Zpět
Požadavky platné pro studenty
Státní závěrečná zkouška sestává z obhajoby bakalářské práce (pokud ji student v daném oboru vypracoval) a z ústní zkoušky.
Charakteristika závěrečné práce a její obhajoba
Zpracováním bakalářské práce student prokazuje orientaci v problematice dané tématem práce a schopnost odborné práce pod vedením vedoucího. U obhajoby bakalářské práce se hodnotí porozumění tématu a úroveň prezentace.
Charakteristika ústní zkoušky
Účelem zkoušky je prověřit, že absolvent je schopen vést debatu na jisté odborné úrovni. Cílem ústní zkoušky není opakovat zkoušky z jednotlivých předmětů a zkoušet detailní znalost teorie a důkazů. Smyslem je prokázat všeobecný přehled o základních pojmech a výsledcích z jednotlivých oborů a širších souvislostech mezi nimi. Technická realizace
U ústní zkoušky student obdrží dvě otázky z níže uvedených tématických okruhů.
Vymezení rozsahu otázek k ústní zkoušce
- Vektorové prostory a lineární zobrazení
- Vektorový prostor, vektorový podprostor, lineární obal množiny vektorů, lineární nezávislost, Steinitzova věta, báze, dimenze, souřadnice, matice přechodu od jedné báze k druhé. Průnik a součet podprostorů. Lineární zobrazení (homomorfismus), jeho jádro a obraz. Lineární izomorfismus. Matice lineárního zobrazení v daných bazích.
- Soustavy lineárních rovnic, matice a determinanty
- Gaussova eliminace, operace s maticemi, hodnost matice, věty o struktuře řešení soustav lineárních rovnic, Frobeniova věta. Permutace, definice a vlastnosti determinantu. Laplaceův rozvoj. Výpočet inverzní matice, Cramerovo pravidlo. Numerické metody řešení soustav lineárních rovnic. Symetrické, ortogonální a unitární matice.
- Prostory se skalárním součinem a lineární operátory na nich
- Skalární součin, ortonormální báze, ortogonální doplněk, kolmá projekce. Ortogonální a unitární operátory, jejich vlastní čísla a vektory. Samoadjungované operátory a jejich vlastní čísla a vektory. Souvislost se symetrickými bilineárními formami. Příklady těchto operátorů.
- Vlastní čísla a vektory, Jordanův kanonický tvar
- Definice, charakteristický polynom, algebraická a geometrická násobnost vlastního čísla, vlastní podprostor. Podobnost matic. Jordanova buňka. Věta o Jordanově charakteristickém tvaru.
- Bilineární a kvadratické formy
- Definice, matice bilineární formy. Diagonalizace symetrické bilineární formy. Silvestrova věta o setrvačnosti pro reálné kvadratické formy. Signatura. Pozitivně definitní, negativně definitní a indefinitní kvadratické formy. Souvislost s hledáním extrémů funkcí více proměnných.
- Derivace, parciální derivace a diferenciál
- Definice, geometrický význam, význam pro vyšetřování průběhu funkce a hledání extrémů. Věta o střední hodnotě, l'Hospitalovo pravidlo pro výpočet limit. Aproximace funkce Taylorovým polynomem, numerické metody řešení nelineárních rovnic. Věta o implicitní funkci.
- Extrémy reálných funkcí jedné a více proměnných
- Postačující a nutné podmínky pro existenci extrémů funkcí jedné i více proměnných na otevřené množině. Vázané extrémy.
- Neurčitý integrál a Riemannův integrál v R
- Primitivní funkce, integrace metodou per partes, integrace podle věty o substituci. Definice Riemannova integrálu, výpočet Riemannova integrálu.
- Obyčejné diferenciální rovnice
- Obecné a partikulární řešení počáteční úlohy. Metody řešení rovnic 1. řádu: separované proměnné, homogenní, lineární. Lineární rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, variace konstant, speciální pravé strany.
- Číselné řady a řady funkcí
- Kriteria konvergence řad s nezápornými členy, absolutně a neabsolutně konvergentní číselné řady, komutativní zákon pro číselné řady. Mocninné řady, poloměr konvergence, Taylorův polynom a Taylorova řada, derivování a integrování mocninných řad, Fourierovy řady.
- Integrální počet v Rn
- Fubiniho věta, věta o transformaci integrálu, geometrické aplikace integrálu, křivkový a plošný integrál I. a II. druhu, Greenova věta, Gauss-Ostrogradského věta, Lebesgueův integrál.
- Základy počtu pravděpodobnosti
- Kolmogorova axiomatická definice pravděpodobnosti; podmíněná pravděpodobnost: vzorec pro úplnou pravděpodobnost, Bayesův vzorec; nezávislost.
- Rozdělení pravděpodobností náhodných veličin a vektorů
- Definice náhodných veličin a vektorů, diskrétní a absolutně spojité náhodné veličiny, distribuční funkce, pravděpodobnostní funkce, hustota, příklady diskrétních a spojitých rozdělení.
- Číselné charakteristiky náhodných veličin a vektorů
- Kvantily, střední hodnota, rozptyl, kovariance, koeficient korelace, vektor středních hodnot, varianční matice, korelační matice. Výpočetní pravidla pro číselné charakteristiky.
- Asymptotické vlastnosti rozdělení náhodných veličin
- Zákon velkých čísel, centrální limitní věta, příklady použití.
- Základní pojmy matematické statistiky
- Náhodný výběr a statistiky jako odhady parametrických funkcí, jejich vlastnosti: nestrannost a konzistence; konstrukce bodových odhadů: metoda maximální věrohodnosti; intervalové odhady.
- Testy o parametrech normálního rozdělení
- Jednovýběrový, párový a dvouvýběrový t-test, test o rozptylu, F-test, analýza rozptylu jednoduchého třídění, předpoklady těchto testů, příklady použití.
- Neparametrické testy
- Pořadové testy o mediánech, Wilcoxonův test, Kruskalův-Wallisův test. Testování nezávislosti v kontingenčních tabulkách a pořadové nezávislosti.
- Lineární regrese
- Klasický lineární regresní model, model lineární regrese plné hodnosti, metoda nejmenších čtverců, odhady neznámých parametrů a jejich testování, příklady regresních modelů.
- Korelační analýza
- Koeficient korelace a výběrový koeficient korelace, testování hypotézy o nezávislosti, interval spolehlivosti pro koeficient korelace, porovnání dvou koeficientů korelace.
|