\documentclass[10pt,utf8,table,mathserif]{beamer}
% \usepackage{pgfpages}
% \pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper,border shrink=1mm,landscape]
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{tabularx}
% \renewcommand{\sfdefault}{uop}
% \renewcommand{\rmdefault}{\sfdefault}
% \usepackage{ccicons}
% \usepackage[font=HelvB,Font=HelvB,timeinterval=20,timedeath=0]{hodiny}
\usepackage{listings}
\usepackage{mathtools}
% \usepackage[utopia]{mathdesign}
% \usepackage[scaled]{beramono}
\usepackage{mathpazo}

\input{definice}

\pgfdeclareimage[height=0.2\textheight]{logo}{titul}
\title[Cvičení~11: Lineární regresní model]{\abox{Cvičení MV011 Statistika~I \\[1ex] 11.~Lineární regresní model}}
\author[]{Monika Kroupová, Ondřej Pokora, Petra Ráboňová}
\institute[MV011 Statistika I,]{Ústav matematiky a~statistiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno}
\date[2017]{\footnotesize jaro 2017}
\vskip1em
\titlegraphic{\pgfuseimage{logo}\vskip-0.1\textheight}
\subject{Cvičení}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}

Pro řešení lineárního regresního modelu \( Y_i = m(x_i) + \varepsilon_i \), \( i = 1, \dots, n \), v~\emph{R} slouží příkaz {\lstinline{lm}} (\emph{linear model}): \\ 
\lstinline{model <- lm (formule, data = DatovaTabulka)}, 
příp. \lstinline{model <- lm (formule, data = DatovaTabulka, weights = VektorVah)}. 
\medskip\par\noindent
Pro tzv. \emph{formuli} se používá speciální syntaxe, kde \lstinline{Y} je název sloupce závisle proměnné, \lstinline{x} je název sloupce nezávisle proměnné: 
\def\arraystretch{1.2}
\rowcolors{1}{white}{lightgreen!40!white}\small
\begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lX}
\( m(x) \) & \emph{formule} \\\hline 
\( \beta_0 + \beta_1 x \) & \lstinline{Y ~ x} nebo \ \lstinline{Y ~ 1 + x}, člen \( \beta_0 \) je totiž vkládán implicitně \\
\( \beta_1 x \) & \lstinline{Y ~ 0 + x}, odstranění členu \( \beta_0 \) nutno zapsat explicitně \\
\( \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 x^2 \) & \lstinline{Y ~ x + I(x^2)} \\
\( \beta_2 x^2 \) & \lstinline{Y ~ 0 + I(x^2)} \\
\( \beta_1 |x| \) & \lstinline{Y ~ 0 + I(abs(x))} \\
\( \beta_0 + \beta_1 e^x \) & \lstinline{Y ~ I(exp(x))} \\
\( \beta_0 + \beta_1 \ln x \) & \lstinline{Y ~ I(log(x))} \\
\( \beta_0 + \beta_1 \sqrt{x} \) & \lstinline{Y ~ I(sqrt(x))} \\
\end{tabularx}
\medskip\par\noindent
Detailní výsledky a~další číselné charakteristiky získáme příkazem \\ 
\lstinline{prehled <- summary (model)}, \\ 
\scalebox{0.9}[1.0]{příp. \lstinline{prehled <- summary (model, correlation=TRUE)} pro výběrovou korelační matici parametrů.} 

\end{frame}

\begin{frame}

\def\arraystretch{1.2}
\rowcolors{1}{white}{lightgreen!40!white}\small
\begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lXX}
\( \est{\boldsymbol\beta} \) & MNČ-odhady parametrů & \lstinline{model\$coefficients} \newline \lstinline{coef(model)} \\
\( \left( \est{\beta_j}, \mathsf{SD}(\est{\beta_j}), T_j, p_j \right) \) & odhady, směrodatné odchylky, \newline testy významnosti, p-hodnoty & \lstinline{prehled\$coefficients} \newline \lstinline{coef(prehled)} \\
\( \est{\mathbold{Y}} \) & aproximované hodnoty & \lstinline{model\$fitted.values} \newline \lstinline{fitted.values(model)} \\
\( \mathbold{r} \) & rezidua & \lstinline{model\$residuals} \newline \lstinline{residuals(model)} \\
\( n-k \) & stupně volnosti modelu & \lstinline{model\$df.residual} \\
\( \mathbold{X} \) & matice plánu & \lstinline{model.matrix(model)} \\
\( \mathbold{w} \) & váhy & \lstinline{model\$weights} \\
\( s \) & odhad sm. odchylky chyb $\varepsilon_i$ & \lstinline{prehled\$sigma} \\
\( R^2 \) & index determinace & \lstinline{prehled\$r.squared} \\
\( \avg{R}^2 \) & korigovaný index determinace & \lstinline{prehled\$adj.r.squared} \\
\( (F,k-1,n-k) \) & celkový F-test & \lstinline{prehled\$fstatistic} \\
\( (k,n-k,k) \) & stupně volnosti & \lstinline{prehled\$df} \\
\( \mathsf{R}(\est{\boldsymbol\beta}) \) & korelační matice odhadů \( \est{\boldsymbol\beta} \) & \lstinline{prehled\$correlation} \\
\end{tabularx}

