, y⟩, dostaneme správný výsledek.

5.16 Příklad. Zkoumejme křivku zadanou polynomem f = y^{2} − x^{3} + 6x^{2} − 9x. Jeho homogenizace je g = zy^{2} − x^{3} + 6zx^{2} − 9z^{2}x. Snadno spočteme, že jediný singulární bod projektivního rozšíření je bod (3 : 0 : 1) s tečným kuželem y ± \sqrt{3}(x − \sqrt{3}z) = 0. Dehomogenizací dosazením y = 1 dostaneme polynom h = z − x^{3} + 6zx^{2} − 9z^{2}x a jím zadaná afinní varieta je bez singulárních bodů. všimněme si ještě, že jediný nekonečný bod projektivního rozšíření naší křivky má homogenní souřadnice (0 : 1 : 0), tj. přechází na bod (0, 0) ∈ V(h). Tento bod je sice regulární, tečna v něm je ale přímka y = 0, je to tedy právě přímka nevlastních bodů původní afinní roviny. Proto naše původní křivka V(f) nemá asymptoty.

Obr. 15: Ilustrace příkladu 5.16, vlevo V(y^{2} − x^{3} + 6x^{2} − 9x), vpravo V(z − x^{3} + 6zx^{2} − 9z^{2}x)

Nyní se podívejme podrobněji na nejjednodušší nadplochy. Po projektivních nadrovinách (zadaných jedním lineárním homogenním polynomem), jsou nejjednodušší tzv. kvadriky, zadané homomogenním polynomem stupně 2. Připomeňme, že dvě podmnožiny S_{1}, S_{2} ⊂ ℙ_{n}(𝕂) jsou projektivně ekvivalentní, jestliže existuje kolineace φ zobrazující bijektivně S_{1} na S_{2}.

5.17 Lemma. Nechť A ∈ 𝔾L(n + 1, 𝕂) je matice kolineace φ na ℙ_{n}(𝕂). Pak pro každou varietu V = V(f_{1}, …, f_{s}) ⊂ ℙ_{n}(𝕂) je φ(V) projektivně ekvivalentní varieta V(g_{1}, …, g_{s}) zadaná polynomy

g_{i}(x_{0}, …, x_{n}) = f_{i}(b_{00}x_{0} + b_{01}x_{1} + ⋯ + b_{0n}x_{n}, …, b_{n0}x_{0} + ⋯ + b_{nn}x_{n})

kde B = (b_{ij}) = A^{−1}. Všechny g_{i} jsou homogenní polynomy stejných stupňů jako f_{i}.

Důkaz: Stačí si uvědomit, že kolineace φ působí prostřednictvím násobení homogenních souřadnic maticí A. Pro y = φ(x) získáme hodnoty g_{i}(y) tak, že vezmeme f_{i} a vyčíslíme je v B(Ax), tzn. f_{i}(B(Ax)) = f_{i}(x), ale to je právě když x ∈ V. □

5.18 Lemma. Všechny projektivní podprostory stejné dimenze k v ℙ_{n}(𝕂) jsou projektivně ekvivalentní.

Důkaz: V libovolných projektivních souřadnicích je takový prostor dán n−k nezávislými lineárními rovnicemi. Proto ve vhodných souřadnicích je každý k-rozměrný podprostor zadán rovnicemi x_{1} = ⋯ = x_{n−k} = 0. □

5.19 Definice. Nadplochy V = V(f) ⊂ ℙ_{n}(𝕂) zadané kvadratickým homogenním polynomem se nazývají (hyper-) kvadriky . Kvadriky bez singulárních bodů se nazývají regulární , ostatní jsou singulární .

Každý homogenní kvadratický polynom je v homogenních souřadnicích zadán výrazem f(x) = ∑_{i,j=0}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j} = x^{T} Ax kde A = (a_{ij}) je symetrická matice stupně n + 1.

5.20 Kanonické formy. Z elementární lineární algebry víme, že ve vhodné bázi má kvadratická forma (tj. náš homogenní polynom) f diagonální matici, tj.

f(x) = c_{0}x_{0}^{2} + c_{1}x_{1}^{2} + ⋯ + c_{k}x_{k}^{2}, c_{i} ≠ 0,

kde číslo k + 1 ≤ n + 1 se nazývá hodnost formy f.

Navíc při 𝕂 = ℂ lze dosáhnout, aby všechny nenulové c_{i} byly rovny jedné, tj. f(x) = x_{0}^{2} + ⋯ + x_{k}^{2} kde k + 1 je hodnost formy. Je-li 𝕂 = ℝ, pak dosáhneme pouze f(x) = x_{0}^{2} + ⋯ + x_{r}^{2} − x_{r+1}^{2} − ⋯ − x_{k}^{2} a číslo 0 ≤ r + 1 ≤ k + 1 se nazývá signatura formy f.

Např. formy x_{2}^{2} − x_{1}x_{0} a x_{2}^{2} − x_{1}x_{2} − x_{0}^{2}, které vzniknou homogenizací rovnic pro parabolu a hyperbolu, vyjádříme postupnou změnou souřadnic takto

x_{2}^{2} − x_{1}x_{0} = −(y_{1} − y_{0})(y_{1} + y_{0}) + y_{2}^{2}
= −y_{1}^{2} + y_{0}^{2} + y_{2}^{2}
x_{2}^{2} − x_{1}x_{2} − x_{0}^{2} = (x_{2} − \frac{1}{2}x_{1})^{2} − \frac{1}{4}x_{1}^{2} − x_{0}^{2}
= z_{1}^{2} − z_{2}^{2} − z_{0}^{2}

a je vidět že obě křivky jsou jistě projektivně ekvivalentní.

Hodnost a signatura zřejmě nezávisí na volbě homogenních souřadnic, můžeme proto hovořit o hodnosti a signatuře kvadrik. Protože f a −f zadávají stejnou varietu, budeme pro kvadriky vždy předpokládat k − r ≤ r.

5.21 Věta. Kvadriky V(f), V(g) v ℙ_{n}(𝕂) jsou projektivně ekvivalentní právě, když • 𝕂 = ℂ a mají stejnou hodnost

• 𝕂 = ℝ a mají stejnou hodnost i signaturu.

Důkaz: Elementární lineární algebra □

5.22 Důsledek. Regulární kvadriky jsou právě kvadriky hodnosti n+1 .

5.23 Důsledek. Všechny komplexní regulární kvadriky jsou projektivně ekvivalentní.

5.24 Segreho zobrazení. Definujme zobrazení σ : ℙ_{n}(𝕂) × ℙ_{m}(𝕂) → ℙ_{n+m+nm} (𝕂) předpisem

((x_{0}, …, x_{n}), (y_{0}, …, y_{m})) ↦ (x_{0}y_{0}, x_{0}y_{1}, …, x_{0}y_{m}, x_{1}y_{0}, …, x_{1}y_{m}, …, x_{n}y_{m})

Použijeme-li jiné homogenní souřadnice týchž bodů, obraz se změní jen o násobek, je tedy naše zobrazení skutečně dobře definované. Ukážeme, že je prosté.

Předpokládejme σ(p, q) = σ(p′, q′). Pak jistě existují homogenní souřadnice, pro které už definiční předpis pro σ má stejné hodnoty. Zejména je x_{0}(y_{0}, …, y_{m}) = x′_{0}(y′_{0}, …, y′_{m}), tj . buď q = q′ nebo x_{0} = x′_{0} = 0. Pokud q ≠ q′, pak stejný argument dá postupně x_{0} = x_{1} = ⋯ = x_{n} = 0, to je ale ve sporu s naším předpokladem, že (x_{0} : …, x_{n}) jsou homogenní souřadnice bodu v ℙ_{n}(𝕂). Analogicky se dokáže i p = p′.

Zúžením na vnořené afinní roviny x_{0} = 0, y_{0} = 0 dostaneme zobrazení 𝕂^{n} × 𝕂^{m} → 𝕂^{n+m+nm} ,

((1 : x_{1} : ⋯: x_{n}), (1 : y_{1} : ⋯: y_{m})) ↦
↦ ((1 : y_{1} : ⋯: y_{m} : x_{1} : x_{1}y_{1} : ⋯: x_{1}y_{m} : x_{2} : ⋯: x_{n}y_{m})
≅ (x_{1}, …, x_{n}, y_{1}, …, y_{m}, x_{1}y_{1}, …, x_{1}y_{m}, …, x_{n}y_{m})

Nejjednodušší případ je σ_{1,1} : ℙ_{1}(𝕂) × ℙ_{1}(𝕂) → ℙ_{3}(𝕂). 5.25 Lemma. Obrazem Imσ_{1,1} je varieta V(z_{0}z_{3} − z_{1}z_{2}). Důkaz: Zobrazení σ je dáno vztahem ((x_{0} : x_{1}), (y_{0} : y_{1})) ↦ (x_{0}y_{0} : x_{0}y_{1} : x_{1}y_{0} : x_{1}y_{1}), pro body (z_{0} : z_{1} : z_{2} : z_{3}) obrazu máme tedy rovnice

z_{0} = x_{0}y_{0}, z_{1} = x_{0}y_{1}, z_{2} = x_{1}y_{0}, z_{3} = x_{1}y_{1}

Jistě proto Imσ ⊂ V(z_{0}z_{3} − z_{1}z_{2}). Předpokládejme (w_{0} : w_{1} : w_{2} : w_{3}) ∈ V. Pro určitost předpokládejme, že třeba w_{0} ≠ 0 (jinak můžeme proměnné přečíslovat). Pak (w_{0} : w_{2}) ∈ ℙ_{1}(K) a (w_{0} : w_{1}) ∈ ℙ_{1}(𝕂). Nyní

σ(w_{0} : w_{2} : w_{0} : w_{1}) = (w_{0}^{2} : w_{0}w_{1} : w_{2}w_{0} : w_{2}w_{1})
= (w_{0}^{2} : w_{0}w_{1} : w_{0}w_{2} : w_{0}w_{3}) = (w_{0} : w_{1} : w_{2} : w_{3})
□

V závěru této kapitoly se zmíníme o speciálních konstrukcích variet vyšších dimenzí, které jsou ţposkládány� z projektivních podprostorů v jistém smyslu podobným způsobem, jako je jednodílný rotační hyperboloid vyplněn přímkami. 5.26 Přímkové plochy. Dosazením pevného bodu p ∈ ℙ_{1}(𝕂) dostaneme σ(p, ) : ℙ_{1}(𝕂) → ℙ_{3}(𝕂), případně σ( , p) : ℙ_{1}(𝕂) → ℙ_{3}(𝕂). Pro pevné p = (a : b) je v prvém případě obrazem projektivní přímka procházející body (a : 0 : b : 0) a (0 : a : 0 : b), ve druhém případě přímka procházející (a : b : 0 : 0) a (0 : 0 : a : b). Obrazem σ je tedy plocha získaná sjednocením sítě přímek. Takovým plochám se říká přímkové plochy.

Celkem jsme zjistili, že regulání kvadrika V(z_{0}z_{3} − z_{1}z_{2}) v ℙ_{3}(ℂ) je prostřednictvím Segreho zobrazení ztotožněna s ℙ_{1}(𝕂) × ℙ_{1}(𝕂) a toto zobrazení je dáno sítí přímek. Všimněme si, že tato varieta také obsahuje body tvistované kubiky (1 : t : t^{2} : t^{3}).

Další speciální případ je σ_{2,1} : ℙ_{2}(𝕂)×ℙ_{1}(𝕂) → ℙ_{5}(𝕂). Obraz tohoto zobrazení opět vyplňuje projektivní varietu. Označme (z_{00}, z_{01}, z_{10}, z_{11}, z_{20}, z_{21}) souřadnice v ℙ_{5}(𝕂), tj. Segreho zobrazení má rovnice z_{ij} = x_{i}y_{j}. Obraz σ je varieta zadaná všemi minory stupně 2 v matici

( \begin{matrix}z_{00} & z_{01} \\ z_{10} & z_{11} \\ z_{02} & z_{21} \end{matrix} )

tj. Imσ = V(z_{00}z_{11} − z_{10}z_{01}, z_{00}z_{21} − z_{20}z_{01}, z_{10}z_{21} − z_{20}z_{11}).

Dosadíme-li z_{00} = 1, dostáváme afinní část této variety V(z_{11} − z_{10}z_{01}, z_{21} − z_{20}z_{01}), protože zbylá rovnice z_{10}z_{21} − z_{20}z_{11} je důsledkem předchozích. Afinní varieta zadaná rovnicemi z_{11} = z_{10}z_{01}, z_{21} = z_{20}z_{21} je vyplněna ţ sítí přímek a rovin�.

Podobně lze získat popis v obecných dimenzích.

5.27 Plűckerovy souřadnice. Z technických důvodů je vhodné, aby co nejvíce běžných objektů v algebraické geometrii mělo strukturu variety. Množina všech bodů ℙ_{n}(K) je varieta V(0), nadroviny odpovídají bodům duálního projektivního prostoru. V ℙ_{3}(𝕂) tedy mezi lineárními podprostory zbývá popsat množinu všech projektivních přímek v ℙ_{3}(𝕂) jako algebraickou varietu. Každá přímka je dána dvojicí různých bodů p = (a_{0} : a_{1} : a_{2} : a_{3}), q = (b_{0} : b_{1} : b_{2} : b_{3}) v ℙ_{3}(𝕂), tj. jejich všechny homogenní souřadnice vyplňují rovinu v 𝕂^{4}. Dvě volby takových bodů (p, q) a (p′, q′) jsou svázány lineárními závislostmi. V každém případě ale na takové volbě nebudou záviset hodnoty minorů stupně 2 v matici

( \begin{matrix}a_{0} & a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{0} & b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} )

Proto daným bodům p a q přiřaďme všechny determinanty submatic řádu 2. Označme si tyto souřadnice postupně w_{01}, w_{02}, w_{03}, w_{12}, w_{13}, w_{23} (tj. např w_{01} = a_{0}b_{1} − a_{1}b_{0}). Získané hodnoty jsou dány libovolnými homogenními souřadnicemi bodů p, q až na násobek, máme proto dobře definovaný bod

w = (w_{01} : w_{02} : w_{03} : w_{12} : w_{13} : w_{23}) ∈ ℙ_{5}(𝕂).

