𝕊 𝕋 𝔸 𝕋 𝔼

GÖDELOV ONTOLOGICKÝ DÔKAZ EXISTENCIE BOHA^{⋆}

Pavol ZLATOŠ

GÖDEL’S ONTOLOGICAL PROOF OF THE EXISTENCE OF GOD The ontological proof of the existence of God from Gödel’s heritage is presented and analyzed in regard to the classical ontological proofs, due to Descartes and Spinoza, and their criticism by Leibniz and Kant. Some recent works are taken into account as well, mainly the criticism of Descartes’ proof by R. M. Smullyan, the emendations to Gödel’s proof by C. A. Anderson and the analysis of the metaphysical presuppositions and biases behind the proof (and the modern European science in general) assumed from scholastic, due to P. Vopěnka.

Ešte za Gödelovho života kolovali chýry, že Majster vo svojich neskorších rokoch trávil hodne času hl’adaním matematického dôkazu existencie Boha. V jeho pozostalosti sa skutočne našiel jeden list papiera s takýmto dôkazom. Dôkaz vzbudil značnú pozornost’ v spoločnosti matematických logikov a jeho matematické aspekty boli vzápätí do detailov preskúmané. Taktiež sa čoskoro objavil rad článkov venovaných filozofickým aspektom Gödelovho dôkazu, najmä analýze metafyzických predpokladov ležiacich v jeho pozadí a otázke jeho presvedčivosti či spochybnitel’nosti. Napokon sa tiež vyskytli pokusy Gödelov dôkaz rôznym spôsobom vylepšit’, t. j. matematickými prostriedkami preklenút’ jeho prípadné slabé miesta.^{1} Vcelku možno povedat’, že objav Gödelovho dôkazu znovu oživil problematiku dôkazov Božej existencie, ktorá sa po Kantovej Kritike čistého rozumu a Kritike súdnosti už považovala za v zásade uzavretú.

Gödelov dôkaz je vlastne formalizáciou logickej esencie známeho ontologického dôkazu Descartesovho, nadväzujúceho na staršie dôkazy sv. Anselma a Dunsa Scota. Taktiež na ňom vidno zretel’ný vplyv neskoršieho dôkazu Spinozovho. Je známe, že tieto dôkazy podrobili kritike viacerí myslitelia — napr. Leibniz, no hlavne Kant. Na Gödelovom dôkaze je zaujímavé najmä dômyselné využitie modálnej logiky druhého rádu, pomocou ktorej sa Gödelovi podarilo formálne bezchybne preklenút’ slabé miesta spomínaných klasických dôkazov, takže — aspoň na prvý pohl’ad — Leibnizova ani Kantova kritika sa na jeho dôkaz nevzt’ahujú.

V článku sa oboznámime so základnými myšlienkami Descartesovho ontologického dôkazu, ako aj s hlavnými námietkami Leibniza a Kanta, no posledné slovo prenecháme Smullyanovi. Potom podrobne preberieme Gödelov dôkaz, pričom ukážeme, ako sa Gödel zaštítil proti Leibnizovej a Kantovej kritike, a upozorníme na niektoré súvislosti so Spinozovým dôkazom. Vzápätí kriticky preskúmame i samotný Gödelov dôkaz a posúdime možnosti, ako sa vyhnút’ prípadným námietkam. Napokon sa spolu zamyslíme nad filozofickými a teologickými východiskami a predpojatost’ami dôkazov Božej existencie z princípov čistého rozumu, dôsledkami podriadenia Boha rozumu, ako aj nad otázkou, prečo (napriek formálnej dokonalosti) nie je Gödelov dôkaz o nič presvedčivejší než tie predošlé.

⋆ Príspevok vyžiadaný od autora redakciou časopisu.

1Úvod do problematiky, ako aj čiastočný prehl’ad literatúry možno nájst’ napr. u P. Hájka, Der Mathematiker und die Frage der Existenz Gottes [6], Magari and others on Gödel’s ontological proof [7].

ORGANON F 3 (1996), No. 3, 211–238 Copyright ◯^{c} Filozofický ústav SAV, Bratislava

1. Descartov ontologický dôkaz

Pokusy o dôkaz Božej existencie len z princípov čistého rozumu hrali po celý stredovek významnú úlohu v rozumárskej teológii. I vd’aka nim sa na pôde scholastiky vycibrilo používanie aristotelovskej logiky do značnej dokonalosti a majstrovstva. Korene týchto snáh však siahajú ešte hlboko do čias gréckej antiky, ked’vo vtedajšej filozofii prevládol i neskôr v stredoveku hojne zastávaný názor, že všetko isté a nezvratné poznanie možno získat’ jedine prostredníctvom rozumových úvah. Úlohou filozofie potom je — práve prostredníctvom rozumových úvah — odhalit’ za zdaním pravú skutočnost’ a získat’ o nej pravé a nepochybné poznanie. Tým sa myslí spoznat’ v prvom rade poriadok sveta, jeho zákonitosti a nevyhnutnosti, teda to, čo je vo svete stále a nemenné. Jednotlivé úkazy a veci sú naopak premenlivé, nestále a dočasné. Práve preto treba cez javy preniknút’ k ich podstatám a za zmenami odhalit’ ich zákonitosti a z nich potom spätne vyložit’ jednotlivé javy i zmeny, ktorým podliehajú. Zdrojom takéhoto poznania však nemôžu byt’ zmysly, ktoré nás často klamú, ani naša každodenná skúsenost’. Tá môže naše uvažovanie síce podnietit’, no k pravému poznaniu môžeme dospiet’ len po ceste myslenia a rozumu. V tom sú skoro všetci starí myslitelia vzácne zajedno.

Ak sa teda chceme utvrdit’ v existencii Boha s nezvratnou istotou, neponechávajúcou ani ten najmenší priestor pochybnostiam akéhokol’vek druhu, musíme nevyhnutnost’ existencie božskej bytosti dokázat’ z princípov čistého rozumu.^{2}

Stredovekými dôkazmi existencie Boha sa v našich úvahách zaoberat’ nebudeme.^{3} Na naše účely celkom postačí, ked’ na tomto mieste zrekapitulujeme osnovu tzv. ontologického^{4} dôkazu Descartovho. V Úvahách o prvej filozofii, v Piatej úvahe, O podstate hmoty a znova o Božej existencii,^{5} Descartes píše:

Ak už len z toho, že môžem ideu veci vyňat’ zo svojho myslenia, vyplýva, že všetko to, čo poznávam jasne a zretel’ne ako súčast’ tej veci, skutočne k nej patrí, či už nemožno len z toho získat’ aj dôkaz Božej existencie? Istotne nachádzam u seba ideu Boha, bytosti nanajvýš dokonalej, rovnako ako ideu nejakého tvaru alebo čísla. Rovnako jasne a zretel’ne poznávam, že k povahe Božej patrí jeho večná existencia, ako poznávam, že to, čo demonštrujem o nejakom tvare alebo čísle, patrí tiež k podstate tohto tvaru alebo čísla. Teda, i keby nebola pravda všetko to, o čom som v týchto posledných dňoch uvažoval, musela by existencia Božia mat’ pre mňa prinajmenšom ten stupeň istoty, ktorý až doposial’ mali matematické pravdy.

2O súvise scholastických dôkazov Božej existencie a logicizmu (moderného smeru vo filozofii a základoch matematiky) pozri P. Zlatoš, Ani matematika si nemôže byt’ istá sama sebou [18], Kapitola 8, Logika a logicizmus.

3Zasvätenú porovnávaciu štúdiu možno nájst’ u S. Sousedíka, Jan Duns Scotus [14], v časti Exkurs: Vztah Anselmova a Scotova důkazu.

4T. j. dokazujúceho nevyhnutnost’ existencie božského súcna len z jeho pojmového vymedzenia.

5Pozri [4].

Toto však nie je na prvý pohl’ad celkom jasné, lež vyzerá ako sofizmus. Som totiž zvyknutý vo všetkých veciach rozlišovat’ existenciu od podstaty, a tak l’ahko dospievam k presvedčeniu, že možno i existenciu Boha oddelit’ od jeho podstaty, takže si možno mysliet’ Boha ako nejestvujúceho. Ak sa však na to podívame pozornejšie, jasne sa ukáže, že existenciu Boha možno od jeho podstaty oddelit’ práve tak málo ako od podstaty trojuholníka vlastnost’, že sa vel’kost’ jeho troch uhlov rovná dvom pravým, alebo od idey hory ideu údolia. Je teda rovnako nezmyselné mysliet’ si Boha (t. j. bytost’ nanajvýš dokonalú), ktorému chýba existencia, ako si mysliet’ horu, ktorej chýba údolie.

Ale hoci si nemôžem mysliet’ Boha ako nejestvujúceho, ako si nemôžem mysliet’ horu bez údolia, predsa z toho, že si myslím horu s údolím, ešte nevyplýva, že je na svete nejaká hora. Rovnako z toho, že si myslím Boha ako jestvujúceho, sotva vyplýva, že Boh jestvuje. Moje myslenie totiž neukladá veciam nevyhnutnost’ existencie. Tak, ako si môžem predstavit’ okrídleného koňa, hoci žiaden kôň nemá krídla, môžem si azda primysliet’ k Bohu existenciu, i ked’ nijaký Boh nejestvuje.

Ale tu sa v skutočnosti ukrýva sofizmus. Ved’ z toho, že si nemôžem mysliet’ horu bez údolia, nevyplýva, že niekde existuje hora a údolie, ale len to, že horu a údolie nemožno od seba oddelit’. No z toho, že si nemôžem mysliet’ Boha inak než existujúceho, vyplýva, že existencia je od Boha neoddelitel’ná, teda že Boh naozaj existuje. [...]

