Veta. Vlastnosti Bézierových křivkových segmentů \underline{Omezené kolísání}:žádná nadrovina neprotíná Bézierův křivkový segment časteji než odpovídající Bézierův polygonalní tah (variation diminishing property).

Věta o zvýšení stupně BKS dává návod, jak zvýšit počet kontrolních bodů o 1 a BKS se přitom nezmění.

Dokážeme, že zvýšením stupně BKS a tím zvýšením počtu kontrolních bodů se nezvýší počet průsečíků s nadrovinou a polygonalním tahem. Při nekonečném opakovaní zvyšování stupně dle Věty budou sestrojované polygonalní tahy konvergovat k BKS(to vyplývá z aproximace křivky a z vlastnosti kontrolních bodů, které vytvářejí konvexni obal). Máme tedy dáno (n + 1) kontrolních bodů b_{0}^{0} = b_{0}, …, b_{n}^{0} = b_{n}.S použitím Věty o zvýšení stupně BKS získáme b_{k}^{l}, kde l=(1, 2, …, ∞) a k=(0, 1, …,- n + l + 1). Označme P^{l} polygon v l-tém kroce, tzn.polygon složený z úseček mezi body b_{0}^{l}, b_{1}^{l}, …, b_{n+l+1}^{l} . Označme $ počet včech průsečíků nadroviny s polygonem a Θ nadrovinu. Přeformulujme tedy větu do tvaru:

$(Θ ∩ P^{0}) ≥ $(Θ ∩ P^{1}) ≥ ⋯ ≥ $(Θ ∩ P^{l}) → $(Θ ∩ BKS)

Stačí nám dokázat, že

$(Θ ∩ P^{l}) ≥ $(Θ ∩ P^{l+1} )

Lemma 1. Počet průsečíků nadroviny Θ s polygonem v l-tém kroce ≥ počet průsečíků Θ s polygonem v (l + 1)-tém kroce.

[figure: b_{k−1}^{l}; b_{k}^{l}; b_{k+1}^{l}; b_{k}^{l+1}; b_{k+1}^{l+1}; Přechod od P^{l} k P^{l+1}]

2

[figure: b_{k}^{l+1}; b_{k+1}^{l+1}; b_{k}^{l}; b_{k}^{l}; b_{k}^{l}; Θ; Diskuse průniku]

Důkaz. Provedeme obměněnou implikaci:Protne-li Θ úsečku s krajními body b_{k}^{l+1} , b_{k+1}^{l+1} polygonu v (l + 1)-kroce, pak Θ protne alespoň jednu z úseček a) s krajními body b_{k−1}^{l}, b_{k}^{l} nebo b) s krajními body b_{k}^{l}, b_{k+1}^{l} v l-tém kroce. Body b_{k}^{l+1} a b_{k+1}^{l+1} musí ležet v opačných poloprostorech určených nadrovinou Θ (aby Θ protínala úsečku mezi těmito body). V předchozím, tj. l-tém, kroce musely tyto 2 body být spojeny lomenou čárou. Alespoň jednu z těchto čar musela tedy Θ protnout.

V obrázcích je použit průmět prostoru do roviny pro lepší názornost (průmět nadroviny do roviny je přímka) a díky afinním transformacím se vlastnosti zachovavají (např. BKS se zobrazí do BKS,…)