Požadavky k SZZ - Geometrie Tisk

Státní závěrečná zkouška sestává z obhajoby diplomové práce a z ústní zkoušky.

Charakteristika závěrečné práce a její obhajoba

Zpracováním diplomové práce student prokazuje orientaci v problematice dané tématem práce a schopnost odborné práce pod vedením vedoucího. U  obhajoby diplomové práce se hodnotí porozumění tématu a úroveň prezentace.

Charakteristika ústní zkoušky

Účelem zkoušky je prověřit, že absolvent je schopen vést debatu na jisté odborné úrovni. Cílem ústní zkoušky není opakovat zkoušky z  jednotlivých předmětů a zkoušet detailní znalost teorie a důkazů. Smyslem je prokázat všeobecný přehled o základních pojmech a výsledcích z  jednotlivých oborů a širších souvislostech mezi nimi.

Průběh ústní zkoušky

U ústní zkoušky student obdrží tři otázky, po jedné z každého z níže uvedených tématických okruhů.


Vymezení rozsahu otázek k ústní zkoušce

  1. Algebra a analýza
    1. Základy teorie kategorií: Základní definice, funktory, přirozené transformace, adjungované funktory, limity a kolimity, příklady různých kategorií a konstrukcí.
    2. Okruhy a moduly: Moduly, homomorfismy, základní konstrukce, projektivní moduly, tenzorový součin, ploché moduly, Lazardova věta, krátké exaktní posloupnosti, grupa Ext, injektivní moduly, injektivní obal.
    3. Základy funkcionální analýzy: Banachovy a Hilbertovy prostory, Rieszova-Fischerova věta, Hahnova-Banachova věta a její aplikace, duální prostor, Banachova-Steinhausova věta, slabá konvergence.
    4. Spektrální analýza lineárních operátorů: Lineární operátory, spojitost a ohraničenost. Adjungované operátory. Samoadjungované operátory v Hilbertově prostoru, kompaktní operátory. Definice spektra lineárního operátoru, klasifikace bodů spektra, spektrum kompaktního operátoru.
    5. Obyčejné a parciální diferenciální rovnice: Věta o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice. Klasické parciální diferenciální rovnice - Laplaceova, vedení tepla a vlnová rovnice, Fourierova transformace. Fourierova metoda separace proměnných. Moderní metody řešení PDR - Sobolevovy prostory, slabá řešení.
  2. Diferenciální geometrie
    1. Základy diferenciální geometrie: Hladké variety, hladká zobrazení, podvariety, věty o imerzi a submerzi, tečný bandl, vektorová pole, integrálni křivky, distribuce, Frobeniova věta, diferenciální formy, vnější diferenciál, de Rhamovy kohomologie, Stokesova věta, Lieova derivace polí.
    2. Lieovy grupy a algebry: Definice Lieových grup a algeber, vztah mezi podgrupami a podalgebrami, homomorfismy grup a algeber a vztah mezi nimi, exponenciální zobrazení, homogenní prostory, akce Lieových grup, adjungovaná reprezentace, fundamentální vektorová pole.
    3. Bandly a konexe: Definice bandlu, základni operace s bandly, hlavní a asociované bandly, řezy asociovaných bandlů, konexe, hlavni konexe, kovariantní derivace, paralelní přenášení, strukturní rovnice, kanonická forma na bandlu reperů.
    4. Základy Riemannovské geometrie: Riemannovský prostor, Levi-Civitova konexe, geodetické křivky, křivosti Riemannovského prostoru, Riemannovské prostory s konstantní křivostí, úplnost Riemannovského prostoru.
  3. Algebraická topologie a algebraická geometrie
    1. Homotopie, fibrace a kofibrace: Homotopická zobrazení, homotopická ekvivalence, definice CW-komplexů, vlastnost rozšíření homotopie, kofibrace, vlastnost zvednutí homotopie, fibrace, nakrytí, fundamentální grupa, van Kampenova věta.
    2. Singulární homologie: Řetězcové komplexy a jejich homologie, definice singulárních homologií, dlouhá exaktní posloupnost dvojice, homotopická invariance, věta o výřezu. Mayerova-Vietorisova posloupnost, stupeň zobrazení, výpočet homologií CW-komplexů.
    3. Singulární kohomologie a Poincarého dualita: Definice singulárních kohomologií, jejich základní vlastnosti, cup součin. Orientace variety, fundamentální třída, cap součin, věta o Poincarého dualitě.
    4. Homotopické grupy: Definice, dlouhá exaktní posloupnost dvojice a fibrace, pojem n-souvislosti, Whiteheadova věta, aproximace spojitých zobrazení mezi CW-komplexy, aproximace topologických prostorů pomocí CW-komplexů, Blakersova-Masseyova věta, Freudenthalova a Hurewiczova věta.
    5. Komutativní algebra: Rezultant polynomu, polynomy více proměnných, lokalizace okruhu, Noetherovské okruhy a moduly, Hilbertova věta o bázi, Gröbnerova báze, radikál idealu, Hilbertova věta o nulách, vztah mezi ideály a algebraickymi podmnožinami afinniho prostoru, věta o Noetherovské normalizaci.
    6. Algebraická geometrie: Afinní variety, polynomiální a racionální funkce a zobrazení, projektivní variety, projektivní věta o nulách, racionální funkce a zobrazení, regularní zobrazení mezi ireducibilními projektivními varietami, tečný prostor, různé definice dimenze a vztah mezi nimi, Bezoutova věta.
Aktualizováno Pondělí, 27 Červen 2016 15:42