Do kritiky Descartovho dôkazu sa v tejto chvíli nebudeme púšt’at’. Čoskoro to totiž za nás urobia iní. Tu len upozorníme na tri zaujímavé skutočnosti.

Jednak je to postavenie, ktoré vo svojom dôkaze Descartes priznáva matematike: vari najpádnejší argument v prospech jeho dôkazu je ”prinajmenšom ten stupeň istoty, ktorý až doposial’ mali matematické pravdy“. To možno chápat’ priam ako výzvu matematike formalizovat’, a tým dotvorit’ uvedený alebo nejaký iný dôkaz Božej existencie. Sám Descartes na záver Úvah o prvej filozofii ešte raz zaradil svoj dôkaz, tentoraz ”usporiadaný geometrickou metódou“, čím akoby predjímal neskorší dôkaz Spinozov z jeho Etiky ordine geometrico,^{6} či dokonca čiastočne vyprovokoval dôkaz Gödelov. Ešte závažnejší je však na celej veci moment, ktorý spoza celej Descartovej — no, ako čoskoro uvidíme, aj Leibnizovej a Spinozovej — argumentácie jasne presvitá: Boh novovekej racionalistickej filozofie je chápaný ako predmet matematickej prírodovedy.

Ďalej si všimnime, že uvedený dôkaz nie je ”čiste ontologický“. Presnejšie, vieru v jeho presvedčivost’ Descartes čerpá nie zo samotného dôkazu, ale z empirického nálezu vlastnej introspekcie (nachádza u seba zretel’nú a jasnú ideu najdokonalejšej bytosti) a z istoty vlastného bytia, založenej na onom slávnom ”Cogito, ergo sum“. Dôvera vo vlastné zretel’né idey je však opät’ založená na nezáludnosti Božej (dokonalý, a tým i nekonečne dobrotivý Boh ho predsa nemôže klamat’).^{7} Teda existencia Boha ako dokonalej bytosti je predpokladom presvedčivosti celého dôkazu. Bludný kruh sa uzavrel.

6Pozri záverečnú čast’ Důvody dokazujúci Boží existenci a rozdíl ducha a těla, uspořádané geometrickou metodou v [4] a Kapitolu I, O Bohu v [15].

7Pozri R. Descartes, Rozprava o metodě [3], Část třetí, Důkazy o jsoucnosti Boha a lidské duše, neboli základy metafysiky.

Napokon si všimnime, že Descartov dôkaz skutočne pripomína dômyselný sofizmus, a sám autor si je toho dobre vedomý. Preto preventívne prechádza do protiútoku. Analyzujúc to, čo považuje za možné námietky, dospieva k záveru, že nie v jeho dôkaze, lež práve v prípadných námietkach sa nevyhnutne ukrýva nejaký sofizmus. Stojí za zmienku, že medzi Aristotelovou kritikou sofistických argumentov a podstatne mladšou Kantovou kritikou dôkazov existencie Boha možno nájst’ viacero analógií a paraliel.^{8}

Pozrime sa teraz do Úvahy o poznaní, pravde a ideách, v čom vidí slabinu Descartovho dôkazu Leibniz:^{9}

K hlbšiemu skúmaniu týchto vecí mi dal podnet kedysi slávny scholastický dôkaz Božej existencie, ktorý obnovil Descartes. Znie takto: Čo vyplýva z idey nejakej veci, čiže z jej definície, to o nej možno vypovedat’. Z idey Boha (čiže najdokonalejšieho bytia, nad ktoré si nemožno mysliet’ väčšie) vyplýva existencia. (Najdokonalejšie bytie totiž obsahuje všetky dokonalosti a medzi ne patrí aj existencia.) Bohu teda možno pripísat’ existenciu. V skutočnosti môžeme z tohto predpokladu vyvodit’ iba to, že existencia Boha vyplýva z jeho možnosti. Definície totiž nemôžeme bezpečne používat’ na uzatváranie, kým nevieme, či sú reálne, t. j. či neobsahujú protirečenie. Dôvod toho je ten, že z pojmov obsahujúcich protirečenie možno vyvodit’ zároveň protikladné závery, čo je absurdné. Aby som to lepšie osvetlil, uvádzam zvyčajne ako príklad najrýchlejší pohyb, lebo implikuje absurdnost’. Predpokladajme, že sa nejaké koleso točí maximálnou rýchlost’ou, a predĺžme niektorý jeho polomer; kto nezbadá, že sa konečný bod predĺženého polomeru bude pohybovat’ rýchlejšie ako klinec na obvode kolesa? Pohyb klinca teda nebude najrýchlejší, čo protirečí hypotéze. A predsa sa nám môže na prvý pohl’ad zdat’, že máme ideu najrýchlejšieho pohybu: chápeme totiž dobre, čo tým hovoríme, a predsa nemáme ani najmenšiu ideu nemožnosti. Práve tak nestačí mysliet’ na najdokonalejšie Bytie, aby sme mohli tvrdit’, že máme jeho ideu; v uvedenom dôkaze treba ale dokázat’ možnost’ najdokonalejšieho Bytia alebo ju predpokladat’, aby sme mohli správne uzatvárat’. Hoci nič nie je viac pravdivé, ako že máme ideu Boha a že najdokonalejšie Bytie je možné, dokonca aj nutné, predsa dôkaz nie je celkom správny a už Tomáš Akvinský ho zavrhol.^{10}

Z precíznej, vyčerpávajúcej a nie práve najl’ahšie zrozumitel’nej Kantovej kritiky vyberieme len jednu myšlienku. Tú možno zhrnút’ do niekol’kých viet. Ontologický dôkaz predpokladá možnost’ prisúdit’ pojmu nejakej veci existenciu ako vlastnost’. No existencia nie je žiadna vlastnost’, ktorú možno (pojmu) nejakej veci prisúdit’ alebo upriet’.^{11} Lež prenechajme slovo radšej samému Kantovi. V jeho Kritike čistého rozumu, Tretej časti, Štvrtej kapitole, O nemožnosti ontologického dôkazu existencie Boha, čítame:^{12}

Bytie zrejme nie je reálny predikát, t. j. pojem niečoho, čo môže pristúpit’ k pojmu nejakej veci. Je to iba stanovenie nejakej veci alebo určitých vecí osebe. Pri logickom používaní tvorí len kopulu súdu. Veta Boh je všemohúci obsahuje dva pojmy, ktoré majú svoje objekty: Boh a všemohúcnost’. Slovko je nie je predikátom navyše, ale len tým, čo predikát vzt’ahuje na subjekt. Ak vezmem subjekt (Boha) so všetkými jeho predikátmi (ku ktorým patrí aj všemohúcnost’) a poviem: Boh jestvuje, alebo Jestvuje

8Pozri Aristoteles, O sofistických důkazech [2], I. Kant, Kritika čistého rozumu [8]. 9Pozri [11], [12]. 10 Tým sa, prísne vzaté, myslí dôkaz Anselmov, nie Descartov. 11 Závažné výhrady voči tomuto druhu argumentácie, nerozlišujúcej rôzne mody existencie,

možno najst’ na už spomínanom mieste u S. Sousedíka [14] pri porovnaní Tomášovej kritiky Anselmovho dôkazu s kritikou založenou na uvedenej téze.

12 Pozri [8].

Boh, tak k pojmu Boha nepridávam nový predikát, ale iba stanovujem sám subjekt so všetkými jeho predikátmi, a to predmet vo vzt’ahu k môjmu pojmu. Obidva musia obsahovat’ presne to isté, a preto k pojmu vyjadrujúcemu iba možnost’ nesmie už nič pristúpit’, lebo si jeho predmet predstavujem ako naskrze daný (výrazom je). A tak skutočné neobsahuje viac, ako čo je iba možné. [...]

Ked’ si teda myslím nejakú vec s akýmikol’vek a kol’kýmikol’vek predikátmi (aj pri úplnom určovaní), pridaním ”Táto vec jestvuje“ sa k nej nič nepridá. Lebo potom by neexistovalo to isté, ako som myslel v pojme, ale viac, a nemohol by som povedat’, že existuje práve predmet môjho pojmu. [...] Ak si nejakú bytost’ myslím ako najvyššiu realitu (bez nedostatkov), ešte vždy ostáva otázka, či existuje, alebo nie. Lebo hoci v mojom pojme vôbec nič nechýba z možného reálneho obsahu nejakej veci, predsa len chýba čosi vo vzt’ahu k celému môjmu stavu myslenia, totiž, aby sa onen objekt dal poznat’ aj aposteriórne. [...] Ak však chceme existenciu mysliet’ iba prostredníctvom čistej kategórie, nečudo, že nemôžeme uviest’ znak, ktorým by sme ju odlíšili od čírej možnosti.

Všimnime si, že v závere Kantovej argumentácie už zaznieva aj kritika Leibnizovej kritiky.

Na záver si ešte predvedieme, ako vidí ontologický dôkaz náš súčasník, naslovovzatý ”gödelológ“ a enfant terrible, Raymond Smullyan. Jeho úvahy sa síce oproti váženým, slovutným filozofom nesú v l’ahšom tóne, no nie sú tým o nič menej hlboké a prenikavé — skôr naopak. Zalistujme teda v českom preklade jeho knihy What is the Name of this Book? kde v § 14 Ako dokázat’ čokol’vek, nájdeme pod číslom 241 Dôkaz, že existuje jednorožec.^{13} Stojí zato zoznámit’ sa s ním celým.