5.28 Věta. Výše popsané zobrazení (p, q) ↦ w je bijekce

{přímky v ℙ_{3}(𝕂)} → V(z_{01}z_{23} − z_{02}z_{13} + z_{03}z_{12})

Důkaz: Uvažujme body p = (a_{0} : a_{1} : a_{2} : a_{3}) a q = (b_{0} : b_{1} : b_{2} : b_{3}) a označme L(p, q) přímku jimi určenou.

z_{01}z_{23} = (a_{0}b_{1} − b_{0}a_{1})(a_{2}b_{3} − b_{2}a_{3})
= a_{0}b_{1}a_{2}b_{3} − a_{0}b_{1}b_{2}a_{3} − b_{0}a_{1}a_{2}b_{3} + b_{0}a_{1}b_{2}a_{3}
−z_{02}z_{13} = −(a_{0}b_{2} − b_{0}a_{2})(a_{1}b_{3} − b_{1}a_{3})
= −a_{0}b_{2}a_{1}b_{3} + a_{0}b_{2}b_{1}a_{3} + b_{0}a_{2}a_{1}b_{3} − b_{0}a_{2}b_{1}a_{3}
z_{03}z_{12} = (a_{0}b_{3} − b_{0}a_{3})(a_{1}b_{2} − b_{1}a_{2})
= a_{0}b_{3}a_{1}b_{2} − a_{0}b_{3}b_{1}a_{2} − b_{0}a_{3}a_{1}b_{2} + b_{0}a_{3}b_{1}a_{2}

Pro w = w(L(p, q)) = (w_{01} : w_{02} : w_{03} : w_{12} : w_{13} : w_{23}) spočteme

b_{0}p − a_{0}q = (0, −w_{01}, −w_{02}, −w_{03}) ∈ L(p, q)
b_{1}p − a_{1}q = (w_{01}, 0, −w_{12}, −w_{13}) ∈ L(p, q)
b_{2}p − a_{2}q = (w_{02}, w_{12}, 0, −w_{23}) ∈ L(p, q)
b_{3}p − a_{3}q = (w_{03}, w_{13}, w_{23}, 0) ∈ L(p, q)

vše za předpokladu, že jsou příslušné body nenulové. Dokážeme nyní, že w je prosté. Nechť tedy body (p′, q′) zadávají stejný bod w′ s homogenními souřadnicemi w′_{ij}, tzn. w_{ij} = λw′_{ij} pro jistý nenulový skalár λ. Pro určitost předpokládejme, že w_{01} ≠ 0. Potom (0 : −w_{01} : −w_{02} : −w_{03}) a (w_{01} : 0 : −w_{12} : −w_{13}) patří do obou přímek, jsou tedy obě přímky totožné.

Nechť dále w = (w_{01} : w_{02} : w_{03} : w_{12} : w_{13} : w_{23}) ∈ V(z_{01}z_{23} − z_{02}z_{13} + z_{03}z_{12}). Předpokládejme opět w_{01} ≠ 0 a uvažme p = (0 : −w_{01} : −w_{02} : −w_{03}), q = (w_{01} : 0 : −w_{12} : −w_{13}). Potom w(L(p, q)) = (w_{01}^{2} : w_{01}w_{02} : w_{01}w_{03} : w_{01}w_{12} : w_{01}w_{13} : w_{02}w_{13} − w_{12}w_{03} = w_{01}w_{23}), což je původně zadaný bod. Je tedy naše zobrazení také surjektivní. □

5.29 Definice. Plűckerovy souřadnice projektivních přímek jsou souřadnice obrazu těchto přímek v ℙ_{5}(𝕂) v právě zavedeném zobrazení.

6 Homogenní polynomy

V této části je R vždy obor integrity s jednoznačným rozkladem.

6.1 Věta. Je-li R obor integrity s jednoznačným rozkladem a f ∈ ℝ[x_{1}, …, x_{n}] je homogenní polynom, pak i každý člen f_{i} (jednoznačného) rozkladu f = f_{1} … f_{s} na (nerozložitelné) faktory je homogenní.

Důkaz: Předpokládejme, že f = gh a g = g^{(i)}+g^{(i+1)} +⋯+g^{(l)}, h = h^{(j)}+h^{(j+1)} +⋯+ h^{(k)}, jsou rozklady na homogenní komponenty, g^{(i)} ≠ 0, g^{(l)} ≠ 0, h^{(j)} ≠ 0, h^{(k)} ≠= 0. Rozklad součinu na homogenní části je f = g^{(i)}h^{(j)} + ⋯ + g^{(l)}h^{(k)}. Je-li f homogenní, je i + j = l + k, a z nerovností l ≥ i, k ≥ j proto plyne i = l, j = k. Tedy g a h jsou homogenní. □

6.2 Věta. Nechť f ∈ ℝ[x_{1}, …, x_{n}] a g ∈ ℝ[x_{1}, …, x_{m}] je jeho homogenizace.

1. Jsou-li f = f_{1} … f_{s} a g = g_{1} … g_{r} rozklady na nerozložitelné faktory, pak s = r a všechny g_{i} jsou homogenizací faktorů f_{i} (po případné permutaci indexů).

2. f je nerozložitelný právě, když je jeho homogenizace g nerozložitelná.

Důkaz: Dokážeme napřed druhé tvrzení. Předpokládejme, že f je rozložitelný, tzn. f = f_{1}f_{2} . . .. Protože ze vztahu pro homogenizaci ihned plyne, že homogenizace součinu je součinem homogenizací činitelů, je samozřejmě g = f^{h} = f_{1}^{h}f_{2}^{h} . . .. Je-li naopak g = g_{1}g_{2} … a

f = g(1, x_{1}, …, x_{n}) = g_{1}(1, x_{1}, …, x_{n})g_{2}(1, x_{1}, …, x_{n})

přičemž komponenty g_{i} jsou nenulového stupně v proměnných x_{1}, …, x_{n}, pak zjevně je f rozložitelné. Složením předchozích dvou úvah dostáváme požadovanou ekvivalenci.

Nyní již víme, že

f(x_{1}, …, x_{n}) = g(1, x_{1}, …, x_{n}) = g_{1}(1, x_{1}, …, x_{n})g_{2}(1, x_{1}, …, x_{n}) … g_{r}(1, x_{1}, …, x_{n})

a z jednoznačnosti rozkladu plyne (po případném přečíslování faktorů)

f_{1}(x_{1}, …, x_{n}) = g_{1}(1, x_{1}, …, x_{n}), …, f_{r}(x_{1}, …, x_{n}) = g_{r}(1, x_{1}, …, x_{n}).

Proto jsou g_{i} homogenizací f_{i}. Přitom je g_{i} nerozložitelný právě, když je g_{i}(1, x_{1}, …, x_{n}) rovněž nerozložitelný. □

6.3 Věta (Eulerova). Homogenní polynom f ∈ ℝ[x_{1}, …, x_{n}] stupně k splňuje pro všechny 1 ≤ s ≤ k

∑_{|α|=s} x^{α} \frac{∂^{|α|}f}{∂x^{α}} = k(k − 1) … (k − s + 1)f

Důkaz: Pro homogení polynony stupně k platí f(tx_{1}, tx_{2}, …, tx_{n}) = t^{k}f(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}). Obě strany derivujme s-krát podle t.

L(s) = \frac{∂^{s}}{∂t^{s}} f(tx_{1}, …, tx_{n})
P (s) = \frac{∂^{s}}{∂t^{s}} t^{k}f(x_{1}, …, x_{n})
= k(k − 1) … (k − s + 1)t^{k−s}f(x_{1}, …, x_{n})
L(1) = ∑ \frac{∂f}{∂x_{i}} (tx_{1}, …, tx_{n})x_{i}
L(2) = ∑_{i,j} \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}x_{j}} (tx_{1}, …, tx_{n})x_{i}x_{j}
⋮

Provedeme-li derivaci levé strany s-krát, pak po dosazení t = 1 dostaneme požadovanou rovnost. □ 6.4 Definice. Nechť f, g ∈ R[x], f = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{0}, a_{n} ≠ 0, g = b_{m}x^{m}+…, b_{0}, b_{m} ≠ 0. Následující matice s m+n řádky a sloupci se nazývá Sylvestrova matice, označujeme ji Syl(f, g).

( \begin{matrix}a_{n} & a_{n−1} & a_{n−2} & … & a_{0} & 0 & … & … & 0 \\ 0 & a_{n} & a_{n−1} & … & a_{1} & a_{0} & … & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & … & 0 & a_{n} & a_{n−1} & a_{n−2} & … & a_{0} \\ b_{m} & b_{m−1} & b_{m−2} & … & b_{0} & … & … & … & 0 \\ 0 & b_{m} & b_{m−1} & … & b_{1} & b_{0} & … & … & … \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & … & … & … & 0 & b_{m} & … & … & b_{0} \end{matrix} )

Determinant této matice se nazývá resultant f a g, označujeme ho jako Res(f, g). 6.5 Poznámka. Přímo z definice plyne Res(f, g) = (−1)^{nm} Res(g, f) 6.6 Lemma. Nechť 𝕂 je pole, f, g ∈ 𝕂[x] polynomy stupňů m a n, n, m > 0. Polynomy f, g mají společný faktor (tj. f = hf_{1}, g = hg_{1}, kde h ∈ 𝕂[x] je nekonstantní polynom) právě, když existují polynomy A, B ∈ 𝕂[x] takové, že platí

1. Af + Bg = 0

2. A ≠ 0, B ≠ 0

3. degA < m = degg, degB < n = degf ( zde degA je stupeň polynomu A).

Důkaz: Napřed směr ţ⇒�. Nechť f = hf_{1}, g = hg_{1}. Je-li degh ≥ 1, pak lze volit A = g_{1}, B = −f_{1}. Potom Af + Bg = g_{1}hf_{1} + (−f_{1})g_{1}h = 0, přičemž degA = deg_{1} < degg, degB = degf_{1}1 < degf a součastně g_{1} ≠ 0, f_{1} ≠ 0.

Směr ţ⇐� dokážeme sporem. Nechť polynomy A, B daných vlastností existují, ale f a g nemají společný faktor. Největší společný dělitel f, g je tedy konstantní polynom 1. Podle Bezoutovy rovnosti (Lemma 3.11) pak existují polynomy Ã, B̃ takové, že Ãf + B̃g = 1. Protože Af = −Bg, platí

A = AÃf + AB̃g = (AB̃ − ÃB)g.

Přitom polynom v závorce je nenulový, což je ve sporu s předpokladem degA < degg.

□

6.7 Věta. Nekonstantní polynomy f, g ∈ 𝕂[x] mají společný faktor právě, když

Res(f, g) = 0.

Důkaz: Podle předchozího lemmatu mají f, g společný faktor právě, když existují A, B splňující 6.6.(1)-(3). Pišme

f = a_{n}x^{n} + ⋯ + a_{0}, g = b_{m}x^{m} + ⋯ + b_{0}.

Hledáme tedy polynomy A, B ve tvaru

A = c_{m−1}x^{m−1} + ⋯ + c_{0}, B = d_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + d_{0}

kde alespoň jedno c_{i} a d_{j} jsou nenulové. V rovnosti Af+Bg = 0 porovnáme koeficienty u jednotlivých mocnin x. Tím dostaneme soustavu rovnic pro neznámé c_{m−1}, c_{m−2}, …, c_{0}, d_{n−1}, …, d_{0}.

x^{n+m−1} : a_{n}c_{m−1} + b_{m}d_{n−1} = 0
x^{n+m−2} : a_{n}c_{m−2} + a_{n−1}c_{m−1} + b_{m}d_{n−2} + b_{m−1}d_{n−1} = 0
⋮
x^{0} : a_{0}c_{0} + b_{0}d_{0} = 0

Přepišme soustavu v maticovém tvaru K · L = M (všimněme si, že rovnic je m + n), kde

K = ( \begin{matrix}a_{n} & 0 & 0 & … & … & 0 & b_{m} & 0 & 0 & … & … & 0 \\ a_{n−1} & a_{n} & 0 & … & … & 0 & b_{m−1} & b_{m} & 0 & … & … & 0 \\ a_{n−2} & a_{n−1} & a_{n} & 0 & … & 0 & b_{m−2} & b_{m−1} & b_{m} & 0 & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & … & … & … & 0 & a_{0} & … & … & … & … & 0 & b_{0} \end{matrix} )

L^{T} = (c_{m−1}, c_{m−2}, …, c_{0}, d_{n−1}, d_{n−2}, …, d_{0})
M^{T} = (0, 0, 0, …, 0)

Matice K této soustavy je právě transponovaná Sylvestrova matice Syl(f, g)^{T}. Proto má tato homogenní soustava lineárních rovnic netriviální řešení právě, když Res(f, g) = det(Syl(f, g))^{T} = 0. □

6.8 Lemma. Nechť f, g ∈ 𝕂[x_{1}, …, x_{r}] a nechť mají kladný stupeň v x_{r}. Pak f a g mají společný faktor s kladným stupněm v proměnné x_{r} právě, když mají společný faktor v 𝕂(x_{1}, …, x_{r−1})[x_{r}].

Důkaz: Jeden směr implikace je zřejmý: jestliže mají f a g společný faktor v 𝕂[x_{1}, …, x_{r}], pak jej mají i v 𝕂(x_{1}, …, x_{r−1})[x_{r}].

