\documentclass[10pt,utf8,table,mathserif]{beamer}
% \usepackage{pgfpages}
% \pgfpagesuselayout{4 on 1}[a4paper,border shrink=1mm,landscape]
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{tabularx}
% \renewcommand{\sfdefault}{uop}
% \renewcommand{\rmdefault}{\sfdefault}
% \usepackage{ccicons}
% \usepackage[font=HelvB,Font=HelvB,timeinterval=20,timedeath=0]{hodiny}
\usepackage{listings}
\usepackage{mathtools}
% \usepackage[utopia]{mathdesign}
% \usepackage[scaled]{beramono}
\usepackage{mathpazo}

\input{definice}

\pgfdeclareimage[height=0.2\textheight]{logo}{titul}
\title[Cvičení~7: Transformace, centrální limitní věta]{\abox{Cvičení MV011 Statistika~I \\[1ex] 7.~Transformace, centrální limitní věta}}
\author[]{Monika Kroupová, Ondřej Pokora, Petra Ráboňová}
\institute[MV011 Statistika I,]{Ústav matematiky a~statistiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno}
\date[2017]{\footnotesize jaro 2017}
\vskip1em
\titlegraphic{\pgfuseimage{logo}\vskip-0.1\textheight}
\subject{Cvičení}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}{Transformace, centrální limitní věta}

\begin{itemize}
\item 
Hustota \( f_Y(y) \) prosté transformace \( Y = T(X) \) spojité náhodné veličiny \( X \sim f_X(x) \): 
\[
f_Y(y) = f_X\Bigl( T^{\,-1\!}(y) \Bigr) \cdot \left\vert \frac{\partial T^{\,-1\!}(y)}{\partial y} \right\vert. 
\]
\item 
Centrální limitní věta (Lindenbergova-Lévyho): \\
Nechť \( X_1, X_2, \dots, X_n \) je posloupnost stochasticky nezávislých náhodných veličin s~\( EX_i = \mu \) a~\( DX_i = \sigma^2 > 0 \). 
Potom: 
\[
U = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i \; - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i \; - n \, \mu}{\sigma\,\sqrt{n}} \; \stackrel{A}{\sim} \; N(0;1). 
\]
\item 
Moivreova-Laplaceova věta: \\
Nechť \( Y_n \) udává počet úspěchů v~\( n \) nezávislých opakováních alternativního náhodného pokusu s~pravděpodobností úspěchu~\( \theta \), tzn. \( Y_n \sim Bi (n,\ \theta) \). 
Potom: 
\[
\frac{Y_n \; - n \, \theta}{\sqrt{n \, \theta \, (1 - \theta)}} \; \stackrel{A}{\sim} \; N(0;1). 
\]
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}[allowframebreaks]

\begin{priklad}
Doba \( Y \), kterou zákazník stráví při odbavení u~pokladny, se skládá z~náhodné doby čekání \( X \) s~exponenciálním rozdělením se střední hodnotou 2~min a~z~fixní doby odbavení 1~min. 
Určete hustotu \( f_Y(y) \) pro dobu \( Y \) vyjádřenou v~sekundách. 
\end{priklad}

\vspace*{-1.5ex}

\begin{priklad}
Délka strany čtverce je náhodná veličina \( X \) s~rovnoměrným spojitým rozložením na intervalu od~90 do~110~cm. 
Určete hustotu pravděpodobnosti obsahu \( Y \) tohoto čtverce a~střední hodnotu \( EY \). 
\end{priklad}

\vspace*{-1.5ex}

\begin{priklad}
Náhodná veličina \( X \) udává počet projetých křižovatek v~příkladu~\textbf{1} ze cvičení~\textbf{5}. 
Určete rozdělení pravděpodobnosti transformované veličiny \( Y = (X - 2)^2 \). 
\end{priklad}

\vspace*{-1.5ex}

\begin{priklad}
Automatická linka plní láhve mléka. Je známo, že objemy mléka v~láhvích jsou nezávislé a~mají rovnoměrné spojité rozdělení v~intervalu od~0,98 do 1,02~litru. 
Při kontrole se vyberou 4~láhve. Spočítejte pravděpodobnosti jevů: \\
(A)~v~nejméně naplněné láhvi bude alespoň 1,00~litru mléka; \\
(B)~v~nejvíce naplněné láhvi bude nejvýše 1,01~litru mléka. 
\end{priklad}

\begin{priklad}
Náhodné veličina \( X \) má rovnoměrné spojité rozdělení na intervalu \( [0; 2] \). 
Určete hustotu pravděpodobnosti transformované náhdné veličiny \( Y = \ln (1 + X) \). 
\end{priklad}

\begin{priklad}
Počet bodů z~IQ testu považujeme za náhodnou veličinu s~normálním rozdělením se střední hodnotou 100 a~rozptylem 225. 
Jaké procento z~účastníků testování dosáhne na více než 105 bodů? 
\end{priklad}

\begin{priklad}
Pan Novák jezdí do práce a~z~práce tramvají, na zastávku přichází přichází zcela náhodně. 
Tramvaj jezdí v~10minutových intervalech, 
Určete pravděpodobnost, že pan Novák za 20~pracovních dní čekáním na tramvaj straví méně než 4~hodiny. 
\end{priklad}

\begin{priklad}
V~příkladu~\textbf{7} z~minulého cvičení spočítejte hledanou pravděpodobnost pomocí Moivreovy-Laplaceovy věty. 
\end{priklad}

\begin{priklad}
Jaká je pravděpodobnost, že při 100 hodech klasickou kostkou padne šestka nejvýše dvacetkrát? 
Použijte Moivreovu-Laplaceovu větu. 
\end{priklad}

\begin{priklad}
Pomocí skriptu v~\emph{R} zkoumejte konvergenci k~normálnímu rozdělení pravděpodobnosti v~limitních větách. 
\end{priklad}

\begin{exampleblock}{Výsledky}
\begin{itemize}
\item[2.] \( EY = 10\,033,33 \) 
\item[4.] (A) 1/16; (B) 81/256
\item[6.] 0,37
\item[7.] 0,986
\item[8.] 0,9998
\item[9.] 0,846
\end{itemize}
\end{exampleblock}

\end{frame}

\end{document}