Chcem dokázat’, že existuje jednorožec. Nato stačí dokázat’ (zdanlivo) silnejšie tvrdenie, že existuje existujúci jednorožec. (Existujúcim jednorožcom samozrejme myslím jednorožca, ktorý existuje.) Je totiž zrejmé, že pokial’ existuje existujúci jednorožec, tak existuje jednorožec. Dokážeme teda, že existuje existujúci jednorožec. Sú práve dve možnosti:

(1) Existujúci jednorožec existuje.

(2) Existujúci jednorožec neexistuje.

Možnost’ (2) je však zrejme rozporná. Ako by existujúci jednorožec mohol neexistovat’? Tak, ako je pravda, že bežiaci jednorožec beží, existujúci jednorožec existuje.

Čo na tomto dôkaze nehrá? Je to vlastne vypreparovaná podstata slávneho Descartesovho ontologického dôkazu existencie Boha. Descartes definuje Boha ako bytost’, ktorá má vôbec všetky [dobré] vlastnosti. Podl’a tejto definície [ked’že vlastnost’ existencie je zrejme dobrá] má Boh aj vlastnost’ existencie, teda Boh existuje.

Immanuel Kant označil Descartov argument za chybný a zdôvodňoval to tým, že existencia nie je vlastnost’. Myslím, že v dôkaze je d’aleko závažnejšia chyba. Nehodlám sa tu priet’ o to, či existencia je alebo nie je vlastnost’. Ukážem, že i keby existencia bola vlastnost’ou, dôkaz je rovnako pochybný.

Podívajme sa najprv dôkladne na náš dôkaz existencie jednorožca. Ked’ poviem ”Existujúci jednorožec existuje“, nie je jasné, či tým myslím, že každý existujúci jednorožec existuje, alebo že existuje vôbec nejaký existujúci jednorožec. Keby som mal na mysli prvý význam, tak by to bola pravda — samozrejme, všetci existujúci jednorožci existujú — ako by mohol existujúci jednorožec neexistovat’? Ale to ešte neznamená, že ten výrok je pravdivý i v druhom význame, t. j. že musí existovat’ nejaký existujúci jednorožec.

Podobne je tomu s Descartovým dôkazom: vyplýva z neho v podstate len to, že každý Boh existuje, t. j. že všetko, čo vyhovuje Descartovej definícii Boha, musí mat’ aj

13 Pozri [13]. vlastnost’ existencie [pokial’ je existencia dobrá vlastnost’]. Lenže to ešte neznamená, že musí vôbec nejaký Boh existovat’.^{14}

2. Gödelov dôkaz

V tejto časti čo najvernejšie zreprodujeme Gödelov dôkaz. V záujme zrozumitel’nosti však trochu narušíme lakonickost’ originálu, t. j. niektoré miesta doplníme stručným vysvetl’ujúcim komentárom, a mierne pozmeníme jeho logickú symboliku do podoby zaužívanej u nás. Taktiež si dovolíme malú redakčnú zmenu v dôkaze Vety 1. Dvoma zásadnejšími zásahmi, na ktoré upozorníme na príslušnych miestach, si pripravíme záchytné body pre d’alšiu diskusiu.

Sledovanie dôkazu vyžaduje od čitatel’a aspoň minimálnu znalost’ predikátového počtu (formúl, logických spojok, premenných, kvantifikátorov, logických axióm a odvodzovacích pravidiel), t. j. logiky prvého rádu. I čitatel’ neznalý tohto jazyka môže na základe ”hladkého textu“ usledovat’ aspoň základnú kostru Gödelovej argumentácie, nevyhnutne tým však bude ukrátený o jej čaro.

Dôkaz je navyše vedený v modálnej logike druhého rádu. Až na jednu výnimku, ktorá sa vyskytne v dôkaze záverečného tvrdenia, kde na ňu výslovne upozorníme, si s modalitami môžeme dovolit’ narábat’ intuitívne. Znaky modalít ♢, resp. □ čítame ”je možné“, resp. ”je nevyhnutné“. Obe modality sú spojené podobným vzt’ahom ako existenčný a univerzálny kvantifikátor — nevyhnutné je to, čoho opak je nemožný, t. j. znak □ chápeme ako skratku za ¬ ♢ ¬. ”Druhého rádu“ znamená, že uvažujeme objekty dvojakého druhu:

(1) Jednak základné objekty (t. j. objekty prvého rádu), ktorým tu hovoríme súcna.

(2) Jednak budeme za objekty považovat’ aj vlastnosti základných objektov (t. j.

objekty druhého rádu), ktorým hovoríme jednoducho vlastnosti. Na označovanie premenných pre súcna používame malé latinské písmená x, y a pod., malé grécke písmená φ, ψ a pod. označujú premenné pre vlastnosti. Inak používame obvyklú logickú symboliku, špeciálne φ[x] znamená, že súcno x má vlastnost’ φ.

P[φ] znamená, že φ je dobrá (t. j. pozitívna) vlastnost’.

φ = {x; φ[x]} a ¬ φ = {x; ¬ φ[x]},

t. j. každá vlastnost’ je stotožnená so svojou extenziou.

Axióma 1. P[¬ φ] ⇔ ¬ P[φ]

Teda pre každú vlastnost’ φ platí:

Bud’ je dobrá vlastnost’ φ alebo jej negácia ¬ φ, ale nie obe zároveň.

Uvedená axióma je konjunkciou dvoch implikácií s podstatne odlišným významom. Aby sme mohli presne rozoznat’, ktorú z nich kedy použijeme, uvedieme každú zvlášt’, teda pôvodnú Gödelovu Axiómu 1 rozdelíme na dve axiómy.

14 Poznámky v hranatých zátvorkách doplnil P. Z.

Axióma 1a. P[¬ φ] ⇒ ¬ P[φ]

Ak ¬ φ je dobrá vlastnost’, tak vlastnost’ φ nie je dobrá.

Axióma 1b. ¬ P[φ] ⇒ P[¬ φ]

Ak vlastnost’ φ nie je dobrá, tak je dobrá vlastnost’ ¬ φ.

Axióma 2. (P[φ] & □ (∀ x)(φ[x] ⇒ ψ[x])) ⇒ P[ψ]

Vlastnost’, ktorá je nevyhnutným dôsledkom dobrej vlastnosti, je tiež dobrá.

Veta 1. P[φ] ⇒ ♢ (∃ x)φ[x]

Ak φ je dobrá vlastnost’, tak súcno s touto vlastnost’ou je možné.

Dôkaz.

Nech P[φ] a ¬ ♢ (∃ x)φ[x]. Potom □ (∀ x) ¬ φ[x], a tým skôr □ (∀ x)(φ[x] ⇒ ¬ φ[x]). Podl’a Axiómy 2 z toho vyplýva P[¬ φ]. Teda P[φ] aj P[¬ φ], to je však spor s Axiómou 1a.

Definícia 1. G[x] ⇔ (∀ φ)(P[φ] ⇒ φ[x])

Súcno x je božské (t. j. God-like), ak x má všetky dobré vlastnosti.

Axióma 3. P[G]

Byt’ božským súcnom, t. j. mat’ všetky dobré vlastnosti, je určite dobrá vlastnost’.

Z Vety 1 a Axiómy 3 okamžite plynie nasledujúci dôsledok:

Dôsledok. ♢ (∃ x) G[x]

Boh je možný.

Týmto tvrdením sa teda Gödel poistil proti Leibnizovej námietke.

Axióma 4. P[φ] ⇒ □ P[φ]

Predikát ”byt’ dobrou vlastnost’ou“ je vymedzený logicky, teda spĺňat’ ho znamená spĺňat’ ho nevyhnutne.

Definícia 2. φ Ess x ⇔ φ[x] & (∀ ψ)(ψ[x] ⇒ □ (∀ y)(φ[y] ⇒ ψ[y]))

Vlastnost’ φ je podstatou (t. j. esenciou) súcna x práve vtedy, ked’ x má vlastnost’ φ a každá vlastnost’ súcna x je nevyhnutným dôsledkom vlastnosti φ.

Veta 2. G[x] ⇒ G Ess x

Podstatou božského súcna je práve jeho božskost’.

Dôkaz.

Nech platí G[x] a ψ je vlastnost’ taká, že ψ[x]. Keby platilo ¬ P[ψ], tak z Axiómy 1b by sme dostali P[¬ ψ]. Z Definície 1 potom plynie ¬ ψ[x], čo je spor. Preto musí platit’ P[ψ]. Ale P[ψ] ⇒ (∀ y)(G[y] ⇒ ψ[y]) podl’a Definície 1. Ďalej □ P[ψ] ⇒ □ (∀ y)(G[y] ⇒ ψ[y]) podl’a pravidiel modálnej logiky. □ P[ψ] je však zaručené Axiómou 4. Preto tiež □ (∀ y)(G[y] ⇒ ψ[y]), a konečne G Ess x.

Z Definície 2 relácie Ess vyplývajú tieto dve pozorovania:

Poznámka. (φ Ess x & ψ Ess x) ⇒ □ (φ = ψ)

φ Ess x ⇒ □ (∀ y)(φ[y] ⇒ y = x)

Každé súcno má nevyhnutne nanajvýš jednu podstatu. Ak vlastnost’ φ je podstatou súcna x, tak x je nevyhnutne jediné súcno s touto vlastnost’ou. Preto každá vlastnost’ je podstatou nevyhnutne nanajvýš jedného súcna.