Naopak předpokládejme, že f = h̃f̃_{1}, g = h̃g̃_{1}, kde h̃, g̃_{1}, f̃_{1} ∈ 𝕂(x_{1}, …, x_{r−1}[x_{r}], a pišme h̃ = \frac{h}{d}, f̃_{1} = \frac{f_{1}}{e}, g̃_{1} = \frac{g}{c}, kde h, f_{1}, g_{1} ∈ 𝕂[x_{1}, …, x_{r}] a c, e, d ∈ 𝕂[x_{1}, …, x_{r−1}]. (Pro ilustraci

h̃ = \frac{a_{n}}{b_{n}} x_{r}^{n} + \frac{a_{n−1}}{b_{n−1}}x_{r}^{n−1} + ⋯ = \frac{A_{n}x^{r} + A_{n−1}x^{r−1} + ⋯ + A_{0}}{b_{n}b_{n−1} … b_{0}}

kde a_{n}, b_{n} ∈ 𝕂[x_{1}, …, x_{r−1}].) Vynásobením dostáváme

def = hf_{1}, dcg = hd_{1}

přičemž h má kladný stupeň v x_{r}. Proto má h nějaký nerozložitelný faktor h_{1} s kladným stupněm v x_{r}. Nyní tedy def = h_{1}h_{2}f_{1}, tj. h_{1} dělí některého z činitelů def. Přitom de nezávisí na x_{r}, proto h_{1} dělí f. Obdobně z druhé rovnosti dlg = h_{1}h_{2}g_{1} získáme, že h_{1} dělí g. Tudíž h_{1} je společný faktor f a g s kladným stupněm v x_{r}. □

6.9 Definice. Nechť f, g ∈ 𝕂[x_{1}, …, x_{r}]. Potom můžeme f a g chápat jako prvky 𝕂(x_{1}, …, x_{r−1})[x_{r}] a definovat jejich resultant vzhledem k proměnné x_{r}

Res(f, g, x_{r}) = Res(f, g) ∈ 𝕂(x_{1}, … x_{r−1}).

6.10 Věta. Nechť f, g jsou polynomy v 𝕂[x_{1}, …, x_{r−1}][x_{r}] stupňů m a n. Potom 1. Res(f, g, x_{r}) ∈ 𝕂[x_{1}, …, x_{r−1}]

2. polynomy f a g mají společný faktor s kladným stupněm v proměnné x_{r} právě, když Res(f, g, x_{r}) = 0

3. existují nenulové polynomy A, B ∈ 𝕂[x_{1}, …, x_{r−1}] takové, že Res(f, g, x_{r}) = Af + Bg

Důkaz: Zvolme libovolné

f = a_{n}(x_{1}, …, x_{r−1})x_{r}^{n} + ⋯ + a_{0}(x_{1}, …, x_{r−1})
g = b_{m}(x_{1}, …, x_{r−1})x_{r}^{m} + ⋯ + b_{0}(x_{1}, …, x_{r−1})

kde a_{i}, b_{i} ∈ 𝕂[x_{1}, …, x_{r−1}], a_{n} ≠ 0, b_{m} ≠ 0. Polynomy f, g chápejme jako prvky 𝕂(x_{1}, …, x_{r−1}[x_{r}]. Potom použijeme větu 6.7 (to lze, protože 𝕂[x] v odkazovaném tvrzení je libovolné těleso, tedy zejména platí pro 𝕂(x_{1}, …, x_{r−1})[x_{r}]) a podle ní f a g mají společný faktor právě, když Res(f, g, x_{r}) ∈ 𝕂(x_{1}, …, x_{r−1}) je nulový. Podle lemmatu 6.8 mají f a g společný faktor v 𝕂(x_{1}, …, x_{r−1})[x_{r}] právě, když mají společný faktor v 𝕂[x_{1}, …, x_{r}] s kladným stupněm v x_{r}. Tím jsou dokázána první dvě tvrzení.

(3) Je-li resultant nulový, je tvrzení zřejmé. Nechť Res(f, g, x_{r}) ≠ 0, pak je to nenulový polynom v 𝕂[x_{1}, …, x_{r−1}]. Pak jistě lze najít Ã, B̃ ve tvaru:

Ã = c_{m−1}(x_{1}, …, x_{r−1})x_{r}^{m−1} + ⋯ + c_{0}(x_{1}, … x_{r−1})
B̃ = d_{n−1}(x_{1}, …, x_{r−1})x_{r}^{n−1} + ⋯ + d_{0}(x_{1}, … x_{r−1})

takové, aby byla splněna rovnice Ãf + B̃g = 1.

Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin x_{r} v předchozí rovnosti dostáváme

x^{n+m} : a_{n}c_{m−1} + b_{m}d_{n−1} = 0
x^{n+m−1} : a_{n−1}c_{m−1} + a_{n}c_{m−2} + b_{m−1}d_{n−1} + b_{m}d_{n−2} = 0
⋮
x_{0} : a_{0}c_{0} + b_{0}d_{0} = 1

V maticovém tvaru opět získáme rovnost

K.L = M

kde matice K a L jsou stejné jako v důkazu 6.7 a M^{T} = (0, …, 0, 1). Zejména je matice zhomogenizovaného systému opět právě Sylvestrova matice polynomů f a g.

Všechna a_{i}, b_{i}, c_{i}, d_{i} jsou prvky 𝕂[x_{1}, …, x_{r−1}] ⊂ 𝕂(x_{1}, …, x_{r−1}). Takže budeme opět řešit soustavu lineárních rovnic nad tělesem 𝕂(x_{1}, …, x_{r−1}) a vzhledem k předpokládané nenulovosti determinantu matice systému můžeme použít Cramerovo pravidlo. Připomeňme, že pro systém R · S = T s nenulovým detR

( \begin{matrix}r_{11} & r_{12} & … & r_{1n} \\ r_{21} & r_{22} & … & r_{2n} \\ ⋮ & ⋮ \\ r_{n1} & r_{n2} & … & r_{nn} \end{matrix} ) · ( x_{1} ; x_{2} ; ⋮ ; x_{n} ) = ( b_{1} ; b_{2} ; ⋮ ; b_{n} )

má (jednoznačně určené) řešení (x_{1}, …, x_{n})^{T} se souřadnicemi

x_{i} = | \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & b_{1} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & b_{2} & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n1} & a_{n2} & … & b_{n} & … & a_{nn} \end{matrix} |/ detR

kde zaměněný sloupec je na i-tém místě.

V našem případě získáváme

c_{m−1}(x_{1}, …, x_{r−1}) = \frac{| \begin{matrix}0 & 0 & … & 0 & b_{n} & 0 & … & 0 \\ 0 \\ ⋮ & ⋮ \\ 1 & … & … \end{matrix} |}{Res(f, g, x_{r})}

což je polynom v x_{1}, … x_{r−1}. Podobně dostaneme i ostatní koeficienty. Tedy

Ã = \frac{A(x_{1}, …, x_{r−1})}{Res(f, g, x_{r})}
B̃ = \frac{B(x_{1}, … x_{r−1})}{Res(f, g, x_{r})}

Nyní A, B jsou hledané polynomy, tj.

Af + Bg = Res(f, g, x_{r}).
□

6.11 Věta. Nechť f, g jsou homogenní polynomy v 𝕂[x_{0}, … x_{r}] mající stupně n, m > 0 v 𝕂[x_{0}, …, x_{r−1}][x_{r}] . Pak Res(f, g, x_{r}) je buď 0 nebo homogenní polynom stupně mn v 𝕂[x_{0}, … x_{r−1}][x_{r}]. Navíc, jestliže vznikly f, g homogenizací polynomů f̃, g̃ ∈ 𝕂[x_{1}, …, x_{r}], pak dehomogenizací resultantu Res(f, g, x_{r}) získáme Res(f̃, g̃, x_{r}). Důkaz: Dehomogenizace znamená

f̃(x_{1}, …, x_{r}) = f(1, x_{1}, …, x_{r})
g̃(x_{1}, …, x_{r}) = g(1, x_{1}, …, x_{r})

a chceme tedy ukázat, že

Res(f̃, g̃, x_{r}) = Res(f(1, x_{1}, …, x_{r}), g(1, x_{1}, …, x_{r}), x_{r}) = Res(f, g, x_{r})(1, x_{1}, …, x_{r}).

Dále chceme dokázat, že Res(f, g, x_{r}) je homogenní polynom vhodného stupně k (nebo nula), což je ekvivalentní vztahu

Res(f, g, x_{r})(tx_{0}, …, tx_{r−1}) = t^{k} Res(f, g, x_{r})(x_{0}, …, x_{r−1}).

Zbývá tedy pouze vypočíst

Res(f, g, x_{r})(tx_{0}, …, tx_{r−1}) = | a_{n}(tx_{0}, …, tx_{r−1}) a_{n−1}(tx_{0}, …, tx_{r−1}) …; ⋮ ; b_{m}(tx_{0}, …, tx_{r−1}) … |

Všechny koeficienty a_{i}, b_{j} jsou homogenní polynomy stupňů (n − i), (m − j). Můžeme proto vynásobit vhodně řádky mocninami t tak, abychom mohli vytýkat ze sloupců. K cíli vede násobení i-tého řádku s koeficienty a mocninou t^{i−1} a podobně j-tého řádku mocninou t^{j−1}. Dostáváme

| \begin{matrix}a_{n} & ta_{n−1} & t^{2}a_{n−2} & t^{3}a_{n−3} & … & t^{n}a_{0} & 0 & … & … & 0 \\ 0 & ta_{n} & t^{2}a_{n−1} & t^{3}a_{n−2} & … & … & t^{n+1} a_{0} & 0 & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ \\ … & … & & & & & & & & t^{n+m−1} a_{0} \\ b_{m} & tb_{m−1} & … & & & & t^{m}b_{0} & 0 & … & 0 \\ 0 & tb_{m} & … & & & & & t^{m+1} b_{0} & 0 … & 0 \\ ⋮ & & ⋮ \\ … & … & & & & & & & & t^{n+m−1} b_{0} \end{matrix} |

Po provedení úprav tak zíkáme vztah (stačí se přesvědčit, že platí \frac{(m+n−1)(m+n)}{2} − \frac{n(n−1)}{2} − \frac{m(m−1)}{2} = mn)

t^{\frac{(m+n−1)(m+n)}{2}} Res(f, g, x_{r})(x_{0}, …, x_{r−1}) = t^{\frac{m(m+1)}{2} + \frac{(n+1)n}{2}} Res(f, g, x_{r})(tx_{0}, …, tx_{r−1})

a odtud vyplývá

Res(f, g, x_{r})(tx_{0}, …, tx_{r−1}) = t^{mn} Res(f, g, x_{r})(x_{0}, …, x_{r−1})

což je požadovaný vztah □ 6.12 Příklad.

(1) Nechť f = xy − 1, g = x^{2} + y^{2} − 4. Jak vypadá resultant těchto dvou polynomů (v proměnné x)?

Res(f, g, x) = | \begin{matrix}y & −1 & 0 \\ 0 & y & −1 \\ 1 & 0 & y^{2}4 \end{matrix} | = yy(y^{2} − 4) + 1
= y^{4} − 4y^{2} + 1 = (y^{2} − 2)^{2} − (\sqrt{3})^{2}

Podle předchozí teorie tedy f a g nemají společný nenulový faktor.

(2) Pro polynomy f = x^{2}y − x, g = x^{3} + xy − 4x určíme resultant v proměnné x.

Res(f, g, x) = | \begin{matrix}y & −1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & y & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & y & −1 & 0 \\ 1 & 0 & y − 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & y − 4 & 0 \end{matrix} | = 0

tzn., že polynomy mají společný nenulový faktor.

(3) Pro polynomy f = xy − z^{2}, g = x^{2} + y^{2} − 4z

Res(f, g, x) | \begin{matrix}y & −z^{2} & 0 \\ 0 & y & −z^{2} \\ 1 & 0 & y^{2} − 4z \end{matrix} | = y^{2}(y^{2} − 4z) + z^{4} = y^{4} − 4y^{2}z^{2} + z^{4}

tzn. tyto polynomy nemají společný nenulový faktor nenulového stupně v x. 6.13 Věta. Polynom f ∈ 𝕂[x], kde 𝕂 je algebraicky uzavřené, má vícenásobný kořen právě, když Res(f, f′) = 0. Důkaz: Polynom f má vícenásobný kořen právě, když f = g^{2}h, tzn. f′ = 2gg′h, a to je možné právě, když f a f′ mají společný faktor g. □ 6.14 Definice. Resultant Res(f, f′) se nazývá diskriminant polynomu f. 6.15 Příklad. Pro polynom druhého stupně f = ax^{2} + bx + c; f′ = 2ax + b je jeho diskriminant

Res(f, f′) = | \begin{matrix}a & b & c \\ 2a & b & 0 \\ 0 & 2a & b \end{matrix} | = a | \begin{matrix}1 & b & c \\ 2 & b & 0 \\ 0 & 2a & b \end{matrix} |
= a[b^{2} − 2(b^{2} − 2ac)] = −a(b^{2} − 4ac).

Obr. 16: Dvě různé homogenizace V(xz^{2} − y^{3} + xy^{2}), vlevo V(x − y^{3} + xy^{2}), vpravo V(xz^{2} − 1 + x).