\end{frame}

\begin{frame}

Úkoly v~příkladech: 
\begin{itemize}
\item MNČ-odhady parametrů \( \est{\boldsymbol\beta} \) regresní funkce \( m(x) \), sledujte i~jejich významnost, 
\item zapište matematický tvar regresní funkce \( m(x) \), 
\item reziduální součet čtverců \( S_e \) a~odhad směrodatné odchylky \( s \) náhodných chyb, 
\item index determinace \( R^2 \), proveďte celkový F-test, 
\item vykreslete data a~grafy regresních funkcí (\lstinline{predict}), příp. s~pásy spolehlivosti, 
\item vykreslete boxploty reziduí,  
\item modely porovnejte (mj. \lstinline{anova}), zvolte z~nich nejvhodnější. 
\end{itemize}

\begin{priklad}
Datový soubor \lstinline{KysMlecna.csv}: 
zkoumejte závislost množství kyseliny mléčné u~novorozence na množství stejné látky u~matky-prvorodičky (v~mg ve 100~ml krve) pomocí regresní přímky a~paraboly. 
\end{priklad}

\vspace*{-1ex} 

\begin{priklad}
Datový soubor \lstinline{prodlouzeni.csv}: 
zkoumejte závislost prodloužení měděné trubky v~závislosti teplotním rozdílu \( \Delta\,t \) od referenční hodnoty \( t_0 = 20\ ^{\circ}\)C 
pomocí vhodné regresní přímky a~paraboly. Dle fyzikálních zákonů by při \( \Delta\,t = 0 \) prodloužení mělo být nulové. 
\end{priklad}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{priklad}
Datový soubor \lstinline{spotreba2.csv}: 
zkoumejte závislost spotřeby paliva motorového vozidla (v~\mbox{l/100~km}) na rychlosti (v~\mbox{km/h}) pomocí regresní přímky a~paraboly. 
\end{priklad}

\vspace*{-1ex} 

\begin{priklad}
Datový soubor \lstinline{CO2.csv}: 
zkoumejte závislost koncentrace CO$_2$ (v~ppm) v~atmosféře v~letech 1764--1995 pomocí několika polynomických regresních funkcí. 
\end{priklad}

\vspace*{-1ex} 

\begin{priklad}
Datový soubor \lstinline{EmiseUhliku.csv}: 
zkoumejte závislost uhlíkových emisí (v~milionech tun) v~letech 1950--1995 pomocí několika polynomických regresních funkcí. 
\end{priklad}

\vspace*{-1ex} 

\begin{priklad}
Datový soubor \lstinline{teplota.csv}: 
zkoumejte závislost průměrné teploty (ve~$^{\circ}$C) v~letech 1866--1996 pomocí několika polynomických regresních funkcí. 
\end{priklad}

\vspace*{-1ex} 

\begin{priklad}
Datový soubor \lstinline{ropa.csv}: 
zkoumejte závislost \textbf{logaritmu} objemu vytěžené ropy (v~tisících barelů) v~letech 1880--1988 pomocí několika polynomických regresních funkcí, grafy vykreslete i~pro nelogaritmované hodnoty. 
\end{priklad}

\end{frame}

\begin{frame}
\vspace*{-10mm}
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{figs/11-01.pdf}
\includegraphics[width=0.4\linewidth]{figs/11-01r.pdf}\\\vspace*{-13mm}
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{figs/11-02.pdf}
\includegraphics[width=0.4\linewidth]{figs/11-02r.pdf}
\end{frame}

\begin{frame}
\vspace*{-10mm}
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{figs/11-03.pdf}
\includegraphics[width=0.4\linewidth]{figs/11-03r.pdf}\\\vspace*{-13mm}
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{figs/11-04.pdf}
\includegraphics[width=0.4\linewidth]{figs/11-04r.pdf}
\end{frame}

\begin{frame}
\vspace*{-10mm}
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{figs/11-05.pdf}
\includegraphics[width=0.4\linewidth]{figs/11-05r.pdf}\\\vspace*{-13mm}
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{figs/11-06.pdf}
\includegraphics[width=0.4\linewidth]{figs/11-06r.pdf}
\end{frame}

\begin{frame}
\vspace*{-10mm}
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{figs/11-07.pdf}
\includegraphics[width=0.4\linewidth]{figs/11-07r.pdf}\\\vspace*{-13mm}
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{figs/11-07-2.pdf}
\includegraphics[width=0.4\linewidth]{figs/11-07r-2.pdf}
\end{frame}

\end{document}