Definícia 3. NE[x] ⇔ (∀ φ)(φ Ess x ⇒ □ (∃ y)φ[y])

NE[x] znamená, že x nevyhnutne existuje z vlastnej podstaty, presnejšie, x nevyhnutne existuje, len čo nejaká vlastnost’ je jeho podstatou.

Takouto okl’ukou teda Gödel definuje vlastnost’ NE nevyhnutnej existencie z vlastnej podstaty. Formálna syntax modálnej logiky druhého rádu by potom mala zaručit’, že takto definovaná existencia je naozaj vlastnost’, a obrnit’ tým jeho dôkaz aj proti Kantovej kritike.

Axióma 5. P[NE]

Nevyhnutná existencia z vlastnej podstaty je určite dobrá vlastnost’.^{15}

Veta 2,5. ♢ □ (∃ x) G[x]

Nevyhnutná existencia Boha je možná.

Dôkaz.

Pretože vlastnost’ NE je dobrá, máme G[x] ⇒ NE[x].

15 Pôvodný Gödelov komentár znie: Being logically defined in this way, necessary existence is a positive property.

Veta 2 znie: G[x] ⇒ G Ess x.

Teda G[x] ⇒ (NE[x] & G Ess x).

Podl’a Definície 3 (NE[x] & G Ess x) ⇒ □ (∃ y) G[y].

Preto G[x] ⇒ □ (∃ y) G[y] a tiež (∃ x) G[x] ⇒ □ (∃ y) G[y].

Z toho vyplýva ♢ (∃ x) G[x] ⇒ ♢ □ (∃ y) G[y]

na základe pravidiel modálnej logiky.

No ♢ (∃ x) G[x] je Dôsledkom Vety 1.

Tým sme dokázali ♢ □ (∃ y) G[y].

V pôvodnom texte sa samozrejme nenachádza Veta 2,5. Tvrdenie ♢ □ (∃ x) G[x] sa tam vyskytuje len ako súčast’ dôkazu záverečnej Vety 3. Z neho potom Gödel bezprostredne uzatvára □ (∃ x) G[x], t. j. Boh nevyhnutne existuje. Pritom bez akéhokol’vek upozornenia použije jedno zd’aleka nie intuitívne zrejmé pravidlo modálnej logiky, ktoré sa dokonca ani nevyskytuje vo všetkých bežných modálnych systémoch. Je to o to pozoruhodnejšie, že predtým v dôkaze Vety 2 je použitie intuitívne zrejmého pravidla z Γ ⇒ Δ vyplýva □ Γ ⇒ □ Δ, kde Γ, Δ sú l’ubovol’né formuly modálnej logiky druhého rádu, sprevádzané komentárom ”by Modal logic“.^{16}

Formálny systém modálnej logiky, do ktorého vstupujeme prijatím spomínaného zamlčaného pravidla, sa zvykne označovat’ S5. Pravidlo hovorí: ”Čo je možné, to je nevyhnutne možné.“ Schematicky to môžeme zapísat’ v tvare:

♢ Γ ⇒ □ ♢ Γ,

kde Γ je l’ubovol’ná formula modálnej logiky druhého rádu. S použitím logického zákona transpozície, pravidiel negácie modálnych operátorov a substitúcie Γ miesto ¬ Γ l’ahko nahliadneme, že toto pravidlo je ekvivalentné s pravidlom: ”Čo môže byt’ nevyhnutné, to je nevyhnutné,“ ktoré možno schematicky zapísat’ v tvare:

♢ □ Γ ⇒ □ Γ.

Veta 3. □ (∃ x) G[x] G[x] ⇒ □ (∀ y)(G[y] ⇒ y = x)

Boh nevyhnutne existuje.

Boh je nevyhnutne jediný.^{17}

Dôkaz.

Prvé tvrdenie okamžite vyplýva z Vety 2,5 a druhého z práve

spomínaných pravidiel modálnej logiky.

Druhé tvrdenie je bezprostredným dôsledkom Vety 2 a druhej

časti Poznámky. Q E D.

16 Analogický komentár k použitiu ekvivalentného pravidla z Γ ⇒ Δ vyplýva ♢ Γ ⇒ ♢ Δ v dôkaze Vety 2,5 dodal P. Z.

17 Toto tvrdenie ani príslušná formula sa v rukopise nenachádzajú.

3. Spinozov dôkaz

Spinoza bol najobl’úbenejším Einsteinovým filozofom, najmä na sklonku jeho života. Je to to isté obdobie, v ktorom Einsteina viazalo s mladším Gödelom blízke priatel’stvo, pocit hlbokého intelektuálneho porozumenia a spolupatričnosti, umocnenej navyše spoločným osudom emigrantov a rovnakým materinským jazykom. Nečudo teda, že Spinozu si obl’úbil i Gödel a najmä v staršom veku ho podrobne študoval. Preto náš dohad o vplyve Spinozovho dôkazu na dôkaz Gödelov zrejme nie je nepodložený.

Pozoruhodný Spinozov ontologický dôkaz existencie Boha je príliš dlhý, no hlavne príliš dômyselný a jemný nato, aby sme ho mohli aspoň trochu verne zreprodukovat’ na priestore únosného rozsahu. Ked’že je navyše u nás knižne dostupný, nie je to ani potrebné.^{18} Preto tu z neho uvedieme len účelovo poňatý výrez, podriadený hlavnému zámeru tejto state, ktorým je výklad dôkazu Gödelovho. Najprv teda vyberieme spomedzi Spinozových definícií a axióm tie, ktoré sú podstatné pri dôkaze hlavného Tvrdenia 11. Potom zdôrazníme niekol’ko pre nás zaujímavých tvrdení, ktoré bolo treba dokázat’ pred ním; ich dôkazy však vynecháme. Taktiež si všimneme (rovnako bez dôkazov) niekol’ko tvrdení nasledujúcich po Tvrdení 11. Vd’aka tomu, že sme Gödelov dôkaz uviedli ako prvý, t. j. obrátili historické poradie, teraz vieme, na čo sa máme v Spinozovom dôkaze sústredit’.

Definícia 1. Príčinou samého seba rozumiem to, čoho esencia v sebe zahŕňa existenciu, čiže to, čoho prirodzenost’ možno chápat’ len ako existujúcu. Definícia 3. Substanciou rozumiem to, čo je samo v sebe a čo je chápané zo samého seba, t. j. to, na utvorenie pojmu čoho nie je potrebný pojem nejakej d’alšej veci. Definícia 4. Atribútom rozumiem to, čo rozum postihuje zo substancie ako niečo také, v čom spočíva jej esencia. Definícia 5. Modom rozumiem stav substancie, čiže to, čo je v niečom inom a je aj chápané z toho iného. Definícia 6. Bohom rozumiem absolútne nekonečné súcno, t. j. substanciu pozostávajúcu z nekonečného počtu atribútov, z ktorých každý vyjadruje večnú a nekonečnú esenciu. Definícia 7. Hovoríme, že nejaká vec je slobodná, ak existuje iba z nevyhnutnosti svojej prirodzenosti a je iba sama sebou determinovaná k svojmu konaniu. Hovoríme, že nejaká vec je nevyhnutná či skôr vynútená, ak je k určitému vymedzenému spôsobu existencie a pôsobenia determinovaná niečim iným.

Všimnime si, že pojmy existencie a esencie (t. j. podstaty) Spinoza nedefinuje.

Axióma 1. Všetko, čo je, je v sebe alebo v niečom inom. Axióma 2. To, čo nemožno pochopit’ z niečoho iného, je nevyhnutné chápat’ z neho samého. Axióma 3. Z danej determinovanej príčiny vyplýva nevyhnutne účinok, a naopak, ak nie je daná determinovaná príčina, je nemožné, aby nasledoval nejaký účinok. Axióma 4. Poznanie účinku závisí na poznaní príčiny a zahŕňa ju v sebe. Axióma 5. Veci, ktoré nemajú navzájom nič spoločné, nemožno pochopit’ jednu z druhej, lebo pojem jednej nezahŕňa v sebe pojem druhej. Axióma 6. Pravdivá idea sa musí zhodovat’ s tým, čoho je ideou.

18 B. Spinoza, Etika [15], Kapitola I, O Bohu.

Axióma 7. Ak niečo možno chápat’ ako neexistujúce, tak esencia tejto veci nezahŕňa existenciu.

Túto axiómu možno tiež vyslovit’ v zrozumitel’nejšom logicky ekvivalentnom tvare: Ak esencia niečoho zahŕňa existenciu, tak túto vec je nemožné chápat’ ako neexistujúcu, t. j. je nevyhnutné chápat’ ju ako existujúcu. Zdá sa, že sme práve odhalili zdroj Gödelovej inšpirácie, ktorá ho viedla k definícii vlastnosti NE nevyhnutnej existecie z vlastnej podstaty.

Tvrdenie 1. Prirodzenost’ substancie je taká, že predchádza svoje stavy. Tvrdenie 2. Dve substancie, ktoré majú rôzne atribúty, nemajú nič spoločné. Tvrdenie 3. Z vecí, ktoré nemajú medzi sebou nič spoločné, nemôže byt’ jedna príčinou druhej. Tvrdenie 4. Dve alebo viac odlišných vecí sa od seba líši bud’ rôznost’ou atribútov, alebo rôznost’ou stavov svojich substancií. Tvrdenie 5. V prírode nemôžu existovat’ dve alebo viac substancíí s tou istou prirodzenost’ou alebo s tým istým atribútom. Tvrdenie 6. Jedna substancia nemôže byt’ vytvorená inou substanciou. Dôsledok. Z toho vyplýva: Substancia nemôže byt’ vytvorená niečim iným. V prírode totiž neexistuje nič okrem substancií a ich stavov. Tvrdenie 7. K prirodzenosti substancie náleží existencia. Tvrdenie 11. Boh, čiže substancia pozostávajúca z nekonečného počtu atribútov, z ktorých každý vyjadruje večnú a nekonečnú esenciu, existuje nevyhnutne.

