Požadavky k SZZ - Matematická analýza Tisk

Státní závěrečná zkouška sestává z obhajoby diplomové práce a z ústní zkoušky.

Charakteristika závěrečné práce a její obhajoba

Zpracováním diplomové práce student prokazuje orientaci v problematice dané tématem práce a schopnost odborné práce pod vedením vedoucího. U obhajoby diplomové práce se hodnotí porozumění tématu a úroveň prezentace.

Charakteristika ústní zkoušky

Účelem zkoušky je prověřit, že absolvent je schopen vést debatu na jisté odborné úrovni. Cílem ústní zkoušky není opakovat zkoušky z jednotlivých předmětů a zkoušet detailní znalost teorie a důkazů. Smyslem je prokázat všeobecný přehled o základních pojmech a výsledcích z jednotlivých oborů a širších souvislostech mezi nimi.

Průběh ústní zkoušky

U ústní zkoušky student obdrží tři otázky, po jedné z každého z níže uvedených tématických okruhů.


Vymezení rozsahu otázek k ústní zkoušce

  1. Základy matematiky
    1. Základní algebraické struktury: grupy, okruhy, tělesa, svazy, vektorové prostory.
    2. Základy obecné topologie: Otevřené a uzavřené množiny v metrických prostorech, úplnost, kompaktnost, Banachova věta, základní topologické pojmy, spojitost, kompaktifikace, souvislost, homotopie, Brouwerova věta a její důsledky.
    3. Základy linární algebry: Lineární zobrazení a matice, vlastní vektory, vlastní čísla, vlastní podprostory, Jordanův kanonický tvar matice.
    4. Diferenciální a integrální počet více proměnných: Parciální derivace a diferenciál, lokální a globální extrémy, konstrukce Jordanovy míry a Riemannova integrálu. Fubiniova věta a věta o transformaci.
    5. Míra a integrál: Obecné pojmy z teorie míry, konstrukce Lebesgueovy míry, Lebesgueův integrál a jeho vztah k Riemannovu integrálu.
    6. Základy teorie pravděpodobnosti: Pravděpodobnostní prostor, náhodné veličiny a jejich charakteristiky.
    7. Základy numerické matematiky: Metody pro řešení algebraických rovnic, řešení soustav lineárních rovnic, přímé a iterační metody, numerické derivování a integrování.
    8. Základy lineární geometrie: Afinní a euklidovská geometrie, kvadriky a kuželosečky, křivky a plochy v R3.
  2. Diferenciální rovnice
    1. Lineární diferenciální systémy: Lokální a globální vlastnosti řešení, teorie stability, její typy a kritéria.
    2. Systémy lineárních diferenciálních rovnic v rovině: Klasifikace singulárních bodů, aplikace dif. rovnic ve spojitých modelech.
    3. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu: Sturmova teorie, oscilační teorie, Sturmův-Liouvilleův okrajový problém.
    4. Klasická teorie PDR: Klasifikace rovnic 2. řádu, kanonické tvary, základní vlastnosti řešení jednotlivých typů rovnic.
    5. Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic: Úlohy s počátečními podmínkami (Rungovy-Kuttovy metody, vícekrokové metody), úlohy s okrajovými podmínkami (metoda střelby, diferenční metody), variační metody pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic, Ritzova metoda, Galerkinova metoda.
  3. Globální, funkcionální a komplexní analýza
    1. Základy globální analýzy: Hladké variety, tečné bandly a vektorová pole, hladké distribuce, Frobeniova věta, tensory a tensorová pole, vnější diferenciál, Stokesova věta, jety, Riemannovy prostory.
    2. Lineární operátory v normovaných a Hilbertových prostorech: Základy teorie Banachových a Hilbertových prostorů, prostor lineárních operátorů, věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu, duální prostory, slabá konvergence.
    3. Spektrální teorie: kompaktní a samoadjungované operátory a jejich spektra, vztah k Sturmovu-Liouvilleovu okrajovému problému.
    4. Nelinární funkcionální analýza: Lereyův-Schauderův stupeň zobrazení, věty o pevných bodech, existence řešení nelineárních úloh v Banachových prostorech.
    5. Komplexní analýza: Holomorfní funkce, Cauchyova věta, teorie reziduí, celé funkce.
Aktualizováno Pondělí, 27 Červen 2016 15:43