\documentclass[10pt,utf8,table,mathserif]{beamer}
% \usepackage{pgfpages}
% \pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper,border shrink=1mm,landscape]
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{tabularx}
% \renewcommand{\sfdefault}{uop}
% \renewcommand{\rmdefault}{\sfdefault}
% \usepackage{ccicons}
% \usepackage[font=HelvB,Font=HelvB,timeinterval=20,timedeath=0]{hodiny}
\usepackage{listings}
\usepackage{mathtools}
% \usepackage[utopia]{mathdesign}
% \usepackage[scaled]{beramono}
\usepackage{mathpazo}

\input{definice}

\pgfdeclareimage[height=0.2\textheight]{logo}{titul}
\title[Cvičení~5: Náhodná veličina a~rozdělení pravděpodobnosti]{\abox{Cvičení MV011 Statistika~I \\[1ex] 5.~Náhodná veličina a~rozdělení pravděpodobnosti}}
\author[]{Monika Kroupová, Ondřej Pokora, Petra Ráboňová}
\institute[MV011 Statistika I,]{Ústav matematiky a~statistiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno}
\date[2017]{\footnotesize jaro 2017}
\vskip1em
\titlegraphic{\pgfuseimage{logo}\vskip-0.1\textheight}
\subject{Cvičení}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}[allowframebreaks]

\begin{priklad}
Řidič dodávkového auta projíždí 4~křižovatkami řízenými nezávislými semafory. 
Na každé křižovatce je řidič nucen zastavit s~pravděpodobností 0{,}5. 
Určete rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny \( X \) popisující počet křižovatek, které řidič projede, než bude nucen poprvé zastavit. 
Spočítejte: \\[1ex]
(A)~distribuční funkci \( F(x) \); 
(B)~\( \mathrm{P}(X \leq 2) \); 
(C)~\( \mathrm{P}(X = 3) \); 
(D)~\( \mathrm{P}(1 \leq X \leq 3 ) \); 
(E)~\( \mathrm{P}(X = 3{,}5) \); 
(F)~\( \mathrm{P}(X \leq 3{,} 5) \). 
\end{priklad}

\vspace*{-1ex}

\begin{priklad}
Tramvaje odjíždí ze zastávky v~pravidelném intervalu 10~minut. 
Přicházející cestující právě vidí odjíždět tramvaj a~přizpůsobí svoji rychlost, aby na zastávku přišel určitě dříve než přijede následující tramvaj. 
Náhodná veličina \( X \) popisuje dobu čekání na zastávce a~má hustotu pravděpodobnosti 
\\[-1ex]
\[
f(x) = \begin{cases} \frac{1}{5} - \frac{x}{50},\ & 0 \leq x < 10 \\ 0,\ & \mbox{jinak} \end{cases}. 
\]
(A)~Nakreslete graf hustoty \( f(x) \); 
(B)~spočítejte distribuční funkci \( F(x) \); 
(C)~spočítejte \( \mathrm{P}(X \leq 5) \); 
(D)~spočítejte \( \mathrm{P}(X \geq 2) \); 
(E)~spočítejte \( \mathrm{P}(3 \leq X \leq 8) \). 
\end{priklad}

\begin{priklad}
Náhodný vektor \( (X, Y) \) reprezentuje se stejnou pravděpodobností volbu jednoho ze tří bodů v~rovině o~souřadnicích: \( (-1, 0) \), \( (0, 1) \) a~\( (1, 0) \). 
Jsou souřadnice \( X, Y \) stochasticky nezávislé náhodné veličiny? 
Určete simultánní rozdělení pravděpodobnosti náhodného vektoru \( X, Y \) a~simultánní distribuční funkci \( F(x, y) \), 
obě marginální rozdělení pravděpodobnosti a~jejich distribuční funkce \( F_X(x), F_Y(y) \). 
\end{priklad}

\begin{priklad}
V~zásilce 10~výrobků je 8~kvalitních a~2~nekvalitní. 
Mezi 8~kvalitními je 5~výrobků I.~jakosti a~3~výrobky II.~jakosti. 
V~obchodě zakoupíme 2~náhodně vybrané výrobky z~uvedené zásilky. 
Označíme \( X = \)~počet zakoupených kvalitních výrobků a~\( Y = \)~počet zakoupených výrobků I.~jakosti. 
\\[1ex]
Určete simultánní rozdělní pravděpodobnosti náhodného vektoru \( (X, Y) \) a~obě marginální rozdělení pravděpodobnosti. 
Jsou náhodné veličiny \( X, Y \) stochasticky nezávislé? 
Dále spočítejte: \\[1ex]
(A)~\( F(1,1) \); 
(B)~\( F(2,1) \); 
(C)~\( F_X(x) \); 
(D)~\( F_Y(y) \); 
(E)~\( \mathrm{P}(X \geq 1) \). 
\end{priklad}

\begin{priklad}
Nad hlavní diagonálou čtverce \( [0, 10] \times [0, 10] \) zvolíme zcela náhodně bod \( (X, Y) \). 
Určete simultánní a~obě marginální rozdělení pravděpodobnosti náhodného vektoru \( (X, Y) \). 
Jsou náhodné veličiny \( X, Y \) stochasticky nezávislé? 
Dále spočítejte pravděpodobnost \( \mathrm{P}(X \geq 4) \). 
\end{priklad}

\begin{priklad}
Doby provozuschopnosti 2~akumulátorů X a~Y jsou popsány stochasticky nezávislými náhodnými veličinami 
\( X \) a~\( Y \) s~exponenciálním rozdělením pravděpodobnosti a~průměrnými životnostmi 1~rok pro~X a~2~roky pro~Y. 
\\[1ex]
(A)~Určete simultánní rozdělení pravděpodobnosti vektoru \( (X, Y) \); \\
(B)~spočítejte pravděpodobnost, že akumulátor~X bude fungovat alespoň 2~roky; \\
(C)~pravděpodobnost, že oba akumulátory budou fungovat alespoň 2~roky; \\
(D)~pravděpodobnost, že právě jeden z~akumulátorů bude fungovat alespoň 2~roky; \\
(E)~pravděpodobnost, že alespoň jeden akumulátor bude fungovat alespoň 2~roky. 
\end{priklad}

\end{frame}

\begin{frame}[allowframebreaks]

\begin{exampleblock}{Výsledky}
\begin{itemize}
\item[1.] (B) 7/8; (C) 1/16; (D) 7/16; (E) 0; (F) 15/16
\item[2.] (C) 3/4; (D) 0,64; (E) 0,45
\item[3.] veličiny nejsou nezávislé
\item[4.] (A) 17/45; (B) 35/45; (E) 44/45
\item[5.] \( f(x,y) = \frac{1}{50} \), \( f_X(x) = \frac{10-x}{50} \), \( f_Y(y) = \frac{y}{50} \), veličiny nejsou nezávislé; 0,36
\item[6.] (A) \( f(x,y) = \frac{1}{2} \rme^{-x - y/2} \); (B) \( \rme^{-2} = 0{,}135 \); (C) \( \rme^{-3} = 0{,}05 \); 
\\ (D) \( \rme^{-1} + \rme^{-2} - 2\,\rme^{-3} = 0{,}404 \); (E) \( \rme^{-1} + \rme^{-2} - \rme^{-3} = 0{,}45 \) 
\end{itemize}
\end{exampleblock}

\end{frame}

\end{document}