Tu by sme sa mohli zastavit’. No ked’ už sme zašli tak d’aleko, nedokážeme odolat’ pokušeniu sledovat’ Spinozov výklad ešte kúsok d’alej. Bude to poučné nielen z hl’adiska našej hlavnej témy, no taktiež sa nám pomaly začne črtat’ cesta, ktorá Spinozu nevyhnutne viedla k panteizmu, t. j. stotožneniu Boha s prírodou ako celkom všetkého jestvujúceho.

Tvrdenie 14. Iná substancia než Boh nemôže ani existovat’, ani byt’ chápaná.

Tvrdenie 15. Čokol’vek je, je v Bohu, a bez Boha nemôže ani nič byt’ ani byt’ chápané. Tvrdenie 18. Boh je imanentnou, a nie vonkajšou príčinou všetkých vecí. Tvrdenie 20. Existencia Boha a jeho esencia sú jedno a to isté.

Toto je hlavná odlišnost’ Spinozovho a Descartovho dôkazu, ktorá sa ohlasovala už v Tvrdení 7. Kým Descartes podobným spôsobom Boha vlastne definuje, a až potom dokazuje jeho existenciu, v Spinozových východzích predpokladoch takýto postulát nefiguruje, aspoň nie v natol’ko otvorenej podobe. Spinoza dokazuje existenciu Boha bez neho — naopak, i tento postulát dokazuje ako dôsledok svojich definícií a axióm. Z rovnakého dôvodu je Gödelov dôkaz svojou logickou výstavbou bližší Descartovmu, napriek očividnej inšpirácii Spinozom. Pri pozornejšom pohl’ade však možno odhalit’, že analogický postulát Spinoza rozložil do viacerých čiastkových postulátov, ktoré ukryl najmä v Definícii 6 a Axióme 7, no taktiež v Definíciách 1 a 3 a Axiómach 1 a 2.

Ďalším dôsledkom Spinozových predpokladov je prísny, nenarušitel’ný determinizmus.

Tvrdenie 29. V prírode nejestvuje nič náhodné, lež všetky veci sú nevyhnutne determinované prirodzenost’ou Boha k určitému modu existencie a pôsobenia.

Naše odbočenie uzavrieme dôsledkom, (aj) kvôli ktorému panteizmus (nielen Spinozov, ale panteizmus vôbec — spomeňme len Giordana Bruna) upadol do takej nemilosti oficiálnych cirkevných autorít.

Tvrdenie 32. Vôl’a nemôže byt’ nazývaná príčinou slobodnou, ale iba nevyhnutnou.

Dôsledok a). Z toho vyplýva po prvé: Boh nekoná zo slobodnej vôle.

Pri spätnom pohl’ade na Gödelov dôkaz teraz jasne vidíme, že Boh, ktorého nevyhnutná existencia sa v ňom dokazuje, nie je živým Bohom zjaveného náboženstva. Nie je to Boh Abrahámov, Izákov a Jakubov, nie je to Hospodin zástupov, ktorý skrze Mojžiša vyviedol svoj l’ud z egyptského otroctva, — skrátka, nie je to starozákonný Jahve. A už tobôž to nie je milosrdný trojjediný Boh Evanjelií, ktorý sa z lásky k l’ud’om stal človekom, aby svojou obet’ou na kríži vykúpil hriechy sveta. Tento Boh nestojí mimo prírody a nad prírodou, takže vôbec nie je jasné, či je Stvoritel’om všetkého jestvujúceho. Je to skôr Spinozov a Brunov panteistický Boh totožný s prírodou ako celkom všetkého súceho, podriadený zákonom rozumu a novovekej deterministickej prírodovedy. A vari je aj tým, čo Parmenides nazýva Bytie alebo Jedno.

Ak má teda Gödelov dôkaz niečo spoločného s náboženstvom, tak len s tzv. prirodzeným, a určite nie so zjaveným. Skôr ho možno chápat’ ako pritakanie Bytiu v absolútne krajnej^{19} filozofickej otázke: Ako je možné, že vôbec niečo je, ved’ rovnako dobre by nemuselo byt’ vôbec nič? Áno, niečo je a všetko to, čo je, nazývame Bytím alebo aj Bohom, a okrem toho, čo je, už nie je vôbec nič. Teda Bytie je a je len Jedno a ne-Bytie nie je. No navyše, Bytie nielen že je, ale je nevyhnutne — Bytie totiž nemôže nebyt’. To je Parmenidova odpoved’ na absolútne krajnú filozofickú otázku. My sa však skôr kloníme k záveru, že odpoved’ nepoznáme. Pritakaním Bytiu (lebo len to jej dáva zmysel) a zároveň uvedomením si vlastnej bezmocnosti zoči-voči tejto otázke počína zrejme od istého času každá filozofia hodná tohto mena. Nepochybne, niečo je, ako je to však možné, nevieme. Rovnako nevieme, či má vôbec zmysel uvažovat’ o všetkom, čo je, ako o jednom celku. A skôr si myslíme, že to, čo je, nie je nevyhnutne, lež rovnako dobre by mohlo aj nebyt’. V tom je predsa jadro našej otázky — inak by sme si ju nekládli.

4. ”Lesk a bieda“ Gödelovho dôkazu

Vrát’me sa teraz ku Gödelovmu dôkazu. Nemožno popriet’, že je mimoriadne elegantný a dômyselný. Je to proste majstrovské dielko. Navyše spôsob, akým sa Gödel vyrovnal s Leibnizovými a Kantovými námietkami voči Anselmovmu a Descartovmu ontologickému dôkazu, budí aspoň na prvý pohl’ad dojem, že proti tomuto dôkazu už nemožno vzniest’ nijaké rozumné výhrady. Ak si čitatel’ dá tú námahu a prezrie celý dôkaz ešte raz, zistí, že Gödel sa vyhol aj onej logickej chybe, ktorú vyčíta Descartovmu dôkazu Smullyan. Nedajme sa tým však odradit’ a pozrime sa na celý dôkaz trochu pozornejšie.

19 Žial’, k českému nejzašší či anglickému utmost nemáme naporúdzi plnohodnotný slovenský ekvivalent.

Začnime miestom, na ktorom je prekonaná Leibnizova námietka. Je to dôkaz Vety 1. Ako upozorňuje P. Vopěnka v Druhých rozpravách s geometrií,^{20} tento dôkaz je logicky správny, no napriek tomu vzbudzuje isté rozpaky. Tie vyvoláva použitie pravidla klasickej logiky, podl’a ktorého vlastnost’, ktorú nevyhnutne má každé súcno, nevyhnutne vyplýva z akejkol’vek vlastnosti. Podl’a Axiómy 2 potom vlastnost’, ktorú nevyhnutne má každé súcno, je dobrá. A tak spomínané rozpaky sprevádzajú aj použitie Axiómy 2, jediné v celom dôkaze. Keby sme rovno prijali za axiómu Vetu 1 miesto Axiómy 2, mohli by sme sa použitiu onoho rozpaky vzbudzujúceho pravidla vyhnút’. No tým by sme práve odkryli slabé miesto celého dôkazu, na ktoré upozorňoval Leibniz. Táto kritika však nejde na vrub Gödela ale výlučne klasickej logiky prvého rádu. Obrazne povedané, Gödel miesto toho, aby Leibnizovu námietku prekonal, postúpil ju ”vyššej inštancii“.

Pokúsme sa teraz príst’ na meno onej vlastnosti, ktorú nevyhnutne má každé súcno. Pokial’ vlastnosti chápeme extenzionálne, takáto vlastnost’ je jediná. Nuž, všetky súcna majú zrejme spoločné len to, že sú, inak povedané existujú. Mala by to teda byt’ oná Kantom sproblematizovaná vlastnost’ existencie. Keby Gödelovým ciel’om bola iba formalizácia Descartovho dôkazu matematickými prostriedkami, mohol by vlastne už tu niekde skončit’. Z toho dôvodu sa zvyšok dôkazu javí najmä ako dômyselná konštrukcia zameraná takmer výlučne na prekonanie Kantovej kritiky.

Kl’účovým miestom tejto konštrukcie je Definícia 3, v ktorej je definovaná vlastnost’ NE nevyhnutnej existencie z vlastnej podstaty. Prípadné námietky à la Kant sú už vopred odvrátené, aspoň pokial’ ide o formálnu stránku veci. Dôkaz je totiž vedený v modálnej logike druhého rádu, a tá umožňuje s (niektorými) vlastnost’ami objektov zaobchádzat’ ako s objektmi.

Presnejšie, možnost’ zaobchádzat’ s vlastnost’ami ako objektmi sa využíva v samotnej definícii vlastnosti NE, ktorá obsahuje všeobecnú kvantifikáciu cez vlastnosti. Z obsahového hl’adiska však ide o kvantifikáciu len nad oborom všetkých vlastností φ takých, že φ Ess x. Ako vidiet’ z Poznámky za Vetou 2, takáto vlastnost’ je nanajvýš jedna, t. j. súcno x bud’nemá nijakú podstatu, alebo má jedinú podstatu. Mimochodom, všimnime si, že podl’a Definície 3 každé súcno, ktoré nemá podstatu, má vlastnost’ NE. Tento prípad sa však d’alej nevyužíva.