6.16 Poznámka. Pomocí resultantů můžeme počítat průniky křivek. Resultant dvou homogenních polynomů v proměnných x_{0}, x_{1}, x_{2} podle x_{2} bude polynom v x_{0}, x_{1}. Homogenní polynom f ∈ 𝕂[x_{0}, x_{1}] nad algebraicky uzavřeným 𝕂 má, až na pořadí a konstantní násobky jednoznačné vyjádření f = f_{1}f_{2} … f_{s}, kde s je stupeň f a f_{i} jsou lineární polynomy. Jistě existuje bod (x_{0} : x_{1}) pro který f(x_{0}, x_{1}) ≠ 0. Vhodnou volbou projektivních souřadnic docílíme (x_{0} : x_{1}) = (1 : 0). (Tj. polynom nemá kořen v nekonečnu). Hledáme pak f(x_{0}, x_{1}) = (a_{1}x_{0} + b_{1}x_{1}) … (a_{s}x_{0} + b_{s}x_{1}). Dosazením x_{1} = 1 dostaneme f(x_{0}, 1) = (a_{1}x_{0} + b_{1}) … (a_{s}x_{0} + b_{s}).

7 Rovinné algebraické křivky

Budeme zpravidla uvažovat křivky v ℙ_{2}(ℂ), pokud možno zadané redukovanou rovnicí. Jako rozcvičku si prodiskutujme singulární body v několika příkladech.

7.1 Příklad.

1. Uvažme nejprve V = V(xz^{2} − y^{3} + xy^{2}) ⊂ ℙ_{2}(ℝ). Homogenizací pomocí z = 1 dostáváme afinní varietu V_{af} = V(x − y^{3} + xy^{2}) s jediným nevlastním bodem (1 : 0 : 0) a bez singulárních bodů. Homogenizací s y = 1 dostaneme křivku V(xz^{2} − 1 + x) s asymptotou x = 0. Rozmyslete si, jak existence této asymptoty souvisí s tecnou k V_{af} v pocatku.

2. Křivka K = V((x+y +z)^{3}−27xyz) má všechny tři homogenizace stejné a jediný singulární bod (1 : 1 : 1). Tečný kužel v tomto bodě je ale imaginární, proto se musí jednat o izolovaný bod křivky. Část této křivky (bez izolovaného bodu (1, 1)) je na levé části obrázku 17.

3. Jednoparametrický systém křivek

K_{α} = xy^{2} + yz^{2} + x^{2}z + x^{2}y + y^{2}z + xz^{2} + αxyz

Obr. 17: Ilustrace druhého a třetího příkladu v 7.1.

obsahuje skoro samé regulární křivky. Pouze při α = −6 dostáváme jeden singulární bod (1 : 1 : 1) s imaginárním tečným kuželem (tedy je izolovaný), při α = 3 existuje pouze jeden nereálný singulární bod a pro hodnotu α = 2 celá křivka třetího stupně degeneruje na sjednocení tří přímek protínajících se ve třech bodech (−1 : 1 : 1), (−1 : −1 : 1), (1 : −1 : 1). Na obrázku 17 je zobrazena křivka pro hodnotu α blízkou dvěma (α = 2.1). 7.2 Definice. Redukovaná rovnice rovinné algebraické křivky K = V(F) je dána homogenním polynomem F = F_{1} … F_{k}, kde polynomy F_{1}, …, F_{k} jsou různé nerozložitelné homogenní.^{9} Stupeň polynomu F nazýváme stupeň křivky K. Křivky K_{i} = V(F_{i}) nazýváme komponenty křivky K. 7.3 Násobnost průniků. Pro přímku L ⊂ ℙ_{2}(ℂ) zadanou parametricky rovnicemi x_{0} = a_{0}s_{0} + b_{0}s_{1}, x_{1} = a_{1}s_{0} + b_{1}s_{1}, x_{2} = a_{2}s_{0} + b_{2}s_{1} (tzn. L je obrazem ℙ_{1}(ℂ) ve vhodném homomorfismu) a homogenní polynom F stupně m bude

F̄(s_{0}, s_{1}) = F (a_{0}s_{0} + b_{0}s_{1}, a_{1}s_{0} + b_{1}s_{1}, a_{2}s_{0} + b_{2}s_{1})

buď nulový polynom v 𝕂[s_{0}, s_{1}], nebo homogenní polynom stupně m. V druhém případě má F̄ právě m kořenů (s_{0} : s_{1}) ∈ ℙ_{1}(ℂ), včetně násobností. Získáme tedy, včetně násobností, právě m průniků L s křivkou K = V(F). Pro takový bod průniku c ∈ K označme násobnost príslušného kořene F̄ výrazem n(c, K, L). Je-li F̄ = 0, pak jistě L ⊂ V(F) a klademe n(c, K, L) = ∞, pro c ∉ K definujeme n(c, K, L) = 0. Skalár n(c, K, L) nazýváme násobností průniku L a K v bodě c. 7.4 Věta. Nechť K je křivka v ℙ_{2}(ℂ) stupně m, L přímka, která není komponentou K. Pak

m = ∑_{a∈K∩L} n(a, K, L)

Důkaz: Tvrzení plyne okamžitě přímo z definice násobnosti průniků. □

9Za stejné považujeme přitom polynomy, které se liší jen o násobek skalárem.

7.5 Věta. Nechť K = V(F) je křivka stupně m s redukovanou rovnicí F = 0. Pak a ∈ ℙ_{2}(ℂ) je singulární bod křivky K právě, když derivace (\frac{∂F}{∂x_{0}}, \frac{∂F}{∂x_{1}}, \frac{∂F}{∂x_{2}})(a) = 0. Je-li a regulární bod křivky K, je tečna v a (tj. tečný prostor T_{a}K) dána rovnicí

\frac{∂F}{∂x_{0}}(a)u_{0} + \frac{∂F}{∂x_{1}}(a)u_{1} + \frac{∂F}{∂x_{2}}(a)u_{2} = 0.

Důkaz: Jde o speciální případ obecných tvrzení z kapitoly čtvrté. □ 7.6 Věta. Nechť K_{1} je křivka stupně m a K_{2} křivka stupně n a nechť K_{1} a K_{2} mají více než mn průsečíků. Pak mají společnou komponentu. Důkaz: Předpokládejme, že K_{1}, K_{2} mají více než mn průsečíků a vyberme z nich pevně mn + 1 bodů a^{(i)} = (a_{0}^{(i)} : a_{1}^{(i)} : a_{2}^{(i)}). Vhodnou volbou projektivních souřadnic dosáhneme, že bod (0 : 0 : 1) neleží na žádné přímce spojující libovolné dva z vybraných bodů, ani na K_{1} ∪ K_{2}. Zejména pak rovnice křivek mají tvar

\begin{aligned}K_{1} : F (x) & = p_{0}x_{2}^{m} + p_{1}(x_{0}, x_{1})x_{2}^{m−1} + ⋯ + p_{m}(x_{0}, x_{1}) = 0 \\ K_{1} : G(x) & = q_{0}x_{2}^{m} + q_{1}(x_{0}, x_{1})x_{2}^{m−1} + ⋯ + q_{m}(x_{0}, x_{1}) = 0 \end{aligned}

kde p_{0}, q_{0} ∈ ℂ a p_{i}, q_{i} jsou homogenní polynomy stupně i.

Pak resultant Res(F, G, x_{2}) je buď nula, nebo homogenní polynom stupně mn. V každém případě je Res(F, G, x_{2})(a_{0}^{(i)}, a_{1}^{(i)}) = 0, protože resultant náleží ideálu polynomů ⟨F, G⟩. Kdyby (a_{0}^{(i)}, a_{1}^{(i)}) = (a_{0}^{(j)}, a_{1}^{(j)}) pro jisté i ≠ j, pak by přímka zadaná body a^{(i)}, a^{(j)} byla zadána rovnicí a_{0}^{(i)}x_{1} − a_{1}^{(i)}x_{0} = 0 a obsahovala by bod (0 : 0 : 1). Proto jsou všechny (a_{0}^{(i)} : a_{1}^{(i)}) ∈ ℙ_{1}(ℂ) různé kořeny resultantu. Protože ale polynom stupně mn má nejvýše mn různých kořenů, je Res(F, G, x_{2}) = 0 a křivky proto mají společnou komponentu. □ 7.7 Lemma. Nechť křivky K_{1}, K_{2} mají rovnice F (x) = G(x) = 0 s polynomy stejného tvaru jako v 7.6. Je-li a = (a_{0} : a_{1} : a_{2}) ∈ K_{1}∩K_{2} takový, že a je r-násobný bod^{10} křivky K_{1} a s-násobný bod křivky K_{2}, pak (a_{0} : a_{1}) je kořenem Res(F, G, x_{2}) s násobností alespoň rs, nebo je Res(F, G, x_{2}) nulový polynom. Důkaz: Nejprve ukážeme, že vhodnou volbou souřadnic lze dosáhnout a = (1 : 0 : 0). Potom tvrzení snadno dokážeme ve vložené afinní rovině x_{0} = 1 v ℙ_{2}(ℂ). Předpokládejme Res(F, G, x_{2}) ≠ 0. Z volby našich polynomů vyplývá, že a ≠ (0 : 0 : 1), a můžeme předpokládat, že a_{0} ≠ 0 (jinak přehodíme první dvě souřadnice). Transformace souřadnic

x′_{0} = \frac{1}{a_{0}}x_{0}, x′_{1} = x_{1} − \frac{a_{1}}{a_{0}}x_{0}, x′_{2} = x_{2}

převede bod (a_{0} : a_{1} : a_{2}) na (1 : 0 : a_{2}) a zřejmě má Res(F′, G′, x′_{2}) ztransformovaných polynomů v (1 : 0) kořen stejného stupně jako původní resultant v (a_{1} : a_{2}). Jako další se nabízí transformace

x′_{0} = x_{0}, x′_{1} = x_{1}, x′_{2} = x_{2} − a_{2}x_{0}

10Připomeňme, že to znamená, že všechny derivace definujícího polynomu až do stupně r − 1 včetně jsou nulové.

po které by a = (1 : 0 : 0), musíme ale zjistit co se při této transformaci stane s resultantem (nyní měníme proměnnou x_{2}, vzhledem ke které se resultant počítá).

Zaveďme do uvažované transformace volný parametr λ ∈ ℂ místo a_{2}, tj.

x′_{0} = x_{0}, x′_{1} = x_{1}, x′_{2} = x_{2} − λx_{0}

a označme Res(F_{λ}, G_{λ}, x′_{2}) ∈ ℂ[λ] resultant transformovaných polynomů, tj.

F_{λ}(x′_{0}, x′_{1}, x′_{2}) = F (x′_{0}, x′_{1}, x′_{2} + λx′_{0})

a podobně pro G. Pro λ = 0 dostáváme původní Res(F, G, x_{2}) ≠ 0, je tedy

Res(F_{λ}, G_{λ}, x′_{2}) = c_{0}(x′0, x′_{1}) + c_{1}(x′0, x′_{1})λ + ⋯ + c_{N}(x′0, x′_{1})λ^{N}

pro jisté N ≥ 0. Stačí nám ukázat, že c_{1} = ⋯ = c_{N} = 0, pak dokonce resultant polynomů F_{λ}, G_{λ} na hodnotě λ vůbec nezávisí.

Přepdokládejme tedy, že c_{N} ≠ 0, N ≥ 1. Jistě pak existují b_{0}, b_{1} ∈ ℂ takové, že c_{0}(b_{0}, b_{1}) ≠ 0 a c_{N}(b_{0}, b_{1}) ≠ 0. Existuje ale také λ_{0} ∈ ℂ takové, že Res(F_{λ_{0}}(b_{0}, b_{1}), G_{λ_{0}}(b_{0}, b_{1}), x′_{2}) polynomů v proměnné x′_{2} je nulový. Tzn., že polynomy F_{λ_{0}}(b_{0}, b_{1}, x′_{2}), G_{λ_{0}}(b_{0}, b_{1}, x′_{2}) ∈ ℂ[x′_{2}] mají společný kořen b_{2}. Pak ovšem polynomy F_{λ_{0}} a G_{λ_{0}} mají společný kořen (b_{0}, b_{1}, b_{2}) a proto původní polynomy F a G mají společný kořen (b_{0}, b_{1}, b_{2} + λ_{0}b_{0}). To je ve sporu s předpokladem Res(F, G, x_{2})(b_{0}, b_{1}) = c_{0}(b_{0}, b_{1}) ≠ 0. Proto je c_{N} = 0 pro všechny N ≥ 1.

Zbývá studovat násobnost kořene (1 : 0 : 0) pro Res(F, G, x_{2}), můžeme to provést v afinní rovině x_{0} = 1. Uvažujme tedy polynomy f, g vzniklé dehomogenizací F, G, které mají v (0, 0) parciální derivace až do řádu r − 1, resp. s − 1, nulové. Tj.

f(x, y) = f_{0}x^{r} + f_{1}x^{r−1} + ⋯ + f_{r}y^{r} + ⋯ + f_{m}y^{m}
g(x, y) = g_{0}x^{s} + g_{1}x^{s−1} + ⋯ + g_{s}y^{s} + ⋯ + g_{n}y^{n}

kde f_{i} a g_{i} jsou polynomy v proměnné x. Nyní

Res(f, g, y) = |\begin{matrix}f_{m} & f_{m−1} & … & f_{r} & … & f_{1}x^{r−1} & f_{0}x^{r} & … & … \\ 0 & f_{m} & … & f_{r+1} & … & f_{2}x^{r−2} & f_{1}x^{r−1} & f_{0}x^{r} & … \\ & & & & … \\ g_{n} & … & … & … & … & … & g_{0}x^{s} & … & … \\ & & & & … \\ … & … & g_{n} & … & … & … & … & … & g_{0}x^{s} \end{matrix}|

Vynásobíme řádky mocninami x tak, abychom pak mohli vytýkat ze sloupců: U řádků s f postupně vynásobíme (n − j)-tý mocninou x^{s−j}, j = 0, …, s − 1, u g postupně (m − j)-tý mocninou x^{r−j}. Pak v (m + n + 1 − i)-tém sloupci máme společný faktor x^{r+s+1−i} , a to pro i = +, …, r + s. Celkem tedy máme

x^{∑_{i=1}^{s} i+∑_{i=1}^{r} i} Res(f, g, y) = x^{∑_{i=1}^{r+s} (r+s+1−i)} h(x)

kde h je jistý polynom. Odtud plyne, že resultant bude dělitelný mocninou x s exponentem

\frac{1}{2}((r + s + 1)(r + s) − (s + 1)s − (r + 1)r) = rs

címž je důkaz ukončem. □

7.8 Důsledek. Nechť F a G jsou redukované rovnice křivek K_{1} a K_{2}. Je-li bod a = (a_{0} : a_{1} : a_{2}) ∈ K_{1} ∩ K_{2} r-násobný bod K_{1} a s-násobný bod K_{2}, pak (a_{0} : a_{1}) je rs-násobný bod resultantu Res(F, G, x_{2}).

