Požadavky k SZZ – program Matematika

Státní závěrečná zkouška sestává z obhajoby diplomové práce a z ústní zkoušky.

Charakteristika závěrečné práce a její obhajoba

Zpracováním diplomové práce student prokazuje orientaci v  problematice dané tématem práce a schopnost odborné práce pod vedením vedoucího. U obhajoby diplomové práce se hodnotí porozumění tématu a  úroveň prezentace.

Charakteristika ústní zkoušky

Účelem zkoušky je prověřit, že absolvent je schopen vést debatu na  jisté odborné úrovni. Cílem ústní zkoušky není opakovat zkoušky z jednotlivých předmětů a zkoušet detailní znalost teorie a důkazů. Smyslem je prokázat všeobecný přehled o základních pojmech a výsledcích z  jednotlivých oborů a širších souvislostech mezi nimi a o jejich možných aplikacích.

Technická realizace

Ústní část státní závěrečné zkoušky magisterského programu Matematikase skládá ze společných požadavkůpro celý program a z požadavků užšího zaměření. Toto zaměření si posluchač určí volbou tří z tématických okruhů 1 – 12 uvedených níže. Z těchto tří okruhů bude posluchači vybrána jedna otázka, rovněž z tématickýchokruhů A, B, C obdrží posluchač jednu otázku.

Vymezení rozsahu otázek k ústní zkoušce

Okruhy otázek společných pro celý program

A. Parciální diferenciální rovnice
PDR 1. řádu, metoda charakteristik, příklady lineárních a nelineárních rovnic a jejich užití, Fourierova metoda, srovnání řešení PDR a ODR, analytická řešení, věta Cauchyova-Kowalevské. Řešení významných rovnic matematické fyziky (Laplaceova a Poissonova rovnice, rovnice vedení tepla, vlnová rovnice), harmonické funkce, principy maxima, semigrupy a Brownův pohyb, diskretizace a standardní numerické metody. Sobolevovy prostory, variační formulace řešení, zobecněná formulace okrajových úloh, teorie stop, slabá řešení eliptických, parabolických a hyperbolických PDR, regularita řešení, variační metody, metoda konečných prvků.

B. Homologická algebra, moduly, teorie reprezentací
Základní pojmy teorie kategorií, součiny, součty, jádra a kojádra v kategorii modulů, volné a projektivní moduly, tenzorový součin, ploché moduly, injektivní moduly, injektivní obal, noetherovské okruhy. Řetězcové komplexy, exaktnost, homologie. Projektivní a injektivní rezolventy. Derivované funktory. Vztah Ext a rozšíření modulů. Projektivní a injektivní dimenze. Lineární reprezentace grup, grupové okruhy a moduly nad nimi. Ireducibilní reprezentace, rozložitelnost na přímé součty ireducibilních reprezentací. Charaktery grup, ortogonalita. Aplikace v teorii konečných grup.

C. Analýza na varietách, Lieovy grupy a základy geometrických struktur
Vektorová pole a vnější formy na ${\mathbb R}^n$, podvarietách ${\mathbb R}^n$ a varietách,
obecná Stokesova věta a její důsledky ve vektorovém počtu, geometrická teorie PDR 1. řádu (diferenciální ideály, Frobeniova věta). Lieovy grupy a podgrupy, vztah k Lieovým algebrám (exponenciální zobrazení, adjungovaná reprezentace, nakrytí grup), diferenciální počet pro funkce s hodnotami v Lieově grupě. Základní koncepty reprezentace Lieových grup, homogenní prostory. Základní koncepty riemannovské a symplektické geometrie, aplikace v optimálním řízení a analytické mechanice, další příklady rovnic matematické fyziky.

Okruhy otázek užšího zaměření

1. Konvexní analýza a matematické programování
   Konvexní množiny, konvexní obaly, teorie oddělitelnosti, konvexní funkce, kritéria konvexnosti pro diferencovatelné funkce, subgradient a subdiferenciál, Fenchelova transformace, řešení systémů lineárních a konvexních nerovností. Metody nepodmíněné minimalizace (Fibonacciho metoda, metoda zlatého řezu, Newtonova metoda atd.), Langrangeův princip, podmínky optimality, Kuhnovy-Tuckerovy podmínky, konvexní programování, slabá a silná dualita, sedlové body, stínová cena.
   
2. Obecná teorie ODR
   Carathéodoryho třída funkcí, existence a jednoznačnost řešení rovnic s nespojitou pravou stranou, Carathéodoryho věta pro rovnice vyšších řádů, prodloužitelnost řešení, globální řešení, dolní a horní řešení, Wintnerova věta, Kneserova věta, Fukuharovy věty. Typy singulárních bodů dvojrozměrných systémů, klasifikace singulárních bodů lineárních a perturbovaných lineárních systémů, struktura limitní množiny v ${\mathbb R}^2$, Dulacovo kritérium, Poincarého-Bendixsonova věta, charakteristické směry.
   