Čo je ešte dôležitejšie, zapojenie druhého rádu umožňuje nielen definovat’ vlastnost’ NE, no najmä i s touto novou vlastnost’ou zaobchádzat’ ako s objektom. Toto sa vzapätí využíva v Axióme 5, podl’a ktorej — presne v zhode s klasickým Descartovým dôkazom — nevyhnutná existencia z vlastnej podstaty je dobrá vlastnost’. Z formálneho hl’adiska to však predpokladá možnost’ aplikácie predikátu P na objekt NE.

Práve vykonané úvahy nás tak privádzajú k otázke, ktorá nám, až doposial’ unikala a pri povrchnom štúdiu Gödelovho rukopisu by nám mohla uniknút’ nadobro. O logike druhého rádu sme si zatial’ podali len značne zjednodušené a hmlisté vysvetlenie, totiž, že ”umožňuje o vlastnostiach objektov uvažovat’ ako o objektoch“. Spolu s Gödelom sme však zamlčali, či takto možno uvažovat’ o všetkých alebo len o niektorých vlastnostiach objektov, prípadne za akých okolností je možne jedno alebo druhé a aké to môže mat’ dôsledky.

20 Pozri [17], čast’ Novověká evropská věda přiznáva, že je Bůh.

Predovšetkým si treba uvedomit’, že nemá zmysel hovorit’ o vôbec všetkých vlastnostiach, a už tobôž ich všetky vykladat’ ako objekty. Jednak to vedie k známym paradoxom, zodpovedným napríklad za krízu teórie množín z prelomu 19. a 20. storočia, jednak to pre naše účely nie je nijako potrebné. Otázka, ktorú musíme vyjasnit’, znie: Ktoré formuly Γ [x] modálnej logiky druhého rádu (jazyka, v ktorom je vedený Gödelov dôkaz) s jednou vol’nou premennou x definujú vlastnosti chápané ako objekty? Každý jeden takýto prípad treba ošetrit’ zvláštnou axiómou tvaru

(∃ φ)(∀ x)(Γ [x] ⇔ φ[x]),

postulujúcou ”objektáciu“ vlastnosti vyjadrenej formulou Γ [x]. Ked’že do tejto otázky nám ešte vyústi niekol’ko d’alších úvah, jej podrobnejšie posúdenie odložíme na príhodnejšiu chvíl’u.

Zatial’ sa uspokojíme s jedinou poznámkou, zameranou na odvrátenie prípadnej námietky kritického čitatel’a, ktorú by mohol vzniest’ hned’ na začiatku podobných úvah. Ide o to, či má vôbec zmysel uvažovat’ o akýchkol’vek vlastnostiach (základných objektov) ako o objektoch, t. j. či je vôbec možná logika druhého rádu. Súc si vedomí, že nad touto otázkou by sme mohli filozofovat’ l’ubovol’ne dlho bez toho, že by sme dospeli k nejakému jednoznačnému záveru, dáme prednost’ technickému riešeniu. Je to možné v tom zmysle, že to jednoducho funguje. Čitatel’, ktorý v takejto objektácii nachádza kde-aké skryté metafyzické predpoklady, si počína celkom oprávnene, kým sa však začne príliš pohoršovat’, mal by si uvedomit’, že objektácia, t. j. výklad nielen vlastností základných objektov, no i vzt’ahov medzi nimi, vlastností takýchto vlastností a vzt’ahov atd’. ako samostatných objektov, je jedným z vedúcich zámerov aj teórie množín, na ktorej pojmoch je vybudovaná rozhodujúca čast’ súčasnej matematiky.^{21}

Vrát’me sa teraz k tým dvom miestam Gödelovho dôkazu, na ktorých sme vlastnými zásahmi už naznačili, že ich považujeme za problematické. Prvým z nich je Axióma 1, druhým použitie pravidla ”čo je možné, to je nevyhnutne možné“.

Predovšetkým Axióma 1 musí v dnešnom čitatel’ovi nevyhnutne vyvolat’ značné pochybnosti. Práve preto, aby si uvedomil, čo z nej v ňom vlastne tieto pochybnosti vyvoláva, sme ju rozdelili na dve axiómy; ona sama je potom ekvivalentná s ich konjunkciou. Axiómu 1a (vlastnost’ i jej negácia nemôžu byt’ zároveň dobré) sme ešte ochotní prijat’, podobne ako Axiómu 2 (vlastnost’, ktorá je nevyhnutným dôsledkom dobrej vlastnosti je tiež dobrá) — aspoň pokial’ dobro chápeme v ideálnom, absolútnom význame. Ťažko prijatel’ná, či dokonca celkom neprijatel’ná je pre nás Axióma 1b, postulujúca príkre rozdelenie všetkých vlastností výlučne na dobré a zlé (t. j. také, ktorých negácia je dobrá). Ved’ vieme, že bežné vlastnosti nie sú väčšinou ani jednoznačne dobré ani jednoznačne zlé, či dokonca táto otázka nemusí pre ne mat’ zmysel. Odmietnutie vízie takéhoto ostro rozdeleného, čierno-bieleho sveta sa právom považuje za jeden z popredných výdobytkov moderného myslenia.

Najjednoduchší spôsob, ako sa zbavit’ nepríjemnej Axiómy 1b a tým i pochybností, ktoré vrhá na Gödelov dôkaz, sme vlastne už nepriamo naznačili. Táto axióma sa totiž v celom dôkaze používa jediný raz, a to v dôkaze Vety 2, na odvodenie záveru P[ψ] z predpokladov G[x] a ψ[x]. Lež ak mierne pozmeníme Definíciu 1 vlastnosti G byt’ božským súcnom do podoby

21 Pozri P. Vopěnka, Úvod do matematiky v alternatívnej teórii množín [16], Kapitola 3, Vedúce zámery teórie množín, prípadne P. Zlatoš [18], Kapitola 2, Postavenie teórie množín v súčasnej matematike a jej vedúce zámery.

G[x] ⇔ (∀ φ)(P[φ] ⇔ φ[x]),

plynie požadovaný záver z uvedených predpokladov okamžite. Inak môže ostat’ všetko bezo zmeny. Pritom pozmenená Definícia 1 je stále prijatel’ná: božské súcno nielen má všetky dobré vlastnosti, no taktiež každá vlastnost’, ktorú má božské súcno, je už len preto dobrá. Zdá sa teda, že uvedená námietka je celkom nepodstatná: Gödelov dôkaz možno bez zásadných zmien l’ahko upravit’ tak, aby sme sa jej vyhli.

Možno to niekoho prekvapí a niekoho nie, no ono spomínané čierno-biele rozdelenie sveta je tak hlboko zakorenemé vo zvyšných axiómach a definíciach Gödelovho dôkazu, že aj po uvedenej úprave možno tvrdenie Axiómy 1b dokázat’ ako ich dôsledok.

Naozaj, ked’že už vieme, že nevyhnutne existuje nejaké (dokonca jediné) božské súcno x, tak ] pre l’ubovolnú vlastnost’ φ platí φ[x] alebo ¬ φ[x]. Podl’a pozmenenej Definície 1 v prvom prípade máme P[φ], v druhom P[¬ φ].

Podstatnú úlohu v tomto dôkaze však zohral zákon vylúčenia tretieho, teda klasický logický princíp odmietaný celým jedným vývojovým prúdom matematiky (tzv. intuicionizmom), ktorý možno najlepšie zdôvodnit’ práve na základe predstavy raz a navždy zavŕšeného, strnulého, nemenného, mechanisticky determinovaného a dokonalým, vševedúcim pozorovatel’om nazeraného sveta.^{22} A tak sme sa ani uvedeným vylepšením našej námietky nezbavili. Naopak, utvrdili sme sa v tom, že jej zdroj tkvie v Gödelovom dôkaze tak hlboko, že ho ani nevieme presne a jednoznačne lokalizovat’. Lokalizovat’ ho v samotnom dôkaze sa nám ani nemôže podarit’ — týmto zdrojom sú totiž niektoré predpojatosti novovekej európskej vedy prevzaté od scholastiky. Ked’že tento zdroj je spoločný viacerým problematickým miestam Gödelovho dôkazu, vrátime sa k nemu až v závere našich úvah.

Na inú — a dodajme hned’ — nie príliš dôstojnú možnost’, ako zo spomínaných t’ažkostí vycúvat’, upozornil P. Vopěnka.^{23} Vôbec nemusíme trvat’ na tom, že vlastnosti chápané ako objekty už zahŕňajú všetky možné vlastnosti (vyjadritel’né jazykom Gödelovho dôkazu), dokonca ani na tom, že ich zahŕňajú mnoho. Naopak, za objekty si dovolíme prehlásit’ len tie vlastnosti, ktoré vyhovujú spomínanému čiernobielemu princípu, čiže Axióme 1. Z technického hl’adiska však takto postupovat’ nemôžeme, t. j. nemôžeme Axiómu 1 zmenit’ na definíciu ”vlastností-objektov“, lebo, aby sme v nej vystupujúci predikát P mohli aplikovat’ na nejakú vlastnost’, musíme mat’ už vopred zaručené, že táto vlastnost’ je objekt. To nás opät’ privádza k už nastolenej otázke, ktoré formuly Γ [x] definujú vlastnosti-objekty.

