Úkol 6

1. Řešte následující rovnici pro proměnnou \(x\). \[ x^3-(a-1)x^2+a^2x-a^3=0 \] Z reálného řešení udělejte funkci proměnné \(a\) a určete její hodnoty pro \(a=0\) a \(a=1\). Aproximujte hodnotu pro \(a=2\).
2. Definujte v Maximě funkci, která je 1 na intervalu \(\langle -1,1 \rangle\) a 0 jinde. Tuto funkci nakreslete.
3. Napište proceduru, která počítá Legendrovy polynomy \(L_n(x)\), definované takto: \(L_0(x)=1\), \(L_1(x)=x\) a \(L_n(x)=((2n-1)xL_{n-1}(x)-(n-1)L_{n-2}(x))/n\). Spočtěte \(L_7(x)\) a výsledek ověřte pomocí odpovídající procedury Maximy.
4. Najděte všechna řešení systému rovnic \(x^2+y^2=5\), \(xy=y^2-2\) symbolicky a numericky. Ověřte správnost řešení.
5. Řešte nerovnici \[ x < (x-3)^2 \]