7.9 Věta. Nechť K_{1} a K_{2} jsou křivky v ℙ_{2}(ℂ) stupňů m a n, bez společné komponenty. Jsou-li a^{(1)}, …, a^{(k)} všechny průsečíky křivek K_{1} a K_{2}, přičemž každý a^{(i)} je r_{i}-násobný bod K_{1} a s_{i}-násobný bod K_{2}, pak ∑_{i=1}^{k} r_{i}s_{i} ≤ mn.

Důkaz: Zvolíme opět zouřadnice tak, aby redukované rovnice měly tvar jako v 7.6 a aby žádné přímky procházející dvěma průsečíky neobsahovaly bod (0 : 0 : 1). Pak (a_{0}^{(i)} : a_{1}^{(i)}) jsou různé kořeny Res(F, G, x_{2}). Přitom je Res(F, G, x_{2}) polynom stupně mn a každý z průsečíků dává kořen stupně alespoň r_{i}s_{i}. □

7.10 Důsledek.

• Nerozložitelná křivka stupně m ≥ 2 má singulární bod nejvýše stupně m − 1.

• Má-li nerozložitelná křivka (m − 1)-násobný bod, pak již nemá žádné další singulární body.

Důkaz: Nechť je K nerozložitelná křivka stupně m ≥ 2, a ∈ K nechť má násobnost k. Pak pro b ≠ a, b ∈ K splňuje přímka L zadaná body a, b rovnost k·1+1·1 = k+1 ≤ m·1, tj. k ≤ m − 1. Pokud je přitom a m-násobný bod, pak b už nemůže mít násobnost větší než 1. □

7.11 Poznámka (Bezoutova věta). Tvrzení věty 7.9 lze podstatně rozšířit. Ve skutečnosti totiž nastává v nerovnosti ∑_{i} r_{i}s_{i} ≤ mn vždy rovnost, pokud se křivky protínají ţdostatečně regulárně�, např. když se protínají v regulárních bodech, ve kterých mají různé tečny. Obecně musíme započítat násobné protínání křivek způsobené ţstykem vyššího stupně�, viz. například dotyk tečny ke křivce. Budeme-li potom počítat každý bod s koeficientem daným touto násobností, získáme skutečně rovnost. Pro čistě algebraickou definici řádu dotyku křivek nemáme vybudovaný dostatečný aparát^{11} a využití prostředků diferenciální geometrie se chci vyhnout. Tento výsledek je známý pod jménem Bezoutova věta a říká že počet průsečíků dvou nerozložitelných křivek bez společné komponenty, včetně násobností, je roven součinu jejich stupňů. Všimněme si, že speciálním případem, kdy je jedna z křivek stupně 1, je věta 7.4.

7.12 Lineární systémy křivek. Všechny křivky K stupně m v ℙ_{2}(ℂ) jsou dány homogenními polynomy tvaru

F (x) = ∑_{α+β+ga=m} c_{αβγ}x_{0}^{α}x_{1}^{β}x_{2}^{γ}

kde počet koeficientů c_{αβγ} je roven

∑_{i=0}^{m}(m − i + 1) = (m + 1)((m + 1) − \frac{1}{2}m) = \frac{1}{2}(m + 1)(m + 2).

11Výhodné je používat parametrizace křivek pomocí podílového tělesa formálních mocninných řad, pak jde o shodné koeficienty až do určitého stupně včetně.

Polynomy lišící se o násobek skalárem ovšem zadávají stejnou křivku, tj. křivky stupně m jsou parametrizovány^{12} body ℙ_{N_{m}}(ℂ), kde

N_{m} = \frac{1}{2}(m + 1)(m + 2) − 1 = \frac{1}{2}m(m + 3).

Zvolíme-li body a^{(i)}, i = 1, …, N_{m}, a požadujeme F (a^{(i)}) = 0 (tj. zvolené body mají ležet na uvažované křivce), dostáváme N_{m} lineárních rovnic na koeficienty c_{αβγ}. Jsou-li tyto rovnice nezávislé, pak je body a^{(i)} jednoznačně určena křivka K. Např. pro m = 2 je N_{2} = 5 a je známo, že křivky zadané homogenními polynomy druhého stupně jsou dány pěti svými body v obecné poloze, tj. žádné čtyři z nich neleží na přímce.

Množina N_{m} bodů křivky K zadané polynomem stupně m se nazývá obecná množina bodů křivky K, je-li K jediná taková křivka,která jimi prochází.

Každý projektivní podprostor v ℙ_{N_{m}}(ℂ) zadává lineární systém křivek. Např. požadavek a ∈ K pro pevně zvolené a ∈ ℂ_{2} zadává křivky parametrizované nadplochou v ℙ_{N_{m}}(ℂ). 7.13 Příklad. Obecně bohužel neplatí, že k zvolenými body prochází (N_{m} − k)- rozměrný systém křivek. Např. pro m = 2, je N_{2} = 5 a pokud 3 ze zvolených 4 bodů jsou v přímce L, pak každá kuželosečka jimi procházející obsahuje celou přímku L (viz. věta 7.9). Pokud je čtvrtý zvolený bod také na L, nezadává pak nezávislou podmínku. Proto výsledný systém není 1-rozměrný, ale je to dvourozměrný systém všech rozložitelných kuželoseček obsahujících danou přímku L.

Zvolme ještě m = 3, tj. N_{m} = 9. Lze snadno najít dvě kubiky K_{1} = V(F) a K_{2} = V(G), které se protínají v devíti bodech (např. každá z nich může být sjednocení 3 přímek). Pak jednorozměrný systém křivek V(λ_{1}F + λ_{2}G) prochází těmito devíti body. Přitom je N_{m} − 9 = 0. 7.14 Definice. Lineární systémy dimenze jedna se nazývají svazky, systémy dimenze jsou sítě a trojrozměrné jsou tkáně. U vyšších dimenzí také hovoříme o vícerozměrných sítích.

Svazky mají důležitou vlastnost: průsečíky dvou nezávislých křivek ve svazku prochází i všechny ostatní křivky tohoto svazku. Jednoduchou aplikaci této skutečnosti ukazuje následující věta. 7.15 Věta. Jestliže se dvě křivky stupně m protínají v m^{2} bodech a jestliže je právě mn z nich na nerozložitelné křivce stupně n, pak zbylých m(m − n) bodů leží na křivce stupně nejvýše m − n. Důkaz: Nechť K_{1}, K_{2} jsou dvě takové křivky zadané polynomy F, G. Nechť K_{3} = V(H) je nerozložitelná křivka stupně n obsahující právě mn z m^{2} průsečíků. Vhodnou volbou prametrů λ_{1}, λ_{2} lze najít křivku ve svazku V(λ_{1}F + λ_{2}G), která prochází libovolným předem daným bodem. Zvolme takový bod na K_{3}, ale mimo K_{1} ∪ K_{2}. Potom K_{3} a V(λ_{1}F + λ_{2}G) mají nejméně nm + 1 společných bodů, proto mají společnou komponentu. Touto komponentou ovšem musí být celá K_{3}, neboť je podle předpokladu nerozložitelná. Odtud plyne λ_{1}F +λ_{2}G = HH′ a V(HH′) prochází všemi m^{2} průsečíky K_{1} a K_{2}. Zejména je stupeň H′ roven m−n a V(H′) musí obsahovat všechny zbylé průsečíky.

12Nyní počítáme komponenty křivek včetně násobností, např. dvojnásobná přímka je kuželosečkou a zadáme ji polynomem druhého stupně.

□

7.16 Důsledek (Pascalova věta). Dvojice protějších stran šestiúhelníku vepsaného regulární kuželosečce se protínají ve třech kolineárních bodech.

Důkaz: Označme strany šestiúhelníka L_{1}, …, L_{6}. Pak kubiky tvořené sjednocením L_{1}∪ L_{3} ∪ L_{5} a L_{2} ∪ L_{4} ∪ L_{6} se protínají v šesti vrcholech šestiúhelníku a třech průsečících protilehlých stran, tj. v 3^{2} = 9 bodech. Nerozložitelná kuželosečka prochází právě šesti z nich, musí proto existovat křivka stupně 1, na které jsou zbývající 3. □

7.17 Poznámka. Jestliže se dvě kubiky V(F), V(G) protínají v právě 9 bodech, pak přímá diskuse využívající toho, že všechny kubiky ve svazku V(λ_{1}F + λ_{2}G) procházejí těmito devíti průsečíky, ukazuje, že každá kubika, která prochází osmi z nich prochází i posledním. Použitím tohoto výsledku můžeme v předchozí větě rozšířit tvrzení pro případ m = 3, n = 2 i na rozložitelné kuželosečky. Pascalova věta platí tedy i pro singulární kuželosečky, tj. dvojici přímek. Toto tvrzení je známo pod názvem Pappova věta.

Ve zbytku kapitoly se budeme podrobněji zabývat tečnami ke křivkám.

7.18 Definice. Nechť K = V(F) a a ∈ K je regulární bod. Dále nechť L je tečna K v bodě a s násobností protínání n(a, K, L) ≥ 3. Pak L nazýváme inflexní tečnou křivky K, bod a inflexním bodem křivky K a číslo (n(a, K, L) − 2) násobností inflexe v bodě a.

Všimněme si, že každý bod přímkové komponenty křivky K je inflexní (s nekonečnou násobností inflexe).

7.19 Definice. Pro křivku K stupně m ≥ 3 s redukovanou rovnicí F = 0 definujeme její hessián jako křivku H_{K} zadanou hessiánem polynomu F, tj.

H_{K} = V(det(\frac{∂^{2}F}{∂x_{i}∂x_{j}})).

7.20 Věta. Nechť K je křivka stupně m ≥ 3 bez přímkových komponent s redukovanou rovnicí F. Pak inflexní body křivky K jsou všechny regulární body K ležící na na průniku K ∩ H_{K}.

Důkaz: Nechť a = (a_{0} : a_{1} : a_{2}) ∈ K je regulární bod a b ∈ ℙ_{2}(ℂ) je libovolný. Rozvineme kompozici F s parametrizací přímky procházející a, b.

F (sa + tb) = F (a)s^{m} + ∑_{i} \frac{∂F}{∂x_{i}} (a)b_{i}s^{m−1}t + \frac{1}{2} ∑_{i,j} \frac{∂^{2}F}{∂x_{i}∂x_{j}} (a)b_{i}b_{j}s^{m−2}t^{2} + …

Označme L a Q přímku a kuželosečku zadané rovnicemi

∑_{i} \frac{∂F}{∂x_{i}} (a)x_{i} = 0, sum_{i,j} \frac{∂^{2}F}{∂x_{i}∂x_{j}} (a)x_{i}x_{j} = 0.

Je zřejmé, že L je tečnou v bodě a, a násobnost n(a, L, K) > 2 právě, když L ⊂ Q. Kuželosečka Q má ovšem přímkovou komponentu právě, když je singulární, tj. když hessián F je v a nulový.

Naopak, nechť a je regulární bod křivky K, a ∈ K ∩ H_{K}. Vždy platí

∑_{i,j} \frac{∂^{2}F}{∂x_{i}∂x_{j}} (a)a_{i}a_{j} = m(m − 1)F (a)

proto a ∈ Q. Dále

∑_{i,j} \frac{∂^{2}F}{∂x_{i}∂x_{j}} (a)a_{i}x_{j} = (m − 1) ∑_{i} \frac{∂F}{∂x_{i}} (a)x_{i}

je tedy přímková komponenta ∑_{i,j} \frac{∂^{2}F}{∂x_{i}∂x_{j}} (a)a_{i}x_{j} kvadriky Q skutečně tečnou křivky K. □

7.21 Důsledek. Křivka stupně m ≥ 3 bez singulárních bodů a přímkových komponent má alespoň jeden inflexní bod a nejvýše 3m(m − 2) inflexních bodů.

Důkaz: Dvě křivky v ℙ_{2}(ℂ) mají jistě alespoň jeden společný bod. (Plyne z toho, že resultant jejich polynomů má jistě kořen, nebo je identicky nulový.)

Hessián H_{K} = V(det(\frac{∂^{2}F}{∂x_{i}∂x_{j}})) je dán polynomem stupně 3(m−2), je to proto křivka stupně alespoň 1 a nejvýše 3(m − 2). Proto buď mají K a H_{K} společnou komponentu, nebo mají nejvýše 3m(m − 2) společných bodů. Protože předpokládáme, že K nemá ani singulární body ani přímkové komponenty, jsou všechny tyto společné body inflexní body K, podle předchozí věty.