Ako sme už naznačili, k riešeniu tejto otázky môžeme zaujat’ dve krajné stanoviská, prípadne hl’adat’ nejakú strednú cestu medzi nimi. Prvé z nich je vedené zámerom, charakteristickým aj pre teóriu množín, vyložit’ si čo možno najviac vlastností ako objekty. Pri druhom si zasa budeme vykladat’ ako objekty iba minimum vlastností, nevyhnutné pre potreby nášho dôkazu. Ked’že túto otázku ponechal Gödel otvorenú, môžeme sa len dohadovat’, akú cestu by sám zvolil.

22 Pozri napr. P. Zlatoš [18], Kapitola 9, Intuicionizmus.

23 Pozri už spomínanú čast’ v [17].

Jediné, čo možno z rukopisu vyčítat’ je, že obor vlastností-objektov je uzavretý na operáciu negácie; je to zrejmé z poznámky na začiatku celého dôkazu, a taktiež je to nevyhnutné kvôli možnosti sformulovat’ Axiómu 1, prípadne 1a. Teda v Gödelovom rukopise je zamlčaná axióma

(∀ φ)(∃ ψ)(∀ x)(ψ[x] ⇔ ¬ φ[x]).

Minimálny obor vlastností-objektov musí ešte zahŕňat’ vlastnosti G a NE; príslušné zamlčané axiómy už vypisovat’ nebudeme. Aj bez toho je zrejmé, že by pôsobili značne umelo a — ako to už býva — boli by z psychologického hl’adiska omnoho t’ažšie prijatel’né než nejaké všeobecné princípy, z ktorých síce vyplývajú, no nie je z nich vopred jasný zámer, ktorému slúžia. Vzhl’adom na syntaktickú zložitost’ formúl definujúcich vlastnosti G, a najmä NE, si len t’ažko možno predstavit’ nejaký rozumný, prijatel’ný všeobecný princíp existencie vlastností-objektov, ktorý by zaručil ich objektáciu, okrem princípu postulujúceho objektáciu každej formuly Γ [x]. Prijatie takéhoto princípu sa zdá mat’ za následok neprijatel’nost’ Axiómy 1, presnejšie jej časti 1b. Dôkaz si potom vynucuje spomínanú zmenu Definície 1, takže — ako sme už videli — v konečnom dôsledku sa Axiómy 1b aj tak nezbavíme.

Vycúvat’ po cestičke naznačenej Vopěnkom by teraz znamenalo tvrdit’, že formulami Γ [x] jazyka modálnej logiky druhého rádu, v ktorom je vedený celý dôkaz, možno vyjadrit’ výlučne také vlastnosti, pre ktoré je po objektácii splnená Axióma 1. Proti takejto téze možno t’ažko vzniest’ nejaký argument, najmä ked’ si uvedomíme, že tento jazyk obsahuje len štyri základné predikátové symboly: jednak je to ”utajený“ dvojmiestny predikát spĺňania, do ktorého vstupujú vlastnosti φ a súcna x, značený φ[x],^{24} d’alej jednomiestny predikát ”byt’ dobrou vlastnost’ou“, do ktorého vstupujú vlastnosti-objekty φ, značený P[φ], a konečne dva predikáty rovnosti — medzi súcnami resp. medzi vlastnost’ami-objektmi —, značené x = y resp. φ = ψ.^{25} Zdá sa, že v takomto jazyku sotva možno vyjadrit’ ”mnoho“ vlastností, takže téza, že všetky takéto vlastnosti budú viac-menej ”čierno-biele“, t. j. platí pre ne Axióma 1, je stále udržatel’ná. Na druhej strane, toto je zrejme jediný argument v prospech spomínanej tézy. A vzhl’adom na bohatost’ teórie množín a podobnost’ ”skrytého“ predikátu spĺňania φ[x] a predikátu množinového náležania x ∈ φ argument prinajmenšom problematický.

Navyše, ako si všimli Jiří Polívka a J. H. Sobel,^{26} objektácia všetkých vlastností Γ [x] má za následok kolaps modalít, t. j. v takomto systéme pre l’ubovol’nú formulu Γ [x] platí

24 Z dôvodov ”odtajenia“ by zrejme bolo primeranejšie miesto φ[x] písat’ napr. x ∈ φ, aby sme odlíšili tento dvojmiestny vzt’ah medzi súcnami x a vlastnost’ami-objektmi φ od ”obyčajného“ spĺňania formúl Γ [x] súcnami x. Zachovávame však označenie originálu.

25 Znak rovnosti sa niekedy zvykne považovat’ za logický symbol daného jazyka a nie za znak základného predikátu.

26 Pozri P. Hájek [6], [7].

♢ Γ [x] ⇔ Γ [x] ⇔ □ Γ [x].

Na prvý pohl’ad ide len o radikálne zjednodušenie, takže by nás to nemuselo trápit’. Práve toto zjednodušenie však celému dôkazu uberá rovnako radikálne na presvedčivosti. Dômyselné použitie modálnej logiky sa tak zrazu mení na lacné pozlátko, ktoré môže dodat’ dôkazu nanajvýš falošného lesku. Preto, ak chceme Gödelov dôkaz nejako zachránit’, musíme sa kolapsu modalít — a pokial’ by sme už nič nezmenili, tak aj princípu plnej objektácie formúl Γ [x], — vyhnút’ za každú cenu.

Jestvuje viacero technických riešení tohto problému.^{27} Z nich najpodnetnejšie podal C. A. Anderson.^{28} Jeho riešenie zachováva princíp plnej objektácie vlastností Γ [x], kolapsu modalít sa však vyhne nahradením Axiómy 1 Axiómou 1a (t. j. vypustením Axiómy 1b, čo je opät’ vítané) a inou modifikáciou Definície 1, ktorá sa od jej už spomínanej modifikácie na prvý pohl’ad líši len nepatrne — vyzerá takto:

G[x] ⇔ (∀ φ)(P[φ] ⇔ □ φ[x]).

Podl’a tejto definície božské súcno nielen má každú dobrú vlastnost’, ale má ju dokonca nevyhnutne, a tiež naopak, každá vlastnost’, ktorú má božské súcno nevyhnutne, je už z toho dôvodu dobrá. O prípadných vlastnostiach božského súcna, ktoré nemá nevyhnutne, sa nič nehovorí. Zrejme táto definícia vlastnosti G je rovnako prijatel’ná ako obe predošlé.

Hlavné prekvapenie nás však ešte len čaká: Za princípu plnej objektácie a pri uvedenej modifikácii Definície 1 je nevyhnutná existencia Boha dokázatel’ná už len z Axióm 1a, 2 a 3. Axiómy 1b, 4 a 5 sa stávajú nadbytočnými.

Naozaj, Dôsledok ♢ (∃ x) G[x], t. j. Boh je možný

sa dokáže rovnako ako v pôvodnom dôkaze.

Ked’že platí P[G], máme G[x] ⇒ □ G[x].

G[x] ⇒ (∃ x) G[x] je logická axióma predikátového počtu.

Z toho podl’a zrejmého pravidla modálnej logiky vyplýva

□ G[x] ⇒ □ (∃ x) G[x].

Preto G[x] ⇒ □ (∃ x) G[x], a tiež (∃ x) G[x] ⇒ □ (∃ x) G[x].

Na základe modálnej logiky potom

♢ (∃ x) G[x] ⇒ ♢ □ (∃ x) G[x].

Ked’že máme ♢ (∃ x) G[x], plynie z toho ♢ □ (∃ x) G[x].

Podl’a pravidla ”čo môže byt’ nevyhnutné, to je nevyhnutné“,

platí ♢ □ (∃ x) G[x] ⇒ □ (∃ x) G[x].

Teda konečne □ (∃ x) G[x], t. j. Boh nevyhnutne existuje.

Uvedomme si ešte raz a poriadne, ako sme dokázali Gödelov záver □ (∃ x) G[x]. Nielen že sme vystačili bez Axióm 1b, 4 a 5, ale nepotrebovali sme ani Definície 2 a 3. Teda všetky jemné úvahy založené na Definícii 2 vzt’ahu φ Ess x (vlastnost’ φ je podstatou súcna x), no hlavne na Definícii 3 vlastnosti NE (nevyhnutnej existencie z vlastnej podstaty) a descartovskej Axióme 5 P[NE] (nevyhnutná existencia z vlastnej podstaty je dobrá vlastnost’), ktoré sme považovali za kl’účový moment Gödelovho dôkazu, umožňujúci prekonat’ Kantovu kritku, sa ukázali zbytočné.

27 Jedným z nich je napríklad tzv. schéma opatrnej objektácie (cautious comprehension scheme) — pozri P. Hájek [7].

28 Some emendations to Gödel’s ontological proof [1], pozri tiež P. Hájek [7].

Pritom Andersonom vylepšený dôkaz je určite presvedčivejší než pôvodný Gödelov. Popri tom, že nepoužíva problematickú Axiómu 1b, zbavuje nás úlohy posudzovat’ oprávnenost’ Axiómy 4 P[φ] ⇒ □ P[φ](každá dobrá vlastnost’ je nevyhnutne dobrá). Navyše je presnejší, lebo explicitne špecifikuje princíp plnej objektácie, čím zo všetkých možností riešenia tejto otázky vyberá práve to, ktoré najvernejšie zodpovedá duchu Gödelovho dôkazu.

