Požadavky k SZZ – specializace Modelování a výpočty
Státní závěrečná zkouška sestává z obhajoby diplomové práce a z ústní zkoušky.
Charakteristika závěrečné práce a její obhajoba
Zpracováním diplomové práce student prokazuje orientaci v problematice dané tématem práce a schopnost odborné práce pod vedením vedoucího. U obhajoby diplomové práce se hodnotí porozumění tématu a úroveň prezentace.
Charakteristika ústní zkoušky
Účelem zkoušky je prověřit, že absolvent je schopen vést debatu na odborné úrovni. Cílem ústní zkoušky není opakovat zkoušky z jednotlivých předmětů a zkoušet detailní znalost teorie a důkazů. Smyslem je prokázat všeobecný přehled o základních pojmech a výsledcích z jednotlivých oborů a širších souvislostech mezi nimi a o jejich možných aplikacích.
Technická realizace
U ústní zkoušky student obdrží tři otázky, jednu z okruhu A společných oblastí znalostí programu Aplikovaná matematika a dvě ze znalostí své specializace, které jsou uvedeny v okruhu B.
Vymezení rozsahu otázek k ústní zkoušce
A. Společný okruh – základy matematiky - Základy časových řad
vlastnosti a charakteristiky náhodných posloupností a časových řad, odhady charakteristik stacionárních časových řad a modelování deterministických složek (regrese, vyhlazování a dekompozice) - ARMA modely
vlastnosti ARMA modelů, korelační struktura ARMA procesů, predikce a odhad parametrů v ARMA modelech, rozšíření pro sezonní řady a nestacionární řady s jednotkovými kořeny (SARIMA modely) - Stochastická analýza
Wienerův proces a jeho vlastnosti, stochastický integrál, Itôovo lemma, řešení stochastických diferenciálních rovnic, martingaly, Girsanovova věta - Stochastické modely
modelování pomocí stochastických diferenciálních rovnic, Wienerův proces s driftem, geometrický Brownův pohyb, Ornsteinův-Uhlenbeckův proces, difuze - Maticové numerické metody
blokové operace s maticemi, rozklady matic a jejich použití, výpočet vlastních hodnot a vlastních vektorů; metoda nejmenších čtverců – klasický přístup a přístup pomocí pseudoinverze - Optimalizační numerické metody
Newtonova-Raphsonova metoda, Nelderova-Meadova metoda, metoda bisekce, metoda zlatého řezu; metoda nejmenších čtverců – obyčejná, pomocí pseudoinverze, nelineární
B. Okruh specializace Modelování a výpočty
- Teorie obyčejných diferenciálních rovnic
systémy autonomních diferenciálních rovnic, trajektorie, stacionární řešení, stabilita, struktura řešení lineárního systému, věta o linearizaci, použití v deterministických modelech - Pokročilé spojité deterministické modely – teoretické základy
modely popsané dynamic-kými systémy v obecných lineárních prostorech, jejich konstrukce, analýza a interpretace, kvalitativní vlastnosti spojené s rovnováhou, příklady procesů v živé a neživé přírodě - Pokročilé spojité deterministické modely – standardní aplikace
standardní modely využívající PDR a FDR, souvislost stochastického a deterministického popisu difúzních jevů, postupující vlny, Bělousovova-Žabotinského reakce, Turingův jev - Strukturované populační modely s konstantní projekční maticí
konstrukce strukturovaného modelu, Perronova-Frobeniova věta, stabilizovaná struktura populace, růstový koeficient, matice citlivosti, čas strávený v jedné třídě, očekávaná doba dožití - Strukturované populační modely – identifikace parametrů
odhady parametrů strukturovaných populačních modelů (regresní metody, metoda kvadratického programování, metoda maximální věrohodnosti), odhady charakteristik populace se stabilizovanou strukturou (odhad růstového koeficientu, pravděpodobnosti přežití a fertilit) - Teorie bifurkací
jednoparametrické lokální bifurkace spojitých a diskrétních dynamických systémů, víceparametrické bifurkace, věta o centrální varietě, nelokální bifurkace, aplikace teorie bifurkací, typické jevy spojené se změnou atraktoru - Teorie chaosu
základní vlastnosti deterministického chaosu, vznik deterministického chaosu zdvojováním periody v diskrétních dynamických systémech, souvislost s komplexní dynamikou a fraktály (Mandelbrotova množina), chaos ve spojitých systémech (metoda Poincarého řezu), řízení chaosu, aplikace teorie chaosu - Markovské řetězce
markovské řetězce s diskrétním a spojitým časem – pravděpodobnosti přechodu, klasifikace stavů, nerozložitelné a rozložitelné řetězce, stacionární a limitní rozdělení, odhady pravděpodobností přechodu - Stochastické modely markovského typu
markovská vlastnost, Chapman-Kolmogorovova rovnost, Kolmogorovovy diferenciální rovnice a jejich řešení, Poissonův proces, procesy množení a zániku, teorie hromadné obsluhy - Parciální diferenciální rovnice – klasické metody
řešení lineárních a nelineárních rovnic prvního řádu, řešení lineárních rovnic druhého řádu ve dvou nezávisle proměnných, (klasifikace rovnic druhého řádu), Fourierova metoda, metody integrálních transformací, Greenova funkce - Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic
řešení počátečních úloh (jednokrokové a vícekrokové metody), řešení okrajových úloh (metoda střelby, diferenční metody, variační metody), stabilita a konvergence metod - Numerické metody řešení parciálních diferenciálních rovnic
diferenční metody, variační metody, časově závislé rovnice, stabilita a konvergence metod
|