Pokud by ale existovala společná komponenta K′ v K ∩ H_{K}, pak by tečny ve všech bodech K′ měly dotyk řádu většího než jedna. Parametrizujme hladce K′ v okolí nějakého takového bodu v afinní rovině funkcemi (f(t), g(t)). Dotyk alespoň druhého stupně pak znamená, že druhé derivace (\frac{d^{2}}{dt} f(t), \frac{d^{2}}{dt} g(t)) zmizí identicky na otevřené množině. To ale znamená, že parametrizujeme přímku. K tomuto závěru dojdeme v okolí kteréhokoliv bodu K′, je to tedy přímková komponenta, což není možné. Proto K a H_{K} nemohou mít společnou komponentu. □

7.22 Důsledek. Nechť K nemá přímkové komponenty. Pak v K ∩ H_{K} jsou právě všechny singulární body a inflexní body křivky K.

Důkaz: Zbývá jenom dokázat, že každý singulární bod je bodem hessiánu křivky K. Pro body násobnosti větší než 3 je přímo matice druhých derivací identicky nulová. Zbývají tedy dvojnásobné body. Pro ty platí

∑_{i,j} \frac{∂^{2}F}{∂x_{i}∂x_{j}} (a)a_{i}x_{j} = (m − 1) ∑_{i} \frac{∂F}{∂x_{i}} (a)x_{i} = 0

proto V(\frac{∂^{2}F}{∂x_{i}∂x_{j}}) obsahuje přímkovou komponentu, je tedy příslušná kvadratická forma

singulární, neboli det(\frac{∂^{2}F}{∂x_{i}∂x_{j}}) = 0. □

Obr. 18: Descartův list v afinní rovině z = 1 a jeho chování v okolí inflexní tečny (zobrazeno v afinní rovině y = 1).

7.23 Příklad. Křivce K = V(x^{3} + y^{3} − 3axyz) ⊂ ℙ_{2}(ℝ), a ≠ 0, se říká Descartův list. Její vyobrazení (v afinní rovině z = 1) je na obrázku 18. Snadno se spočte, že jediný singulární bod je (0 : 0 : 1), jediný reálný nevlastní bod je (−1 : 1 : 0) (další dva komlexně združené nás teď nezajímají) a tečna v nevlastním bodě má rovnici x + y + az = 0. Hessián K_{H} je zadán rovnicí x^{3} + y^{3} + axyz a společné body K_{H} ∩ K jsou dva reálné (0 : 0 : 1), (−1 : 1 : 0) (a další dva komplexně združené). Jediná reálná inflexní tečna je tedy asymptota y = −x − a.

7.24 Asociované symetrické formy. Nechť F ∈ 𝕂[x_{0}, …, x_{n}] je homogenní polynom stupně k. Pišme na chvíli multiindexy velikosti k jako posloupnosti k celých čísel (i_{1}, …, i_{k}), 0 ≤ i_{j} ≤ m. Polynom F pak můžeme vyjádřit

F (x_{0}, …, x_{n}) = ∑_{0≤i_{1},...,i_{k}≤n}c_{i_{1},...,i_{k}}x_{i_{1}} … x_{i_{k}}

kde koeficienty c_{i_{1},...,i_{k}} jsou symetrické ve všech indexech i_{j}. Pro každý polynom existuje právě jedna volba takových symetrických koeficientů. Stejné koeficienty nám definují k-lineární zobrazení F̂ : 𝕂 × ⋯ × 𝕂 vztahem^{13}

F̂((x_{0}^{(1)}, …, x_{n}^{(1)}), …, (x_{0}^{(k)}, …, x_{n}^{(k)})) = ∑_{0≤i_{1},...,i_{k}≤n}c_{i_{1},...,i_{k}}x_{i_{1}}^{(1)} … x_{i_{k}}^{(k)}.

Zobrazení F̂ je jediné symetrické k-lineární zobrazení splňující

F̂(x, x, …, x) = F (x)

pro všechny vektory x ∈ 𝕂^{n+1} . Říkáme mu polární forma homogenního polynomu F.

13k-lineárnost znamená, že všechna zobrazení vzniklá z daného dosazením pevných souřadnic za některých k − 1 argumentů jsou lineární.

7.25 Definice. Nechť K je křivka v ℙ_{2}(ℂ) stupně m ≥ 2 s redukovanou rovnicí F = 0. Pro libovolný bod a ∈ ℂ^{3} definujeme polynomy F_{a}^{[i]} ∈ ℂ[x_{0}, x_{1}, x_{2}]

F_{a}^{[1]}(x) = F̂(a, x, x, …, x)
F_{a}^{[2]}(x) = F̂(a, a, x …, x)
⋮
F_{a}^{[m−1]}(x) = F̂(a, a, …, a, x)

Zřejmě je vždy F_{a}^{[j]} buď nulový polynom, nebo homogenní polynom stupně m − j. Hodnoty polynomů F_{a}^{[j]} sice závisejí na výběru homogenních souřadnic bodů a, x ∈ ℙ_{2}(ℂ), je ovšem F_{αa}^{[j]}(βx) = α^{j}β^{m−j}F_{a}^{[j]}(x). Proto jsou dobře definovány křivky

K_{a}^{[j]} = V(F_{a}^{[j]})

pro všechny body a ∈ ℙ_{2}(ℂ), pro které jsou příslušné polynomy nenulové. Tyto křivky nazýváme j-té poláry bodu a vzhledem ke křivce K.

Ve formulaci další věty budeme jako argumenty a polynomů F_{a}^{[j]} uvádět přímo body projektivního prostoru. Je tedy třeba i tyto polynomy chápat ţaž na násobek skalárem�. Přesné značení by vedlo k nepřehlednosti. 7.26 Věta. Nechť je K křivka v ℙ_{2}(ℂ) stupně m s redukovanou rovnicí F = 0.

1. Je-li a ∈ K r-násobný bod křivky, pak platí F_{a}^{[m−1]} = ⋯ = F_{a}^{[m−r+1]} = 0 a polára K_{a}^{[m−r]} již existuje.

2. Platí-li F_{a}^{[m−1]} = ⋯ = F_{a}^{[m−r+1]} = 0, F_{a}^{[m−r]} ≠ 0, pro nějaký bod a, pak je a r-násobný bod křivky K.

3. Je-li a ∈ K regulární bod křivky, je K_{a}^{[m−1]} přímka, která je tečnou křivky K v bodě a.

4. Pro libovolné dva body a, b ∈ ℙ_{2}(ℂ) je a ∈ K_{b}^{[j]} právě, když b ∈ K_{a}^{[m−j]}.

5. Nechť a ∈ ℙ_{2}(ℂ) a nechť polára K_{a}^{[r+s]} existuje. Pak s-tá polára bodu a vzhledek k r-té poláře bodu a (vzhledem ke K) je (r + s)-tá polára bodu a vzhledem ke K.

6. Každý s-násobný bod křivky K je bodem polár K_{b}^{[r]}, pro všechny r < s a libovolný

bod b. Důkaz: (1), (2): Přímka procházející body a, x ∈ ℙ_{2}(ℂ) má parametrický tvar u = λa + μx. Hodnota polynomu ve vektoru u je

F (u) = F̂(u, …, u) = F̂(λa + μx, …, λa + μx)
= λ^{m}F (a) + mλ^{m−1}μF̂(a, …, a, x) + ⋯ + μ^{m}F (x)

Je-li a ∈ K r-násobný, pak (λ : μ) = (1 : 0) je r-násobný kořen F (λa + μx) pro každé x ≠ a, tzn.

F (a) = F̂(a, …, a, x) = F̂(a, …, a, \underbrace{x, …, x}_{r−1}) = 0

a další už musí být nenulové. To dokazuje (1). Naopak, z platnosti těchto rovností vyplývá, že a je skutečně r-násobný bod křivky. Tím jsme ověřili i (2).

(3): Je-li bod a ∈ K regulární, pak naše vyjádření hodnoty F (u) ukazuje, že polára K^{[m−1]} jistě existuje, a volba x ∈ K_{a}^{[m−1]} nám dá přímku s násobným průnikem, tj. tečnu.

(4): Je a ∈ K_{b}^{[j]} právě, když F̂(\underbrace{b, …, b}_{j}, \underbrace{a, …, a}_{m−j}) = 0. Protože je F̂ symetrické ve

svých argumentech, je tvrzení zřejmé.

(5): r-tá polára bodu a vzhledem ke K je dána polynomem

G(x) = F̂(\underbrace{a, …, a}_{r}, x, …, x)

a s-tá polára vzhledem k ní je tedy zadána polynomem

Ĝ(\underbrace{a, …, a}_{s}, x, …, x) = F̂(\underbrace{a, …, a}_{r+s}x, …, x).

(6): Již jsme ukázali, že pro s-násobný bod existuje polára K_{a}^{[m−s]}. Pak tedy j-tá polára vzhledem ke K_{a}^{[m−s−j]} je právě K_{a}^{[m−s]}. Podle (1), (2) je ovšem bod a s-násobný právě, když

F̂(\underbrace{b, …, b}_{j}, \underbrace{a, …, a}_{m−j}) = 0

pro libovolné b ∈ ℙ_{2}(ℂ) a j = 1, …, s − 1. Tzn. skutečně a ∈ K_{b}^{[j]} pro j = 1, …, s − 1. □

7.27 Poznámka. Pro každý bod a = (a_{0}, a_{1}, a_{2}) označme D_{a} ţdiferenciální operátor� a_{0} \frac{∂}{∂x_{0}} + a_{1} \frac{∂}{∂x_{1}} + a_{2} \frac{∂}{∂x_{2}} na polynomech. Bodem (a_{0} : a_{1} : a_{2}) ∈ ℙ_{2}(ℂ) je D_{a} samozřejmě určeno až na násobek. Pro homogenní polynom F ∈ 𝕂[x_{0}, x_{1}, x_{2}] stupně m platí (viz. Eulerova věta)

∑_{i} \frac{∂F}{∂x_{i}} (a)a_{i} = mF̂(a, x, …, x).

Proto, pokud existuje polára K_{a}^{[1]} bodu a vzhledem k varietě V(F), je rovna V(D_{a}F). Iterací tohoto postupu dostáváme K_{a}^{[i]} = V((D_{a})^{i}F), pokud tato polára existuje. Jsou tedy rovnice poláry dány iterovaným derivováním polynomu F ve směru vektoru a.

7.28 Příklad. Budeme zkoumat tzv. Dioclesovu cissoidu K = V(x(y^{2} + x^{2}) − 2ay^{2}z). Je to opět nerozložitelná křivka, jejíž afinní část v rovině z = 1 má jediný reálný nevlastní bod (0 : 1 : 0) (a dva imaginární komplexně sdružené) a jediný singulární bod (0 : 0 : 1). Jediným inflexním bodem je nevlastní bod (0 : 1 : 0) křivky a inflexní tečna je asymptota x = 2a. Afinní část křivky vidíme na levém obrázku 19.

Spočtěme tečnu ve směru (1 : 1 : 0). Za tím účelem najdeme poláru K_{(1:1:0)}^{[1]} a její průnik s K bude obsahovat právě singulární bod (0 : 0 : 1) a bod a ∈ K dotyku hledané tečny. Pak spočteme K_{a}^{[2]}, což je přímo hledaná tečna. Výsledné křivky jsou zobrazeny na pravém obrázku 19.

Obr. 19: Dioclesova cissoida a její tečna ve směru (1 : 1 : 0).

8 Dodatek

V této části jsou vytištěny zápisníky programového systému MAPLE V, které vznikly během výuky při ukázkách ilustračních příkladů. Všechny zápisníky jsou k nalezení na síti ve stejném adresáři jako tyto texty. Věřím, že si posluchači po úvodním seznámení MAPLE V oblíbí a ocení možnost interaktivní práce se systémem a experimentování na jejich základě.

8.1 Několik obrázků křivek (ag0.ms)

> with(plots);
[animate, animate3d, conformal, contourplot, cylinderplot, densityplot,
display, display3d, fieldplot, fieldplot3d, gradplot, gradplot3d,
implicitplot, implicitplot3d, loglogplot, logplot, matrixplot,
odeplot, pointplot, polarplot, polygonplot, polygonplot3d,
polyhedraplot, replot, setoptions, setoptions3d, spacecurve,
sparsematrixplot, sphereplot, surfdata, textplot, textplot3d,
tubeplot]
> implicitplot(xˆ 3-yˆ 2, x=-0.5..2, y=-2..2,grid=[50,50]);
> implicitplot(xˆ 3+xˆ 2-yˆ 2, x=-1.5..2, y=-2..2,grid=[50,50]);
> implicitplot(2*xˆ 4-3*xˆ 2*y+yˆ 2-2*yˆ 3+yˆ 4, x=-2.5..2.5, y=-1..3,
> grid=[100,100]);
> implicitplot(xˆ 2-yˆ 2,x=-3..3, y=-3..3,grid=[50,50]);

8.2 Komplexní kružnice, singulární body, tečny (ag1.ms)

> ph3:=(x1*y2-x2*y1)/(sqrt(x1ˆ 2+x2ˆ 2));

ph3 := \frac{x1y2 − x2y1}{\sqrt{x1^{2} + x2^{2}}}

> -x2*ph3/(sqrt(x1ˆ 2+x2ˆ 2));

− \frac{x2( x1y2 − x2y1)}{x1^{2} + x2^{2}}

> simplify(subs(x2=-x1*y1/y2, ”));
y1
> x1*ph3/(sqrt(x1ˆ 2+x2ˆ 2));

x1( x1y2 − x2y1)

x1^{2} + x2^{2}
> simplify(subs(x2=-x1*y1/y2, ”));
y2
> ps3:=-v*w/sqrt(uˆ 2+vˆ 2);ps4:=u*w/sqrt(uˆ 2+vˆ 2);

ps3 := − \frac{v w}{\sqrt{u^{2} + v^{2}}}

ps4 := \frac{u w}{\sqrt{u^{2} + v^{2}}}

> (u*ps4-v*ps3)/sqrt(uˆ 2+vˆ 2);

