\documentclass[10pt,utf8,table,mathserif]{beamer}
% \usepackage{pgfpages}
% \pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper,border shrink=1mm,landscape]
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{tabularx}
% \renewcommand{\sfdefault}{uop}
% \renewcommand{\rmdefault}{\sfdefault}
% \usepackage{ccicons}
% \usepackage[font=HelvB,Font=HelvB,timeinterval=20,timedeath=0]{hodiny}
\usepackage{listings}
\usepackage{mathtools}
% \usepackage[utopia]{mathdesign}
% \usepackage[scaled]{beramono}
\usepackage{mathpazo}

\input{definice}

\pgfdeclareimage[height=0.2\textheight]{logo}{titul}
\title[Cvičení~4: Náhodná veličina a~rozdělení pravděpodobnosti]{\abox{Cvičení MV011 Statistika~I \\[1ex] 4.~Náhodná veličina a~rozdělení pravděpodobnosti}}
\author[]{Monika Kroupová, Ondřej Pokora, Petra Ráboňová}
\institute[MV011 Statistika I,]{Ústav matematiky a~statistiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno}
\date[2017]{\footnotesize jaro 2017}
\vskip1em
\titlegraphic{\pgfuseimage{logo}\vskip-0.1\textheight}
\subject{Cvičení}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}{Náhodná veličina}

\textbf{Náhodná veličina} je zobrazení \( X\,{:}\ \Omega \rightarrow \mathbb{R} \), 
každému elementárnímu jevu (výsledku pokusu) přiřazuje nějaké reálné číslo. 
Pravděpodobnostní chování náhodné veličiny \( X \) -- tzv. \textbf{rozdělení pravděpodobnosti} -- je popsáno níže uvedenými funkcemi. 
Rozlišujeme přitom dvě typické skupiny: 

\begin{tabularx}{1.0\linewidth}{>{\hsize=0.95\hsize}X||>{\hsize=1.05\hsize}X}\hline
\( X \) \textbf{diskrétní} -- nabývá hodnot \newline 
z~nejvýše spočetné množiny \( M \subset \mathbb{R} \) 
& 
\( X \) \textbf{spojitá} -- nabývá hodnot  \newline 
z~nespočetné množiny
\\\hline
pravděpodobnostní funkce \newline \[ p(x) = \begin{cases} P (X = x), & x \in M \\ 0, & x \not\in M \\ \end{cases} \] 
& 
hustota pravděpodobnosti~\( f(x) = F'(x) \) \newline \[ P(X \in \mbox{interval od } a \mbox{ do } b ) = \int_a^b\! f(u)\,\mathrm{d}u \] 
\\\hline
distribuční funkce je zprava spojitá \newline \[ F(x) = P(X \leq x) = \sum_{u \leq x} p(u) \] 
& 
distribuční funkce je spojitá \newline \[ F(x) = P(X \leq x) = \!\int_{-\infty}^{x}\!\! f(u) \,\mathrm{d}u \] \\\hline
\end{tabularx}

\end{frame}

\begin{frame}

funkce pro práci s~náhodnými veličinami: 
\begin{itemize}
\item \lstinline{d}\textit{zkratka} -- pravděpodobnostní funkce, resp. hustota pravděpodobnosti
\item \lstinline{p}\textit{zkratka} -- distribuční funkce
\item \lstinline{q}\textit{zkratka} -- kvantilová funkce 
\item \lstinline{r}\textit{zkratka} -- generování vzorku z~daného rozdělení pravděpodobnosti
\end{itemize}

\bigskip
\textit{zkratky} některých rozdělení pravděpodobnosti: 
\begin{itemize}
\item \lstinline{binom} -- binomické \( Bi ( n, \theta) \) (alternativní \( A (\theta) \) -- speciální případ \( n = 1 \))
\item \lstinline{geom} -- geometrické \( Ge (\theta) \)
\item \lstinline{pois} -- Poissonovo \( Po (\lambda) \) 
\item \lstinline{unif} -- rovnoměrné spojité \( Ro (a, b) \) 
\item \lstinline{exp} -- exponenciální \( Ex (\lambda) \) 
\item \lstinline{norm} -- normální (Gaussovo) \( N (\mu, \sigma^2) \) 
\item \lstinline{gamma} -- \( Gamma (\mu, a) \) 
\item \lstinline{beta} -- \( Beta (a, b) \) 
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}[allowframebreaks]

V~následujících příkladech určete a~graficky znázorněte rozdělení pravděpodobnosti náhodných veličin. 
Zkoumejte pravděpodobnostní funkci, resp. hustotu, distribuční funkci a~význam parametrů. 

