\documentclass[10pt,utf8,table,mathserif]{beamer}
% \usepackage{pgfpages}
% \pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper,border shrink=1mm,landscape]
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{tabularx}
% \renewcommand{\sfdefault}{uop}
% \renewcommand{\rmdefault}{\sfdefault}
% \usepackage{ccicons}
% \usepackage[font=HelvB,Font=HelvB,timeinterval=20,timedeath=0]{hodiny}
\usepackage{listings}
\usepackage{mathtools}
% \usepackage[utopia]{mathdesign}
% \usepackage[scaled]{beramono}
\usepackage{mathpazo}

\input{definice}

\pgfdeclareimage[height=0.2\textheight]{logo}{titul}
\title[Cvičení~9: Intervalové odhady parametrů]{\abox{Cvičení MV011 Statistika~I \\[1ex] 9.~Intervalové odhady parametrů}}
\author[]{Monika Kroupová, Ondřej Pokora, Petra Ráboňová}
\institute[MV011 Statistika I,]{Ústav matematiky a~statistiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno}
\date[2017]{\footnotesize jaro 2017}
\vskip1em
\titlegraphic{\pgfuseimage{logo}\vskip-0.1\textheight}
\subject{Cvičení}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}[allowframebreaks]

Pro připomenutí -- funkce pro kvantily v~\emph{R}: 
\begin{itemize}
\item \lstinline{qnorm}: \( u \), kvantily standardizovaného normálního rozdělení
\item \lstinline{qt}: \( t \), kvantily Studentova t-rozdělení
\item \lstinline{qf}: \( F \), kvantily Fisherova-Snedecorova F-rozdělení
\item \lstinline{qchisq}: \( \chi^2 \), kvantily chí-kvadrát rozdělení
\end{itemize}

Pro řešení využijte vzorce ve slajdech 8.~přednášky a~\emph{R}-skript z~8.~přednášky. 

\vspace*{-1ex} 

\begin{priklad}[z~8.~přednášky]
Při zjišťování přesnosti nově zaváděné metody pro stanovení obsahu manganu v~oceli bylo rozhodnuto provést 4 nezávislá měření.
Obsah manganu považujeme za náhodný výběr z normálního rozdělení.
Stanovte dolní odhad pro $\sigma$ s rizikem $0,05$, když výsledky měření byly: \quad $0,31~\%;\ 0,30~\%;\ 0,29~\%;\ 0,32~\%$. 
\end{priklad}

\vspace*{-1ex} 

\begin{priklad}[z~8.~přednášky]
Ze základního souboru byl proveden náhodný výběr s naměřenými intervalovými hodnotami a jejich četnostmi sledovaného znaku (datový soubor \lstinline{intervaly.csv}): 
\vspace*{-1em} 
\[
\begin{array}{lcccccc}
x_i & (15,17\rangle & (17,19\rangle & (19,21\rangle & (21,23\rangle & (23,25\rangle & (25,27\rangle\\
\hline n_i & 10 & 30 & 50 & 70 & 60 & 30
\end{array}
\]
\vspace*{-1.5em} \\
(A)~Určete interval ve kterém se nachází střední hodnota $\mu$ s~pravd. 0,95. \\ 
(B)~Určete interval ve kterém se nachází rozptyl $\sigma^2$ s~pravděpodobností 0,95.
\end{priklad}

\vspace*{-1ex} 

\begin{priklad}[z~8.~přednášky]
Mezi 160 pracovníky (náhodně vybranými z 8\,000 pracujících v~závodě) 48 cestuje do práce vlakem. 
Určete bodový odhad a~95\% interval spolehlivosti (A) pro podíl, (B) pro počet zaměstnanců dopravujících se do práce vlakem. 
\end{priklad}

\vspace*{-1ex} 

\begin{priklad}[z~8.~přednášky]
Tabulka uvádí el. odpor (v~ohmech) vzorků drátů~A a~B. 
Je známo, že výsledky takových zkoušek mají normální rozdělení~s rozptyly 
$\sigma_A^2=4\cdot 10^{-6}$, $\sigma_B^2=9\cdot 10^{-6}$. 
Určete dolní odhad pro rozdíl středních hodnot odporu drátů při riziku $\alpha = 0,05$.
\vspace*{-1ex} 
\begin{center}
\begin{tabular}{lcccccc}
A & $0,140$ & $0,138$ & $0,143$ & $0,142$& $0,144$& $0,137$\\
\hline B & $0,135$ & $0,140$ & $0,142$ & $0,136$& $0,138$&\\
\end{tabular}
\end{center}
\vspace*{-1em} 
\end{priklad}