\frac{\frac{u^{2} w}{\sqrt{u^{2} + v^{2}}} + \frac{v^{2} w}{\sqrt{u^{2} + v^{2}}}}{\sqrt{u^{2} + v^{2}}}

> simplify(subs(x2=-x1*y1/y2, ”));
w
> with(plots);

[animate, animate3d, conformal, contourplot, cylinderplot, densityplot, display, display3d, fieldplot, fieldplot3d, gradplot, gradplot3d, implicitplot, implicitplot3d, loglogplot, logplot, matrixplot, odeplot, pointplot, polarplot, polygonplot, polygonplot3d, polyhedraplot, replot, setoptions, setoptions3d, spacecurve, sparsematrixplot, sphereplot, surfdata, textplot, textplot3d, tubeplot]

> implicitplot(xˆ 2+xˆ 3-yˆ 2, x=-1..1, y=-1..1, grid=[40,40]);
> f:=xˆ 2+xˆ 3-yˆ 2;diff(f,x); diff(f,y);
f := x^{2} + x^{3} − y^{2}

64 ALGEBRAICKÁ GEOMETRIE

2 x + 3 x^{2}
−2 y

> solve(–diff(f,x)=0,diff(f,y)=0,f=0˝ ,–x,y˝ );
{ y = 0, x = 0 }

> solve(subs(x=0,y=0,diff(f,x$2)*vˆ 2 +diff(f,x,y)*v*w +diff(f,y$2)*wˆ 2=0),
> –v,w˝ );
{ v = w, w = w }, { v = −w, w = w }

> implicitplot(–xˆ 2+xˆ 3-yˆ 2, x+y, x-y˝ , x=-1..1, y=-1..1, grid=[40,40]);

8.3 Křivky v prostoru, tečny a tečné kužely (ag2.ms)

> with(plots):
> plot([tˆ 2,tˆ 3,t=-1..1]);
> f:=2*xˆ 4 - 3*xˆ 2*y+yˆ 2-2*yˆ 3+yˆ 4;
f := 2 x^{4} − 3 x^{2} y + y^{2} − 2 y^{3} + y^{4}

> solve(–diff(f,x)=0, diff(f,y)=0, f=0˝ ,–x,y˝ );
{ x = 0, y = 0 }, { x = 0, y = 1 }

> r:=diff(f,x,x)*u*u + diff(f,x,y)*u*v + diff(f,y,y)*v*v;
r := ( 24 x^{2} − 6 y) u^{2} − 6 x u v + ( 2 − 12 y + 12 y^{2} ) v^{2}

> r1:=subs(x=0,y=0,r);
r1 := 2 v^{2}

> r2:=subs(x=0,y=1,r);
r2 := −6 u^{2} + 2 v^{2}

> implicitplot(–2*xˆ 4 - 3*xˆ 2*y+yˆ 2-2*yˆ 3+yˆ 4,y-sqrt(3)*x-1,y+sqrt(3)*x-1˝ ,
> x=-2..2, y=0..3, grid=[80,80]);
> g:=xˆ 6-xˆ 3*yˆ 2-xˆ 5;
g := x^{6} − x^{3} y^{2} − x^{5}

> solve(–diff(g,x)=0,diff(g,y)=0,g=0˝ ,–x,y˝ );
{ y = y, x = 0 }

8.4 Deformace singularit křivek (ag3.ms) 65

> implicitplot(g, x=-2..2, y=-2..2, grid=[80,80]);
> solve(uˆ 3*vˆ 2+10*uˆ 5=0, –u,v˝ );

\{ v = v, u = 0 \}, \{v = v, u = \frac{1}{10} I v \sqrt{10}\} , \{v = v, u = − \frac{1}{10} I v \sqrt{10}\}

V tomto pripade byly vsechny ostatni derivace nizsich radu v (0,0) nulove, ostatni derivace pateho radu jsou nulove take. Vychazi trojnasobna tecna x=0 a dve jednoduche imaginarni tecny.

> plot3d([t*(uˆ 2-tˆ 2),u,uˆ 2-tˆ 2], u=-2..2,t=-2..2);
> plot3d(–[1.5*t,u+1.5,t],[-1.5*t,u+1.5,t],[t*(uˆ 2-tˆ 2),u,uˆ 2-tˆ 2]˝ ,
> u=-2..2,t=-2..2);
> plot3d(–[0.5*t,u+0.5,t],[-0.5*t,u+0.5,t],[t*(uˆ 2-tˆ 2),u,uˆ 2-tˆ 2]˝ ,
> u=-2..2,t=-2..2);
> spacecurve([t,tˆ 2,tˆ 3], t=-1.5..1.5);
> plot3d(–[x,xˆ 2,u],[x,u,xˆ 3]˝ , x=-1..1,u=-1..1);

8.4 Deformace singularit křivek (ag3.ms)

> f:= xˆ 3 - yˆ 2;
f := x^{3} − y^{2}
> with(plots):
> implicitplot(f,x=0..1, y=-1..1, grid=[40,40]);
> plot3d(f, x=-1..1, y=-1..1);
> g:=xˆ 3 + delta*xˆ 2 - yˆ 2;
g := x^{3} + δ x^{2} − y^{2}
> obr:=seq(implicitplot(g, x=-1..1.5, y=-1..1,
> grid=[40,40]), delta=[-1,-0.65,-0.35,0,0.35,0.65,1]):
> display([obr], insequence=false);
> h:=xˆ 3+xˆ 2-yˆ 2 - epsilon;
h := x^{3} + x^{2} − y^{2} − ε
> obr:=seq(implicitplot(h, x=-1..1.5, y=-1..1, grid=[40,40]),
> epsilon=[-1,-0.65,-0.35,0,0.03,0.06,0.1,3.9/27,0.2]);
> display([obr], insequence=false);

8.5 Příklady ploch v ℝ^{3} (ag4.ms)

> with(plots):
> implicitplot3d(xˆ 2+yˆ 2-z, x=-1..1, y=-1..1, z=-2..2);
> implicitplot3d(xˆ 2+yˆ 2-zˆ 2, x=-0.1..0.1, y=-0.1..0.1, z=-0.1..0.1,
> grid=[15,15,15]);
> implicitplot3d(xˆ 2+yˆ 2-zˆ 2+zˆ 3, x=-1.5..1.5, y=-1.5..1.5,

> z=-2..2, grid=[20,20,20]);
> implicitplot3d(x*y+zˆ 3, x=-1..1, y=-1..1, z=-1..1, grid=[20,20,20]);
> implicitplot3d(x*y+zˆ 3, x=-10..10, y=-10..10, z=-5..5,
> grid=[20,20,20]);
> implicitplot3d(xˆ 2-yˆ 2*z, x=-8..8, y=-2..2, z=-2..2, grid=[20,20,20]);
> implicitplot3d(xˆ 2+yˆ 2-zˆ 3, x=-1..1, y=-1..1, z=0..1.3,
> grid=[20,20,20]);
> implicitplot3d(xˆ 2-yˆ 2*zˆ 2+zˆ 3, x=-1..1, y=-1..1, z=-1..2,
> grid=[20,20,20]);

8.6 Tečné prostory a kužely ploch a křivek (ag5.ms)

> with(plots):
> implicitplot3d(xˆ 2-yˆ 2*zˆ 2+zˆ 3, x=-1..1, y=-1..1, z=-1..1,
> grid=[20,20,20]);
> plot3d([t*(uˆ 2-tˆ 2), u, uˆ 2-tˆ 2], u=-1..1, t=-1..1);
> k1:=spacecurve([t,tˆ 2,tˆ 3], t=-1.5..1.5):
> k2:=plot3d([1+s,1+2*s,1+r], s=-0.5..0.5, r=-0.5..0.5):
> k3:=plot3d([1+s, 1+r, 1+3*s], s=-0.5..0.5, r=-0.5..0.5):
> display(–k1,k2,k3˝ );
> plot3d([u*v,v, uˆ 2], u=-1.2..1.2, v=-1.2..1.2);

8.7 Afinní variety (ag6.ms)

> f:=xˆ 2-yˆ 2-1;
f := x^{2} − y^{2} − 1

> diff(f,x);
2 x

> diff(f,y);
−2 y

> with(plots):
> implicitplot(f,x=-3..3,y=-3..3);
> p1:=”:
> p2:=implicitplot(x+y-1,x=-3..3,y=-3..3):
> display(–p1,p2˝ );
> –x,x,y˝ ;
{ x, y }

> [x,y,x];
[ x, y, x]

8.7 Afinní variety (ag6.ms) 67

> f:=yˆ 2-xˆ 3+3;
f := y^{2} − x^{3} + 3

> fx:=diff(f,x);
fx := −3 x^{2}

> fy:=diff(f,y);
fy := 2 y

> solve(–f=0,fx=0,fy=0˝ ,–x,y˝ );
> p1:=implicitplot(f,x=1.5..2.5,y=2..3):
> ?subs
> subs(x=2,y=sqrt(5),f);

0

> t:=subs(x=2,y=sqrt(5),fx)*(x-2)+subs(x=2,y=sqrt(5),fy)*(y-sqrt(5));

t := −12 x + 24 + 2 \sqrt{5} (y − \sqrt{5})

> p2:=implicitplot(t,x=1.5..2.5,y=2..3):
> display(–p1,p2˝ );
> f1:=yˆ 2-xˆ 3+6*xˆ 2-9*x;

f1 := y^{2} − x^{3} + 6 x^{2} − 9 x

> fx:=diff(f1,x);

fx := −3 x^{2} + 12 x − 9

> fy:=diff(f1,y);

fy := 2 y

> solve(–f1=0,fx=0,fy=0˝ ,–x,y˝ );

{ x = 3, y = 0 }

> p1:=implicitplot(f1,x=0..6,y=-3..3):
> display(p1);
> subs(x=1,y=2,f1);

0

> t:=subs(x=1,y=2,fx)*(x-1)+subs(x=1,y=2,fy)*(y-2);

t := 4 y − 8

> p2:=implicitplot(t,x=0..6,y=-3..3):
> display(–p1,p2˝ );
> fxx:=diff(f1,x,x);
fxx := −6 x + 12
> fxy:=diff(f1,x,y);
fxy := 0
> fyy:=diff(f1,y,y);
fyy := 2
> tk:=subs(x=3,y=0,fxx)*(x-3)ˆ 2+subs(x=3,y=0,fxy)*(x-3)*y+
> subs(x=3,y=0,fyy)*yˆ 2;
tk := −6 ( x − 3 )^{2} + 2 y^{2}
> p3:=implicitplot(tk,x=0..6,y=-3..3):
> display(–p1,p3˝ );

8.8 Projektivní rozšíření rovinných křivek (ag7.ms)

> homog:= proc(poly,stupen)
> expand(zˆ stupen*subs(x=x/z,y=y/z, poly)) end;

homog := proc(poly,stupen)

expand(zˆ stupen*subs(x = x/z,y = y/z,poly)) end

> g:=homog(y-xˆ 2,2);
g := z y − x^{2}
> dehomog := proc(poly,prom) subs(prom=1,poly) end;

dehomog := proc(poly,prom) subs(prom = 1,poly) end

> dehomog(g, z);
y − x^{2}
> homog(xˆ 2*y-yˆ 3, 3);
x^{2} y − y^{3}

8.8 Projektivní rozšíření rovinných křivek (ag7.ms) 69

> hom := proc(poly, stupen, n)
> expand(subs(seq(x.i=x.i/x0, i=1..n),poly)*x0ˆ stupen) end;

Warning, ‘i‘ is implicitly declared local

hom :=

proc(poly,stupen,n) local i;

expand( subs(seq(x.i = x.i/x0,i = 1 .. n),poly) *x0ˆ stupen)

end

> hom(x3-x1ˆ 3, 3, 3);
x0^{2} x3 − x1^{3}

> dehomog(”, x3);
x0^{2} − x1^{3}

> f:=y-xˆ 3+x;
f := y − x^{3} + x

> g:=homog(f,3);
g := z^{2} y − x^{3} + z^{2} x

> solve(–g, diff(g,x), diff(g,y), diff(g,z)˝ , –x,y,z˝ );
{ x = 0, z = 0, y = y }

> h:=dehomog(g,y);
h := z^{2} − x^{3} + z^{2} x

> solve(–g, diff(g,x), diff(g,z)˝ , –x,z˝ );
{ x = 0, z = 0 }

> with(plots):
> implicitplot(h, x=-5..5, z=-5..5, grid=[50,50]);
> f1:=y-xˆ 3; g1:=homog(f1,3); h1:=dehomog(g1,y);
f1 := y − x^{3}
g1 := z^{2} y − x^{3}
h1 := z^{2} − x^{3}