Zostáva jediné problematické miesto, ktoré majú Gödelov aj Andersonov dôkaz spoločné. Tým je použitie spomínaného pravidla modálneho systému S5 ♢ Γ ⇒ □ ♢ Γ (čo je možné, to je nevyhnutne možné). Bez tohto pravidla sme schopní dokázat’ nanajvýš Vetu 2,5 ♢ □ (∃ x) G[x] (je možné, že Boh nevyhnutne existuje). Bez uvedeného pravidla však z toho nielen že nevyplýva nevyhnutná existencia Boha, ale ani to, že Boh vôbec existuje (aspoň náhodne, ked’ už nie nevyhnutne). Spôsob, ako sa zaobíst’ bez tohto pravidla, sa nám zatial’ ani len nečrtá na obzore. A tak nad celým dôkazom zostáva visiet’ tieň kritiky nie Kantovej lež Leibnizovej, hoci táto vo svojej pôvodnej podobe — ako sme už ukázali — bola odkázaná na ”vyššiu inštanciu“ klasického predikátového počtu. Presnejšie možno povedat’, že Leibniz skôr vytušil, než jasne vystihol slabinu Descartovho i neskoršieho Gödelovho dôkazu, ktorá spočíva hlbšie v nuansách modálnej logiky, než si uvedomoval a mohol vôbec uvedomovat’. Na druhej strane, ako vyplynie z analýzy, ktorá nasleduje, spomínané modálne pravidlo sa plne zhoduje s duchom Lebnizovej filozofie, takže on sám by proti Gödelovmu dôkazu svoju námietku sotva uplatnil.

Metafyzické predpoklady skryté v pozadí tohto modálneho pravidla i celého ontologického dôkazu presne vystihol P. Vopěnka.^{29} Bude zaujímavé — nielen kvôli plynulosti a zrozumitel’nosti — odcitovat’ z jeho výkladu trochu viac, než bezprostredne súvisí s použitím spomínaného pravidla.

Leckterý čtenář si možná myslí, že vliv teologie na novověkou evropskou vědu přinejmenším zveličujeme. Ostatně řada vědců není ochotna připustit, že by náboženství mohlo mít na vědu vůbec nějaký vliv, a pokud ano, pak je jen brzdou jejího vývoje. Novověká věda však čerpá z tolika předpojatostí zděděných ze scholastiky, že je schopná zpětně dokázat, že je nutné, aby byl Bůh. Nejde pochopitelně o nějakého novodobě vykládaného Boha, ale o takového, který odpovídá poměrně jednoduchým středověkým představám. Avšak právě vědecký důkaz nutnosti takového Boha dosvědčuje, o jaké předpojatosti se novověká věda opírá, i když si toho není vědoma. [...] Předpokládejme nyní — spolu s novověkou přírodovedou —, že reálny svět má pevný, trvalý, neměnný a zcela určitý řád. Potom však nejen nutnosti, ale i možnosti jsou tímto řádem určeny, nebot’ možné je to, čemu řád reálneho světa nebrání, aby bylo uskutečněno. Jinými slovy, co je možné, to je již pevně a trvale zachyceno v řádu reálneho světa, to je tímto řádem jakožto možné již předurčeno. Krátce řečeno, co je možné, to je nutně možné. [...] [...] Jak jsme již uvedli, Kantovu námitku proti ontologickému důkazu Gödel obešel, a to vskutku mistrovsky důmyslnou definicí vlastnosti NE a pak ovšem užitím pravidla ”co je možné, to je nutně možné“, jehož přijetí se opírá o trvalost a neměnnost řádu reálného světa. Proto také Bůh, o něhož v této úvaze šlo, je jaksi světský; je to jeden z objektů reálneho světa. Je to zkrátka takový Bůh, z něhož své předpojatosti převzala novověká evropská přírodověda. Je všemohoucí, pokud ovšem všemohoucnost považujeme za dobrou vlastnost. Pokud za dobrou vlastnost považujeme vševědoucnost, pak je vševědoucí. Je dobře známo, že vševědoucnost a všemohoucnost jsou navzájem ve sporu. To ale znamená, že toliko jednu z těchto vlastností můžeme považovat za dobrou — a takového budeme mít Boha, která z nich to bude. O tomto sporu věděli pochopitelně již středověcí teologové a ti, kteří podřizovali Boha rozumu, tím byli přiváděni do nemalých rozpaků; jejich pokusy o řešení tohoto sporu příliš úspěšné nebyli. Nám však nyní nejde o to, jaký je Bůh, ale jaká je novověká přírodověda, a ta si časem začala přisvojovat obě tyto vlastnosti. [...] Není možný Bůh, který je podřízen rozumu,^{30} či lépe řečeno, nemá právo nazývat se Bohem takové jsoucno, které je podřízeno rozumu. Rozum nestojí nad Bohem, ale Bůh stojí nad rozumem. Nakonec ještě poznamenejme, že celý důkaz nelze dualizovat, to znamená dokázat obdobným způsobem, že je nutné, aby byl d’ábel. To by bylo možné jen tehdy, kdybychom bytí považovali za něco špatného.

29 Pozri už spomínanú čast’ v [17].

Tesne pred koncom by sme sa mali pokúsit’ vztiahnut’ Kuzánskeho myšlienku o nemožnosti podriadit’ Boha rozumu aj na vlastné úvahy. Ved’ napríklad všetky námietky voči (nielen) Gödelovmu dôkazu, ktoré sme uviedli, boli vedené takmer výlučne z pozícií rozumu. Je teda možné, že hoci by ontologický dôkaz pred súdom rozumu neobstál, nie je tým jednako vyvrátený? Zas len rozum nám hovorí, že je to nezmysel. A tak si spomeňme, ako sme v predošlom článku umne zdôvodnili, že Boh Gödelovho dôkazu nie je starozákonným Bohom. Avšak tento Boh sám zjavuje Mojžišovi svoje meno Jahve: ”SOM, KTORÝ SOM.“^{31} Nie je už v samotnom Božom mene obsiahnutá esencia ontologického dôkazu?

Celkom na záver sa pokúsme zabudnút’ na všemožné rozumárske analýzy a z nich vyplývajúce prípadné výhrady voči celému dôkazu a položme si otázku: Čo nám Gödel vlastne dokázal svojim dôkazom?

Ak sme neveriaci, tak táto otázka znie, či nás Gödelov dôkaz (v prípadnom Andersonovom vylepšení) neobrátil na vieru v Boha. S plným vedomím riskantnosti a ošemetnosti pokusov odpovedat’ za niekoho iného a za mnohých naraz si autor jednako dovolí tvrdit’, že asi sotva.

Ak sme veriaci, pýtame sa tým, či nás Gödelov dôkaz utvrdil v našej viere, čo presnejšie znamená, či sú pre nás (vyslovené i zamlčané) Gödelove (prípadne Andersonove) axiómy a definície, ako aj logické axiómy a pravidlá systému S5 modálnej logiky druhého rádu l’ahšie prijatel’né a uveritel’né než samotné tvrdenie o nevyhnutnosti Božej existencie. Azda teraz aspoň jasne vidíme, aká úbohá by bola naša viera, keby tomu bolo tak.

Matematicko-fyzikálna fakulta Univerzita Komenského Mlynská dolina 842 15 Bratislava e-mail: zlatos@fmph.uniba.sk

30 Toto je vari najhlbšia a — ked’že odporuje napr. autorite sv. Tomáša Akvinského — aj najodvážnejšia z myšlienok Mikuláša Kuzánskeho, vyslovených v jeho diele O učenej nevedomosti [10]. (Poznámka P. Z.)

31 Ex 3,14.

Literatúra

[1] ANDERSON, C. A. (1990): Some emendations to Gödel’s ontological proof. In: Faith and Philosophy 7.

[2] ARISTOTELES (1978): O sofistických d˚ukazech. Academia, Praha.

[3] DESCARTES, R. (1947): Rozprava o metodě. Jan Laichter, Praha.

[4] DESCARTES, R. (1970): Úvahy o první filosofii. Svoboda, Praha.

[5] GÖDEL, K: Ontological proof. Nedatovaná xerokópia.

[6] HÁJEK, P. (1995): Der Mathematiker und die Frage der Existenz Gottes (betreffend Gödels ontologischen Beweis). In: Köhler, E. – Schimanowich, M. (eds.): Wahrheit und Beweisbarkeit — Leben und Werk Kurt Gödels. Wien.

[7] HÁJEK, P. (1996): Magari and others on Gödel’s ontological proof. In: Ursini, A., Aglianò, P. (eds.): Logic and Algebra. Marcel Dekker, Inc., New York-Basel.

[8] KANT, I. (1979): Kritika čistého rozumu. Pravda, Bratislava.

[9] KANT, I. (1975): Kritika soudnosti. Odeon, Praha.

[10] KUZÁNSKY, M. (1979): O učenej nevedomosti. Pravda, Bratislava.

[11] LEIBNIZ, G. W. (1956): O reforme vied. Slovenská akadémia vied, Bratislava.

[12] LEIBNIZ, G. W. (1982): Monadologie a jiné práce. Svoboda, Praha.

[13] SMULLYAN, R. M. (1986): Jak se jmenuje tahle knížka? Mladá fronta, Praha.

[14] SOUSEDÍK, S. (1989): Jan Duns Scotus, doctor subtilis, a jeho čeští žáci. Vyšehrad, Praha.

[15] SPINOZA, B. (1977; 1986): Etika. Svoboda, Praha; Pravda, Bratislava.

[16] VOPĚNKA, P. (1989): Úvod do matematiky v alternatívnej teórii množín. Alfa, Bratislava.

[17] VOPĚNKA, P. (1991): Druhé rozpravy s geometrií. Focus a Práh, Praha.

[18] ZLATOŠ, P. (1995): Ani matematika si nemôže byt’ istá sama sebou — Úvahy o množinách, nekonečne, paradoxoch a Gödelových vetách. Iris, Bratislava.