Zdeněk Pospíšil - výuka
Osnova předmětu Matematika pro biology
- Logika a teorie množin
- Logika
(cesta od správných předpokladů ke správným závěrům)
- Výroková logika
(klasický výrokový počet)
- Syntax (abeceda, definice výroků)
- Axiomatika (axiomy, odvození, důkaz; transformační pravidla)
- Sémantika (interpretace, tautologie, kontradikce)
- Predikátová logika
- Formule predikátové logiky
- Pravidla predikátové logiky
- Axiomatická teorie
- Vytvoření teorie
- Důkaz v teorii
- Vlastnosti teorie
- Teorie množin (universální jazyk matematiky)
- Základní pojmy
- Vymezení, určení množiny
- Vztahy mezi množinami
- Množinové operace
- Kartézský součin množin, kartézská mocnina
- (Binární) relace na množině
- Operace s relacemi
- Vlastnosti relací
- Významné relace (ekvivalence, uspořádání)
- Korespondence mezi množinami
- Operace s korespondencemi
- Významné korespondence, zobrazení
- Morfismy
- (Binární) operace na množině
- Základní číselné množiny N, Z, Q, R
- Aplikace:
Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním
(Lindenmayerovy systémy)
-
Kombinatorika
(kvantifikace rozmanitosti)
- Počet možných výběrů z předem daného souboru
- Permutace n prvků
- Variace k-té třídy z n prvků
- Kombinace k-té třídy z n prvků
- Permutace s opakováním
- Variace k-té třídy z n prvků s opakováním
(vracením)
- Kombinace k-té třídy z n prvků s opakováním
(vracením)
- Rozdělení n předmětů do k přihrádek
- Princip inkluze a exkluze
- Aplikace:
- Počty diploidních genotypů a fenotypů
- Počet bakteriálních chromozomů vytvořených z n genů
- Úvod do počtu pravděpodobnosti
(matematika náhody)
- Základní pojmy
- Náhodný pokus
- (Základní) prostor (možných) výsledků
- Kódování průběhu a výsledků náhodného pokusu
- Jev
- Pravděpodobnost
- Klasická definice pravděpodobnosti
- Geometrická pravděpodobnost
- Empirická pravděpodobnost (Poměrná četnost jevu)
- Axiomatická definice pravděpodobnosti
- Vlastnosti pravděpodobnosti, princip inkluze a exkluze
- Závislost a nezávislost jevů
- Deterministická závislost
- Stochastická nezávislost
- Podmíněná pravděpodobnost
- Definice
- Vzorec pro celkovou pravděpodobnost
- Bayesův vzorec a metoda maximální věrohodnosti
-
Aplikace:
- Hardyho-Weinbergův zákon
- Odhad počtu ryb v jezeře
- Lékařská diagnostika
- Lineární algebra
(práce s mnohorozměrnými veličinami)
- Matice a vektory
- Pojem matice a vektoru, typy matic
- Operace s maticemi
- Řešení soustav lineárních rovnic
- Gaussova eliminační metoda
- Matice soustavy, rozšířená matice soustavy
- Elementární transformace matic
- Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
- Hodnost matice, regulární čtvercová matice
- Kroneckerova-Capelliho věta
- Inversní matice k čtvercové matici
- Řešení soustavy pomocí determinantů
- Vlastní čísla a vlastní vektory čtvercové matice
- Aplikace:
Růst strukturované populace (Leslieho model)
- Reálné funkce
(popis změn a vývoje)
- Základní pojmy
- Jednoduché vlastnosti
- Ohraničenost
- Sudost, lichost
- Periodičnost
- Monotonnost
- Skládání funkcí
- Inversní funkce
- Aritmetické operace s funkcemi
- Elementární funkce
- Polynom
- Racionální lomená funkce
- Exponenciální funkce
- Logaritmická funkce
- Obecná mocnina
- Goniometrické funkce
- Cyklometrické funkce
- Jiné funkce
- Absolutní hodnota
- Funkce signum
- Celá část reálného čísla
- Posloupnosti
- Definice, zadávání posloupnosti
- Limita
- Vlastní limita a její vlastnosti
- Nevlastní limita a její vlastnosti
- Diference a její význam
- Vyšetřování monotonnosti
- Hledání extrémů
- Aplikace:
Vývoj populace s oddělenými generacemi
- Základní pojmy diferenciálního a integrálního počtu
(analýza nekonečně malého)
- Spojité funkce
- Spojitost na intervalu (intuitivně)
- Weierstrassovy věty
- Bolzanovy věty, řešení rovnic
- Spojitost v bodě
- Okolí bodu
- Definice spojitosti
- Spojitost součtu, součinu a podílu funkcí, složené a
inversní funkce
- Limita funkce
- Definice limity a jednostranné limity
- Vztah mezi limitou funkce a limitou posloupnosti (Heineova
podmínka)
- Vztah mezi limitou funkce a spojitostí
- Vlastnosti vlastní limity
- Vlastnosti nevlastní limity
- Derivace
- Definice derivace v bodě, její geometrický význam
- Derivace jako funkce
- Pravidla pro počítání s derivacemi
- Derivace elementárních funkcí
- Diferenciál
- Užití derivací
- Věta o střední hodnotě
- Hledání extrémů funkcí
- De l'Hospitalovo pravidlo
- Primitivní funkce (neurčitý integrál)
- Definice a základní vlastnosti primitivní funkce
- "Tabulkové" integrály
- Základní integrační metody
- Integrace "per partes"
- Substituční metoda
- Určitý integrál
- Definice a základní vlastnosti Newtonova integrálu
- Integrace "per partes" a substituční metoda pro určité
integrály
- Užití určitého integrálu
- Plocha obrazců
- Délka křivky
- Diferenciální rovnice
(nejjednodušší vyjádření přírodních zákonů)
- Základní pojmy
- Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu rozřešení vzhledem
k derivaci a její obecné řešení
- Počáteční úloha pro ODR prvního řádu, partikulární řešení
diferenciální rovnice
- Autonomní ODR prvního řádu
- Definice a interpretace
- Řešení počáteční úlohy pro autonomní ODR
- Singulární body (stacionární řešení, equilibria)
- ,,Fázový portrét" autonomní ODR
- Aplikace:
Růst populace v prostředí s omezenými zdroji
Zpět na stránku výuky
Z. Pospíšila
Zpět na domovskou stránku
Z. Pospíšila