> implicitplot(h1, x=0..4, z=-4..4, grid=[50,50]);
> f2:=y-xˆ 4; g2:=homog(f2,4); h2:=dehomog(g2,y);
f2 := y − x^{4}
g2 := z^{3} y − x^{4}
h2 := z^{3} − x^{4}
> implicitplot(h2, x=-2..2, z=0..4, grid=[50,50]);
> f:=yˆ 2-xˆ 3+6*xˆ 2-9*x;
f := y^{2} − x^{3} + 6 x^{2} − 9 x
> implicitplot(f, x=0..4, y=-3..3, grid=[30,30]);
> solve(–f, diff(f,x), diff(f,y)˝ ,–x,y˝ );
{ y = 0, x = 3 }
> D2:=subs(x=3,y=0,diff(f,x,x)*uˆ 2 + 2*diff(f,x,y)*u*v +
> diff(f,y,y)*vˆ 2);
D2 := −6 u^{2} + 2 v^{2}
> solve(”, –u,v˝ );
\{u = u, v = \sqrt{3}u\} , \{u = u, v = −\sqrt{3}u\}
> g:=homog(f,3);
g := z y^{2} − x^{3} + 6 z x^{2} − 9 z^{2} x
> h:=dehomog(g,y);
h := z − x^{3} + 6 z x^{2} − 9 z^{2} x
> solve(–h,diff(h,x), diff(h,z)˝ , –x,z˝ );
> implicitplot(h, x=-3..3, z=-3..3, grid=[50,50]);
> diff(h,x); diff(h,z);
−3 x^{2} + 12 z x − 9 z^{2}
1 + 6 x^{2} − 18 z x
> f:=xˆ 6 -x*y +yˆ 6;
f := x^{6} − x y + y^{6}
> sing := proc(poly) solve(–poly, diff(poly,x), diff(poly,y)˝ ,
> –x,y˝ ) end;

sing :=

8.9 Projektivní rozšíření prostorových křivek (ag8.ms) 71

proc(poly)

solve(

–poly,diff(poly,x),diff(poly,y)˝ ,–x,y˝ )

end

> sing(f);
{ x = 0, y = 0 }

> implicitplot(f, x=-1..1, y=-1..1, grid=[50,50]);
> dehomog(homog(f,6),y);
x^{6} − z^{4} x + 1

> implicitplot(”, x=-2..2, z=-2..2, grid=[30,30]);
> f:=xˆ 3-z*x*y +yˆ 3;
f := x^{3} − z x y + y^{3}

> sing3 := proc(poly) solve(–poly, diff(poly,x), diff(poly,y),
> diff(poly, z)˝ , –x,y,z˝ ) end;

sing3 :=

proc(poly)

solve(–

poly,diff(poly,x),diff(poly,y),diff(poly,z)

˝ ,–z,x,y˝ ) end

> sing3(f);
{ x = 0, y = 0, z = z }

> h:=dehomog(f, z);
h := x^{3} − x y + y^{3}

> implicitplot(h, x=-1..1, y=-1..1, grid=[50,50]);
> implicitplot3d(f, x=-1..1, y=-1..1, z=0..1, grid=[25,25,25]);

8.9 Projektivní rozšíření prostorových křivek (ag8.ms)

> homog:= proc(poly,stupen)
> expand(zˆ stupen*subs(x=x/z,y=y/z, poly)) end;

homog :=

proc(poly,stupen)

expand(zˆ stupen*subs(x = x/z,y = y/z,poly)) end

> dehomog := proc(poly,prom) subs(prom=1,poly) end;

dehomog :=

proc(poly,prom) subs(prom = 1,poly) end

> hom := proc(poly, stupen, n)
> expand(subs(seq(x.i=x.i/x0, i=1..n),poly)*x0ˆ stupen) end;

Warning, ‘i‘ is implicitly declared local

hom :=

proc(poly,stupen,n) local i;

expand( subs(seq(x.i = x.i/x0,i = 1 .. n),poly) *x0ˆ stupen)

end

> hom(x3-x1ˆ 3, 3, 3);
x0^{2} x3 − x1^{3}

> dehomog(”, x3);
x0^{2} − x1^{3}

f := y − x^{3} + x

> with(plots):
> singn := proc(poly, prom) solve(–poly, seq(diff(poly,i),i=prom)˝ ,
> –op(prom)˝ ) end;

Warning, ‘i‘ is implicitly declared local

singn :=

proc(poly,prom)

local i;

solve(–poly,seq(diff(poly,i),i = prom)˝ ,

–op(prom)˝ )

end

> f:= x3-x1*x2; singn(f,[x1,x2,x3]);
f := x3 − x1x2

> hom(f,2,3);
x0x3 − x1x2

8.10 Homogenní polynomy (resultanty) (ag9.ms) 73

> dehomog(”,x1);
x0x3 − x2
> singn(”,[x0,x3,x2]);
> f:=x3-x1ˆ 2*x2;
f := x3 − x1^{2} x2
> plot3d(x1ˆ 2*x2, x1=-2..2, x2=-2..2);
> singn(f,[x1,x2,x3]);
> hom(f,3,3);
x0^{2} x3 − x1^{2} x2
> dehomog(”,x3);
x0^{2} − x1^{2} x2
> implicitplot3d(”, x1=-2..2, x2=-2..2, x0=-2..2);
> singn(””,[x0,x1,x2]);
{ x1 = 0, x2 = x2, x0 = 0 }

8.10 Homogenní polynomy (resultanty) (ag9.ms)

> f:=x*y-1:g:=xˆ 2+yˆ 2-4:
> resultant(f,g,x);
y^{4} − 4 y^{2} + 1
> solve(–”˝ ,y);

\{y = \frac{1}{2} \sqrt{6} + \frac{1}{2} \sqrt{2}\} , \{y = \frac{1}{2} \sqrt{6} − \frac{1}{2} \sqrt{2}\} , \{y = − \frac{1}{2} \sqrt{6} + \frac{1}{2} \sqrt{2}\} ,

\{y = − \frac{1}{2} \sqrt{6} − \frac{1}{2} \sqrt{2}\}

> sol:=[”]:
> for a in sol do solve(–subs(a,f),subs(a,g)˝ , x) od;

\{x = \frac{1}{2} \sqrt{6} − \frac{1}{2} \sqrt{2}\}

\{x = \frac{1}{2} \sqrt{6} + \frac{1}{2} \sqrt{2}\}

\{x = − \frac{1}{2} \sqrt{6} − \frac{1}{2} \sqrt{2}\}

\{x = − \frac{1}{2} \sqrt{6} + \frac{1}{2} \sqrt{2}\}

> f:=x*zˆ 2 - yˆ 3 + x*yˆ 2;
f := x z^{2} − y^{3} + x y^{2}

> gz:=subs(z=1, ”);
gz := x − y^{3} + x y^{2}

> solve(–gz, diff(gz,x), diff(gz,y)˝ , –x,y˝ );
> with(plots): implicitplot(gz, x=-2..2, y=-2..2);
> gy:= subs(y=1, f);
gy := x z^{2} − 1 + x

> solve(–gy, diff(gy,x), diff(gy,z)˝ ,–x,z˝ );
> f:=expand((x+y+z)ˆ 3 - 27*x*y*z);

f := x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x^{2} z + 3 x y^{2} − 21 x y z + 3 x z^{2} + y^{3} + 3 y^{2} z + 3 y z^{2}

+ z^{3}

> gz:=subs(z=1, f);

gz := x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x^{2} + 3 x y^{2} − 21 x y + 3 x + y^{3} + 3 y^{2} + 3 y + 1

> solve(–gz, diff(gz,x), diff(gz,y)˝ , –x,y˝ );
{ x = 1, y = 1 }

> hess:= diff(gz,x,x)*uˆ 2 + 2*diff(gz,x,y)*u*v + diff(gz, y, y)*vˆ 2;

hess := ( 6 x + 6 y + 6 ) u^{2} + 2 ( 6 x + 6 y − 21 ) u v + ( 6 x + 6 y + 6 ) v^{2}

> hess:=subs(x=1,y=1, hess);
hess := 18 u^{2} − 18 u v + 18 v^{2}

> solve(–hess˝ , –u,v˝ );
{ u = RootOf( Z^{2} − Z v + v^{2} ), v = v }

> implicitplot(gz, x=0..2, y=0..2);
> f:= x*yˆ 2+ y*zˆ 2 + z*xˆ 2 + xˆ 2*y + yˆ 2*z + zˆ 2*x + alpha*x*y*z;
f := x y^{2} + y z^{2} + x^{2} z + x^{2} y + y^{2} z + x z^{2} + α x y z

> gz:=subs(z=1,f);
gz := x y^{2} + y + x^{2} + x^{2} y + y^{2} + x + α x y

8.11 Inflexe rovinných křivek (ag10.ms) 75

> solve(–gz, diff(gz,x), diff(gz,y)˝ , –x,y,alpha˝ );

{ α = 2, x = −1, y = 1 }, { α = 2, x = −1, y = −1 }, { x = 1, α = 2, y = −1 }, { x = 1, α = −6, y = 1 }, { y = RootOf( Z^{2} + Z + 1 ), x = −1 − RootOf( Z^{2} + Z + 1 ), α = 3 }

> gz6:=subs(alpha=-6,gz);
gz6 := x y^{2} + y + x^{2} + x^{2} y + y^{2} + x − 6 x y

> hess:=subs(x=1,y=1,diff(gz6,x,x)*uˆ 2 + 2*diff(gz6,x,y)*u*v +
> diff(gz6, y,y)*vˆ 2);
hess := 4 u^{2} − 4 u v + 4 v^{2}

> solve(–hess˝ , –u,v˝ );
{ u = RootOf( Z^{2} − Z v + v^{2} ), v = v }

8.11 Inflexe rovinných křivek (ag10.ms)

> F:=xˆ 3+yˆ 3-3*a*x*y*z;
F := x^{3} + y^{3} − 3 a x y z

> param:=[3*a*t/(1+tˆ 3), 3*a*tˆ 2/(1+tˆ 3), t=-.7..15];

param := [3 \frac{a t}{1 + t^{3}} , 3 \frac{a t^{2}}{1 + t^{3}} , t = −.7..15]

> ob2:=plot(subs(a=1,param)):ob1:=plot(subs(a=2,param)):
> with(plots):
> display([ob1,ob2]);
> f:=subs(z=1, F);
f := x^{3} + y^{3} − 3 a x y

> solve(–f, diff(f,x), diff(f,y)˝ ,–x,y˝ );
{ y = 0, x = 0 }

> g:=subs(x=1,F);
g := 1 + y^{3} − 3 a y z

> bod:=solve(–g, z˝ ,–y,z˝ );

bod := { z = 0, y = −1 }, { z = 0, y = RootOf( Z^{2} − Z + 1 ) }

> der:=subs(x=1,z=0,y=-1,[diff(F,x),diff(F,y),diff(F,z)]);
der := [ 3, 3, 3 a]
> hess:=linalg[matrix](3,3,[diff(F,x,x),diff(F,x,y),diff(F,x,z),
> diff(F,y,x),diff(F,y,y),diff(F,y,z),diff(F,z,x),diff(F,z,y),
> diff(F,z,z)]);

hess := [ \begin{matrix}6 x & −3 a z & −3 a y \\ −3 a z & 6 y & −3 a x \\ −3 a y & −3 a x & 0 \end{matrix} ]

> H:=linalg[det](hess);

H := −54 x^{3} a^{2} − 54 a^{3} z y x − 54 a^{2} y^{3}

> solve(–F,H˝ ,–x,y,z˝ );

{ y = y, z = 0, x = −y }, { y = y, z = 0, x = RootOf( Z^{2} − Z y + y^{2} ) },

{ y = 0, x = 0, z = z }
> solve(–H,diff(H,x),diff(H,y),diff(H,z)˝ ,–x,y,z˝ );
{ y = 0, x = 0, z = z }

8.12 Poláry rovinných křivek (ag11.ms)

> F:=x*(yˆ 2+xˆ 2) - 2*a*yˆ 2*z;
F := x ( y^{2} + x^{2} ) − 2 a y^{2} z
> with(plots):
> implicitplot(subs(z=1,a=1,F), x=-1.5..2.5, y=-10..10,
> grid=[40,40]);
> solve(–F,diff(F,x), diff(F,y), diff(F,z)˝ ,–x,y,z˝ );
{ x = 0, z = z, y = 0 }
> f:=subs(z=1,F):solve(subs(x=0,y=0,–diff(f,x,x)*uˆ 2+2*diff(f,x
> ,y)*u*v+diff(f,y,y)*vˆ 2˝ ),–u,v˝ );
{ u = u, v = 0 }
> solve(–F,z=0˝ ,–x,y,z˝ );

{ x = 0, z = 0, y = y }, { z = 0, y = y, x = I y }, { x = −I y, z = 0, y = y }

> tangent:=subs(x=0,y=1,z=0, diff(F,x)*X+diff(F,y)*Y+diff(F,z)*Z);
tangent := X − 2 a Z

8.12 Poláry rovinných křivek (ag11.ms) 77 tecna ve smeru:

> Da:= proc(bod, F)
> op(1,bod)*diff(F,x)+op(2,bod)*diff(F,y)+op(3,bod)*diff(F,z) end;

Da := proc(bod,F) op(1,bod)*diff(F,x)+op(2,bod)*diff(F,y)+op(3,bod)* diff(F,z) end

> K1:=Da([1,1,0],F);
K1 := y^{2} + 3 x^{2} + 2 x y − 4 a y z
> implicitplot(subs(z=1,a=1,–F,K1˝ ),x=-0.5..2.5, y=-1.5..1.5,
> grid=[40,40]);
> xxx:=solve(subs(a=1,–F,K1,z=1˝ ),–x,y,z˝ );
xxx := { z = 1, x = 0, y = 0 }, {z = 1,
x = RootOf( 2 Z^{3} − 12 Z^{2} + 21 Z − 8 ), y =
−6 RootOf( 2 Z^{3} − 12 Z^{2} + 21 Z − 8 )^{2}

+ 19 RootOf( 2 Z^{3} − 12 Z^{2} + 21 Z − 8 ) − 8}

> evalf(”);

{ z = 1., x = 0, y = 0 }, { z = 1., x = .5243134822, y = .312528396 }

> bod:=subs(op(op(2,[”])),[x,y,z]);
bod := [ .5243134822, .312528396, 1.]
> K2:=subs(a=1,Da(bod,Da(bod,F)));

K2 := 1.844775763 x − 1.844775762 y − .3906959932 z

> implicitplot(subs(z=1,a=1,–F,K1,K2˝ ),x=-0.5..2.5, y=-1.5..1.5,
> grid=[40,40]);
> F:=(x+z)*(xˆ 2+yˆ 2);
F := ( x + z) ( y^{2} + x^{2} )