\vspace*{-1ex} 

\begin{priklad}[z~8.~přednášky]
Bylo vylosováno 6~vrhů selat a~z~nich vždy dva sourozenci. 
Jeden z~nich vždy dostal náhodně dietu č.~1 a~druhý dietu č.~2. 
Sestrojte 95\% interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot $\mu_1-\mu_2$. 
Přírůstky (v~dekagramech) jsou (datový soubor \lstinline{selata.csv}): \quad $(62;52),(54;56),(55;49),(60;50),(53;51),(58;50)$. 
\end{priklad}

\vspace*{-1ex} 

\begin{priklad}[z~8.~přednášky]
Tabulka uvádí výsledky analýz niklu získané dvěma metodami. 
Stanovte horní odhad pro podíl směrodatných odchylek \( \sigma_1 / \sigma_2 \) metod při riziku $\alpha = 0,05$, 
jestliže tyto výsledky považujeme za realizace náhodných výběrů z~normálního rozdělení. 
\vspace*{-1ex} 
\begin{center}
\begin{tabular}{lcccc}
Metoda~1 & $3,26$ & $3,26$ & $3,27$ & $3,27$\\
\hline Metoda~2 & $3,23$ & $3,27$ & $3,29$ & $3,29$
\end{tabular}
\end{center}
\vspace*{-1em} 
\end{priklad}

\vspace*{-1ex} 

\begin{priklad}
Datový soubor~\lstinline{spotreba.csv}: spotřeba auta v~l\,/\,100~km při 11~nezávislých zkouškách. 
Spočítejte 95\% intervaly spolehlivosti pro střední hodnotu a~pro rozptyl spotřeby. 
\end{priklad}

\vspace*{-1ex} 

\begin{priklad}
Spočítejte 95\% interval spolehlivosti pro směrodatnou odchylku normálně rozdělené náhodné veličiny, 
když na vzorku rozsahu 25 byl spočítán výběrový průměr 3118 a~výběrová směrodatná odchylka 357. 
\end{priklad}

\vspace*{-1ex} 

\begin{priklad}
Datový soubor~\lstinline{pevnost.csv}: pevnost vlákna při zkouškách pevnosti bavlněného vlákna. 
Nalezněte horní 95\% odhad rozptylu pevnosti vlákna. 
\end{priklad}

\vspace*{-1ex} 

\begin{priklad}
Datový soubor~\lstinline{SiO2.csv}: měření obsahu SiO$_2$ ve strusce analytickou~(A) metodou a~fotokolorometrickou~(B) metodou. 
Spočítejte 95\% IS pro rozdíl středních hodnot dosažených metodou~B a~metodou~A. 
Nezapomeňte ověřit splnění podmínky pro rozptyly, kterou vyžaduje příslušný vzorec pro IS pro rozdíl středních hodnot. 
\end{priklad}

\vspace*{-1ex} 

\begin{priklad}
Datový soubor~\lstinline{zakaznici.csv}: počty zákazníků odbavených u~pokladny ve 20 sledovaných minutových intervalech. 
Spočítejte 95\% interval spolehlivosti pro střední počet zákazníků odbavených za 1~minutu. 
\end{priklad}

\vspace*{-1ex} 

\begin{priklad}
Datový soubor~\lstinline{kola.csv} z~8.~cvičení. 
Spočítejte výběrový průměr a~95\% interval spolehlivosti pro střední počet zápůjček za den pro jednotlivé kalendářní měsíce roku (viz sloupec \lstinline{mnth} = 1, \dots, 12). 
Do jednoho grafu vykreslete průměr a~dolní i~horní odhad v~závislosti na měsíci. 
\end{priklad}

\end{frame}

\begin{frame}[allowframebreaks]

\begin{exampleblock}{Výsledky}
\begin{itemize}
\item[1.] 0,00799 
\item[2.] (A) (21,5094; 22,1706) , (B) (5,952; 8,464) 
\item[3.] (A) 0,3; (0,229; 0,371), (B) 2\,400; (1\,832; 2\,968) 
\item[4.] $-$0,000116 
\item[5.] (0,626; 10,707) 
\item[6.] 0,622 
\item[7.] $\mu \in [$8,751; 9,085$]$, $\sigma^2 \in [$0,03; 0,19$ ]$ 
\item[8.] $\sigma \in [$278,8; 496,6$]$ 
\item[9.] $\sigma^2 \leq $ 2,78 
\item[10.] $\mu_B - \mu_A \in [$0,28; 0,94$]$ 
\item[11.] $\lambda \in [$1,5; 2,8$]$ 
\vspace*{-30mm} 
\item[12.] \dotfill \includegraphics[width=0.5\linewidth]{figs/09-07.pdf} 
\end{itemize}
\end{exampleblock}

\end{frame}

\end{document}