3. Funkcionální analýza
   Banachovy a Hilbertovy prostory, Rieszova-Fischerova věta, Hahnova-Banachova věta a její aplikace, duální prostor, Banachova-Steinhausova věta, slabá konvergence. Lineární operátory, spojitost a ohraničenost; adjungované operátory, samoadjungované operátory v Hilbertově prostoru, kompaktní operátory; definice spektra lineárního operátoru, klasifikace bodů spektra, spektrum kompaktního operátoru; aplikace na integrální operátory. Gateauxova a Fréchetova derivace, striktně a uniformně konvexní prostory, konvexní funkce v prostorech nekonečné dimenze, projekce, integrace v Banachových prostorech, věty o pevném bodu a jejich aplikace v teorii diferenciálních rovnic.
   
4. Fourierova analýza
   Ekvivalentní tvary Fourierových řad, Dirichletovo jádro a bodová konvergence, Fejérovo jádro a konvergence v průměru, konvergence v normě, $L^1$ a $L^2$ prostory, konvoluce a korelace, Parsevalovy identity, vícerozměrné Fourierovy řady. Existence a vlastnosti Fourierovy transformace, příklady, Fourierova věta, Plancherelova věta, konvoluce, korelace, Parsevalovy identity, inverzní Fourierova transformace, Schwartzův prostor, zobecnění Fourierovy transformace – distribuce.
5. Komplexní analýza
   Základní koncepty komplexní analýzy v jedné a více proměnných, porovnání rozdílů těchto konceptů, Hartogsův jev. Integrální reprezentace holomorfních funkcí, Bergmanovo jádro. Základy CR geometrie.
   
6. Diferenciální geometrie
   Základní koncepce geometrických struktur, bandly reperů, jety, geometrická pole jako řezy asociovaných bandlů, hlavní a asociované konexe. Symetrie diferenciálních operátorů a geometrický přístup k nelineárním PDR.
   
7. Algebraická topologie
   Pojem homotopie a homotopické ekvivalence, kofibrace, fibrace. CW-komplexy, simpliciální homologie, singulární homologie a kohomologie, výpočet homologií CW-komplexů, součiny v kohomologiích. Poincarého dualita, homotopické grupy, van Kampenova věta, Whiteheadova věta. Věta o výřezu pro homotopické grupy, Freudenthalova věta, Hurewiczova věta.
8. Algebraická geometrie
   Rezultanty, Groebnerovy báze. Afinní variety. Hilbertova věta o nulách. Polynomiální funkce, vztah afinních variet a algeber. Projektivní variety. Regulární zobrazení, dominantní zobrazení, biracionální ekvivalence, vztah kvaziprojektivních variet a rozšíření. Dimenze variety. Tečný prostor. Bezoutova věta.
   
9. Galoisova teorie a její aplikace
   Algebraická, jednoduchá a konečná rozšíření těles. Klasické konstrukce pravítkem a kružítkem. Rozkladová tělesa a normální rozšíření, algebraický uzávěr. Separabilní a neseparabilní rozšíření. Základní věta Galoisovy teorie konečných rozšíření. Cyklická a radikálová rozšíření. Řešitelné grupy, souvislost s vyjadřováním kořenů polynomů v radikálech.
10. Teorie kategorií
    Kategorie, funktory, přirozené transformace. Yonedovo lemma. Limity a kolimity. Adjungované funktory, Freydova věta. Kartézsky uzavřené kategorie. Monoidální kategorie.
    
11. Teorie her
    Hra n hráčů v normální formě, rovnovážné situace, maticová a bimaticová hra, úloha o dohodě, opakované hry, hra v rozšířené formě. Hra ve tvaru charakteristické funkce, jádro, von Neumannovo-Morgensternovo řešení, Shapleyho vektor. Teorie sociálního výběru.
12. Teorie kódování a kryptografie
    Entropie, podmíněná entropie, informace a jejich vztahy a vlastnosti. Věta o kódování bez šumu pro zdroje bez paměti. Kompaktní kódování. Šumový kanál, jeho kapacita a Shannonova věta o kódování pro šumové kanály. Samoopravné kódy. Lineární a cyklické kódy. Kryptografie a její cíle, základní kryptoanalytické útoky, kryptografické elementy, kryptografické protokoly, symetrické blokové a proudové šifry (operační módy, DES, AES). Asymetrický šifrovací systém, příklady algoritmů, základy použití. Jednocestné funkce. Problematika eliptických křivek.