\begin{priklad}
Náhodná veličina \( X \) udává, kolikrát padl líc, když 10$\times$ házíme mincí. 
\\[1ex]
(A)~~\( P(X = 5) = \ ? \), 
(B)~\( P(X \leq 5) = \ ? \), 
(C)~\( P(X > 6) = \ ? \), 
(D)~\( P(X \mbox{ je liché}) = \ ? \) 
\end{priklad}

\begin{priklad}
Náhodná veličina \( X \) udává, kolikrát padla ``6'' když 20$\times$ házíme kostkou. 
\\[1ex]
(A)~~\( P(X = 5) = \ ? \), 
(B)~\( P(X < 5) = \ ? \), 
(C)~\( P(X \geq 6) = \ ? \), 
(D)~\( P(X \mbox{ je liché}) = \ ? \) 
\end{priklad}

\begin{priklad}
Máme 5~karet s~čísly od~2 do~6. V~každém kole hry si náhodně jednu kartu vybereme. 
Pokud je na ní liché číslo, hra končí. Pokud je číslo sudé, kartu vrátíme, balíček zamícháme a~hrajeme další kolo. 
Náhodná veličina \( X \) udává, kolik kol odehrajeme předtím, než vytáhneme kartu s~lichým číslem. 
\\[1ex]
(A)~~\( P(X \leq 10) = \ ? \), 
(B)~\( P(X \geq 4) = \ ? \), 
(C)~\( P(5 \leq X \leq 8) = \ ? \) 
\end{priklad}

\begin{priklad}
Výpadek napájecího zdroje serveru nastává průměrně 1$\times$ za týden. 
Náhodná veličina \( X \) udává počet výpadků v~období 2.\,--\,29.~března. 
\\[1ex]
(A)~\( P(\mbox{výpadek nenastane}) = \ ? \), 
(B)~\( P(\mbox{nastanou nejvýše 4~výpadky}) = \ ? \), 
(C)~\( P(\mbox{nastane alespoň 1~výpadek}) = \ ? \), 
(D)~\( P(\mbox{nastane 2--6 výpadků}) = \ ? \) 
\end{priklad}

\begin{priklad}
Údaje o~ceně akcií na Burze Cenných Papírů Praha jsou na webové stránce aktualizovány každých 10 minut. 
Náhodná veličina \( X \) popisuje dobu, jakou bude muset uživatel čekat než budou ceny uvedené na stránce aktualizovány, 
když se na webovou stránku podívá v~náhodném okamžiku. 
\\[1ex]
(A)~\( P(\mbox{2~minuty}) = \ ? \), 
(B)~\( P(\mbox{nejvýše 5~minut}) = \ ? \), 
(C)~\( P(\mbox{alespoň 2~minuty}) = \ ? \), 
(D)~\( P(\mbox{3~až~8 minut}) = \ ? \) 
\end{priklad}

\begin{priklad}
Okamžiky příchodů požadavků zobrazení webové stránky na web server jsou náhodné a~mají charakter řídkých jevů s~průměrným počtem 4~požadavků za minutu. 
Náhodná veličina \( X \) popisuje dobu mezi příchody dvou po sobě následujících požadavků. 
\\[1ex]
(A)~\( P(X < 15 \mbox{ s}) = \ ? \), 
(B)~\( P(30 \mbox{ s } \leq X \leq 90 \mbox{ s}) = \ ? \), 
\end{priklad}

\begin{priklad}
Náhodná veličina \( X \) udává teplotu procesoru bez zátěže. 
Předpokládejte, že naměřená hodnota má normální rozdělení s~parametry \( \mu = 40\ ^{\circ}\mbox{C} \), \( \sigma = 4\ ^{\circ}\mbox{C} \). 
Výpočty proveďte také~pomocí standardizace. 
\\[1ex]
(A)~\( P(X \leq 50) = \ ? \), 
(B)~\( P(X > 35) = \ ? \), 
(C)~\( P(35 < X < 45) = \ ? \), 
(D)~\( P(\mu - 1,96\,\sigma < X < \mu + 1,96\,\sigma) = \ ? \) 
\end{priklad}

\begin{priklad}
Vykreslete grafy hustoty pravděpodobnosti a~distribuční funkce Gamma rozdělení rozdělení pro různé hodnoty jejich parametrů. 
\end{priklad}

\end{frame}

\begin{frame}[allowframebreaks]

\begin{exampleblock}{Výsledky}
\begin{itemize}
\item[1.] \( 0,246; \ 0,623; \ 0,172; \ 0,5 \) 
\item[2.] \( 0,129; \ 0,769; \ 0,102; \ 0,5 \) 
\item[3.] \( 0,996; \ 0,130; \ 0,068 \) 
\item[4.] \( 0,018; \ 0,629; \ 0,982; \ 0,798 \) 
\item[5.] \( 0; \ 0,5; \ 0,8; \ 0,5 \) 
\item[6.] \( 0,632; \ 0,133 \) 
\item[7.] \( 0,994; \ 0,894; \ 0,789; \ 0,95 \) 
\end{itemize}
\end{exampleblock}

\end{frame}

\end{document}
