\documentclass[10pt,utf8,table,mathserif]{beamer}
% \usepackage{pgfpages}
% \pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper,border shrink=1mm,landscape]
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{tabularx}
% \renewcommand{\sfdefault}{uop}
% \renewcommand{\rmdefault}{\sfdefault}
% \usepackage{ccicons}
% \usepackage[font=HelvB,Font=HelvB,timeinterval=20,timedeath=0]{hodiny}
\usepackage{listings}
\usepackage{mathtools}
% \usepackage[utopia]{mathdesign}
% \usepackage[scaled]{beramono}
\usepackage{mathpazo}

\input{definice}

\pgfdeclareimage[height=0.2\textheight]{logo}{titul}
\title[Cvičení~3: Podmíněná pravděpodobnost a~Bayesův vzorec]{\abox{Cvičení MV011 Statistika~I \\[1ex] 3.~Podmíněná pravděpodobnost a~Bayesův vzorec}}
\author[]{Monika Kroupová, Ondřej Pokora, Petra Ráboňová}
\institute[MV011 Statistika I,]{Ústav matematiky a~statistiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno}
\date[2017]{\footnotesize jaro 2017}
\vskip1em
\titlegraphic{\pgfuseimage{logo}\vskip-0.1\textheight}
\subject{Cvičení}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
\textbf{Podmíněná pravděpodobnost}: 
\( A|B \) = jev \( A \), za podmínky, že nastal jev \( B \), \\ 
\[ P(A \vert B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}. \]

\smallskip
Odtud plyne obecný vztah 
\quad \( \displaystyle P(A \cap B) = P(A \vert B) \ P(B) \). 

\bigskip
Jevy \( A \) a~\( B \) jsou \textbf{nezávislé}, když platí 
\quad \( \displaystyle P(A \cap B) = P(A) \ P(B) \). 

\bigskip
Pokud lze el. prostor \( \Omega \) \textbf{rozložit} na (konečný) systém jevů \( \{ B_i \}_{i=1}^{n} \), platí 

\smallskip
\textbf{vzorec úplné pravděpodobnosti} 
\quad \( \displaystyle P(A) = \sum_{i=1}^n P(A \vert B_i) \ P(B_i) \) 

\smallskip
a~\textbf{Bayesův vzorec} 
\quad \( \displaystyle P(B_k|A) = \frac{P(A \vert B_k) \ P(B_k)}{P(A)} = \frac{P(A \vert B_k) \ P(B_k)}{\sum_{i=1}^n P(A \vert B_i) \ P(B_i)} \). 
\end{frame}
\begin{frame}[allowframebreaks]

\begin{priklad}
Házíme dvěma kostkami. 
Jaká je pravděpodobnost, že padly dvě pětky, když je známo, že padl součet dělitelný pěti? 
\end{priklad}

\vspace*{-1ex}

\begin{priklad}
Rodina má dvě děti, jedno z~nich je dívka. 
Jaká je pravděpodobnost, že obě děti jsou dívky? 
Pravděpodobnosti narození chlapce/dívky jsou 50~\%. 
\end{priklad}

\vspace*{-1ex}

\begin{priklad}[*]
Rodina má dvě děti, jedno z~nich je dívka jménem Kunhuta. 
Jaká je pravděpodobnost, že obě děti jsou dívky? (Varianty: jiná jména.) 
\end{priklad}

\vspace*{-1ex}

\begin{priklad}
Pojišťovna rozlišuje kategorie řidičů A, B a~C, zahrnující 70~\%, 20~\% a~10~\% pojištěných. 
Během jednoho roku má řidič kategorie~A nehodu s~pravděpodobností 0,03, 
řidič kategorie~B 0,06 a~řidič kategorie~C 0,10. 
\\
Určete pravděpodobnosti následujících jevů: 
(a) náhodně vybraný řidič měl nehodu, 
(b) řidič, o~němž víme, že měl nehodu, je v~kategorii~A (resp. B, C), 
(c) náhodně vybraný řidič měl nehodu a~je v~kategorii~A (resp. B, C). 
\end{priklad}

\vspace*{-1ex}

\begin{priklad}

Některou formu rakoviny má průměrně 5~lidí z~1000. 
Používaný lékařský test dá pozitivní výsledek u~95~\% pacientů s~rakovinou (\emph{senzitivita})
a~negativní výsledek u~95~\% osob bez tohoto onemocnění (\emph{specificita}). 
U~náhodně vybrané osoby hlásí test pozitivní výsledek. S~jakou pravděpodobností má tato osoba rakovinu? 
\end{priklad}

\vspace*{-1ex}

\begin{priklad}
V~jednom městě jezdí jen bílé a~žluté taxíky, přitom žluté tvoří 40~\% všech taxíků. 
Svědek noční dopravní nehody vypověděl, že nehodu zavinil řidič žlutého taxíku, který pak ujel. 
Znalecký posudek tvrdí, že svědek v~noci správně identifikuje barvu jen se spolehlivostí 80~\%. 
Jaká je pravděpodobnost, že taxík byl skutečně žlutý? 
\end{priklad}

\begin{exampleblock}{Výsledky}
\begin{itemize}
\item[1.] \( 1/7 \) 
\item[4.] \( 0,043; \ 0,488; \ 0,279; \ 0,233; \ 0,021; \ 0,012; \ 0,010 \) 
\item[5.] \( 0,087 \) 
\item[6.] \( 0,73 \) 
\end{itemize}
\end{exampleblock}

\end{frame}

\end{document}
